Межотраслевой баланс описывается уравнениями. Общие понятия и схема межотраслевого баланса

В экономической теории впервые идея исследования и анализа межотраслевых связей была предложена советскими экономистами-статистиками при составлении баланса народного хозяйства за 1923-1924 хозяйственный год. В этом пионерском балансе содержалась информация о связях основных отраслей экономики и направления производственного использования продукции.

Научную актуальность и перспективность анализа межотраслевых связей одним из первых осознал выпускник Санкт- Петербургского университета В.В. Леонтьев. Он сумел сформулировать четкие теоретические основы метода «Затраты- выпуск» и его прикладное значение. В результате многолетних исследований были составлены линейные дифференцированные уравнения, разработаны математические методы, позволяющие анализировать состояние экономики и моделировать различные сценарии ее развития .

На основе разработанных для США и некоторых других стран межотраслевых балансов В.В. Леонтьев анализировал состояние и структуру экономики, оценил возможные последствия структурной перестройки, разработал программу реструктуризации отраслей, рационализации транспортных сообщений и пр. За разработку методологии анализа методом «Затраты- выпуск» и практическое его использование в 1973 году В.В. Леонтьев был удостоен Нобелевской премии за достижения в области экономики.

Практическая значимость межотраслевых балансов нашла свое воплощение в экономике СССР, России и многих стран мира, они составлялись один раз в (1959, 1966, 1972, 1977, 1982, 1987, 1997 гг.). На основе системы таблиц текущей статистики и другой в Росстате балансы стали строиться ежегодно.

Межотраслевой баланс (метод «Затраты-выпуск») в международной трактовке — это разновидность балансовых построений, характеризующих межотраслевые связи, пропорции и структуру . Он интегрируется в , конкретизирует основные счета СНС и позволяет отразить эффективность общественного производства, влияние факторов экономического роста и обеспечить прогнозирование процессов в экономике.

• характеристика воспроизводственных процессов в экономике по материально-вещественному составу в детальном отраслевом разрезе;
• отражение процесса производства и распределения продукции, созданной в сфере материального производства и услуг;
• детализация счетов товаров и услуг, производства, образования доходов и операций с капиталом на уровне отраслевых групп продуктов и услуг;
• выявление роли факторов производства и их эффективное использование для экономического развития.

Система таблиц «Затраты-выпуск» выполняет две функции : статистическую и аналитическую.

Статистическая функция заключается в том, что система обеспечивает проверку согласованности экономической информации (предприятий, ДХ, бюджетов, таможенных платежей), характеризующей потоки товаров и услуг.

Аналитическая функция системы выражается в возможностях ее использования для анализа состояния, динамики, прогнозирования процессов и моделирования сценариев развития экономики в результате изменения различных факторов. Именно через симметричную модель системы «Затраты-выпуск» В. Леонтьев разработал методы анализа взаимосвязей первичных затрат и выпуска продукции в отдельных отраслях и конечного спроса на них. В основе данного анализа лежит предположение, что затраты на производство продукции в течение определенного периода времени являются постоянной величиной .

Отраслевая и межотраслевая структура национальной экономики

Теория «Межотраслевого баланса» была разработана в США В. В. Леонтьевым как действенный инструмент при анализе и прогнозировании структурных взаимосвязей в экономике. Она исходит из возможности достижения общего , для чего разработана модель этого состояния, включающая структурную взаимосвязь всех стадий — производства, распределения или обмена и конечного потребления.

В модели межобраслевого баланса Леонтьева для анализа применятся схема межотраслевого баланса, состоящая из четырех основных квадрантов, отражающих определенные стадии производственного процесса:

• объемы потребления на нужды производства — первый квандрант;
• группирование продукта в зависимости от того, как он используется — второй квандрант;
• включение добавленной стоимости товара, например оплаты труда сотрудников, налогов и иного — третий квандрант;
• структура распределения национального дохода — четвертый квандрант.

1. произвести анализ и прогнозирование развития основных отраслей национальной экономики на различных уровнях — региональном, внутриотраслевом, межпродуктовом;
2. произвести объективное и актуальное прогнозирование темпов и характера развития национальной экономики;
3. определить характеристику основных макроэкономических показателей, при которых наступит состояние равновесия . В результате воздействия на них приблизиться к равновесному состоянию;
4. рассчитать полные и прямые затраты на производство определенной единицы блага;
5. определить ресурсоемкость всей национальной экономики и отдельных ее отраслей;
6. определить направления повышения эффективности и рационализации .

Впервые метод межотраслевых балансов был использован в 1936 г. в США, когда В. В. Леонтьев рассчитал его для 42 отраслей. Тогда же была признана его эффективность при использовании для выработки государственной экономической политики и прогнозирования национальной экономики. Сегодня он широко применяется во многих странах мира.

На практике широко используется Международная стандартная классификация всех сфер экономической деятельности, в которой дана классификация всех отраслей национальной экономики. Она позволяет сформировать (СНС). Классификация и группировка по отраслям национальной экономики позволяют определить объемы и вклад конкретной отрасли в общий и ВНП, охарактеризовать связи между отраслями и сформированные пропорции. Сформированная функциональная группа позволяет провести объективный анализ роли хозяйствующих субъектов в производстве национального богатства.

Количество отраслей, включенных в межотраслевой баланс, определяется конкретными его целями. Базовыми являются транспорт, связь, сельское хозяйство, производство. При необходимости отрасль национальной экономики может быть разделена на более мелкие отрасли, входящие в ее состав. Основания для отнесения единиц национальной экономики к определенной отрасли могут быть различными — схожесть технологического и производственного процесса, однородность необходимого сырья, характер производимой продукции.

Современная России характеризуется преобладанием (ТЭК). Он является одной из наиболее капиталоемких отраслей, в связи с чем происходит отток капитала от других отраслей. Ориентация ТЭК на международный рынок делает Россию зависимой от мирового колебания цен. В результате чего более половины ВВП страны формируется от продажи ресурсов. Преобладание добывающих отраслей экономики негативным образом сказывается на общих темпах развития национальной экономики. Доминирование ТЭК препятствует развитию наукоемких отраслей экономики.

Расчет межотраслевого баланса

Общая схема таблиц «Затраты-выпуск» представлена в таблице.

При составлении таблиц «Затраты-выпуск» используются классификаторы видов экономической деятельности, отраслей и продуктов (ОКВЭД) и (ОКПУД).

В таблицах выделяются три блока так называемых квадрантов. В I и II квадрантах отражаются соответственно промежуточный (производственный) и конечный спрос на ресурсы, в III квадранте — добавленная стоимость по отраслям производства.

Основное внимание в этих таблицах уделяется взаимосвязи отраслей по производству и использованию их продукции. В сказуемом таблицы приводятся отрасли-потребители продукции, в подлежащем — отрасли-поставщики.

Таким образом, по столбцам I и III квадрантов сумма промежуточного потребления и ДС представляет собой затраты на производство, а по строке I и II квадрантов сумма промежуточного и конечного спроса характеризует использование ресурсов.

Система таблиц «Затраты-выпуск», предлагаемая для разработки руководством ООН по национальным счетам 1993 г., включает в себя последовательность таблиц, характеризующих формирование ресурсов страны, направление их использования, образование добавленной стоимости, трансформацию стоимости товаров и услуг в основных ценах в стоимость в ценах покупателей.

Набор этих таблиц состоит из:

• таблиц ресурсов и использования;
• симметричных таблиц «Затраты-выпуск»;
• таблиц торгово-транспортных наценок;
• таблиц налогов и субсидий на продукты;
• таблиц использования импортной продукции.

Таблица «Ресурсы товаров и услуг», представленная в табл. 5.4, детально описывает процесс формирования ресурсов товаров и услуг по экономике страны за счет собственного производства и импорта.

Таблица «Ресурсов» состоит из двух частей. В первой части таблицы отражается формирование ресурсов товаров и услуг за счет собственного производства и импорта. Во второй части дается количественная характеристика основных компонентов рыночной цены покупателей: налоги (Н); субсидии (С), торго- во-транспортная наценка (ТТН).

Таблица «Использование» является логическим продолжением таблицы «Ресурсов». В ней дается подробная характеристика распределения располагаемых ресурсов по направлениям использования. Выделяется промежуточное (производственное) и конечное использование.

Таблица «Использование» строится по общей схеме таблиц «Затраты-выпуск», т.е. состоит из трех квадрантов и представляет собой вид «отрасль х продукт).

В I квадранте таблицы (табл. 6.5) показывается промежуточное потребление по столбцам — отраслей, по строкам — групп товаров и услуг.

Во II квадранте таблицы — конечное использование, которое подразделяется на следующие элементы:

• расходы на конечное потребление ДХ;
• расходы на конечное потребление некоммерческих организаций, обслуживающих ДХ;
• расходы на конечное потребление государственного управления;
• валовое накопление основного капитала;
• изменение запасов материальных оборотных средств; чистое приобретение ценностей;
• экспорт товаров и услуг.

Таблица 5.5. «Использование товаров и услуг»

В III квадранте таблицы «Использование» показывается образование добавленной стоимости по отраслям экономики. Основные компоненты ДС, выделяемые в этом квадранте, соответствуют компонентам счета образования доходов. Это: оплата труда наемных работников; валовой смешанный доход; другие чистые налоги на производство; потребление основного капитала; валовая прибыль; косвенно измеряемые услуги финансового посредничества.

В рамках СНС таблицы ресурсов и использования выполняют функции инструмента для согласования статистических данных, получения добавленной стоимости по отраслям, конечного спроса по продуктам, как в текущих, так и в сопоставимых ценах. Это достигается тем, что метод сопоставления этих таблиц предполагает согласование данных о располагаемых ресурсах (производство + импорт) с данными об использовании ресурсов по каждой группе товаров и услуг на достаточно высоком уровне детализации. Такой метод в статистике называется метод товарных потоков.

Симметричные таблицы «Затраты-выпуск» представляют собой таблицы по типу «продукт х продукт».

В этой таблице предполагается, что отрасль представляет собой совокупность однородных продуктов. В подлежащем и сказуемом I квадранта выделяется одинаковая номенклатура отраслей.

Симметричные таблицы «Затраты-выпуск» могут составляться двумя методами: путем непосредственного составления таблиц на основе специально проводимых обследований предприятий о структуре затрат продукции или посредством математической трансформации таблиц ресурсов и использования.

Покажем это на отвлеченном примере:

I этап (исходные данные)

Таблица 5.6. «Ресурсов»

Эти методы основаны на допущении об устойчивости отраслевой технологии или допущении об устойчивости технологии производства однородных продуктов. В условиях ограничений, формата пособия, рассмотрим алгоритм конвертации таблицы ресурсов и использования в симметричную матрицу на основе допущения об устойчивости отраслевой технологии производства.

Таблица 5.7. «Производственное использование»

Таблица5.8. «Структуры производства* (S)»

* С конвертацией таблицы подлежащего и сказуемого таблицы ресурсов.

По принятой гипотезе продукт i производится различными отраслями J. При этом каждая отрасль J затрачивает на производство всей своей продукции некоторое количество продукции q.

Таблица 5.9. Коэффициент прямых затрат (по таблице производственного использования) (К)

Для определения удельного расхода продукции на производство продукции находится средневзвешенная величина затрат продукции на производство продукции . В качестве весов при этом принимаются доли производства продукции отраслям в общем объеме производства продукции .

Математическая запись алгоритма проведения данного вычисления выглядит следующим образом:

• А — матрица коэффициентов прямых затрат продукции i на производство продукции J для симметричной таблицы «Затраты-выпуск»;
• К — матрица коэффициентов прямых затрат продукции I на производство продукции J;
• S — таблица структуры производства продукции.

В обратной матрице коэффициенты прямых затрат, рассчитанные по формуле a = Aij / Xj и представленные в форме матрицы, характеризуют объем различных прямых затрат на производство единицы продукции и не учитывают косвенных затрат, связанных с производством этой продукции.

Например, для производства автомобилей необходим металл, энергия, шины и т.д. В свою очередь, для производства металла требуется добыть рудное сырье, потратить некоторые средства на оплату услуг по его транспортировке к месту производства металла.

Практически каждый элемент затрат представляет собой продукцию, на производство которой затрачен целый перечень ресурсов. Одному циклу использования продукции предшествует другой, за ним третий цикл и т.п.

Таким образом, создается длинная цепочка взаимодействия производственных процессов. Если попытаться рассмотреть процесс производства любого продукта по всей производственной цепочке, то легко убедиться, что она практически бесконечна.

Определить объем полных затрат (прямых и косвенных) на производство продукта возможно на основе обратной матрицы. В экономической литературе ее часто называют матрицей Леонтьева. Формула исчисления этой матрицы выводится достаточно просто. Как уже говорилось выше, вектор выпуска продукции определяется по формуле:

(I — A) X = Y;

X = (I — A) -1 Y

I представляет собой единичную матрицу, диагональные значения которой равны единице (1), а остальные равны нулю (0).

(I — A) 1 — это и есть обратная матрица. Математическое решение этой задачи можно записать в следующем виде:

(I- A) -1 = I+A + A 2 + A 3 + ... + A n

При анализе межотраслевого взаимодействия методом «Затраты-выпуск» предполагается, что стимулом для увеличения спроса на продукцию является возрастание конечного спроса. Например, увеличивается спрос зарубежных стран на минеральное сырье. Такое допущение условно, поскольку повышение спроса на продукцию может возникнуть в результате различных обстоятельств. Вместе с тем, упрощение ситуации позволяет оценить влияние увеличения спроса на выпуск всей продукции с учетом всех межотраслевых взаимодействий.

Важной особенностью СНС является включение формулы «Затраты-выпуск» в общую структуру системы национальных счетов. Это касается в основном счетов товаров и услуг. Дополняя полную последовательность счетов для институциональных секторов, охватывающую все виды счетов в СНС, таблицы ресурсов и использования и симметричные таблицы позволяют обеспечить более детальный анализ отраслей и продуктов за счет разбивки счетов производства и образования доходов, а также счета товаров и услуг, что и приводит к составлению симметричной таблицы «Затраты-выпуск». «Симметричность» означает, что, как в строках, так и в столбцах, используются одинаковые классификации или единицы (т.е. одинаковые группы продуктов).

В СНС и экономическом анализе используются таблицы (или матрицы) «Затраты-выпуск» следующих видов:

• таблицы ресурсов и использования;
• симметричные таблицы (леонтьевские таблицы).

Квадратные симметричные таблицы построены по принципу «продукт — продукт», либо «отрасль — отрасль» («производитель — производитель»).

Институциональные единицы могут заниматься несколькими разными видами производственной деятельности одновременно. Поэтому для детального анализа СНС рекомендуется разбивать их на отдельные заведения, каждое из которых занимается только одним видом деятельности в одном месте. Следовательно, отрасли определяются как группы заведений, занимающихся одним и тем же видом производственной деятельности. В то же время необходимо учитывать принципиальное различие между основной и вторичной деятельностью, с одной стороны, и вспомогательной деятельностью, с другой:

• основная деятельность заведения — это деятельность, ВДС которой превышает ВДС любой другой деятельности, осуществляемой в рамках этой же единицы;
• вторичная деятельность — это деятельность, осуществляемая в рамках единого заведения в дополнение к основной деятельности;
• вспомогательная деятельность — это подсобная деятельность, предпринимаемая для создания условий, в которых могут осуществляться другие виды деятельности предприятия.

В результате вспомогательной деятельности обычно производится выпуск услуг, которые используются как факторы производства почти во всех видах производственной деятельности. Стоимость таких услуг, как правило, бывает невелика по сравнению со стоимостью результатов основной и вторичной деятельности предприятия. Поэтому вспомогательная деятельность рассматривается как неотъемлемая часть основной или вторичной деятельности, с которой она связана.

В процессе построения межотраслевого баланса требуется дезагрегирование счета товаров и услуг.

Счет товаров и услуг показывает соотношение между общим объемом имеющейся продукции (предложение) и общим объемом ее использования. Основные элементы исходного равенства (баланса) выражаются следующим образом: выпуск продукции + импорт (= все ресурсы) = промежуточное потребление + экспорт + конечное потребление + валовое накопление (= все использование).

Все стадии движения товаров и услуг в экономике прослеживаются от их первоначальных производителей до пользователей.

Детальное рассмотрение таких потоков принято называть методом товарных потоков. При этом используется исходная статистическая информация о товарах и услугах, а также дополнительные сведения, необходимые для надлежащей стоимостной оценки. Максимальная эффективность метода товарных потоков достигается в тех случаях, когда могут быть проведены независимые оценки по каждой из статей использования, т. е., когда за основу берется конкретная информация о распределении предложения продуктов между различными видами использования. При этом необходимо обеспечить согласование между стороной ресурсов и использования.

В таблицах представляются группы продуктов на основе классификации основных продуктов, и охватывается более 1800 товаров и услуг (пятизначный уровень) и около 300 продуктов (трехзначный уровень).

Стоимостная оценка и порядок учета налогов и наценок осуществляется по определенным правилам.

В СНС признаются следующие компоненты цены, уплачиваемой покупателем продукта:

• базисная цена продукта как результата производства;
• налоги на продукт;
• минус субсидии на продукт;
• торговые и транспортные наценки при доставке продукта покупателю.

Некоторые данные четырех компонентов поддаются дальнейшей разбивке, например, торговые и транспортные наценки могут рассматриваться в более дезагрегированном виде, в частности, путем подразделения этих наценок на отдельные торговые и розничные компоненты, а налог на добавленную стоимость (НДС) может выделяться в отдельный компонент.

Цена покупателя — это сумма, которая уплачивается покупателем (исключая НДС) за поставку единицы товара или услуги в установленный покупателем срок и место. Цена покупателя на товар включает любые транспортные расходы, отдельно оплаченные покупателем за поставку.

Цена производителя — это сумма, которая подлежит получению производителем от покупателя за единицу произведенной в виде товара или услуги продукции, минус любой НДС, начисленный на покупателя. Эта цена не включает никаких транспортных расходов, отдельно начисляемых производителем.

Базисная цена — это сумма, которая подлежит получению производителем от покупателя за единицу произведенной в виде товара или услуги продукции, минус любые подлежащие вычету налоги и плюс любые подлежащие получению субсидии по данной единице в связи с ее производством или реализацией. Эта цена не включает никаких транспортных расходов, отдельно начисляемых производителем.

Между этими тремя концепциями цен, играющими центральную роль при анализе таблицы «Затраты-выпуск», по определению, существуют следующие взаимосвязи:

• цена покупателя (которая включает не подлежащий вычету НДС) — торговые и транспортные наценки (включая налоги, кроме НДС, за вычетом субсидий на продукцию, подлежащие уплате / получению оптовыми и розничными торговцами), не подлежащие вычету налоги типа налогов на НДС = цена производителя (которая исключает не подлежащий вычету НДС);
• цена производителя — налоги (кроме НДС) за вычетом субсидий на продукцию, подлежащие уплате / получению ее производителями = базисная цена.

Для экспорта и импорта в СНС приняты аналогичные концепции цен: цена франко-борт (ФОБ) для экспорта и совокупного импорта и стоимость, страхование, фрахт (СИФ) для отдельных статей импорта. Разность между ценой ФОБ и ценой СИФ, издержки на транспортировку и страхование от границы страны-экспортера до границы страны-импортера и на оплату страхования на этом маршруте.

Цена СИФ — это цена товара, доставленного на границу страны-импортера, или цена услуги, оказанной резиденту, до
уплаты каких-либо импортных пошлин и иных налогов на импорт или торговых и транспортных наценок внутри страны.

Таблицы ресурсов и использования составляются с детализацией товарных групп (предложение товаров и услуг). Данные о продуктах показываются в строках, об отраслях — в столбцах. Таблицы не могут составляться самостоятельно, так как они взаимосвязаны с балансом.

В таблице использования СНС содержится информация о видах использования товаров и услуг, а также о структуре затрат в отраслях.

Межотраслевой баланс производства и распределения продукции и услуг представляет собой статистическую таблицу, в которой отражается взаимосвязь между валовой добавленной стоимостью, промежуточным потреблением и конечным использованием в отраслях экономики.

Из ВДС в МОБ выделяются следующие статьи:

Основным источником информации для определения объема и структуры расходов населения на покупку товаров являются данные статистики торговли о товарообороте, а также данные обследований ДХ.

МОБ детализирует счета товаров и услуг, обеспечивая органы управления информацией для построения межотраслевых
моделей, прогнозов, анализа функционирования отраслей, а также выявления роли отдельных факторов производства (например, зависимости экономики от энергоснабжения или от изменения цен на энергоносители).

Итоги ВДС по отраслям МОБ рассчитываются двумя методами:

• как разница между валовым выпуском и промежуточным потреблением;
• как сумма элементов добавленной стоимости.

Межотраслевой баланс широко используется для статистических целей, определения товарной структуры потоков, а также для проверки сбалансированности всей системы статистических данных, охватывающих различные аспекты экономического процесса.

Введение..................................................................................................... 3

1. Модель межотраслевого баланса............................................ 4

1. 1. Динамическая модель Леонтьева.................................................... 7

1. 2. Построение динамической модели Леонтьева............................. 12

2. Модель Неймана............................................................................... 16

Заключение............................................................................................. 20

Cписок литературы............................................................................. 21

Динамические модели экономики - модели, описывающие экономику в развитии (в отличие от статических, характеризующих ее состояние в определенный момент). Модель является динамической, если, как минимум, одна ее переменная относится к периоду времени, отличному от времени, к которому отнесены другие переменные.

В общем виде динамические модели экономики сводятся к описанию следующих экономических явлений: начального состояния экономики, технологических способов производства (каждый “способ” говорит о том, что из набора ресурсов x можно в течение единицы времени произвести набор продуктов y), а также критерия оптимальности.

Математическое описание динамических моделей экономики производится с помощью систем дифференциальных уравнений (в моделях с непрерывным временем), разностных уравнений (в моделях с дискретным временем), а также систем обыкновенных алгебраических уравнений.

С помощью динамических моделей решаются, в частности, следующие задачи планирования и прогнозирования экономических процессов: определение траектории экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов.

С точки зрения теоретического анализа большое значение приобрела динамическая модель фон Неймана. Что же касается практического применения динамических моделей экономики, то оно находится еще в начальной стадии: расчеты по модели, хотя бы сколько-нибудь приближающейся к реальности, чрезвычайно сложны. Но развитие в этом направлении продолжается. Используются, в частности, многоотраслевые (многосекторные) динамические модели развития экономики, к которым относятся динамические модели межотраслевого баланса, а также производственная функция, теория экономического роста.

Межотраслевое моделирование является частью макроэкономического

моделирования и служит для анализа и оценки состояния общего экономического равновесия национальной экономики. Национальная

экономика в межотраслевом балансе представлена рядом чистых отраслей,

связанных между собой финансовыми потоками от реализации продукции,

работ и услуг. Чистые отрасли – это условные отрасли, представляющие

производство одного или нескольких однородных продуктов.

Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай динамических моделей экономики; основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения межотраслевых связей во времени на основе отдельных показателей: напр., капитальных вложений и основных фондов (что позволяет создать преемственность между балансами отдельных периодов).

Основные предположения модели межотраслевого баланса:

· каждая отрасль выпускает ровно один продукт

· каждый продукт выпускается ровно одной отраслью

Число продуктов равно числу отраслей

Измерять интенсивность работы отрасли можно объёмом выпуска соответствующего продукта

· затраты любого продукта в каждой отрасли прямо пропорциональны её интенсивности

Межотраслевой баланс представляет собой экономико-математическую модель, образуемую перекрестным наложением строк и колонок таблицы, то есть балансов распределения продукции и затрат на ее производство, увязанных по итогам. Главные показатели здесь – коэффициенты полных и прямых затрат.

Динамическая модель межотраслевого баланса характеризует производственные связи народного хозяйства на ряд лет, отражает процесс воспроизводства в динамике. По модели межотраслевого баланса выполняются два типа расчетов: первый тип, когда по заданному уровню конечного потребления рассчитывается сбалансированный объем производства и распределения продукции; второй тип, включающий смешанные расчеты, когда по заданным объемам производства по одним отраслям (продуктам) и заданному конечному потреблению в других отраслях рассчитывается баланс производства и распределения продукции в полном объеме.

Наибольшее распространение получила матричная экономико-математическая модель межотраслевого баланса. Она представляет собой прямоугольную таблицу (матрицу), элементы которой отражают связи экономических объектов. Количественные значения этих объектов вычисляются по установленным в теории матриц правилам. В матричной модели отражается структура затрат на производство и распределение продукции и вновь созданной стоимости.

Таблица межотраслевого баланса производства и распределения

продукции,работ и услуг

В первом квадранте отражены данные о взаимных поставках продукции,

работ, услуг между отраслями. Первый квадрант называется квадрантом

промежуточного потребления и характеризует промежуточное потребление

(затраты) или промежуточный спрос отраслей при производстве продукции,

работ, услуг:

X ij – стоимость продукции i -й отрасли, поставленной в j -ю отрасль в

течение года, или стоимость продукции i -й отрасли, потребленной j -й

отраслью в течение года;

i -я строка – промежуточное потребление продукции i -й отрасли всеми

отраслями;

j -й столбец – потребление (затраты) в j -й отрасли продукции всех

отраслей при производстве своей продукции;

X i – стоимость валового продукта, произведенного i -й отраслью в

течение года.

Второй квадрант называется квадрантом конечного использования

(потребления) или конечного спроса. В нем представлено конечное использование продукции отраслей, распределенное на конечное потребление (С i ), инвестиции (I i ), экспорт (E i ) и импорт (M i ), сальдо во внешней торговле (E i – M i ). Конечное потребление включает потребление домашних хозяйств (населения), государства и некоммерческих организаций.

Третий квадрант называется квадрантом добавленной стоимости. В нем

представлена добавленная стоимость, присоединенная в отраслях к затратам

продукции других отраслей при производстве продукции, работ, услуг.

Добавленная стоимость, произведенная в отраслях народного хозяйства,

включает: оплату труда (V j ), амортизацию (потребление основного капитала)

(C j ), чистый доход (m j ). Четвертый квадрант не заполняется.

В состав отраслей в МОБ входят отрасли материального производства:

промышленность (энергетика, машиностроение, легкая и пищевая

промышленность, строительство, сельское хозяйство) и отрасли

нематериальных услуг (жилищно-коммунальное хозяйство, банковская сфера, здравоохранение, образование, наука и др.). В реальный межотраслевой баланс входит около 30 отраслей. Межотраслевой баланс за прошедший год называется отчетным межотраслевым балансом.

Межотраслевой баланс известен в науке и практике как метод “затраты – выпуск”, разработанный В.В. Леонтьевым. Этот метод сводится к решению системы линейных уравнений, где параметрами являются коэффициенты затрат на производство продукции. Коэффициенты выражают отношения между секторами экономики (коэффициенты текущих материальных затрат), они устойчивы и поддаются прогнозированию. Решение системы уравнений позволяет определить, какими должны быть выпуск и затраты в каждой отрасли, чтобы обеспечить производство конечного продукта заданного объема и структуры. Для этого составляется таблица межотраслевых потоков товаров. Неизвестными выступают выпуск и затраты товаров, произведенных и использованных в каждой отрасли. Их исчисление с помощью коэффициентов и означает объемы производства, обеспечивающие общее равновесие. В случае выявления диспропорции с учетом заказов потребителей, в том числе и государственных, составляется план-матрица выпуска всех видов материальных благ и затрат на их производство.

Метод “затраты – выпуск” стал универсальным способом прогнозирования и планирования в условиях, как рыночной, так и директивной экономики. Он применяется в системе ООН, в США и других странах для прогнозирования и планирования экономики, структуры производства, межотраслевых связей.

В динамических моделях отражается процесс развития экономики. В них

производственные капитальные вложения выделяются из состава конечной

продукции, исследуется их структура и влияние на рост объема производства.

Схема динамического межотраслевого баланса представлена в таблице

Таблица содержит две матрицы. Элементы второй матрицы показывают, какое количество продукции i -й отрасли направлено в текущем периоде в j -ю отрасль в качестве производственных капитальных вложений в основные и оборотные средства.

В динамической схеме конечный продукт у i включает продукцию i- й отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление

непроизводственной сферы, незавершенное строительство, на экспорт. Все

показатели даны в стоимостной форме.

В таблице выполняются следующие балансовые соотношения:

Межотраслевые потоки капитальных вложений относятся к периоду

(t- 1,t ). Динамика задается дополнительными соотношениями:

Экономический смысл коэффициентов ϕ ij = Кij /ΔХj следующий: они

показывают, какое количество продукции i -й отрасли должно быть вложено в

j -ю отрасль для увеличения выпуска ее продукции на единицу в

рассматриваемых единицах измерения. Коэффициенты ϕ ij называются

коэффициентами капитальных вложений или коэффициентами приростной

фондоемкости. Систему уравнений (1) с учетом (2) можно записать как:

Представим (3) в матричном виде:

(4)

Из (4) следует, что

Модель (3) называется дискретной динамической моделью межотраслевого баланса Леонтьева. Система уравнений (3) представляет собой систему линейных разностных уравнений 1-го порядка. Для исследования данной модели надо задать в начальный момент времени векторы X (0 ) и Y (t ) для t = 1, 2, …, T. Решением модели будут значения векторов X (t ), K (t ), t = 1, 2, …, T.

Условием разрешимости системы (3) относительно вектора Х (t ) является требование det (E − A − Ф ) ≠ 0

В данной модели предполагается, что прирост продукции в периоде

(t – 1, t ) обусловлен капиталовложениями, произведенными в том же периоде.

Для коротких периодов это предположение нереально, т.к. существуют

отставания во времени (временные лаги) между вложением средств в

производственные фонды и приростом выпуска продукции. Модели,

учитывающие лаги капитальных вложений, образуют особую группу

динамических моделей межотраслевого баланса.

Если перейти к непрерывному времени, то уравнения (3) перепишутся в виде системы дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами:

(6)

Для ее решения помимо матриц коэффициентов текущих прямых

материальных затрат A = (a ij ) и коэффициентов капитальных затрат Ф = (ϕij )

необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени

t = 0 (x (0)) и закон изменения величин конечного продукта y (t ) на отрезке .

Решением системы уравнений (6) будут значения вектор-функции x (t )

на отрезке . Условием разрешимости системы (6) является det Ф ≠ 0 .

Более общей динамической межотраслевой моделью является модель,

учитывающая производственные мощности отраслей. Она представлена ниже в виде следующих соотношений:

(7)

(9)

Состояние экономики в году t характеризуется в динамике следующими

переменными:

Х t – вектор-столбец валовых выпусков отраслей;

v t –вектор ввода отраслевых мощностей;

γ − диагональная матрица выбытия мощностей;

x t – вектор-столбец отраслевых мощностей (максимально возможных выпусков);

l t = (l 1 , l 2 ,..., l n )t вектор трудоемкости отраслевых производств, может зависеть от времени;

L t – объем трудовых ресурсов в экономике.

Время в модели дискретно и изменяется через промежутки, равные году

(t = 1, 2, …, T ). Коэффициенты матрицы прямых затрат А = ║аij║ и матрицы

капиталоемкости прироста производственных мощностей Ф = ║фij║ могут

зависеть от времени. Экзогенно заданы вектор-функция Y t и числовая функция L t . Решением модели являются векторы Х t и x t , удовлетворяющие системе неравенств (7)-(10).

Неравенства (7) показывают, что вектор валового продукта X t должен

обеспечивать текущие производственные затраты AХ t , затраты продукции на

ввод производственных мощностей ФV t и на непроизводственное потребление Y t. Неравенства (8) ограничивают валовые выпуски отраслей наличными мощностями, неравенства (9) представляют собой отраслевые балансы изменения производственных мощностей с учетом их выбытия и ввода, неравенства (10) показывают, что общая занятость ограничена имеющимися трудовыми ресурсами.

Определим величины, характеризующие изменения валового выпуска 5 отраслей по 7 временным интервалам.

Теперь воспроизведем матрицу D. Коэффициент d ij матрицы D равен количе­ству продукции отрасли i, необходимой для увеличения на единицу (в стоимост­ном выражении) фонда отрасли j. Коэффициенты d ij именуются ко­эффициентами капиталоемкости приростов ОПФ.

Построим матрицу К коэффициентов капитальных затрат или капи­тальных коэффициентов.

Теперь определим

Пусть Ф 0 =0,

(Матрица А - матрица прямых затрат)

Итак, мы имеем первый вектор

Аналогичным образом получаются таблицы для t = 2, 3, 4, 5, 6.

В модели Неймана представлены n продуктов и m способов их

производства. Каждый j- й способ задается вектор-столбцом затрат продуктов

a j и вектор-столбцом выпусков продуктов b j в расчете на единицу

интенсивности процесса:

(1)

Это означает, что при единичных интенсивностях j -го производственного процесса потребляется вектор продуктов a j и производится продуктов b j . Векторы (1) рассматриваются в натуральных единицах или в постоянных ценах.

Из векторов затрат и выпуска образуются матрицы затрат А и выпусков

В с неотрицательными коэффициентами затрат a ij и выпусков b ij :

Матрицы А и В обладают следующими свойствами:

1) a ij ≥0 ,b ij ≥0,т.е. все элементы матриц неотрицательны;

2) что означает: в каждом из m способов

производства потребляется хотя бы один продукт;

3) что означает: каждый продукт

производится хотя бы одним способом производства;

Таким образом, каждый столбец матрицы А и каждая строка матрицы В

должны иметь по крайней мере один положительный элемент.

Через Х (t ) обозначим вектор-столбец интенсивностей

Тогда AX (t ) – вектор затрат, BX (t ) – вектор выпусков при заданном

векторе Х (t ) интенсивностей процессов.

Модель Неймана является обобщением динамической модели

межотраслевого баланса Леонтьева, поскольку допускает производство одного продукта несколькими способами производства, и совпадает с ней, если В = Е.

В модели Неймана имеют место следующие соотношения:

(2)

Соотношения (2) означают, что при производстве продукции в году

(t + 1) расходуется продукция, произведенная в году t.

Вектор p (t )=(p 1 (t ), p 2 (t ),..., p n (t ))≥0 называется вектором цен

продуктов, произведенных в году t , если он удовлетворяет следующим соотношениям:

(3)

Если коэффициенты матриц А и В – стоимостные величины в постоянных ценах, то р (t ) будет вектором индексов цен.

Первое векторное неравенство в (3) означает, что стоимость выпуска

продукции для каждого технологического способа производства в году t + 1 не может быть больше стоимости затрат в ценах года t.

Из (2) и (3) следует, что имеют место следующие соотношения:

(4)

Первое соотношение в (4) означает, что цена i -го продукта в году t равна нулю, если его выпуск в году t будет больше его затрат в году (t + 1).

Второе соотношение (4) означает, что j -й технологический процесс в году t не будет применяться (интенсивность равна нулю), если стоимость затрат по нему в году t больше стоимости его выпуска в году (t + 1).

Определение. Векторы Х (t ) и p (t ), t = 1, 2, …, T называются траекторией

сбалансированного роста в модели Неймана, если они удовлетворяют

условиям:

(5)

Здесь λ − темп, ρ − норма процента сбалансированного роста.

Из (5) следует, что в состоянии сбалансированного роста значения компонент вектора Х (t ) пропорционально возрастают, а вектора p (t ) снижаются. При этом имеют место соотношения:

(6)

где Х (0) и р (0) – начальные значения векторов в году t = 0.

Из (5), (6) следует, что на траектории сбалансированного роста должны выполняться соотношения.

(7)

Вопрос о существовании траекторий сбалансированного роста решается

следующими теоремами.

Первая теорема Неймана . Если матрицы А и В удовлетворяют

свойствам 1-3, то система неравенств (7) имеет решение X (t), p (t),λ ,ρ ,

т.е. в модели Неймана существуют траектории сбалансированного роста.

Вторая теорема Неймана. Существует решение X * (t ), p * (t ),λ * ,ρ *

системы (7), у которого будет максимальный темп роста λ * ≥λ и

минимальная норма процента ρ * ≤ ρ по сравнению с другими решениями.

При этом выполняется соотношение:

(8)

Данное решение называется магистралью , или траекторией

максимального сбалансированного роста в модели Неймана.

Модель Неймана является невычислимой, чисто теоретической моделью. Выход к практическим результатам осуществляется через динамическую модель В. Леонтьева, являющуюся частным случаем модели Неймана. Цены, полученные на основе динамического баланса, обладают свойствами цен модели Неймана. Модель Леонтьева использует данные динамического межотраслевого баланса. На основе динамического баланса также возможно построение неймановского луча максимального сбалансированного роста экономики и вычисление цен, соответствующих этому лучу, которые отражают альтернативную стоимость. Отличие динамической межотраслевой модели от модели Неймана состоит в том, что она базируется на предположении, что в каждой отрасли возможен один и только один производственный процесс. Таким образом, выбор решения по каждой отрасли сводится лишь к определению интенсивности производственного способа.

В заключение отметим, что с помощью межотраслевого баланса решают

следующие задачи:

1. По таблице межотраслевого баланса найти матрицу прямых и полных затрат.

2. Задав вектор конечной продукции, определить вектор валовой продукции.

3. Задав вектор валовой продукции, определить вектор конечной продукции.

4. При новых значениях добавленной стоимости найти индексы цен и построить новую таблицу межотраслевого баланса.

5. Найти векторы валового выпуска, добавленной стоимости, затрат,

доли затрат и добавленной стоимости в валовом продукте, межотраслевые

поставки продукции, составить таблицу межотраслевого баланса.

Аналитический метод «затраты-выпуск» наполнил практическим содержанием теорию общего экономического равновесия, он способствовал усовершенствованию математического аппарата. Метод Леонтьева отличает ясность и простота, универсальность и глобальность, другими словами пригодность для экономики отдельных стран и регионов, для мирового хозяйства в целом.

Модель Леонтьева "Затраты-выпуск" строится на основе схемы межотраслевого баланса в предположении о том, что каждая отрасль выпускает один и только свой продукт с использованием продуктов остальных отраслей и посредством линейной технологии. Она помогает анализировать перетоки товаров между отраслями и отвечает на вопрос: можно ли в условиях данной технологии удовлетворить конечный спрос населения на товары?

Магистральная траектория - это луч Неймана. Основным вопросом магистральной теории является анализ близости траекторий оптимизационных моделей к соответствующим магистралям. Оптимальные траектории в динамических моделях Леонтьева и Неймана обладают такими свойствами при выполнении некоторых дополнительных условий.

1. Колемаев В.А. "Экономико-математическое моделирование" ЮНИТИ-ДАНА, 2005 295 с.

2. Поттосина С. А., ЖуравлевВ. А. " Экономико-математические модели и методы" Учебное пособие для студентов экономических специальностей, 2003. – 94 с.

3. Экономико-математические модели и методы / Под общей ред. А.В. Кузнецова. – Мн.: БГЭУ, 2000.

4. http://slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0879.htm

5. http://www.sseu.ru/edumat/v_mat/course2/razd10_2/par10_4k2.htm

3. Модель межотраслевого баланса Леонтьева

3.1. Описание модели межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс в экономике – это метод анализа взаимосвязей между различными секторами экономической системы.

Предположим, что исследуемую экономическую систему можно разделить на несколько отраслей (секторов), производящих определенные товары и услуги (например: сельское хозяйство, промышленность, транспорт, энергетика и т. п.). При производстве товаров и услуг в каждом секторе расходуются ресурсы в виде сырья, рабочей силы, оборудования и др., которые производятся как в других секторах хозяйства, так и в данном секторе. Это означает, что каждый сектор экономики выступает в системе межотраслевых связей одновременно производителем и потребителем.

Цель балансового анализа – определить, сколько продукции должен произвести каждый сектор для того, чтобы удовлетворить все потребности экономической системы в его продукции.

Рассмотрим упрощенную модель межотраслевого баланса – баланс экономики, состоящей из трех отраслей – сельского хозяйства, промышленности и домашних хозяйств. В качестве единицы измерения объемов товаров и услуг каждого сектора выберем их стоимость. Предположим, что вся продукция сельского хозяйства составляет 200 денежных единиц, из них 50 единиц потребляется внутри самой отрасли, 40 единиц – в промышленности и 110 единиц – в домашних хозяйствах. Продукция промышленности составляет 250 единиц, из них 70 единиц потребляются в сельском хозяйстве, 30 единиц – в промышленности и 150 – в домашних хозяйствах. Домашние хозяйства производят 300 единиц продукции, из них 80 единиц потребляются в сельском хозяйстве, 180 – в промышленности и 40 – внутри самого сектора. Эти данные можно свести в таблицу межотраслевого баланса.

Таблица 3.1 .

Таблица межотраслевых связей

Данной таблицей представлена экономическая система, в которой все отрасли являются производящими, вся произведенная продукция потребляется этими же производящими отраслями. Такая модель межотраслевых связей называется замкнутой . В замкнутой модели объем затрат каждого сектора (сумма элементов в столбце таблицы) равен объему произведенной продукции (сумма элементов в соответствующей строке).

Таблицы межотраслевого баланса описывают потоки товаров и услуг между отраслями экономики в течение фиксированного промежутка времени, например в течение года.

Обозначим через B = {b i , j }, где I = 1, …, n, j = 1, …, n, матрицу, элемент которой b i , j – это количество товаров и услуг i-ой отрасли экономики А = {а i , j }, потребляемое в j-ой отрасли. В замкнутой экономической системе баланс между совокупным выпуском и затратами каждой отрасли можно описать равенствами:, где k = 1, …, n. Матрица В называется матрицей межотраслевого баланса, или матрицей Леонтьева.

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей, в которой вся произведенная продукция (совокупный продукт) разделяется на две части: одна часть продукции (промежуточный продукт) идет на потребление в производящих секторах, а другая часть (конечный продукт) потребляется вне сферы материального производства – в секторе конечного спроса.

Обозначим:

x j – объем выпуска i-й отрасли;

b i , j – объем продукции i-ой отрасли, потребляемой в j-ой отрасли;

c i – конечный продукт, т. е. объем потребления продукции i-ой отрасли в непроизводственной сфере;

– количество продукции i -ой отрасли, которое расходует ся на производство одной единицы продукции j-ой отрасли. Числа a i , j называются коэффициентами прямых затрат j-ой отрасли и характеризуют технологию этой отрасли.

Межотраслевой баланс – это равенство объема выпуска каждой производящей отрасли суммарному объему ее продукции, потребляемой производственными отраслями и отраслью конечного спроса, т. е.

или
или
, i = 1… n .

Последние равенства описывают технологию производства и структуру экономических связей и означают, что в отрасль конечного спроса поступает та часть произведенной продукции, которая осталась после того, как обеспечены потребности производящих отраслей.

Для дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем два важных предположения:

Сложившуюся технологию производства считаем неизменной, таким образом матрица А = {а i , j } постоянна.

Пусть Х = {x i } – вектор объемов производства в отраслях, тогда А. Х – потребляемые объемы продукции этих отраслей, таким образом, вне производственной сферы – на потребление остается только Х – А. Х. Назовем экономику высокоэффективной, если А. Х  С, т. е. в производственной сфере тратится меньше, чем в сфере потребления.

3.2. Продуктивность модели Леонтьева

Пусть потребность непроизводственной сферы выражается вектором спроса, т. е. вектором С, вектор выпуска – вектором Х, структурная матрица экономики, т. е. матрица, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат, – матрицей А, то соотношение баланса в матричной форме будет иметь вид: С = Х – А. Х или С = (Е – А) . Х, где Е – единичная матрица.

Одна из основных задач межотраслевого баланса – найти при заданной структурной матрице экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск, необходимый для удовлетворения заданного спроса. То есть необходимо найти вектор производства, удовлетворяющий уравнению баланса, при этом, учитывая экономическую интерпретацию, этот вектор производства должен быть неотрицательным. Поэтому говорят, что модель Леонтьева продуктивна, если уравнение X – AX = C имеет неотрицательное решение для любого С ³ 0, т. е. матрица А позволяет произвести любой неотрицательный вектор потребления.

Теорема . Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна, если и только если существует неотрицательная матрица, обратная к Е – А.

В самом деле, пусть Е – A имеет обратную матрицу и эта матрица (Е – А) -1 неотрицательна, тогда Х = (Е – А) -1 С и, поскольку С ³ 0, то и Х ³ 0.

Рассмотрим еще один критерий продуктивности. Пусть модель Леонтьева задана матрицей размерами n × n. Обозначим через N множество {1, …, n}. Пусть SÍN (S – подмножество N). Говорят, что подмножество S изолировано, если a ij = 0, всякий раз, когда jÎS, iÎN\S (N без S, т. е. N-S). Понятие изолированности подмножества S допускает прозрачную экономическую интерпретацию: отрасли, номера которых принадлежат S, не используют товары, производимые в отраслях с номерами, не принадлежащими S.

Матрица называется неразложимой, если в ней нет изолированных подмножеств, кроме S = N или S = Ø (пустое множество). Понятие неразложимости также имеет прозрачный экономический смысл: любая отрасль использует, хотя бы косвенно, продукцию всех отраслей. Ведь если a ij ¹ 0, то j-я отрасль непосредственно использует продукцию i-й отрасли. Но если даже a ij = 0, т. е. j-я отрасль не использует продукцию i-й отрасли непосредственно, все равно при неразложимой матрице от данной отрасли до любой другой можно найти цепочку отраслей, использующих продукцию друг друга.

Для неразложимых матриц условие продуктивности выглядит так: если сумма элементов каждой строки не больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева с этой матрицей продуктивна.

Для продуктивности действительно есть основания: продукции каждой отрасли хватает для нужд самого производства, более того, есть отрасль, продукция которой даже остается на потребление, а неразложимость, т. е. взаимосвязанность всех отраслей, позволяет надеяться на то, что этот остаток может преобразоваться в остатки на потребление и продукции других отраслей.

Для матрицы А число l называется собственным числом, если найдется ненулевой вектор Y, такой, что AY = lY. Такой вектор также называется собственным вектором, отвечающим данному собственному числу l (вектор Y не определяется по l однозначно – всякий вектор, ему пропорциональный, также будет собственным вектором, отвечающим этому же собственному числу l).

Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна, если и только если матрица имеет собственное число l А <1, которое к тому же является наибольшим по модулю из всех собственных чисел матрицы.

3.3. Прямые и полные затраты в модели Леонтьева

Напомним, что модель задается матрицей А прямых затрат. В этой матрице a ij – количество единиц продукции, расходуемой на изготовление, производство одной единицы продукции j-й отрасли. Числа a ij называются коэффициентами прямых затрат j-й отрасли и характеризуют технологию этой отрасли. Пусть Х = (x j) обозначает вектор валового производства, тогда АХ есть израсходованные в процессе производства ресурсы и для непроизводственной сферы остается С = Х – АХ.

Обозначим D = (E – A) -1 . Запишем выражение компонент вектора Х через компоненты вектора конечного спроса С:

,

тогда становится понятным, что элемент d ij матрицы (Е–А) -1 показывает, на сколько нужно увеличить выпуск i-й отрасли x i при увеличении на единицу конечного спроса c j на продукцию j-й отрасли.

Матрица D = (E–A) -1 называется матрицей полных затрат.

В экономической системе с заданной структурной матрицей А спрос всегда удовлетворяется, если для любого вектора спроса С существует вектор выпуска.

3.4. Цены в системе межотраслевых связей

Цены в открытой системе межотраслевых связей определяются из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что цена единицы продукции производящего сектора должна быть равна совокупным издержкам производства в расчете на единицу выпущенной в этом секторе продукции. В издержки входят не только плата за ресурсы, приобретенные в данной отрасли и других отраслях, но и добавленная стоимость (зарплата, прибыль предпринимателей, правительственные налоги и др.).

Обозначим:

v i – суммарные платежи за одну единицу произведенной i-м сектором продукции;

p j – цена единицы продукции j-го сектора;

b i , j – объем товаров и услуг i-го сектора, потребляемых при производстве продукции в j-м секторе.

Тогда
, но поскольку b ij = a ij . x j , то
.

Разделив на ненулевые x i , получим для искомых цен систему уравнений:

.

В матричной форме система уравнений для цен имеет вид: (Е–А) Т. Р = V, где А – структурная матрица экономики; V – заданный вектор платежей; Р – искомый вектор цен. Тогда цены Р можно найти по формуле Р = ((Е–А) Т) -1 V, или, что то же самое Р = ((Е–А) -1) Т V. Аналитические выражения цены Р через платежи имеют вид:

.

Из приведенных равенств видно, что элемент d ij матрицы (Е–А) -1 = D показывает, как изменится цена р i единицы продукции i-го сектора при изменении на единицу платежа v j в j-м секторе.

Поскольку Х Т V = X T (Е–А) Т P = ((Е–А)X) T = C T P, то для рассмотренной модели межотраслевого баланса справедливо тождество:

.

Левая часть этого тождества равна общей сумме добавленных стоимостей, выплачиваемых в сектор конечного спроса, а правая часть – суммарная стоимость продукции, поставленной производственными секторами в сектор конечного спроса. Другими словами, приведенное тождество подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода.

3.5. Простейшая модель экспорта-импорта модели Леонтьева

Рассмотрим открытую систему межотраслевых связей на государственном уровне. Если экономика государства перестает быть самообеспечивающейся и государство начинает импортировать и экспортировать продукцию производственных секторов, в то время как сектор конечного спроса потребляет то же количество продукции производственных секторов, то устанавливается новый баланс между затратами и выпуском. Структурная матрица экономики А, а следовательно, и матрица D = (E–A) -1 остаются прежними, изменяется конечный спрос. К величине платежей в сектор конечного спроса каждого сектора нужно добавить объем экспорта и вычесть из него объем импорта: С к = С к + EI к, к = 1, …, n. Здесь С к – объем конечного продукта к-го сектора при наличии экспорта импорта, С к – неизменившийся конечный спрос на продукцию к-го сектора, EI к – объем экспорта (EI к > 0) или импорта (EI к < 0) продукции к-го сектора. Таким образом, в таблице межотраслевого баланса (табл. 3.2) столбец сектора конечного спроса разбивается на три столбца: столбец заданного конечного спроса, столбец экспорта-импорта и столбец конечного продукта, причем каждый элемент последнего из этих столбцов равен сумме соответствующих чисел в предыдущих двух.

Таблица 3.2 .

Таблица межотраслевых связей с учетом экспорта-импорта

Выпуск Х вычисляется по формуле Х = (Е–А) -1 С, где С = С + EI, С – неизменившийся конечный спрос, EI – объем экспорта-импорта, А – структурная матрица экономики. Вычислив вектор выпуска Х, можно найти по формуле b ij = a ij . x j элементы матрицы нового межотраслевого баланса В.

3.6. Задачи

1. Пусть экономическая система разбита на три отрасли. Использо вание продукции этих отраслей в них таково:
. Выпуск отраслей задан вектором

... Теоретические и прикладные аспекты случайных... , Л. Якокки, применения экономико -математических моделей в маркетинге – в... моделей и моделей марковских процессов / М. Б. Ермолаев, С. М. Комолов // Проблемы экономики , финансов и управления производством ...

Модели межотраслевого баланса (МОБ) используются для анализа и планирования обмена продукцией между отраслями народного хозяйства.

В модели МОБ рассматривается система, которая состоит из нескольких экономических объектов, называемых отраслями. Например, все народное хозяйство может быть представлено в виде системы двух отраслей – промышленности и сельского хозяйства. Сельское хозяйство можно представить как совокупность растениеводства и животноводства. Деление на отрасли можно выполнить и для более мелких систем, таких как некоторое конкретное производство. Каждая отрасль выпускает продукцию, часть которой потребляется другими отраслями, а другая часть выводится за пределы системы в качестве ее конечного результата. Таким образом, каждая отрасль рассматривается одновременно и как производящая, и как потребляющая. Баланс производимой продукции представляется в виде таблицы (табл.5.1).

Таблица 5.1. Общая схема межотраслевого баланса.

Валовой продукцией отрасли называется вся произведенная этой отраслью продукция. Обозначим ее X 1 , X 2 , …, X n . Валовую продукцию каждой отрасли можно представить как сумму двух составляющих: промежуточной и конечной продукции.

Промежуточную продукцию потребляют все отрасли для нужд своего производства. Обозначим x ij – объем продукции, произведенной в i – ой отрасли и потребленной в j – ой отрасли.Например, x 21 – количество продукции второй производящей отрасли, которое потребила первая отрасль. Таким образом, продукция второй отрасли явилась сырьем для первой, переработав которое, первая отрасль смогла произвести своей валовой продукции в количестве X 1 .

Конечной продукцией отрасли называется та часть произведенной ею продукции, которая выходит за пределы системы отраслей (на внешнее потребление, на рынок, в другие системы). Обозначим ее Y 1 , Y 2 ,…, Yn.

Если рассмотреть схему МОБ по строкам, то, очевидно, что для каждой производящей отрасли ее валовая продукция равна сумме промежуточной и конечной продукции. Так, например, для первой производящей отрасли можно записать: =

Для любой производящей отрасли справедливо равенство:

(5.1)

Одной из основных задач балансовых моделей является определение объемов валовой продукции каждой отрасли на новый планируемый период X i пл при заранее заданных (запланированных) объемах конечной продукции Y i пл с учетом установившихся пропорций взаимного потребления продукции отраслями.

Величина

(5.2)

называется коэффициентом прямых материальных затрат и показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо для производства единицы продукции j – ой отрасли.

В моделях МОБ принимается допущение , что величина постоянна (т.е. одинакова как в отчетном, так и в планируемом периоде). Поэтому коэффициенты прямых материальных затрат рассчитываются по отчетным данным, а затем используются для определения неизвестных величин в планируемом периоде.

Из равенства (5.2) выразим можно записать выражение для x ij : . Подставим его в систему уравнений (5.1) и получим:

(5.3)

Соотношение (5.3) называется экономико-математической моделью межотраслевого баланса или моделью Леонтьева. На основе этой модели можно найти объемы валовой продукции, зная запланированные объемы конечной продукции, и наоборот.

Пример 5.1. Пусть за отчетный период (январь) имеется двух отраслевой баланс продукции (табл.5.2).

Таблица 5.2. Пример межотраслевого баланса.

На планируемый период (февраль) заданы объемы конечной продукции: =108 и =192

Требуется найти такие объемы валовой продукции каждой отрасли на планируемый период, которые обеспечат заданный выпуск конечной продукции.

Решение.

1. Поясним еще раз смысл данных в условии величин. Первая отрасль произвела 200 единиц продукции. Из них 90 единиц (конечная продукция первой отрасли) вышли за пределы системы (например, были проданы на рынке). Число 90, которое стоит на пересечении первой строки и второго столбца, означает то количество продукции первой отрасли, которое она отдала второй отрасли на переработку. А число 20 – это количество продукции первой отрасли, которое она переработала сама (например, ее продукцией является электроэнергия, которую она сама потребляет наравне с другими отраслями). Таким образом, для первой производящей отрасли можно записать условие баланса:

Аналогично, вторая отрасль произвела 300 единиц продукции, 160 из которых были проданы на рынке, 80 отданы на переработку первой отрасли, а 60 единиц своей продукции вторая отрасль переработала сама:

300= 80+60+160.

2. Найдем коэффициенты прямых материальных затрат по формуле (5.2):

Для расчета этих коэффициентов весь первый столбец (т.е. то, что потребляла первая отрасль) делится на объем валовой продукции, произведенный этой первой отраслью. А весь второй столбец делится на объем валовой продукции второй отрасли.

Рассмотрим смысл этих коэффициентов на примере . Промежуточная продукция есть количество продукции, произведенной первой отраслью, и отданной на потребление во вторую отрасль. Вторая отрасль эту продукцию переработала и произвела единиц своей продукции. Отношение этих величин показывает норму расхода продукции первой отрасли на производство единицы продукции второй отрасли.

Аналогично можно провести рассуждение для всех коэффициентов .

Составим систему уравнений на основе модели Леонтьева:

X 1 = 0,1* X 1 +0,3* X 2 + Y 1

X 2 = 0,4* X 1 +0,2* X 2 + Y 2

Подставим вместо Yi запланированные объемы конечной продукции и найдем соответствующие объемы валовой продукции, решив систему.

Межотраслевой баланс (МОБ, метод «затраты-выпуск») -- экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.

Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.

В межотраслевом балансе расположены три квадранта. В первом отражается промежуточное потребление и система производственных связей, во втором - структура конечного использования ВВП, в третьем - стоимостная структура ВВП.

Теоретические основы межотраслевого баланса были разработаны в СССР в 1923--1924 гг. В 30-е гг. для изучения американской экономики американский экономист Василий Леонтьев применил метод анализа межотраслевых связей с привлечением аппарата линейной алгебры. Метод стал известен под названием «затраты -- выпуск».

Балансовый метод применяется для анализа, нормирования, прогноза, планирования производства и распределения продукции на различных уровнях - от отдельно предприятия до народного хозяйства в целом. Характерные черты и особенности этого метода описываются с помощью матричных моделей баланса. К этим моделям относят межотраслевые балансы районов республик и народного хозяйства в целом, межпродуктовые балансы в натуральном выражении, матричные модели трудоемкости и фондоемкости продукции, модели промфинплана предприятий. Все эти модели построены по единой матричной схеме, которую удобнее всего рассмотреть на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве.

В модели межотраслевого баланса предполагается, что народное хозяйство состоит из множества отраслей, каждая из которых производит преимущественно один какой-либо продукт или оказывает определенные услуги. В процессе производства одна отрасль использует продукцию другой отрасли (сырье, материалы, оборудование, топливо, энергию, услуги) и между ними неизбежно возникают взаимные потоки товаров и услуг. Сложившаяся в соответствии с потребностями отраслей структура потоков товаров и услуг отражается в математической модели межотраслевого баланса системой уравнений следующего вида:

х 1 = х 11 + х 12 + … + х 1n + 0у 1;

х 2 = х 21 + х 22 + … + х 2n + у 2;

………………………………………………

х n = х n1 + х n2 + … + х nn + у n.(1)

Различают два вида баланса: стоимостной - по отраслям производства и натуральный - по видам продукции в натуральном выражении.

В стоимостном балансе переменные х 1, х 2, … , х n означают объемы валовой продукции первой, второй, …, n-ой отрасли, x ij - объемы затрат i-й отрасли на производство продукции j-й отрасли, у i - конечный продукт, который не поступает в сферу текущего производственного потребления, а идет на конечное потребление (в личное и общественное, на накопление, экспорт, возмещение потерь и т.д.). Систему (1), которую учитывает структуру сложившихся взаимных затрат отраслей, можно назвать «экономической картой» народного хозяйства.

В натуральном балансе переменные х 1, х 2, … , х n означают объемы n видов производственных продуктов в натуральных единицах (автомобилей в штуках, угля в тоннах и т.д.). Величина x ij означает объем потребления продукта I при производстве продукта j (угля при производстве автомобилей, электроэнергии при добыче угля и т.д.), а величина у i - конечный продукт - ту часть продукции, которая не используется в производственном потреблении. Например, для производства сахара в необходимом объеме х i требуется предусмотреть объемы его расходов x ij в кондитерской и молочной, промышленности, расходы на производство безалкогольных напитков, винодельческое, плодоовощное и консервное производства, а также необходимо удовлетворить спрос населения на сахар как конечный продукт личного потребления.

В матричной форме системы уравнений (1) межотраслевой стоимостной и межпродуктовый натуральный балансы имеют одинаковое выражение. В том и другом случае общий объем продукции х i разделяется на объем производственного потребления - промежуточный продукт х i1, х i2, … , х in и объем непроизводственного потребления - конечный продукт у i, причем удельный вес их для разных отраслей стоимостного баланса и различных продуктов натурального баланса неодинаков.

Однако стоимостной баланс в отличие от натурального наряду с уравнениями

x j = в форме распределения продукции допускается построение уравнений в форме потребления продукции

где - материальные затраты j-й потребляющей отрасли; Vj + mj - ее чистая продукция; Vj - сумма оплаты труда; mj - чистый доход - прибыль.

Сделаем преобразование системы уравнений (1) - каждое из слагаемых x ij разделим и умножим на x j и обозначим

………………………………………………………………………….

Это преобразование системы(1) приводит ее к обычной математической форме системы n линейных уравнений с n неизвестными х 1, х 2, … , х n (или у 1, у 2, … , у n) при заданных значениях коэффициентов а ij и величин у 1, у 2, … , у n (или х1, х2, … , хn).

Коэффициенты называются коэффициентами прямых затрат. Для всех отраслей их задают в виде матрицы:

Коэффициенты прямых затрат в натуральном балансе означают технологические нормы расхода продукта i на производство единицы продукта j (например, расход сахара на банку плодово-ягодных консервов или на килограмм мороженного, киловатт-часов электроэнергии и тонн угля на один автомобиль и т.д.). в стоимостном балансе коэффициенты а ij означают затраты отрасли I на каждый рубль валовой продукции отрасли j.

В модели межотраслевого баланса коэффициенты прямых затрат а ij предполагаются постоянными. Это предположение позволяет с помощью уравнений (3) перейти от изучения и анализа сложившихся хозяйственных взаимосвязей к прогнозу пропорционального развития отраслей и планированию темпов их роста.

В системе уравнений (3) все неизвестные х 1, х 2, … , х n перенесем в левую часть уравнения ми получим новую фору записи системы уравнений межотраслевого баланса:

Модель межотраслевого баланса (5) имеет простую матричную форму записи (Е - А) Х = У и позволяет решить следующие задачи:

1) определить конечный объем конечной продукции отраслей у 1, у 2, … , у n по заданным объемам валовой продукции у 1, у 2, … , у n (в матричной форме У = (Е - А) Х);

2) по заданной матрице коэффициентов прямых затрат А определить матрицу коэффициентов полных затрат Р, элементы которой служат важными показателями для планирования развития отраслей (в матричной форме Р = (Е - А) -1);

3) определить объемы валовой продукции отраслей х 1, х 2, … , х n по заданным объемам конечной продукции у 1, у 2, … , у n (в матричной форме Х = (Е - А) -1 У = Р У);

4) по заданным объемам конечной или валовой продукции отраслей х 1, х 2, … , х n определить оставшиеся n объемов.

В первой задаче планируется валовой выпуск продукции, а конечная продукция является производным показателем. Такой подход легче осуществить на практике, но он может привести к нерациональной структуре национального дохода и диспропорциям в развитии отдельных отраслей третья задача предлагает более прогрессивный принцип планирования - от национального дохода. Однако рассчитанные уровни валовой продукции для одних отраслей могут оказаться завышенными и ресурсно-необеспеченными, а для других - заниженными, не загружающими даже действующие производственные мощности. Четвертая задача в определенной степени отражает существую практику планирования.

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

1) матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А) -1 0;

2) матричный ряд Е + А + А 2 + А 3 +….= сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А) -1 ;

3) наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение характеристического уравнения, строго меньше единицы;

4) все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

Более простым способом проверки продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна. Данное условие являеться достаточным, но не необходимым условием продуктивной.