Элементы финансовой математики. Начисление процентов

Изучить формулу сложных процентов, сравнить графики зависимостей, выражающих простые и сложные проценты, способствовать формированию навыков решения практических задач по теме;

Воспитывать интерес к знаниям, способствовать профессиональному самоопределению.

Раздаточный материал : таблица «Коэффициенты наращения сложных процентов» (приложение 1), печатные формулы простых и сложных процентов, заготовка для графика.

Ход урока

Защита домашнего задания.

Простые проценты

Обязательная задача (текст заготовлен на доске). Предприятие располагает собственным капиталом в 100 млн. руб. и берет в банке взаймы под 10% годовых еще 50 млн. руб. Норма прибыли предприятия (рентабельность производства) составляет 30%. Чему равен доход предприятия за год работы?

Решение . 1) 100 + 50 = 150 млн. руб. - общий капитал;

2) 150·0,3 = 45 млн. руб. - полученная прибыль на 150 млн. руб.;

3) 50·0,1 = 5 млн. руб. - выплата за ссуду;

4) 45 – 5 = 40 млн. руб. - доход предприятия.

Ответ : 40 млн. руб.

Кроме обязательной задачи, учащимся было предложено творческое задание : составить задачи с использованием различных источников информации.

1. По итогам деятельности разреза «Нерюнгринский» за 2007 г.:

* Почва или порода, расположенные на поверхности месторождения полезного ископаемого, которые необходимо удалить для того, чтобы начать разрабатывать само месторождение.

Определить, на сколько процентов перевыполнен план.

2. По работе системы образования (по материалам газеты «Час досуга»). На 01.09.2007 года в школах Нерюнгринского района 10,5% педагогов имели высшую категорию и 32,5% имели 1-ю категорию.

Вычислим, какой процент учителей нашей школы имеет высшую, а какой - 1-ю категорию. Сравним с данными по району.

Всего в СОШ № 18 - 65 педагогов.

7: 65·100 = 10,7%.

15: 65·100 = 23,1%.

Получается, что в нашей школе преподавателей высшей категории примерно столько же, сколько в среднем по району, а учителей 1-й категории меньше, чем в районе.

3. Работа администрации города с письмами граждан. В газете «Индустрия Севера» за 16 января 2007 года помещен материал о пресс-конференции главы муниципального образования «Нерюнгринский район» В.В. Старцева с представителями городских и республиканских СМИ, в котором, в частности, сказано: «За минувший год к главе администрации поступило 681 письменное обращение. Все они рассмотрены, 50% решены положительно, в 175 случаях отказано, по 138 дано разъяснение. По поводу зарплаты в 2006 г. к главе обращались 32 раза, а в 2007-м - 21 раз». Выясним, на сколько процентов обращений к главе администрации по поводу зарплаты в 2006 г. было больше, чем в 2007 г.?

Решение . 32 - число обращений в 2006 году (В ); 21 - число обращений в 2007 году (А ). Найти, на сколько процентов В больше А .

Воспользуемся формулой

Итак, в 2006 г. к главе администрации поступило на 52,4% обращений больше, чем в 2007 г.

Сложные проценты

Почему в 2007 году писем по поводу заработной платы в администрацию города поступило на 53% меньше, чем в 2006 году?

(Учащиеся выдвигают предположения. )

Каждое высказанное предположение может быть верным, а может быть и ложным. Для того чтобы узнать истинную причину, нам, видимо, на данный момент недостаточно информации. Чтобы полностью владеть ситуацией, необходимо быть хорошо информированным по существу вопроса.

На предыдущих занятиях мы с вами рассматривали задачи на проценты, задачи на простые проценты, но этим не исчерпывается применение процентов в экономике, и сегодня мы расширяем свои знания в этой области. Тема нашего занятия: «Сложные проценты».

Рассмотрим задачу .

Пусть банк выплачивает по сберегательному вкладу простые проценты по ставке i в год, причем эта ставка остается неизменной в течение двух лет. Как выгоднее поступить вкладчику?

Вспомним формулу вычисления простых процентов:

S n = S 0 (1 + in )

1 + in = Q ,

где Q - коэффициент наращения по простым процентам.

1-й способ . Если вкладчик закроет счет через год, то он получит сумму

S 1 = S 0 (1 + i ).

Допустим, что он положит эту сумму еще на один год на тех же условиях, тогда он получит:

S 2 = S 1 (1 + i ) = S 0 (1+ i ) 2 .

2-й способ . Если он не переоформит свой вклад, то согласно формуле простых процентов получит за два года:

S 2 = S 0 (1 + 2 i ).

Равны ли эти суммы? Сравним их:

S 0 (1 + i ) 2 – S 0 (1 + 2i ) = S 0 (1 + 2i + i 2 –1 – 2i ) = S 0 i 2 .

Так какой же способ выгоднее для вкладчика?

Первый способ, так как вкладчик получает при этом на S 0 i 2 больше.

Величина S 0 i 2 - приращение на проценты, полученные за первый год, или так называемые «проценты на проценты».

Чтобы предотвратить частое переоформление вкладов и для поощрения долгосрочных вкладов, в коммерческой практике принято выплачивать сложные проценты. Исходная сумма, или база (S 0), для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом начисления (в нашей задаче это 1 год), а для простых процентов база постоянна.

Запишем в словари.

Капитализацией процентов называется присоединение начисленных процентов к сумме, являющейся базой для их начисления.

Выведем формулу расчета наращенной суммы S n с годовой процентной ставкой i при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в год.

(К доске вызывается ученик для вывода формулы.)

S 1 = S 0 + S 0 i = S 0 (1 + i );
S 2 = S 1 + S 1 i = S 1 (1 + i ) = S 0 (1 + i ) 2 ;
S 3 = S 0 (1 + i ) 3 ;
.. . . . . . . . . . . . .
S n = S 0 (1 + i ) n .

Мы получили формулу сложных процентов , где S n - наращенная сумма через n лет,

S 0 - базовая сумма,

i - процентная ставка по сложным процентам,

n - число периодов наращения.

Эта формула является геометрической прогрессией со знаменателем q = 1 + i .

Пример 1. Вы положили в банк 10 тыс. руб. на срочный вклад при сложной процентной ставке 10% годовых. Сколько денег вы получите через два года?

Дано : S 0 = 10 000 руб., i = 0,1, n = 2.

Найти : S 2 .

Решение . S 2 = S 0 (1 + i ) 2 ;

S 2 = 10 000(1 + 0,1) 2 = 10 000·1,21 =12 100 руб.

Ответ : 12 100 руб.

Для начисления сложных процентов в банках используют «Таблицы коэффициентов наращения по сложным процентам», рассмотрим их (таблицы имеются на столах у учащихся; см. образец).

Найдем отношение

где Q c - коэффициент наращения по сложным процентам; тогда

S n = S 0 Q c .

Пример 2 . Назовите по таблице коэффициент наращения по ставке:

а) 15% годовых для n = 4 [Q c = 1,7490];

б) 8% годовых для n =5 [Q c = 1,4693].

Решение . 1) Найдем Q с по таблице: Q c = 1,2567:

15 000·1,2597 = 18 895,5 руб.

2) Найдем Q с по таблице: Q c = 1,4693;

15 000·1,4693 = 22 039,5 руб.

Самостоятельная работа с последующей самопроверкой

Заполните таблицу (столбец S n закрыт до самопроверки):

Графики коэффициентов наращения по простым и сложным процентам

Сравните коэффициенты наращения по простым и сложным процентам при i = 18% годовых. Заполните таблицу и постройте график зависимости Q и Q с от n. (Учащиеся работают в парах. )

Какой совет вкладчикам банка вы можете дать, проанализировав взаимное расположение графиков?

Наращение по сложным процентам выгоднее для вкладчиков.

Пример из классической литературы

Михаил Евграфович Салтыков-Щедрин описывает в романе «Господа Голавлевы» такую сцену: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если бы маменька подаренные ему при рождении дедушкой “на зубок” 100 рублей не присвоила себе, а положила в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей...»

Задание . Попробуйте по приведенным цифрам вычислить процентную ставку, которую платил ломбард в то время по вкладам. Возраст Порфирия в момент расчетов примем равным пятидесяти годам.

Решение . Пусть ставка равна x %, тогда

S 50 =100(1 + x ), 800 =100(1 + x ) n , x ≈ 3,9.

Итак, в то время ломбард платил 3,9% годовых.

Задание на дом

Что выгоднее: заплатить за учебу в вузе 10 000 у.е. в начале обучения или 15 000 у.е. по окончании учебы (через 5 лет). Процентная ставка равна 10% годовых.

Практическое задание . Посетите операционный зал сбербанка и выпишите:

Виды вкладов;

Годовые процентные ставки по ним;

Срок наращения;

Минимальный взнос.

Составьте задачу и решите ее.

Приложение 1

Коэффициенты наращения сложных процентов

Контрольное задание по финансовой математике

Вариант № 6

1. На сколько процентов возросла заработная плата, если в сентябре она составляла 16000 руб., а в октябре – 16480 руб.?

Заработная плата возросла на 3%.

2. 70000 руб. положили на месячный депозит под 6% годовых. Определить величину наращенной суммы.

FV = PV(1+n·i),

FV=70000(1 + 1/12· 0,06) = 70350 рублей.

Коэффициент наращения при начислении простых процентов за 2 года составил 1,5. Какова была годовая процентная ставка?

Тогда годовую процентную ставку можно найти по формуле:

i =

4. В течение какого срока депозитный вклад возрастет в 1,3 раза, если начисляются простые проценты с годовой ставкой i = 30% ?

По условию задачи коэффициент наращения простых процентов k н = 1,3. Формула для вычисления:

где k н – коэффициент наращения простых процентов; n – срок ссуды, год; i-ставка процентов за период.

Тогда срок депозитного вклада вычислим по формуле:

n =

5. Заемщик получил кредит на 6 месяцев под 16% годовых (простые проценты) с условием вернуть 27000руб. Какую сумму получил заемщик?

FV = PV(1+n·i),

где FV-наращенная сумма, руб.; PV- первоначальная сумма, руб.; n – срок ссуды, год; i-ставка процентов за период.

Тогда первоначальную сумму можно выразить формулой:

6. На какую сумму был выдан вексель, если за 2 месяца до срока платежа он был учтен в банке с годовой учетной ставкой d = 10% по цене 36000руб.?

7. Во сколько раз возрастет за 2 года сумма долга при начислении сложных процентов с годовой ставкой 14%?

k н = (1+i) n ,

где k н – коэффициент наращения сложных процентов; n – срок ссуды, год; i-ставка процентов за период.

k н = (1+0,14) 2 =1,3.

Сумма долга возрастет на 30%.

8. Сумма 40000 руб. инвестируется под 12% годовых. Определить наращенную за год сумму при поквартальном начислении сложных процентов.

Воспользуемся формулой сложных процентов:

где FV – наращенная сумма ссуды, PV – начальная сумма ссуды, j – годовая процентная ставка, m – число раз в году начисления процентов, n – число лет в периоде.

9. 01.02.99 был выдан вексель на 10 000 руб. с обязательством выплатить указанную сумму через 40 дней с процентами по ставке 18% в год. 25.02.99 вексель был продан банку с дисконтом по годовой учетной ставке 9%. По какой цене вексель был куплен банком?
(Обыкновенные проценты с точным числом дней).

Сумма по векселю за период 40 дней должна была составить

FV =10000(1+0,18*40/360) = 10200рублей.

Дисконт в пользу банка:

Д = 10200*0,09*24/365=60,4

PV=10200-60,4=10139,6 руб.

По цене 10139,6 руб. вексель был куплен банком

10. Кредит в сумме 5 млн руб. погашается 12 равными ежемесячными взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере 5% в месяц. Требуется найти сумму ежемесячного взноса при платеже постнумерандо.

Ренты, платежи по которым производятся в конце периода, называются обычными, или постнумерандо.

Кредит в сумме 5 млн. руб. погашается 12 равными ежемесячными взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере i = 5% в месяц. Найдем сумму ежемесячного взноса Y (i ) при платеже постнумерандо:

Здесь значения найдены из таблицы значений .

. База для начисления сложных процентов в отличие от простых не остается постоянной – она увеличивается с каждым шагом во времени. Абсолютная сумма начисляемых процентов возрастает, и процесс увеличения суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые про центы на один период начисления ( running period ). Присоедине ние начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов.

Найдем формулу для расчета наращенной суммы при условии, что проценты начисляются и капитализируются один раз в году (годовые проценты). Для этого применяется сложная став ка наращения. Для записи формулы наращения применим те же обозначения, что и в формуле наращения по простым про центам:

P - первоначальный размер долга (ссуды, кредита, капита ла и т.д.),

S - наращенная сумма на конец срока ссуды,

п - срок, число лет наращения,

i - уровень годовой ставки процентов, представленный де сятичной дробью.

Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Р i , а наращенная сумма составит. К конц у второго года она достигнет величины В конце n -го года наращенная сумма будет равна

(4.1)

Процентыза этот же срокв целом таковы:

(4.2)

Часть из них поучена за счет начисления процентов на проценты. Она составляет

(4.3)

Как показано выше, рост по сложным процентам представ ляет собой процесс, соответствующий геометрической прогрессии, первый член которой равен Р , а знаменатель – . Последний член прогрессии равен наращенной сумме в конце срока ссуды.

Величину называют множителем наращения по сложным процентам. Значения этого множителя для целых чисел п приводятся в таблицах сложных процентов. Точность расчета множителя в практических расчетах определяется допустимой степенью округления наращенной суммы (до последней копейки, рубля и т.д.).

Время при наращении по сложной ставке обычно измеряет ся как АСТ/ A СТ.

Как видим, величина множителя наращения зависит от двух параметров - i и п. Следует отметить, что при большом сроке наращения даже небольшое изменение ставки заметно влияет на величину множителя. В свою очередь очень большой срок приводит к устрашающим результатам даже при небольшой процентной ставке.

Формула наращения по сложным процентам получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако ее можно применять и при других периодах начисле ния. В этих случаях i означает ставку за один период начисления (месяц, квартал и т.д.), а n – число таких периодов. На пример, если i –ставка за полугодие, то п – число полугодий и т.д.

Формулы (4.1) - (4.3) предполагают, что проценты на про центы начисляются по той же ставке, что и при начислении на основную сумму долга. Усложним условия начислений процен тов. Пусть проценты на основной долг начисляются по ставке i а проценты на проценты – по ставке В этом случае

Ряд в квадратных скобках представляет собой геометриче скую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем. В итоге имеем

(4.4)

· Пример 4.1

2. Начисление процентов в смежных календарных периодах. Вы ше при начислении процентов не принималось во внимание расположение срока начисления процентов относительно календарных периодов. Вместе с тем, часто даты начала и окончания ссуды находятся в двух периодах. Ясно, что начисленные за весь срок проценты не могут быть отнесены только к послед нему периоду. В бухгалтерском учете, при налогообложении, наконец, в анализе финансовой деятельности предприятия воз никает задача распределения начисленных процентов по периодам.

Общий срок ссуды делится на два периода n 1 и n 2 . Соответственно ,

где

· Пример 4.2

3. Переменные ставки. Формула предполагает постоянную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать “классическую” схему, например, с помощью применения плавающих ставок ( floating rate ). Естественно, что расчет на перспективу по таким ставкам весьма условен. Иное дело - расчет постфактум. В этом случае, а также тогда, когда измене ния размеров ставок фиксируются в контракте, общий множитель наращения определяется как произведение частных, т.е.

(4.5)

где - последовательные значения ставок; - периоды, в течение которых “работают” соответствующие ставки.

· Пример 4.3

4. Начисление процентов при дробном числе лет. Часто срок в го дах для начисления процентов не является целым числом. В правилах ряда коммерческих банков для некоторых операций проценты начисляются только за целое число лет или других периодов начисления. Дробная часть периода отбрасывается. В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяют два метода. Согласно первому, назовем его общим, расчет ведется по формуле:

(4.6)

Второй, сме шанный, метод предполагает начисление процентов за целое число лет по формуле сложных процентов и за дробную часть срока по формуле простых процентов:

,(4.7)

где – срок ссуды, а - целое число лет, b - дробная часть года.

Аналогичный метод применяется и в случаях, когда перио дом начисления является полугодие, квартал или месяц.

При выборе метода расчета следует иметь в виду, что мно житель наращения по смешанному методу оказывается несколько больше, чем по общему, так как для п < 1 справедли во соотношение

Наибольшая разница наблю дается при b = 1/2.

· Пример 4.4

5. Сравнение роста по сложным и простым процентам. Пусть временная база для начисленияодна и та же, уровень процентных ставок совпадает, тогда:

1) для срока меньше года простые проценты больше сложных

2) для срока больше года

3) для срока 1 год множители наращения равны друг другу

Используя коэффициент наращения по простыми сложным процентам можно определить время, необходимое для увеличенияпервоначальной суммы в n раз. Для этого необходимо, что быкоэффициенты наращениябыли равны величине n :

1) для простых процентов

2) для сложных процентов

Формулы дляудвоениякапитала имеют вид:

В случае когда требуется оценить интегральный эффект какой-либо операции по наращению со сложной внутренней структурой (изменение значения ставок, периодов начисления процентов и прочее) удобно использовать понятие эффективной ставки. Принято, что эффективная ставка j является сложной.

Так, например, определим эффективную ставку для операции представляющей собой случай неоднократного начисления процентов за период, на котором определена ставка начисления (3.5). Приравняв выражения для получения результатов наращения для рассматриваемой операции (3.5) и выражение для наращенной суммы для сложных процентов (3.1), полагая фигурирующую в (3.1) ставку эффективной j,

S = P ´ (1 + j ) n = P ´ (1 + i c /m ) m ´ n ,

т.е. приводящей к такому же результату наращения. Ее величина определяется для данного примера выражением

j = (1 + i c /m ) m ´ n – 1.

Следует отметить, что данное выражение для значения эффективной ставки наращения сложных процентов справедливо только для рассмотренного случая (m раз начисления сложных процентов на периоде), а в каждом ином случае, при определении эффективной ставки для другой финансовой операции выражение для ее определения будет другим.

В общем случае, для произвольной финансовой операции выражение для определения эффективной ставки начисления сложных процентов имеет вид

j = (S /P ) 1/n – 1, (3.9)

P – исходная сумма рассматриваемой операции наращения;

S – результирующая сумма рассматриваемой операции наращения, величина n ´ T определяет срок рассматриваемой операции наращения;

n – количество периодов T рассматриваемой операции наращения;

T – период на котором определена эффективная ставка j .

Выражением (3.9) удобно пользоваться для общей оценки эффективности различного рода финансовых операций, для которых подробности и детали их проведения остаются недоступны, то есть оценка в режиме «черного ящика». Формула (3.9) требует только входных данных (P ) и результирующих данных (S ) при этом определяется основной параметр оценки финансовых операций – эффективная ставка, характеризующая доходность данной операции.

ПРИМЕР 1. Определить эффективную ставку работы предприятия вложившего в бизнес 150 000 руб. и получившее отдачу от вложения в размере 250 000 руб. через два года.

Решение : Исходная сумма средств Р = 150 000 руб., наращенная сумма S = 250 000 руб. срок n = 2 года. Воспользуемся выражением (3.9) j = (250 000/150 000) 1/2 – 1 = 1,29 – 1 = 0,29 (j = 29%).

ПРИМЕР 2. Определить эффективную ставку для пятилетнего депозита, на втором году которого простая ставка 10% увеличивается в два раза.

Решение : Первоначальную сумму обозначим как P . Наращенная сумма за пять лет S = P + I 1 + I 2 = P (1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3). Тогда j = (P (1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3)/P ) 1/5 – 1 = 1,0985 – 1 = 0,0985 (j = 8,95%).

ПРИМЕР 3. Определить эффективную ставку операции покупки векселя за четыре года до погашения, с простой учетной ставкой 10%.

Решение: Цена покупки в данном случае является исходной сумме P = S (1 – 0,1 ´ 4), S – номинал векселя – наращенная сумма. Тогда, согласно (3.9), эффективная ставка будет равна j = (S /S ´ (1 – 0,1 ´ 4)) 1/4 – 1 = 0,1362 (j = 13,62%).

Упражнения

1. Найти величину депозита в 14 000 руб. при ставке сложных процентов i c = 10% за 6 лет? Овет:24 801,85 руб.

2. При какой ставке сложных процентов i c деньги удваиваются через 12 лет? Овет: 5,94%.

3. Чему равно значение сложной процентной ставки, если 10 млн руб. возросли до 25 млн руб. за 7 лет? Овет: 25,84%.

4. При заданной ставке сложных процентов 10 млн руб. прирастают до 15 млн руб. за 10 лет. Какой будет наращенная сумма в конце 6 года? Овет:12754245,01 руб.

5. Облигация стоит 1 875 руб. и по ней выплачивается 2 500 руб. через 8 лет. Какая ставка сложных процентов обеспечит этот рост? Овет: 3,66%.

6. Найти годовую эффективную процентную ставку (норму), соответствующую ставке1,5%, при ежемесячной капитализации процентов. Овет:1,51%.

7. Сумма денег инвестируется при ставке i c = 10%на один год с квартальной капитализацией. Какая ставка простых процентов накопила бы такую же сумму в конце первого года? Овет: 10,38%.

8. 10 млн руб. инвестируются на 5 лет при норме i c = 5% с ежегодным увеличением процентной ставки на 0,5%. Какая эффективная ставка j накопит равную сумму за то же самое время? Овет:5,99%.

9. Клиент поместил на депозитный счет 1 000 000 руб. на 3 года при ставке сложных процентов 1,7% годовых. Определить доход от капитализации процентов к концу срока. Овет:870 руб.

10. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 3 000 000 руб. на срок с 5.01.2003 г. до 20.03.2005 г. при ставке сложных процентов 15% годовых. Смешанным способом рассчитать проценты за пользование кредитом, используя схему 365/365. Ответ: 1059965,55 руб.

11. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 6 700 000 руб. на срок с 15.06.2004 г. до 23.09.2005 г. при ставке сложных процентов 5% годовых с ежеквартальным начислением. Рассчитать проценты, начисленные за предоставление кредита, используя схему 365/360. Ответ: 444076 руб.

12. Выдан кредит на сумму 30 000 руб. сроком с 15.01.2005 г. до 20.03.2007 г. при ставке сложных процентов 12% годовых. Рассчитать коэффициент наращения, используя схему 360/360. Ответ: 1,27.

13. Банк выдал кредит 50 000 руб. В договоре в первые полгода указана сложная ставка 20% годовых, каждые полгода ставка увеличивается на 3%, срок договора 2 года. Определить наращенную сумму за весь срок кредита. Ответ: 77444,98 руб.

14. В кредитном договоре указана сложная ставка 20% годовых, каждые два года ставка увеличивается на 1,5%, срок договора 10 лет. Определить коэффициент наращения по операции. Ответ: 4,98.

15. По окончании договора, через 90 дней после его подписания должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит был выдан под простую ставку 30% годовых. Какова величина кредита? Ответ: 931121,45 руб.

16. Что больше – доход от капитализации процентов или величина депозита при сложной ставке 19% за 8 лет? Ответ: больше доход от капитализации процентов.

1. Правило начисления процентных денег по сложной ставке наращения. Капитализация процентных денег.

2. Отличие в базе начисления простых и сложных процентов. Структура процентных денег при сложной ставке наращения.

3. Начисление процентных денег при изменении значения сложной ставки начисления. Коэффициент наращения.

4. Результаты наращения при начислении процентных денег m раз на периоде, где определена сложная ставка наращения.

5. Начисление по сложной ставке наращения за произвольный период времени.

6. Понятие эффективной ставки наращения. Сравнение темпов роста наращения по простой и сложной ставке наращения, в том числе, с m раз начислением на периоде.

Похожая информация.

Прочитав данную главу, вы будете знать:

• o декурсивный и антисипативный способы;
• o учет влияния инфляции.

Расчет стоимости предприятия (бизнеса), как и большинство экономических расчетов, основывается на вычислении процентов декурсивным или антисипативным (предварительным) способом и теории аннуитетов.

Проценты - это доход в различных формах от предоставления финансовых средств (капитала) в долг или инвестиций.

Процентная ставка - показатель, характеризующий величину дохода или интенсивность начисления процентов.

Коэффициент наращения - величина, показывающая соотношение наращенного первоначального капитала.

Период начисления - промежуток времени, по истечении которого начисляются проценты (получается доход). Период начисления может делиться на интервалы начисления.

Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление части процентов. Проценты могут начисляться в конце интервала начисления (декурсивный способ) или в начале (антисипативный или предварительный способ).

Декурсивный способ

Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) - это отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода.

Когда после начисления дохода за период этот доход выплачивается, а в следующий период процентный доход начисляется на первоначальную сумму, тогда используется формулы начисления простых ставок ссудных процентов.

Если ввести обозначения:

i (%) - годовая ставка ссудного процента (income); i - относительная величина годовой ставки процентов; I - сумма процентных денег, выплачиваемых за период (год);

P - общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р - величина первоначальной денежной суммы (present value);

F - наращенная сумма (future value);

k n - коэффициент наращения;

п - количество периодов начисления (лет);

d - продолжительность периода начисления в днях;

К - продолжительность года в днях К = 365 (366), то декурсивная процентная ставка (i):

Отсюда (6.1)

Тогда коэффициент наращения:

Если интервал наращения меньше одного периода (года) , то

Определение величины наращенной суммы F (future value) называется компаундингом (compounding).

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по простой ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.1):

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 182 дня, год обыкновенный, по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.2):

Иногда возникает необходимость решить обратную задачу: определить величину первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value), зная, какой должна быть наращенная сумма F (future value):

Определение величины первоначальной (текущей, приведенной) суммы р (present value) называется дисконтированием (discounting).

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо положить на депозит по простой ставке 12% годовых.

Преобразуя формулы 6.1-6.3, можно получить

Процентные ставки в разные периоды могут изменяться.

Если в течение различных периодов начисления п , п 2 ,..., n N , используются различные ставки процентов i 1 , i 2 ,..., i N , где N - общее количество периодов начисления, то сумма процентных денег в конце периодов начисления при ставке процентов i 1 :

где n 1 - количество периодов начисления при ставке процентов i 1 в конце периодов начисления при ставке процентов и т.д.

Тогда при JV-периодах начисления наращенная сумма (N - номер последнего периода) при любом :

где коэффициент наращения: (6.5)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 2,5 года по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.5): k n = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.

По формуле (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.

Обратная задача:

Если п к = 1, то , (6.7)

где коэффициент наращения:. (6.8)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i

По формуле (6.8): k n = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.

По формуле (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.

Когда после начисления дохода за период этот доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого периода (к сумме, создавшей этот доход), и в следующий период процентный доход начисляется на всю эту сумму, тогда используются формулы начисления сложных процентов.

Если к представленным обозначениям добавить:

i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов;

k nc - коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j - номинальная ставка сложных ссудных процентов, по которой вычисляется поинтервальная ставка сложных ссудных процентов, то за период начисления, равный году, наращенная сумма - составит: . За второй период (через год): и т.д.

Через п лет наращенная сумма составит:

где коэффициент наращения k nc равен:

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

По формуле (6.9)

Решая обратную задачу:

где - коэффициент дисконтирования.

Коэффициент дисконтирования - величина, обратная коэффициенту наращения:

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо вложить на депозит по сложной ставке 12% годовых.

Сравнивая коэффициенты наращения, при начислении простых и сложных процентов видно, что при п > 1. Чем больше периодов начисления, тем больше различие в величине наращенной суммы при начислении сложных и простых процентов.

Можно определить другие параметры:

п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в двух видах:

где п - не кратное целому числу периодов начисления сложных процентов;

где п = п ц + d - общее количество периодов (лет) начисления, состоящее из целых и нецелого периодов начисления; п п d - количество дней нецелых (неполного) периода начисления; К = 365 (366) - количество дней в году; i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов.

Оба варианта правомочны, но дают разные значения из-за разной точности вычисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года 6 месяцев по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

• 1) F = 25 000 (1 + 0,12) 3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб.;
• 2) F = 25 000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180: 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.

Величина годовой ставки сложных процентов i 1 , i 2 ,..., i N может быть разной в течение различных периодов начисления n 1 , n 2 ,..., n N .

Тогда наращенная сумма в конце первого периода (года) начисления:

Во втором периоде (через год):

В n-периоде (за п периодов (лет)):

Тогда коэффициент наращения:

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по сложной ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.14): k nc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.

По формуле (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.

Обратная задача:

Если начисление сложных процентов производится поинтервально, т.е. несколько раз за период, то формула начисления за интервал

где j = i - номинальная ставка сложных ссудных процентов; т - количество интервалов начисления в периоде (поквартально, ежемесячно и т.д.).

Доход за интервал присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.

Тогда наращенная сумма при поинтервальном начислении за каждый период через п периодов (лет) составит

Кроме того, можно определить другие параметры:

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на п = 3 года по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = 2. Определите наращенную сумму.

По формуле (6/16) .

Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде

где п п - количество целых (полных) периодов (лет) начисления; р - количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т.е. р < m;d - количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на и =3 года 8 месяцев, 12 дней по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = = 2. Определите наращенную сумму.