Формулы расчета процентов по вкладу — простой и сложный процент. Формула простых и сложных процентов

Данная тема относится к и обязательна для изучения при инвестировании, построении капитала или просто для накопления необходимой суммы денег. В финансовой сфере принято отличать принцип расчета простых и сложных процентов. Например, в банковской сфере сложный процент понимается под понятием . А в инвестициях часто используют слово "реинвестирование".

Сложным процентом называют геометрическую прогрессию денежной суммы, при которой начисленные проценты прибыли прибавляются к базовой сумме, в следующем периоде базовая сумма увеличивается и процент начисляется уже на нее. За счет этого эффекта доходность получается выше, чем при простом проценте.

Капитализация или реинвестирование - это суммирование начисляемых процентов с базовой суммой в обозначенный период. В последующем периоде базовая сумма изменяется на эту величину процента, таким образом достигается прогрессивное или лавинообразное увеличение суммы средств. При подсчете по формуле простого процента, базовая сумма всегда остается неизменной.

Вся эта теория для неподготовленного читателя кажется через чур трудоемкой и запутанной. Но мы вас уверяем, ничего сверхсложного в формуле сложного процента и его отличия от простого нет. Сейчас разберем несколько задач и все встанет на свои места.

Примеры расчета простого и сложного процента

Простой

Вы положили на обычный депозитный счет 1000 рублей под 10% годовых на 3 года. Через 3 года вы снимаете 1300 рублей. Так работает простой процент.

Сложный

Вы положили на депозитный счет 1000 рублей, но в характеристиках вклада указано "с ежегодной капитализацией процентов" . Те же - 10% годовых, срок тот же - 3 года. Через 3 года вы снимаете уже 1331 рубль. За счет эффекта сложного процента вы получили больше на 31 рубль, чем в первом случае.

Подробнее о сложном проценте

Простые проценты нам больше не интересны, а формула сложного выглядит так:

S - сумма, которую вы снимете в конце

B - базовая сумма

Pr - процентная ставка

n - временной период (может быть как в годах, так и в месяцах)

Давайте теперь посчитаем на суммах и процентах более приближенных к реальности, чтобы ощутить разницу в полной мере.

Задача №1

• банковский депозит на сумму 100 тыс. руб.
• процентная ставка 8% годовых
• срок 4 года
• присутствует ежегодная капитализация процентов

В данном случае происходит ежегодная капитализация процента по вкладу. В некоторых банках также бывает услуга ежемесячной капитализации процентов. Об этом в задаче ниже.

Задача №2

• банковский депозит на сумму 100 тыс руб.
• процентная ставка 8% годовых
• период 4 года
• ежемесячная капитализация

• конечную результирующую сумму (доход + %)

В формуле нужно применять ежемесячный процент, для этого 8 разделим на 12 месяцев. Получается 0,67% - это процент за месяц. И обратите внимание, степень теперь равна 48 - это количество месяцев за 4 года. Подставляем его в формулу:

Выводы

При ежемесячной капитализации результирующий доход вкладчика получился больше на 1736 рублей.

Чтобы сложный процент работал, не нужно снимать начисленные проценты, пусть они капитализируются на счете. Тогда вы получите больше выгоды от депозита.

Формула сложного процента на примере реального банковского вклада

Выше мы рассмотрели упрощенные примеры работы сложного процента. На самом деле банки используют немного усложненную формулу.

Ставка процентов представляется как

g - ставка в % годовых, разделенная на 100. Если 8% годовых, то получаем g =0,08
d - количество дней, через которое проценты капитализируются с базовой суммой
y - кол-во дней в году

Формула универсальная и позволяет сделать вычисление для разных типов депозитов. Таким образом, наша основная формула стала чуть-чуть сложнее:

Математическое понятие "геометрическая прогрессия" помогает работать банковскому вкладу с капитализацией гораздо более эффективно, чем без капитализации. Человеческий мозг не всегда может представить разницу или она поначалу ему кажется не существенной. В действительности, на значительных отрезках времени сложный процент начинает играть огромную роль при построении капитала.

Пример расчета сложного процента на большом отрезке времени

Возьмем одновременно 2 примера с простым и сложным процентами, чтобы разница была наглядной. В обоих вариантах начальная базовая сумма будет составлять 10 тыс. руб. на 20 лет под 10% годовых. В столбцах "сложный процент" сумма процентов каждый год будет прибавляться к базовой сумме.

Как мы видим при длительном отрезке капитализация процентов выглядит очень поразительным инструментом! И чем больше период вложений, тем более разительной становится разница. Но давайте рассмотрим еще более впечатляющий пример.

Как поможет сложный процент в построении капитала?

Самый впечатляющий пример работы сложного процента будет ниже.

Представьте, что базовая сумма у вас совсем мизерная - 1000 рублей. Но вы каждый месяц можете откладывать от зарплаты по 1000 рублей.

Теперь прикинем варианты, какие проценты дают доступные средства сохранения и инвестирования денег в год:

• 5% - государственные облигации, так называемые облигации федерального займа. Это упрощенно, на самом деле суммы может быть побольше.
• 10% - самый щедрый банковский вклад
• 15% - смешанный инвестиционный портфель акций и облигаций
• 20% - такой процент годовых может дать портфель из акций фондовой биржи.

Давайте не будем больше приводить формулы, так как мы уже все подробно рассказали. Теперь просто возьмем итоговые цифры, которые поражают воображение неподготовленного человека.

Как мы видим результаты впечатляющие, суммы растут как снежный ком. Вы все можете проверить по калькулятору или экселю, здесь нет обмана. Вы действительно можете стать миллионером, откладывая всего по 1000 рублей в месяц.

А что если вы сможете откладывать по 10000 рублей? Теперь подрисуйте в таблице везде по нолику и еще раз удивитесь результатам.

Вы можете возразить, что действительно интересные суммы появляются только при 20% годовых. А вкладывать в акции вы, мол, не умеете. В действительности, это не такое сложное занятие.. Есть очень простые стратегии инвестирования в акции. Вам не понадобится думать, как выбирать акции и каждый день или неделю продавать их или покупать. Тут все почти как с банковским вкладом. Вы просто откладываете деньги покупаете на них каждый месяц одни и те же акции или паи фонда. Это краткая суть стратегии.

Почему в акции инвестировать безопасно? Почему акции непременно будут расти на 20% годовых? Подробная информация о стратегии и ответы на эти вопросы вы получите на нашем вебинаре об , а точнее записи этого вебинара.

Вспомогательные формулы

Привожу еще пару вспомогательных формул, которые могут пригодиться при составлении личного финансового плана. Они выражаются из уже написанных выше. Рассмотрим все на примерах задач.

Задача №1

• у вас есть 60 тыс. рублей
• вы хотите приумножить их до 250 тыс. рублей
• у вас есть срок 15 лет

• под какую процентную ставку нужно вложить деньги?

Расчет:

Ответ равен 10,03 процентам

Задача №2

• у вас есть 50 тыс. рублей
• вы хотите приумножить их до 1 млн. рублей
• вы уверены, что сможете вложить их под 40% годовых

• сколько потребуется для этого времени в годах?

Расчет:

Ответ: 8,9 лет.

Заключение

Описанная формула простых и сложных процентов построения капитала активно используется во всем мире, будь то обычное накопление или инвестирование. Профессиональные финансовые советники и богатейшие люди мира одинаково хорошо отзываются и рекомендуют прибегать к сложным процентам для улучшения своего финансового положения.

Как мы увидели, не обязательно иметь крупную сумму в самом начале, главное регулярно откладывать деньги и пользоваться хорошим процентом.

В большинстве финансовых расчетов менеджерам приходится сталкиваться со сложным, а не с простым процентом. Если сумму, начисляемую по процентам, каждый раз инвестировать (капитализировать), иначе говоря, присоединять к основной сумме, т.е. в качестве приращения использовать не постоянную величину, как в случае простого процента, а процентную ставку от всей накопленной предыдущей суммы, то в данном случае речь будет идти о сложной процентной ставке.

Сложная процентная ставка – такая ставка, при которой процент начисляется на постоянно нарастающую базу с учетом процентов, начисленных в предыдущие периоды ("проценты на проценты").

Последовательность расчетов по сложной ставке процента в общем виде такова:

сумма, начисленная за первый год: ;

сумма, начисленная за второй год: .

В общем случае

Заметим, что при фиксированной процентной ставке инвестирование на один период, соответствующий процентной ставке по сложным и простым процентам, приводит к одному и тому же наращенному значению. Поэтому начисление сложных процентов эквивалентно начислению простых при реинвестировании средств в конце каждого периода.

Итак, справедлива следующая формула, называемая формулой сложных процентов:

где – наращенная по сложным процентам сумма; – основной капитал; r – процентная ставка за период; t – срок (в периодах, соответствующих процентной ставке); – множитель наращения .

Примечание. Нестабильность экономической ситуации вынуждает использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов.

В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле

где – последовательные значения ставок процентов; – периоды, в течение которых используются соответствующие ставки.

Формула дисконтирования по сложным процентным ставкам имеет следующий вид:

Пример. 250 тыс. долл. США инвестированы на четыре года под 6% годовых. Вычислите сложные проценты, начисленные к концу срока.

Решение.

Использование в финансовых вычислениях простых и сложных процентов дает неодинаковые результаты; различия между ними обусловлены сроками сделок. Так, при равной величине простых и сложных процентных ставок (), при сроке ссуды менее одного года () наращенная сумма, вычисленная по простым процентам, будет больше наращенной суммы, вычисленной по сложным процентам. При сроке сделки больше года () наращение по сложным процентам опережает наращение по простым процентам, ибо в этом случае

где в фигурных скобках раскрыто по формуле бинома Ньютона.

Будущая стоимость и частота капитализации

Как правило, в финансовых контрактах фиксируется годовая процентная ставка, хотя проценты при этом могут начисляться по полугодиям, кварталам, месяцам и т.д. Очевидно, что чем чаще проценты капитализируются, тем быстрее растет стоимость соответствующего актива. Годовая ставка в этом случае должна быть соответствующим образом преобразована. Так, если годовая ставка процента 12%, то при полугодовом варианте капитализации она составит 6 при квартальном – 3% и т.д.

Для расчета будущей стоимости, например, при полугодовой капитализации можно представить, что сумма РV инвестируется на два периода с процентной ставкой r/2 за каждое полугодие. Таким образом, следует рассчитать будущую стоимость FV через два периода (полугодия). Обобщив, можно сказать, что если т – число периодов капитализации в году, то будущая стоимость FV через t лет при ставке г процентов в год, выражается формулой

Пример. Вкладчик размещает в банке 1000 долл. США под 20% годовых. Какую сумму денежных средств он будет иметь на своем счете через пять лет, если сложный процент начисляется: а) ежеквартально; б) ежемесячно?

Решение.

Как следует из приведенного примера, чем чаще периодичность начисления сложного процента, тем бо́льшую сумму получит инвестор за тот же период времени при одинаковой годовой процентной ставке.

Непрерывное начисление процентов

Сложный процент может начисляться достаточно часто. Если периодичность начисления процента будет стремиться к бесконечности (т → ∞), получим случай непрерывного начисления процента. Несмотря на то, что логически непросто представить себе частоту начисления процента, равную бесконечности, математически возможно определить ту сумму средств, которую получит инвестор, если разместит денежные средства на условиях непрерывно начисляемого процента. В частности:

При непрерывном начислении процентов , следовательно, . В этом случае Нетрудно убедиться в том, что множитель наращения действительно ограничен в росте по мере увеличения параметра т. Читатель сможет это сделать самостоятельно, например, для частного случая, когда и . Уже при множитель наращения будет равен 2,717, а при примет значение 2,718 .

Непрерывное наращение – допущение, существующее только в теории и применяющееся в финансовых моделях, таких, как, например модель определения стоимости опционов (см. гл. 4).

Эффективная (фактическая) процентная ставка

Итак, мы выяснили, что чем чаще происходит капитализация, тем быстрее растет будущая стоимость. Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать финансовые операции с различной частотой начисления и неодинаковыми процентными ставками.

Эффективная ставка процента () – совокупно начисленная за год процентная ставка, которая эквивалентна годовой процентной ставке при капитализации чаще, чем один раз в год.

Эта последняя известна так же как номинальная, или заявленная, ставка процента. Эффективная и номинальные ставки эквивалентны, когда обеспечивают одинаковую будущую стоимость. Таким образом, для того, чтобы найти эффективную ставку процента, необходимо, очевидно, решить следующее уравнение:

В левой части данного уравнения показана будущая стоимость (через один год) 1 ден. ед., на которую начисляется эффективная процентная ставка, а в правой части – будущая стоимость 1 ден. ед., на которую начисляется сложный процент в течение т периодов при ставке за период. Так как т периодов в совокупности составляют год, то рассматриваемое уравнение отражает совершенно естественное требование того, чтобы оба эти значения будущей стоимости были равны.

Для произвольного количества лег () имеем

Эффективная процентная ставка часто используется для сравнения инвестиционных альтернатив при разных процентных ставках и периодах капитализации. Рассчитав в этом случае эффективные ставки процента, предпочтение должно быть отдано (при прочих равных условиях) варианту с бо́льшим значением эффективной (фактической) ставки процента.

Пример. Предположим, что вы планируете инвестировать 100 000 долл. США, и имеете возможность вложить их под 12% годовых с ежемесячной капитализацией. Есть и другой вариант: можете вложить свои средства под 12,4% годовых с полугодовой капитализацией. Какой вариант предпочесть?

Для ответа вычислим эффективные ставки процента по обоим вариантам:

Сравнительный анализ результатов расчетов свидетельствует о более высокой эффективности второго инвестиционного варианта вложения средств.

Определение неизвестной процентной ставки

В некоторых финансовых расчетах инвесторы для обоснования своих решений сталкиваются с необходимостью определения неизвестной процентной ставки, связывающей конкретные значения настоящей (приведенной) и будущей стоимости при известном сроке их разделяющем. Например, некоторые виды облигаций требуют платежа сегодня и предполагают будущий платеж на заданную сумму, но подразумеваемая при этом процентная ставка не указывается, и поэтому ее приходится рассчитывать.

Это можно сделать после соответствующего преобразования формулы, связывающей настоящую (приведенную) и будущую стоимости. В результате получим

Пример. Вам предлагают инвестировать денежные средства, гарантируя удвоить их объем через пять лет. Целесообразно ли последовать данному предложению, если у вас имеется альтернативная возможность размещения денег под 14% годовых?

Решение.

Следовательно, сделанное предложение экономически выгодно.

Определение неизвестного числа периодов

Иногда финансовым менеджерам требуется вычислить, какое время понадобится для того, чтобы инвестированная в конкретный проект сумма достигла, при известной процентной ставке, определенного (заданного) размера. Например, менеджера пенсионного фонда, располагающего конкретным объемом денежных средств сегодня для обеспечения будущих пенсионных платежей, может интересовать, за какой период эти средства вырастут до некоторой величины, позволяющей обеспечить выполнение обязательств фонда. Здесь, как и в предыдущем случае, решение может быть найдено из уравнения, связывающего настоящую (сегодняшнюю) и будущую стоимости:

Перепишем ее следующим образом:

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей равенства:

Согласно свойству логарифма запишем

Решение этого уравнения для t дает

Пример. В начале года инвестор открывает в банке депозит на сумму 10000 долл. США с целью получения по счету 11881 долл. Банк начисляет 9% годовых, капитализация процентов осуществляется в конце каждого года. На какой период времени следует открыть депозит?

Решение.

Для приблизительного расчета количества дискретов (периодов) времени, требуемых для удвоения инвестиций, можно воспользоваться известным "правилом 72", дающим очень хорошее приближение. Искомая величина здесь может быть рассчитана делением числа "72" на ставку процента, задаваемую в процентах.

• Значение множителя наращения (1 + г)", а также обратного ему коэффициента дисконтирования 1/(1 + г)" табулированы и приводятся практически в любом учебном пособии по финансовым вычислениям (приложение 1).
• Экспонента е имеет бесконечное число знаков после запятой: 2,71828182845904523536287...

2.5. Способы начисления процентов

Существуют два способа определения и начисления процентов.

Декурсивный способ начисления процентов: проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Их величина определяется, исходя из величины начального капитала.

Антисипативный способ начисления процентов (предварительный) : проценты начисляются в начале каждого интервала начисления . Сумма процентных денег определяется, исходя из наращенной суммы.

2.6. Основные схемы начисления процентов

А. В зависимости от базы начисления процентов , известны две основные схемы дискретного начисления процентов: схема простых и схема сложных процентов.

Схема простых процентов (simple interest ) предполагает постоянную базу для начисления процентов - одну и ту же первоначальную денежную сумму в течение всего периода начисления.

Инвестированный капитал ежегодно увеличивается на одну и ту же величину.

Схема сложных процентов (compound interest ) предполагает переменную базу для начисления процентов. Очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала (как для простых процентов), а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные за предыдущие интервалы и не востребованные инвестором проценты.

В этом случае происходит капитализация процентов, т.е. присоединение начисленных процентов к их базе. Следовательно, база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Сложные проценты иначе называют "проценты на проценты ".

Б. Процентные ставки в зависимости от постоянства значения в течение действия контрактамогут быть фиксированными и плавающими .

В. В зависимости от постоянства интервала времени начисления процентов (год, полугодие, квартал и т.п.) проценты могут быть дискретными и непрерывными ( за бесконечно малые промежутки времени).

3. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОСТЫХ ГОДОВЫХ ПРОЦЕНТОВ

Обозначения :

Величина первоначальной денежной суммы - долга, инвестиции,

Наращенная сумма в конце срока,

% - простая годовая ставка ссудного процента (ставка наращения),

Проценты за весь срок ссуды (ден. ед.),

Продолжительность периода начисления в годах (срок ссуды),

Число месяцев ссуды,

Число дней ссуды,

Сумма процентных денег, выплачиваемых за год,

Временнáя база для расчета процентов.

Схема простых процентов :

1) начисление процентов в конце интервала начисления (декурсивный способ начисления процентов);

2) простые процентные ставки применяются к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления, поэтому база для начисления процентов постоянная ;

3) простые ссудные проценты применяются в краткосрочных финансовых операциях (до года).

По схеме простых процентов за каждый год начисляется одинаковая сумма процентных денег .

В конце первого года наращенная сумма равна

в конце второго года –

в конце -ого года сумма составит

Таким образом, приращение капитала (проценты за весь срок ссуды лет) составляют

и, как видно, пропорционально сроку ссуды и ставке процента .

Наращенная сумма к концу срока составит

. (2)

Капитализация процентов выражается формулой

Процентная ставка (в процентах) есть отношение суммы годовых процентных денег к первоначальной сумме:

. (4)

Заметим, что последовательность наращенных сумм, ... , образует арифметическую прогрессию с первым членом и разностью.

Множитель наращения простых процентов равен отношению наращенной суммы к первоначальной сумме:

(5)

Он показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной суммы. Другими словами, величина характеризует будущую стоимость одной денежной единицы через лет при ставке процента.

1 2 . . . .

Рис. 1 - График функции наращенной суммы по простым процентам

Пример 4. Ссуда в размере рублей выдана на три года по простой ставке процентов годовых.

Найти сумму процентных денег, выплачиваемых за каждый год.

Записать последовательность сумм, начисленных к концу первого, второго, третьего года.

Найти наращенную сумму за три года.

Каковы проценты за весь срок ссуды?

Найти множитель наращения за три года.

Решение

По условию задачи, =1000, =0,2, =3.

1. За каждый год выплачивается сумма процентных денег

2. В конце первого года наращенная сумма будет равна

в конце второго года –

в конце третьего года - сумма

3. Величину наращенной суммы за три года вычислим по формуле (2):

4. Проценты за весь срок ссуды найдем по формуле (1):

5. Множитель наращения по простым процентам равен

Он показывает, во сколько раз увеличилась первоначальная сумма долга 1000 руб. к концу срока ссуды.

Наращение простыми процентами ежегодно по ставке годовых дает тот же результат, что и наращение простыми процентами по ставке за период длительностью (лет).

4. РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ ДЛЯ КРАТКОСРОЧНЫХ ССУД

Если банк начисляет в год , то за один месяц – , а за месяцев ссуды – . Наращенная сумма по простым процентам за месяцев составит

. (6)

Если банк начисляет в год , то за один день - (число дней в году или). Тогда за дней ссуды наращенная сумма составит

(7)

Определяя продолжительность финансовой операции в днях, принято день выдачи и день погашения суды считать за один день. Для определения в таблице порядковых номеров дней в году (Приложение, Таблица 1) из порядкового номера дня окончания займа вычитается номер первого дня.

Для нахождения начислений на вклад за лет, месяцев и дней можно вычислять проценты отдельно за лет, месяцев и дней, а затем просуммировать полученные результаты:

На практике используется три способа подсчета . При этом употребляются термины:

Точный процент - точное число дней в году (или 366) дней;

Обыкновенный процент – приближенное число дней в году дней;

Точное число дней для начисления процентов (количество дней минус 1, так как первый и последний день считаются за один день);

Приближенное число дней для начисления процентов (считается, что в каждом месяце по 30 дней, затем вычитается 1 день).

1 способ. Точный процент с точным числом дней ссуды (США, Великобритания). За временнýю базу берется точное число дней в году (или) и точное число дней ссуды .

2 способ. Обыкновенный процент с точным числом дней ссуды (Франция, Бельгия). Временнáя база равна приближенному числу дней в году дней, - точному числу дней ссуды .

3 способ. Обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды - коммерческий процент (Германия, Дания, Швеция). Временнáя база дней, равно приближенному числу дней ссуды (при допущении, что продолжительность любого месяца равна 30 дней.

Пример 5.

Кредит в размере тыс. руб. выдан марта по июня под % годовых. Найти наращенную сумму при расчете процентов по способу:

точный процент с точным числом дней ссуды,

обыкновенный процент с точным числом дней ссуды;

обыкновенный процент с приближенным числом дней ссуды.

Решение

По условию, =500000 руб., = 0,6.

1) При английской практике (точный процент с точным числом дней):

точное количество дней для начисления процентов составит:

= (количество дней кредита в марте) + (в апреле) + (в мае) + + (в июне) - (день первый и день последний считаются за один день) = дней.

Количество дней можно найти и другим способом. В таблице «Порядковые номера дней года» (см. Приложение) дата 25 марта имеет номер 84, а 12 июня – номер 163, тогда.

Временная база для начисления процентов = 365 дней.

Наращенную сумму вычислим по формуле точного простого процента: руб.

2) При французской практике количество дней для начисления процентов составит дней, как и при английской практике. База для начисления процентов = дней. Значит, наращенная сумма при обыкновенном простом проценте равна руб.

3) При германской практике количество дней для начисления процентов составит: = (количество дней кредита в марте) + (в апреле и мае считается по 30 дней) + (в июне) - (день первый и последний считаются за один день) = дней. База для начисления процентов = = дней. Значит, наращенная сумма составит (коммерческий процент)

5. ПЕРЕМЕННЫЕ СТАВКИ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ

Если в интервалах продолжительностью, ... , установлены различные ставки начисления простых процентов, ... , (переменные ставки ), то за весь срок договора наращенная сумма равна:

(11)

Формулой (11) можно пользоваться и в тех случаях, когда интервалы выражены в различных единицах времени. Необходимо помнить, что размерность каждого интервала должна быть согласована с размерностью процентной ставки : если выражен в годах, то - годовая процентная ставка, если выражен в месяцах, то - процентная ставка за один месяц и т.д.

Пример 6. Вклад на сумму тыс. руб. был положен в банк на условиях: в первый год простая процентная ставка равна годовых, а каждые последующие полгода ставка повышается на. Найти наращенную сумму за два года.

Решение

Введем обозначения: , (год), (лет), (лет), . Наращенная сумма за два года составит:

Контрольные вопросы

Какие задачи ставит и решает финансовая математика?

Что означает принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени?

Как учитывается время в финансовых расчетах?

Что представляют собой операции наращения, дисконтирования и приведения?

Проценты, дискретные и непрерывные проценты.

Период и способы начисления процентов.

Капитализация процентов.

Процентная ставка, наращение, годовая процентная ставка.

Какие методы начисления простых процентов вы знаете?

Формулы наращения по простым процентам.

Различные методики начисления простых процентов.

Изменение процентной ставки и величины вклада.

Определение процентной ставки и длины периода.

процентов Содержание Начисление сложных годовых процентов Сравнение наращения по простым и сложным процентам Наращение...

1. Сущность, цели и задачи финансового менеджмента (2)

   Реферат >> Финансы

   64 1. Сущность, цели и задачи финансового менеджмента 1.1.Сущность финансового менеджмента Финансовый менеджмент - это наука и искусство принимать инвестиционные решения и решения по выбору...

2. Основные определения финансового менеджмента

   Шпаргалка >> Финансы

   ... решения и решения по выбору источников финансирования. 2. Цель и задачи финансового менеджмента . ... во времени: простой % и сложный %. Простой процент - метод... управленческих решений . Главная факторная цепочка формирующая прибыль может быть предоставлена схемой ...

3. Сущность финансового менеджмента (2)

   Реферат >> Менеджмент

   Управления. 2) Управленческие решения в сфере финансового менеджмента должны быть динамичны. 3) Присутствие разнообразных вариантов управленческих решений . 4) ... стоимость: Простые проценты PV=PV/(1+rm) m Сложные проценты PV=PV/(1+r) Схема дисконтирования. ...

О том, насколько выгоден тот или иной банковский вклад, судят не только по процентной ставке, но и по способу начисления процентов. В банковской практике используются простые и сложные проценты.

С простыми процентами все более или менее понятно: проценты начисляются один раз в конце срока вклада.

В банковских договорах процентная ставка указывается за год. Для других периодов (например, месяца) нужно перевести срок вклада в дни использовать для расчета простых процентов следующую формулу:

Fv = Sv * (1 + R * (Td / Ty)), где

• Fv — итоговая сумма;
• Sv — начальная сумма;
• Td — срок вклада в днях;
• Ty — количество дней в году.

Сложные проценты — это такой вариант, при котором происходит капитализация процентов , т.е. их причисление к сумме вклада и последующий расчет дохода не от первоначальной, а от накопленной суммы вклада. Использование сложных процентов аналогично ситуации, при которой вкладчик по окончании определенного периода снимает со счета все средства (вклад плюс накопленные проценты), а затем делает новый вклад на всю полученную сумму.

Чуть подробнее о периодах. Дело в том, что капитализация происходит не постоянно, а с некоторой периодичностью. Как правило, такие периоды равны и чаще всего банки используют месяц, квартал или год.

В итоге, для расчета сложных процентов используется следующая формула:

Fv = Sv * (1 + (R / Ny))Nd, где

• Fv — итоговая сумма;
• Sv — начальная сумма;
• R — годовая процентная ставка;
• Ny — количество периодов капитализации в году;
• Nd — количество периодов капитализации за весь период вклада.

Для наглядности рассмотрим вклад в 10 000 рублей под 12 процентов годовых сроком на 1 год, но будет происходить ежемесячная капитализация процентов.
Общая сумма: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
Итоговый доход: 11 268,25 - 10 000 = 1 268,25 руб.
При вкладе с простыми процентами эта сумма (то есть прибыль вкладчика) составляет лишь 1 120 руб.

Необходимо отметить, что в договоре банковского вклада формулировки «простые проценты» или «сложные проценты» не используются. В этом документе отмечается, когда происходит начисление процентов. Для банковского вклада с простыми процентами используется формулировка «проценты начисляются в конце срока». Если же используется капитализация процентов, указывается, что начисление процентов происходит ежедневно, ежемесячно, ежеквартально или ежегодно.

Какие вклады выгоднее?

Из самой сущности сложных процентов следует, что чем чаще происходит их начисление (при равной процентной ставке), тем более выгодным будет вклад. Воспользуемся приведенной ранее формулой расчета сложных процентов чтобы убедиться в этом. Исходные данные - те же: сумма 10 000 руб., ставка - 12 процентов годовых.
При ежегодном начислении: 10 000 * (1 + 0,12)1 = 11 200 руб.
В данном случае сумма совпадет с суммой, полученной при расчете простых процентов, что вполне закономерно.
При ежеквартальном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 4)4 = 11 255,09 руб.
При ежемесячном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 12)12 = 11 268,25 руб.
При ежедневном начислении: 10 000 * (1 + 0,12 / 365)365 = 11 274,75 руб.
Итак, при равной процентной ставке вклад с капитализацией процентов, несомненно, более выгоден.

Но нередко складываются ситуации, когда нужно решить, что предпочесть: вклады с простыми процентами и более высокой процентной ставкой и вклады с капитализацией и меньшей процентной ставкой. Здесь тот факт, что процент тоже приносят прибыль, оказывается более выгодным лишь до определенного предела. Поэтому торопиться не стоит. Нужно внимательно изучить условия каждого из предлагаемых вкладов и произвести соответствующие вычисления.

Допустим, клиент выбирает между двумя вариантами вложения денег на срок 1 год: вклад с простыми процентами и ставкой в 12 процентов годовых и вклад со сложными процентами (ежеквартальное начисление) и ставкой в 10 процентов годовых. Прибыль в первом случае уже рассчитана и составляет 1120 руб. Прибыль для второго случая:
10 000 * (1 + 0,1 / 4)4 - 10 000 = 1 038 руб.
Таким образом, в этом случае вклад с простыми процентами и более высокой процентной ставкой оказывается предпочтительней.

Простые и сложные проценты: типы начисления процентов у банковских вкладов

Формулы простых и сложных процентов

Основной задачей кредитных учреждений является привлечение средств с целью их концентрации и перераспределения в виде кредитов или финансовых ресурсов. Кредитные учреждения привлекают средства (депозиты) юридических и физических лиц с целью их дальнейшего размещения в виде кредитов за определенную плату. При этом плата за привлеченные ресурсы несколько ниже платы за размещенные. Плата за ресурсы устанавливается в процентах. Проценты по депозитам ниже, чем проценты по кредитам. Разница между процентной ставкой по кредитам и процентной ставкой по депозитам называется маржей. Маржа служит источником дохода кредитного учреждения.

Процентная ставка банка чрезвычайно важна как с позиций привлечения ресурсов, так и с позиций их размещения, поэтому регулирование процентной ставки осуществляется государством посредством установки учетной ставки центрального банка.

Основная цель инвестиций в кредитные институты состоит в получении процентного дохода (процентов). Процентный доход определяется на основе процентной ставки. Процентная ставка в финансовой практике устанавливается на год. В отдельных случаях ставка может быть установлена на более другой период.

На практике применяются два подхода к оценке процентного дохода – простые и сложные проценты.

При применении простых процентов доход рассчитывается от первоначальной суммы инвестиций не зависимо от срока вложения.

При применении сложных процентов накопленная сумма процентов добавляется во вклад (реинвестируется, капитализируется) по окончании очередного периода начислений.

Первоначальная сумма и полученные проценты в совокупности называются наращенной суммой.

Так, если банковская ставка равна 10%, а первоначальная сумма 100 руб., то накопленная сумма за пять лет при применении простых и сложных процентов будет иметь вид:

Таблица 1. Наращенная сумма с использованием простых и сложных процентов.

Если обозначить:

 - процентная ставка;

S i – накопленная сумма к концу i-го года,

Тогда для простых процентов сумма по годам равна соответственно

S nt = (1 + n *  ) S 0 (1)

Для сложных процентов

S nt = (1 +  ) n S 0 (2)

Пример 1.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму если проценты:

а) простые

б) сложные.

Решение 1.

По формуле простых процентов

Sn=(1+3*0.12)*50 000 = 68000 руб.

По формуле сложных процентов

Sn=(1+0.12) 3 *50 000 = 70246 руб.

В банковской практике проценты могут начисляться чаще, чем 1 раз в год. При этом банковская ставка обычно устанавливается в пересчете на год. Формула сложных процентов будет иметь вид:

S nt = (1 +  / t ) n * t S 0 (3)

где t – число реинвестиций процентов в году.

Пример 2.

В банке открыт срочный депозит на сумму 50 тыс. руб. по 12% на 3 года. Рассчитать наращенную сумму, если проценты начисляются ежеквартально.

Решение 2.

По формуле сложных процентов

Sn = (1+0.12/4) 3*4 *50 000 = 1.03 12 *50 000 = 71288 руб.

Как следует из примеров 1 и 2, наращенная сумма будет возрастать тем быстрее, чем чаще начисляются проценты. Существует предел

где е – основание натурального логарифма.

Известно, что при малом значении α справедливо примерное равенство:

Отсюда следует, что при малых значениях n и α можно для расчетов применять формулу простых процентов. На практике все расчеты по депозитам и кредитам сроком менее года осуществляются по формуле простых процентов. Наращенная сумма за короткий период определяется по формуле:

(4)

Где nд – число дней депозита, 360 – число дней в году.

Эффективная ставка

Из вышесказанного следует, что при разных условиях начисления процентов вклады с одинаковыми процентными ставками позволяют получить разный доход. Отсюда вытекает проблема эквивалентных ставок. Ставки позволяющие получить одинаковый доход при разных условиях начисления процентов называются эквивалентными. Условие эквивалентности можно выразить уравнением

где α 1 и t 1 - процентная ставка и число реинвестиций в году по первому варианту, α 2 и t 2 - процентная ставка и число реинвестиций в году по второму варианту.

Если один из вариантов предполагает начисление 1 раз в году, то условие эквивалентности примет вид

Ставка, эквивалентная ставке с начислением процентов в конце года называется эффективной. Эффективная ставка выше номинальной. Эффективная ставка рассчитывается по формуле:

(5)

где α н – номинальная ставка, t – число реинвестиций в году.

Пример 3.

Банк предлагает два варианта депозита

1) под 120% с начислением процентов в конце года

2) под 100% с начислением процентов в конце каждого квартала.

Определить более выгодный вариант размещения депозитов на один год.

Более выгодным считается тот вариант, при котором наращенная за год сумма будет больше. Для оценки вариантов начальную сумму примем равную 100 руб.

По первому варианту наращенная сумма будет равна

(1+1,2)*100 руб. = 220 руб.

По второму варианту проценты начисляются ежеквартально. По окончании первого квартала наращенная сумма равна

(1+1,0/4)*100 руб. = 125 руб.

По окончании 2-го квартала

(1+1,0/4)*125 руб. = 156 руб. или (1+1,0/4) 2 *100 руб. = 156 руб.

За год наращенная сумма равна:

(1+1,0/4) 4 *100 руб. = 244 руб.

Как следует из расчетов второй вариант значительно выгоднее (244>220). Правда, только при условии применения сложных процентов. Однако, если по условия вклада проценты начисляются ежеквартально, то их можно "превратить" в сложные самостоятельно осуществив депозит в банк.

В банке появился новый вид вкладов с ежемесячным начислением процентов по ставке 12% в месяц с минимальной суммой вклада 300 руб. Проценты на проценты не начислялись, однако многие граждане превращали данный вклад во вклад со сложными процентами. Для этого достаточно было раз в месяц приходить в банк, снимать проценты и осуществлять новый вклад.

Эффективная ставка рассчитывается по формуле:

Это значит, что наращенная сумма будет одинакова по вкладам сроком 1 год под 144% и по вкладу сроком 1 год, при ставке 100% при условии ежеквартального начисления процентов.

Пример 4.

Банк принимает депозиты по ставке 50% с начислением процентов ежеквартально. Определить эффективную ставку.

Пример 5.

Процентная ставка 50% с начислением процентов в конце срока. Рассчитать эквивалентную ставку с начислением процентов раз в 6 месяцев.

Решить данную задачу можно двумя способами

1) на основе формулы эквивалентности

2) используя формулу эффективной ставки.

Оценка потока платежей

В практике финансовых расчетов применяется понятие настоящая стоимость будущих платежей. Поток платежей может быть равномерным или неравномерным. Равномерный поток называется финансовой рентой или аннуитетом. В задачу оценки потока платежей входит определение его текущей стоимости. Текущая оценка осуществляется на основе сравнения будущих платежей с вкладом в банк. Цена ренты представляет собой сумму, которую необходимо вложить в банк под определенный процент, чтобы обеспечить те же платежи и в те же сроки, которые обеспечивает рента.

Эта задача обратная определению наращенной стоимости. Так, если в качестве примера ренты принять бескупонную облигацию номиналом Н и сроком до погашения n лет, то ее расчетная цена может быть определена по формуле

,

Для потока платежей с неравными выплатами текущая стоимость выплат равна:

Например:

У гражданина двое детей в возрасте 10 и 15 лет. Он желает каждому выплатить к 18-летию по 20 тыс. руб. Сколько необходимо вложить в банк, чтобы обеспечить данные выплаты, если банк выплачивает 10% годовых.

Время до 1-й выплаты 3 года, до 2-й – 8 лет. Начальная сумма вклада равна:

Решение задач №1- 12 производим с помощью Excel.