Операции наращения и дисконтирования.

Концепция стоимости денег во времени.

Временная ценность денежных вложений относится к одной из основных концепций, используемых в инвестиционном анализе. Необходимость учета временного фактора заставляет особое внимание уделять оценке базовых финансовых показателей. Разность в оценке текущих денежных средств и той же самой их суммы в будущем может быть связана с:

§ негативным воздействием инфляции, в связи с чем происходит уменьшение покупательной способности денег;

§ возможностью альтернативного вложения денежных средств и их реинвестирования в будущем (фактор упущенной выгоды);

§ ростом риска, связанного с вероятностью невозврата инвестированных средств (чем длительнее срок вложения капитала, тем выше степень риска);

§ потребительскими предпочтениями (лучше получить меньше доход в ближайшем периоде, чем ожидать большее, но в отдаленной перспективе).

В планируемом периоде анализ предстоящей реализации различного вида инвестиционных проектов может осуществляться по двум противоположным направлениям. С одной стороны, определяется будущая стоимостная оценка первоначальной величины инвестиций и доходов (дивидендов, процентов, прибыли, денежных потоков и пр.), полученных в результате осуществления этих капиталовложений. С другой стороны, приращенные в ходе инвестирования денежные средства оцениваются с позиции их текущей (настоящей) стоимости. В соответствии с этим в финансово-инвестиционном анализе используются операции дисконтирования и наращения капитала. Принципиальная схема инвестиционного анализа, осуществляемого с учетом временной ценности денежных вложений, представлена на рис. 1.

Рис. 1. Схема проведения инвестиционного анализа с использованием операций наращения и дисконтирования капитала

Операции наращения и дисконтирования.

При разработке оптимальных финансовых решений в определенных ситуациях требуется проведение оценки будущей стоимости инвестированных денежных средств. Нахождение будущей стоимости денежных средств по истечении одного периода времени и при известном значении темпа их прироста осуществляется по формуле

где FV 1 - будущая стоимость денежных средств в конце первого периода инвестирования (t=1), тыс. руб.;

РV - первоначальная (принципиальная) сумма денежных средств, инвестированных в начальный период времени (t = 0), тыс. руб.;

Процесс, в котором при заданных значениях PV и r необходимо найти величину будущей стоимости инвестированных средств к концу определенного периода времени (n) называется операцией наращения. В практике инвестиционного анализа «темп прироста» денежных средств принято называть «процентом», «ставкой процента» или «нормой рентабельности», а первоначальную сумму денежных средств - «текущей стоимостью» (РV).

Из предыдущей зависимости FV 1 от РV темп прироста денежных средств исчисляется по формуле:

Оценка будущей стоимости денежных вложений, инвестированных на срок более одного периода времени, - более сложная задача. Ответ на вопрос, какой будет будущая стоимость денежных средств в n -й период времени, зависит от того, простой или сложный процент будет применяться в расчетах. Использование простого процента (simple interest) свидетельствует о том, что инвестор будет получать доход (наращивать капитал) только с принципиальной суммы начальных инвестиций в течение всего срока реализации проекта. В противоположность данному подходу использование сложного процента (compound interest) говорит о том, что полученный доход (проценты, дивиденды или пр.) периодически добавляется к сумме начальной инвестиции, в результате помимо первоначальной суммы денежных средств процент берется также из накопленной в предыдущих периодах суммы процентных платежей или любого другого вида доходов. В математическом исчислении операция наращения с использованием сложных процентов к концу второго периода реализации проекта определяется по формуле

В конце n-гo периода времени будущая стоимость денежных средств (FV n) исчисляется по формуле:

Данная формула расчета FV n является базовой в инвестиционном анализе. Для облегчения процедуры нахождения показателя FV n предварительно рассчитывается величина множителя (1+r) n при различных значениях r и n. В этом случае FV n находим по формуле:

где FVIFr,n - фактор (множитель) будущей стоимости денежных вложений, коэф.

В инвестиционном анализе под стандартным временным интервалом принято рассматривать один год. В случае же, когда дополнительно оговаривается частота выплаты процентов по вложенным средствам в течение года, формула расчета будущей стоимости инвестированного капитала может быть представлена в следующем виде:

где r - годовая процентная ставка, коэф.;

m - количество начислений в году, ед.;

n - срок вложения денежных средств, год.

Начисление процентов (дивидендов или др.) может осуществляться ежедневно, ежемесячно, поквартально, один раз в полугодие и один раз в год. Характерно, что чем больше количество раз в течение года будут начисляться проценты, тем больше будет FV в конце n-го периода времени. Для целей анализа отношение r/m принято рассматривать в качестве процентной ставки, а произведение - n∙m в качестве срока инвестирования. Этот случай соответствует следующей экономической ситуации.

Пример. Коммерческая организация приняла решение инвестировать на пятилетний срок свободные денежные средства в размере 30 тыс. руб. Имеются три альтернативных варианта вложений. По первому варианту средства вносятся на депозитный счет банка с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 20 % годовых. По второму варианту средства передаются сторонней организации в качестве займа, при этом на переданную в долг сумму ежегодно начисляется 25 %. По третьему варианту средства помещаются на депозитный счет коммерческого банка с начислением сложных процентов по ставке 16 % годовых ежеквартально. Если не учитывать уровень риска, наилучший вариант вложения денежных средств может быть определен при помощи показателя FV n . По варианту I: FV n = 30 тыс. руб. × (1+0,2) 5 = 74,7 тыс. руб. По варианту II: FV n = 30 тыс. руб. + 5 × (30 тыс. руб. × 0,25) = 67,5 тыс. руб. По варианту III: FV n - 30 тыс. руб. × (1+0,16/4) 5∙4 = 65,7 тыс. руб. В данных условиях первый вариант более предпочтителен для предприятия.

Наращение денежных средств имеет максимальное (предельное) значение, когда интервал наращения становится бесконечно малым (количество начислений в году стремится к бесконечности). В этом случае показатель FV n определяется по формуле:

FV n = PV∙e r ∙ n

где е - трансцендентное число е, равное 2,718281...(постоянная величина).

В финансовых расчетах должна учитываться инфляция, тем более если она значительна. С одной стороны, сумма, положенная, например, на депозит, получит приращение, а с другой - утратит свою реальную стоимость в результате инфляции. Для определения наращенной суммы с учетом инфляции используют алгоритм:

где - будущая стоимость денежных средств c учетом инфляции в конце n-ого периода инвестирования, тыс. руб.;

РV - первоначальная (принципиальная) сумма денежных средств, инвестированных в начальный период времени, тыс. руб.;

r - темп прироста денежных средств, коэф.

m - число начислений в году;

h - ожидаемый месячный темп инфляции;

n - число месяцев.

Пример. Предположим, что на депозит положена сумма 1000 тыс. руб. Номинальная годовая банковская ставка равна 16%. Сложные проценты начисляются каждый месяц, т.е. годовая номинальная ставка применяется 12 раз в году (m). Ожидаемый месячный темп инфляции равен 10%. Определим наращенную сумму (с учетом инфляции) через 5 месяцев, а также эрозию капитала (ЭК), или уменьшение реальной стоимости суммы, положенной на депозит :

Эрозия капитала составит: 663,2 тыс. руб. - 1000 тыс. руб. = - 336,8 тыс. руб.

Как и в случае с наращением капитала, для оптимального принятия финансовых решений чрезвычайно важно знать и учитывать в анализе временной интервал дисконтирования. Если начисление процентов планируется (или произошло) более одного раза в год, формулу для нахождения РV необходимо представлять в следующем виде:

Возможности практического использования показателя PV pacкрываются в различных экономических ситуациях, когда возникает необходимость обоснования финансово-инвестиционных решений с учетом временной ценности денежных вложений.

Одна из типичных ситуаций в инвестиционной деятельности хозяйствующих субъектов представлена ниже.

Пример. Коммерческая организация планирует приобрести помещения под склад и офис. Эксперты оценивают будущую стоимость недвижимости в размере 10 млн. руб. По банковским депозитным счетам установлены ставки в размере 18% с ежегодным начислением сложных процентов и 14% с ежеквартальным начислением сложных процентов. При помощи показателя PV можно определить, какую сумму средств необходимо поместить на банковский депозитный счет, чтобы через два года получить достаточную сумму для покупки недвижимости. Расчет оптимального варианта инвестирования осуществляется следующим образом: в первом случае PV = 10 млн руб. × (1/ 2) = 7,18 млн руб.; во втором случае РV = 10 млн. руб.∙(1/ 2 × 4) = 7,59 млн руб. Очевидно, что более выгодным для предприятия является вложение меньшей суммы средств, т.е. первый вариант.

Отношение 1/(1+r) n известно как фактор (множитель) текущей стоимости (РVIFr,n). Стандартные значения РVIFr,n могут быть найдены в специальных таблицах. Формула расчета PV уравнивает, с точки зрения инвестора, ценность денежных средств сегодня и ожидаемого к получению денежного потока в будущем.

При заданной величине дисконтной ставки текущая стоимость денежных потоков достигнет своего минимально возможного значения при непрерывном дисконтировании. В этом случае (когда m => +∞) текущая стоимость исчисляется по формуле.

Логика построения основных алгоритмов по решению инвестиционных задач достаточно проста и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV – PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой. Этот показатель рассчитывается как отношение приращения исходной суммы к базовой величине, и качестве которой, очевидно, можно взять либо PV, либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул:

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще названия "процентная ставка", а второй - "учетная ставка", "дисконтная ставка". Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения.

Как же соотносятся между собой эти показатели? Очевидно, что r t >d t , а степень расхождения зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, если r t = 8%, а d t = 7,4%, то расхождение сравнительно невелико; если r t = 80%, то d t = 44,4%, т.е. ставки существенно различаются по величине.

В прогнозных расчетах (например, при оценке инвестиционных проектов), обычно имеют дело с процентной ставкой. Как правило, расчеты проводится в относительно стабильной экономике, когда уровни процентных ставок невелики и сравнительно предсказуемы в том смысле, что их значения не могут измениться в несколько раз. Если вероятна значительная вариабельность процентных ставок, должны применяться другие методы анализа и принятия решений, основанные главным образом на неформализованных критериях.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения, искомая величина - наращенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приведенной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дисконтирования. В первом случае речь о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему.

Пример 4. Предприятие получило кредит на один год в размере 500 тыс.руб с условием возврата 1000 тыс. руб. В этом случае процентная ставка равна 100%, а дисконт - 50%:

В практике финансово-экономических расчетов часто требует определить будущую стоимость размещенных средств, но и решать обратную задачу: по сумме будущих размещенных средств определять требуемые суммы вложений, то есть осуществлять процесс дисконтирования.

В этих расчетах величина РV называется приведенной современной стоимостью суммы РV, а при операции наращения сумма FV выступает как будущая стоимость величины РV.

Следует иметь в виду, что привести стоимость денег можно к любому нужному моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции. Кроме того, с помощью дисконтирования определяют современную стоимость денег независимо от того, действительно ли совершалась кредитная операция и можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

Из формул наращения процентов производится обратное действие, или расчет денежных средств, предоставляемых в долг (величины РV). Такой способ начисления дохода называется математическим дисконтированием.

На практике подобные расчеты встречаются не часто. Например, для определения суммы капитала, которую нужно инвестировать под определенные проценты, чтобы получить требуемую сумму денег, а также чтобы начислить проценты, удерживаемые вперед при выдаче ссуды.

Пример 5. Ставка размещения краткосрочных денежных ресурсов для банков на 3 суток составляет 28% годовых. Какой объем средств необходимо разместить, чтобы в результате операции поступило 1,5 млн руб. (точные проценты).

Пример 6. Подлежащая возврату сумма долга - 10 млн руб. Определить сумму начисленных процентов, если срок ссуды 1 год, декурсивная ставка процентов 30% годовых.

Наиболее часто при анализе эффективности инвестиционных проектов проводят расчеты по дисконтированию с использованием сложной ставки процентов:

Пример 7. Определим сколько необходимо вложить денег в проект, будущая стоимость которого через 10 лет составит 200 млн.руб. Ставка дисконтирования за период составит 20%.

Пример 8. Ежегодно в конце года в течении 4 лет на счет поступают 50 тыс.руб. Определим будущую стоимость, если ежегодно в конце года осуществляется начисление сложных процентов при ставке 10%.

Наращенные отдельные платежи представляют геометрическую прогрессию. Тогда будущую стоимость можно определить по формуле:

Если вложения осуществляются чаще или реже, чем один раз в год, то формула модернизируется следующим образом:

n – количество платежей в год

j – ставка процентов

m – количество раз начисления процентов

Пример 9. Для погашения задолженности единовременным платежом через два года должником в кредитном учреждении создается погасительный фонд, в котором постепенно накапливаются достаточные для этого средства. Определим размер равных взносов в конце полугодия для создания через три года погасительного фонда в размере 500 млн.руб. Проценты на созданный фонд начисляются ежеквартально исходя из годовой ставки 26%.

В финансовом анализе распространено применение таких операций, как наращение и дисконтирование. Они рассматриваются в качестве эффективных инструментов выявления перспектив инвестирования капитала в те или иные проекты с учетом инфляции, рентабельности производств и иных факторов экономического характера. В чем специфика соответствующих операций? Какие формулы применяются в процессе их осуществления?

Что представляет собой дисконтирование?

Изучим для начала, в чем сущность операций наращения и дисконтирования. Также полезно будет определить принципиальную разницу между ними. Начнем со специфики дисконтирования. Под данным термином принято понимать процедуру, посредством которой исчисляется величина, отражающая сумму денежных средств, необходимых в настоящем времени для получения требуемого объема капитала в будущем посредством инвестирования в некоторый проект.

Дисконтирование предполагает осуществление вычислений, в рамках которых в расчет берутся такие показатели, как: ожидаемая сумма, отражающая результаты инвестирования, ставка дисконтирования и приведенная сумма - та, которую необходимо инвестировать по соответствующей ставке. С экономической точки зрения дисконтирование нужно для того, чтобы определить, какую сумму инвестиций требуется вложить для получения желаемого финансового результата с учетом доступной ставки. Рассмотрим, посредством какой формулы осуществляется соответствующий расчет.

Формула дисконтирования

В формуле дисконтирования присутствуют следующие основные элементы: величина желаемого результата инвестирования (назовем его условно РИ), ставка дисконтирования (СД), время между началом инвестирования и выводом капитала (ВИ). Нам необходимо, таким образом, найти сумму вложений (СВ), которую необходимо инвестировать в проект с установленной СД с тем, чтобы получить РИ через ВИ. Можно отметить, что СВ иногда также в ряде случаев можно именовать приведенной суммой (но это не всегда так, и далее в статье мы рассмотрим, почему).

Условимся, что СД составляет 20 %, РИ - 10 млн рублей, а ВИ - 1 год. В этом случае нужно 10 млн рублей разделить на 1,2 - так мы определим цифру, которая, увеличившись на 20 %, будет равна РИ. В данном случае это 8,333 млн рублей. Это есть СВ - сумма вложений, которую при ставке 20 % годовых необходимо вложить в проект, чтобы через год получить 10 млн рублей.

Операции наращения и дисконтирования - понятия, которые могут использоваться в разных трактовках. Каких, например?

То же дисконтирование с точки зрения экономического анализа может обозначать вычисление текущей стоимости какого-либо объекта с учетом его удорожания или удешевления с течением времени под влиянием тех или иных факторов (как вариант, инфляции - если это валюта; износа, технологического устаревания - если это объекты инфраструктуры). Например, в распоряжении человека 100 долларов, и он может купить на них, условно говоря, 10 килограммов яблок. Через год он, исходя из инфляционных процессов, сможет купить на 100 долларов только 8 килограммов яблок. Таким образом, 100 дисконтированных долларов будущего года равны 80 долларам текущего. Удешевление располагаемой человеком валюты вследствие инфляционных процессов составляет 20 %.

Что представляет собой наращение?

Изучим теперь специфику операций наращения. Под ними понимается вычисление суммы, отражающей результат инвестирования денежных средств в некоторый проект с учетом действующей ставки. Фактически наращение позволяет определить, насколько рентабельным будет вложение капитала.

Формула наращения

Изучим, посредством какой формулы может исчисляться рассматриваемый показатель. Ее структура весьма проста. Основными элементами формулы, о которой идет речь, будут: размер инвестиционного капитала (условимся называть его ИК), ставка наращения (СН), время инвестирования (ВИ).

Для того чтобы найти наращенную стоимость капитала (НС), нужно увеличить ИК на СН, выраженную в процентах. То есть если ИК равен 100 тыс. рублей, а СН - 20 процентов годовых, то НС, вложенный в соответствующий проект в начале года, составит 120 тыс. рублей через год.

С точки зрения, опять же, экономического анализа под термином «наращение» может пониматься вычисление будущей стоимости какого-либо объекта с учетом его удорожания или удешевления с течением времени. Как правило, на его динамику влияют те же факторы, что и в случае с дисконтированием. В случае с валютой - это инфляция. Несложно подсчитать, что нарощенная стоимость 100 сегодняшних долларов, исходя из их покупательной способности относительно яблок в соответствии с примером, рассмотренным выше, составит порядка 125 единиц валюты через год.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что операции наращения и дисконтирования тесно связаны между собой. И тот и другой показатель имеют одинаковую полезность при осуществлении финансового анализа деятельности предприятия или экономических процессов. Фактически операция дисконтирования - операция, обратная операции наращения. Первая позволяет узнать, какую величину инвестиций нужно вложить в проект с тем, чтобы получить результат, отражающий наращение капитала. Вторая - фиксирует целевое значение результативности вложений денежных средств исходя из размера исходного капитала. Рассмотрим, как обе операции могут использоваться на практике.

Наращение и дисконтирование - в чем их практическая значимость?

Операции наращения и дисконтирования могут применяться как инструмент анализа эффективности инвестирования в бизнес. Так, предприниматель, рассматривающий перспективы вложения в то или иное предприятие, будет заинтересован, чтобы условные 1000 долларов, проинвестированные в фирму сегодня, увеличились через несколько лет настолько, чтобы соответствующая инвестиция была выгоднее, чем какое-либо другое из доступных вложений. Например, в виде, депозита в банке.

Операции наращения и дисконтирования могут оказаться полезны в тех случаях, когда инвестору нужно просчитать, в какие именно бизнес-процессы стоит направлять денежные средства. Так, может выясниться, что для повышения рентабельности бизнеса потребуется осуществить своевременную модернизацию основных фондов в одних случаях и инвестирования в разработку - в других.

Логика дисконтирования и наращения как практический инструмент

Изучим, как логика операций дисконтирования (наращения) капитала может на практике помочь предпринимателю оптимизировать политику инвестирования. В случае с наращением, как мы уже знаем, вычисляется стоимость текущего объема денежных средств в расчете на их покупательную способность в будущем. Таким образом, в рамках данной операции в расчет берутся:

• размер исходного капитала;
• ставка наращения - как правило, выражаемая в процентах;
• длительность периода наращения - как правило, в годах.

Для того чтобы вычислить наращенную величину исходного капитала при инвестировании в бизнес, нужно знать расчетную рентабельность предприятия. То есть определить ставку наращения. Она может быть исчислена исходя из среднерыночных показателей или же из исторических сведений о предыдущем опыте инвестирования в фирму либо другие предприятия того же сегмента.

Стоит отметить, что формулы, задействуемые в процессе операций дисконтирования (наращения) капитала, состоят из элементов, которые могут довольно легко вычисляться, если известны другие. То есть если инвестор знает величину исходного капитала и полученного в рамках предыдущего контракта, то без проблем сможет вычислить ставку наращения, равно как и дисконтирования.

Универсальность формул дисконтирования и наращения

Формулы операций дисконтирования (наращения) капитала в достаточной мере универсальны. Они могут быть задействованы не только при анализе перспектив инвестирования, но также, к примеру, в банковском деле, при исследовании макроэкономических процессов, при изучении трендов в развитии отдельных сегментов национального хозяйства.

Так, вполне возможно осуществить операции наращения и дисконтирования аннуитетных платежей и определить, какие суммы кредита оптимальны для реализации того или иного проекта, и какие банки (исходя из процентной ставки) предлагают рынку самые выгодные условия. То же можно сказать и о депозитах, когда выгодополучателем является клиент кредитно-финансовой организации, который, по сути, является инвестором.

Пользоваться рассматриваемыми инструментами могут, таким образом, не только финансовые организации, но и их клиенты. Задействование соответствующих операций - обычная практика для современного предпринимателя. Могут использоваться операции наращения и дисконтирования в финансовом анализе - деятельности предприятия в целом или отдельных его подразделений. Соответствующие им показатели могут быть важным фактором принятия решений инвестором или менеджментом фирмы относительно перспектив вложений капитала в те или иные направления бизнеса.

Наращение и дисконтирование как аспект финансового анализа

Полезно будет более подробно рассмотреть, как могут применяться операции наращения и дисконтирования в финансовом анализе показателей деятельности коммерческого предприятия. Рассматриваемые инструменты позволяют выявить следующие моменты:

• какова зависимость между объемами инвестируемого в фирму капитала и вероятным ростом производства;
• насколько более привлекательными выглядят вложения в бизнес для инвестора в сравнении с альтернативными способами увеличения стоимости капитала;
• каковы оптимальные показатели рентабельности предприятия с точки зрения соблюдения баланса между интересами партнеров, вкладывающих в фирму свой капитал, и собственниками, для которых более важным фактором выстраивания стратегии развития бизнеса может быть расширение рынков сбыта.

Таким образом, рассматриваемые операции - эффективный инструмент оценки принимаемых менеджментом фирмы решений и анализа результатов практической реализации мероприятий, которые предусмотрены их принятием.

Инфляционный аспект наращения и дисконтирования

Выше мы отметили, что операции наращения и дисконтирования - это инструменты, позволяющие оценить покупательную способность капитала с учетом факторов инфляции. Полезно будет изучить данный аспект подробнее. Рыночная экономика характеризуется особенностью: со временем покупательная способность капитала меняется. Как правило, в сторону снижения. Это обусловлено инфляцией - ростом цен. Ставка дисконтирования, коррелирующая с процессами обесценивания валюты, позволяет наглядно зафиксировать, что инвестирование одних и тех же сумм капитала в разное время существенно отличается по эффективности.

Логика операций дисконтирования (наращения) капитала обязана, таким образом, учитывать инфляционные, а в ряде случаев и дефляционные процессы, когда, наоборот, стоимость капитала в будущем увеличивается вследствие снижения цен. При этом может рассматриваться как инфляция в среднем по экономике, так и изменение динамики цен по отдельным сегментам товаров и сервисов - в зависимости от задач, которые стоят перед исследователем. Не считая рассматриваемого экономического критерия, дисконтированная стоимость капитала на практике зависит также от таких факторов, как доступность альтернативных инвестиций, величина кредитных ставок, динамика спроса и предложения в том сегменте рынка, куда направляется капитал, сроки вложений.

Дисконтирование и приведенная стоимость: соотнесение понятий

Рассмотрим один примечательный нюанс, характеризующий специфику дисконтирования, - соотнесение данного термина с понятием приведенной стоимости. В чем его особенность?

Дело в том, что дисконтированная стоимость капитала и приведенная - термины, которые часто рассматриваются как синонимы, но они не всегда означают одно и то же. Выше мы указали, что второй термин можно применять в целях обозначения суммы вложений, необходимой для получения целевого значения результативности инвестирования капитала в проект с установленной ставкой рентабельности. Дело в том, что приведена может быть не только будущая стоимость капитала на текущий момент, но и наоборот. То есть соответствующий показатель может быть близким нарощенному объему денежных средств.

Можно отметить, что термин «приведенная стоимость» прижился главным образом в русском языке. Зарубежные экономисты чаще используют понятие дисконтированного финансового потока. Но в большинстве случаев, конечно, приведенная стоимость - термин, который применяется в качестве синонима к понятию дисконтированного капитала.

Резюме

Итак, мы изучили, какое практическое значение имеют операции наращения и дисконтирования в финансовом менеджменте, определили их сущность и различия. Какие выводы мы можем сделать? Прежде всего стоит отметить, что операции наращения и дисконтирования в финансовом анализе носят в достаточной мере универсальный характер. Они позволяют оптимизировать механизм привлечения внешних средств (инвестиционных или заемных), если речь идет о коммерческом проекте, оценить привлекательность условий по банковским кредитам, депозитам.

Операции наращения и дисконтирования по простым процентам или с учетом иных факторов, например, инфляции, рыночной конъюнктуры, позволяют отследить изменения в динамике стоимости капитала. Поэтому их применение - значимый фактор реализации успешных инвестпроектов и выстраивания конструктивных взаимоотношений предприятий и банков в бизнесе.

При исследовании эффективности предприятий также могут задействоваться операции наращения и дисконтирования. Использование в финансовом анализе данных показателей осуществляется в целях оценки перспектив инвестирования в фирмы, а также выявления потенциала роста бизнеса.

Процесс определения текущей стоимости денег называется дисконтированием.

Наиболее распространенное применение дисконтирования :
1) авансовое удержание с заемщика процентов в момент выдачи ссуды, т.е. до наступления срока ее погашения; 2) учет векселей в банке, когда банк, принимая вексель от предъявителя, выдает ему обозначенную на векселе сумму до срока его погашения. При этом банк удерживает в свою пользу проценты (дисконт) от суммы векселя за время, оставшееся до срока гашения; 3) оценка облигаций путем дисконтирования будущих купонных платежей, а также оценка акций на основе использования модели дисконтирования дивидендов.

Выделяют два вида дисконтирования – математическое дисконтирование (приведение по вкладу) и банковский учет (приведение по платежу).

Математическое дисконтирование определяет современное или приведенное значение Р на некоторый момент времени T, которое соответствует заданному значению F в другой момент времени t. Таким образом, математическое дисконтирование – это формула сравнения денежных сумм в любые моменты времени. Можно еще определить математическое дисконтирование как приведение по вкладу Р – это такой подход к расчету искомой предшествующей суммы Р, который дает сумму F (известную к началу расчета) при начислении процентов (простых или сложных) через n периодов. В этом случае за базовую величину, то есть за 100% принимается размер вклада Р.

Величину Р, найденную с помощью процесса дисконтирования, называют в зависимости от контекста приведенной (современной, текущей, капитализированной) стоимостью.

Приведем некоторые из формул математического дисконтирования.

1. Дисконтированное значение будущей суммы вклада по простой процентной ставке равно:

где r – простая годовая процентная ставка;

n – период начисления процентов;

k D - коэффициент дисконтирования (приведения), равный . Он показывает, какую долю составляет Р в величине F при простой процентной ставке.

2. Дисконтированное значение будущей суммы вклада по сложной процентной ставке равно:

где r с – сложная процентная ставка за единичный период начисления;

n – число периодов начисления процентов;

k DC - коэффициент дисконтирования, равный . Он показывает, какую долю составляет Р в величине F при сложной процентной ставке.

Формулы (1) и (2) используются в частности для сравнения потоков платежей и при расчете стоимости облигаций и прочих ценных бумаг.

Пример 1. Из какого капитала можно получить 3,4 млн. руб. через 3 года наращения по простым процентам при ставке 12%?

Решение . Р=3,4/ (1*30,12)=2,5 млн. руб. Дисконт=Р 2 -Р 1 =F-P=3,4-2,5=0,9 млн. руб.

Пример 2. Через полгода после заключения финансового соглашения о получении кредита должник обязан заплатить 2,14 тыс. руб. Какова первоначальная величина кредита, если он выдан под 14% годовых и начисляются обыкновенные проценты с приближенным числом дней?

Решение . Д=F-P=2,14-2=0,14 т.р.

Банковское дисконтирование или приведение по платежу (второй подход) состоит в том, что неизвестен размер платежа, к которому придем при удержании с конечной суммы F за срок n. В этом случае за 100% берется будущая сумма F.

Формула дисконтирования приведением по платежу по простым процентам: P n =F-n*d*F=F(1-nd), где d – учетная ставка, которая фиксирует процентное или долевое уменьшение суммы F на один период назад.

Формула дисконтирования приведением по платежу по сложным процентам: P n =F(1-d) n .

Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств банком. Поэтому далее в задачах будет использовано понятие векселя. Вексель – это долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определенную денежную сумму (номинал векселя F) в конкретный срок. Вексель может быть простым, переводным, коммерческим, казначейским и т.д. Чаще всего работа с векселем – это принятие векселя к погашению. Учет векселя означает оплату векселя с дисконтом, т.е. со скидкой с его номинала. Дисконт представляет собой проценты, начисленные за время n от дня дисконтирования до дня погашения векселя на сумму F, подлежащую оплате в конце срока. Чем выше значение дисконтной ставки, тем большую сумму удерживает банк в свою пользу. Вексель, допускающий участие третьих лиц, называется переводным или траттой. Учет векселя чаще всего осуществляется способом: приближенное число дней в году (360) и точное число дней в периоде от момента учета векселя до момента погашения (365/360). Приведем некоторые из формул банковского учета, содержащие дисконт.

Для простой учетной ставки:

1. Если срок n от даты учета до даты погашения составляет часть года, то дисконт определяется по формуле где

d –относительная величина годовой учетной ставки;

t- период начисления в днях; К- количество дней в году.

2. Цена покупки векселя банком или сумма, выдаваемая предъявителю учитываемого денежного обязательства по простой учетной ставке, рассчитывается по формуле:

F-номинальная сумма данного обязательства;

Р- цена покупки векселя банком или это деньги, которые получает владелец векселя, в случае операции дисконтирования;

D d -дисконт, сумма процентных денег;

(1-nd) – коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.

3. Процентный доход покупателя (банка) векселя по простой ставке:
Для сложной учетной ставки:

4. Формула для определения стоимости капитала, учтенного за n лет при m-кратном дисконтировании в течение года, примет вид:

С ростом числа дисконтирования в году величина учтенного капитала возрастает.

Для облегчения расчетов при удержании сложных процентов используются дисконтные множители , которые показывают, во сколько раз уменьшится сумма при удержании с нее сложных процентов по ставке d в течение n промежутков удержания: Dis(n,d)=(1-d) n .

5. Соотношение между простыми годовыми процентными ставками r и d, обеспечивающими через период времени n получение одной и той же наращенной величины F из начального капитала Р: d(1+nr)=r.

Ставки d и r, связанные между собой этим соотношением называются эквивалентными, так как они приводят к одинаковому финансовому результату.

Пример . 3. Найти учетную ставку, эквивалентную простой процентной ставке 19%, при наращении капитала за год.

Решение . N=1, r =0,19, d=0,19/(1+0,19)»0,15966, d»16%. Т. о., учет за год по учетной ставке 16% приносит такой же доход, как наращение простыми процентами по ставке 19%.

Если время измеряется в днях t, n=t/T, где Т – временная база, равная количеству дней в году. В этом случае

Пример 4. Банк учитывает вексель за 210 дней до срока по учетной ставке 12%, используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой операции по процентной ставке при временной базе, равной 365.

Решение . Если разные временные базы, то получим равенство: . Отсюда следует, что

нахождения сложной годовой учетной ставки.

Пример 5. Вексель был учтен за полтора года до срока, при этом владелец векселя получил 0,8 от написанной на векселе суммы. По какой сложной годовой учетной ставке был учтен этот вексель?

Решение . P=0,8; n=1,5; при m=1 d=1-0,8 1/1,5 =0,1382, т.е. d=13,82%

Пример 6. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму 50 т.р. со сроком погашения 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель по учетной ставке 30% годовых. Определить сумму, которую получит векселедержатель.

Решение . P=f*(1-nd)=50*(1-15/360*0,3)=49,375 т.р.

Непрерывное наращение и дисконтирование. Уменьшая частоту начисления в пределе можно перейти к непрерывным процентам. Максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Где е примерно равно 2,718281 –число Эйлера и r (¥) =d -обозначение непрерывной ставки и называют ее силой роста. Сила роста характеризует интенсивность наращения за год при непрерывном начислении процентов.

Аналогично другим множителям наращения е d n равен индексу роста суммы Р за n лет.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач (при выборе и обосновании инвестиционных решений). Также бывает целесообразно предполагать при оценке работы учреждения за период, в котором платежи поступают многократно, что накапливаемые суммы непрерывно меняются во времени, и применять непрерывное начисление процентов.

Бывают ситуации, когда непрерывное начисление процентов применяется непосредственно и при работе с клиентами.

Пример. На вклад в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты. Найти наращенную сумму за 7 лет, если сила роста изменяется следующим образом: в первые 2 года равна 8%, в следующие три года 10% и в каждый оставшийся год увеличивается на о,5%.

Решение .

Кредитные операции также связаны с дисконтированием. Рассмотрим операцию удержания процентов с суммы, взятой заемщиком в кредит. Проценты начисляются в начале интервала начисления и заемщик получает сумму Р за вычетом процентных денег D из суммы кредита S, которую следует вернуть. Удержание процентов можно проводить по простым и сложным процентам:

1. , где d – простая учетная ставка;

2. , где d с - сложная учетная ставка;

3. Срок, на который выдан кредит, рассчитывается по формуле: ,

4. Учетная ставка рассчитывается по формуле:

5. При непрерывном исчислении процентов, т.е. при мультиплицирующий множитель М(m, r/m) имеет предел, равный е r , где е-основание натуральных логарифмов (е=2,71). Непрерывным наращением процентов по ставке r называется увеличение суммы в е r раз за единичный промежуток начисления. Непрерывным дисконтированием называется обратная операция непрерывному наращению, т.е. уменьшение суммы в е i раз за единичный промежуток. Также справедливо следующее соотношение: .

Пример .На сумму в 2 тыс. руб. начисляются непрерывные проценты по ставке 8%. Определить наращенную сумму за 5 лет.

Операции наращения и дисконтирования являются основами финансовой математики. Они применяются как в бизнесе, так и в обычной жизни, например, при оформлении депозитного вклада или потребительского кредита. Используя эти показатели, можно рассчитывать стоимость будущих денег на данный момент или сегодняшних средств в будущем. Такие операции являются основой финансового анализа инвестиционных инициатив.

Большинство из нас сталкивалось с понятием банковского процента при размещении денег на депозитном счету и просчитывало, какой пассивный доход удастся получить, благодаря удачному вложению. Дисконтированием в быту пользуются гораздо реже, его основная сфера применения – бизнес. Операции наращивания и дисконтирования, по сути, схожи между собой, но имеют разную направленность во времени:

• наращение направлено в будущее и показывает цену сегодняшним деньгам через определенное время;
• дисконтирование имеет обратный вектор и характеризует цену ожидаемых прибылей по состоянию на сегодняшний день с учетом дисконта.

Основным элементом, отражающим временной фактор, выступает процентная ставка. Ее можно понимать как цену за использование денег, взятых взаймы.

Ставка в финансовом менеджменте применяется как норма доходности проводимых операций. Она исчисляется в процентах или долях единицы в результате деления полученного дохода на объем инвестированных средств.

Проценты бывают двух видов:

• Декурсивные (обычные). Они выплачиваются в конце установленного договором периода. Применяются при страховании, а также оформлении депозитов и кредитов.
• Антисипативные (авансовые). Они начисляются на начальной стадии установленного временного отрезка относительно количества денег, которое ожидается в конце (с учетом процентов), и выплачиваются получателем сразу при оформлении кредита. Используются в расчетах с иностранными контрагентами, а также при работе с ценными бумагами дисконтированными.

Рыночная экономика дает возможность частным инвесторам, инвестиционным компаниям или предприятиям разместить свободные деньги на условиях возвратности, платности и срочности, преследуя такие цели:

• гарантирование сохранности своих финансовых ресурсов от обесценивания, вызванного инфляционными процессами;
• получение дополнительного дохода (курсового, дисконтного или процентного).

Если известны начальная и конечная сумма, а также период вложения, то по формулам можно рассчитать значения дисконтной и процентной ставок. Например, известно, что предприниматель взял трехлетний кредит на 300 тысяч рублей, а в конце должен возвратить банку 400 тысяч рублей:

r = (FV - PV) / PV * n = (400 - 300) / 300 * 3 = 100 / 900 = 0,11, то есть 11%.

d = (FV - PV) / FV * n = (400 - 300) / 400 * 3 = 100 / 1200 = 0,08, то есть 8%.

Всегда существуют предприниматели или компании, которые нуждаются в деньгах для развития своего бизнеса, они готовы платить за предоставленную им ссуду. С другой стороны, имеются учреждения или организации, готовые за плату предоставить необходимый ресурс. Важно только понимать, на какое время, и на каких условиях можно брать деньги в долг, чтобы остаться в выигрыше. Именно для прогнозирования процессов такого роды и применяются методы наращения и дисконтирования.

Метод наращивания капитала

Наращивание (компаундирование) представляет собой увеличение начальной суммы (PV, Present Value) капитала за счет прибавления к ней через определенное время процентов как следствие какой-то финансовой операции. После этого можно увидеть итоговую сумму (FV, Future Value).

Определяют две разновидности процентов:

• Простые, когда начисление вознаграждения производится один раз в конце срока вклада. Обычно они применяются в краткосрочных операциях (длительностью до одного года), по окончании срока которых нужно снимать всю сумму вместе с пассивным доходом, а при необходимости снова вкладывать ее и оформлять все заново.
• Сложные, когда при расчете выгоды от каждого временного отрезка, учитываются уже начисленные на начальную сумму проценты за предыдущий временной отрезок. Такая методика характерна для долгосрочных вкладов.

Формула простых процентов имеет такой вид:

FV = PV * (1 + r* n)

• r – процентная ставка;
• n – количество периодов времени.

Просчитаем наращение по простым процентам при вкладе 20 тысяч рублей сроком на 1 год по ставке 7% годовых:

FV = 20000 * (1 + 0,07 * 1) = 21400

Таким образом, сумма начисленных процентов за год составит 1400 рублей. Если на тех же условиях положить деньги на 3 года, то получим такой результат:

FV = 20000 * (1 + 0,07 * 3) = 24200 рублей.

Теперь рассмотрим вариант, при котором те же деньги вкладывают на 3 года под аналогичный процент с начислением вознаграждения ежегодно. Здесь можно применить формулу сложных процентов:

FVn = PV (1 + r) n

FV1 = FV1 + FV1 * r = PV (1 + r) = 20000 (1 + 0,07) = 21400 ;

FV2 = FV2 + FV2 * r = PV (1 + r)2 = 20000 (1 + 0,07)2 = 22898 ;

FV3 = FV3 + FV3 * r = PV (1 + r)3 = 20000 (1 + 0,07)3 = 2450 0

Из наших вычислений можно увидеть, что наращение с применением сложных процентов за 3 года составит 4501 рубль. Вспомним, что если бы речь шла о простых процентах, то вкладчик получил бы несколько меньшую сумму. Разница составляет 300 рублей (24500 - 24200). На первый взгляд, это совсем немного, однако когда речь идет о крупных вкладах это различие становится существенным.

Если же по условиям договора начисление процентов производится чаще, чем раз в году (ежеквартально или ежемесячно), то наращивание первоначальной суммы идет более высокими темпами. Чем чаще период начисления, тем быстрее растет вложенный капитал.

Метод дисконтирования капитала

Понятие дисконтирования является важнейшим элементом оценки и анализа денежных потоков, возникающих в результате инвестирования финансов в любые начинания. Использование дисконтирования при совершении сделок и заключении договоров дает возможность собственникам избежать убытков и заработать на своих вложениях.

Дисконтирование – это механизм приведения будущей стоимости средств к состоянию на момент расчета. Он дает возможность, зная размер конечной суммы FV, найти величину суммы PV, которую следует вложить. Примерами дисконтирования могут служить такие случаи:

• При оформлении депозита клиент хочет знать, сколько ему необходимо денег положить на счет, чтобы через 3 года у него было 400 тысяч рублей.
• При получении ссуды клиент сразу должен выплатить проценты за ее использование, такая сделка носит название учет, а проценты в таком случае называют дисконтом.
• При покупке векселя раньше наступления времени его оплаты (учет векселя). В этом случае банк выплачивает держателю сумму, которая меньше номинала, а разница между номиналом и реально полученной суммой называется дисконтом.

Поскольку дисконтирование и наращение, по сути, являются зеркальным отражением друг друга, то легко находится путем преобразования формулы наращивания:

PV = FV * 1/(1 + r) n

Ставка дисконтирования (d) и процентная ставка (r) взаимосвязаны между собой соотношениями, которые можно выразить таким образом:

d = r * (PV / FV) – определяется относительно начальной суммы

r = d * (FV / PV) – определяется относительно наращенного денежного показателя.

Решим несложную задачу. Человек желает купить новую модель автомобиля, которая выйдет на рынок через 3 года. Заявленная производителем ориентировочная стоимость автомобиля составляет 22 тысячи долларов. Необходимо найти, сколько денег требуется положить на депозит сейчас при ставке 7% годовых, чтобы через три года выйти на искомый показатель. Подставляем исходные данные в формулу дисконтирования:

PV = 22000 * 1 / (1 + 0,07) 3 = 22000 * 1 / 1,225 = 22000 * 0,8163 = 17959

Для выхода на показатель 22000 долларов, сегодня под 7% годовых следует вложить 17959 долларов.

В нашем случае все достаточно очевидно, поскольку размер процентной ставки известен заранее. Гораздо сложнее определить значение этого критерия в случае оценки инвестиционного предложения. В этом случае ставка определяется различными методами, в которых используются такие показатели, как средний банковский процент, величина активов компании, размер и рентабельность капитала, размер дивидендов по ценным бумагам, потенциальные риски. Кроме того, учитывается темп инфляции и общеэкономические ожидания.