В видеолекции «Решение задач с экономическим содержанием» показаны основные подходы к решению нового типа задач из второй части ЕГЭ по математике - задач с "экономическим содержанием ", это немного усложненный вариант задач на проценты .
Посмотрев видеолекцию, вы научитесь решать задачи этого типа.
Видеолекция содержит всю необходимую теорию решения задач на проценты и пошаговое решение следующих задач:
1.Цена товара a руб. была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.
2.Число a составляет 80% числа b, а число c составляет 140% числа b. Найдите числа a, b и c, если известно, что c больше a на 72.
3. Цена первого товара поднялась на 40%, а потом еще на 25%. Цена второго товара поднялась на 30%, после чего оказалось, что цена первого товара на 40 процентов выше второго. На сколько процентов первоначальная цена первого товара была больше первоначальной цены второго товара?
4. Популярность продукта A за 2002 год выросла на 10%, в следующем году она снизилась на 20%, а в конце 2004 года сравнялась с популярностью продукта B. Популярность продукта B в 2002 году выросла на 20% , затем на протяжении одного года не изменялась, а за 2004 год снизилась на 10% . Как изменилась популярность продукта A за 2004 год, если в начале 2002 года она составляла 3/4 от популярности продукта B.
5. В магазине одежды проводилась распродажа. Костюмы продавались со скидкой 20%, плащи - со скидкой 40%. Покупатель купил костюм и плащ за 9180 рублей в сумме, заплатив на 32% меньше их суммарной первоначальной цены. Найдите первоначальные цены костюма и плаща.
6. В банк положен вклад под определенный процент годовых. Через год вкладчик снял ¼ получившейся суммы. Банк увеличил процент годовых в два раза по сравнению с предыдущим годом, и еще через год получившаяся сумма превысила первоначальный вклад на 164%. Каков новый процент годовых у банка?
7. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк ¾ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
8. Банк начисляет на вклады p процентов (p<25%) один раз в год. Вкладчик положил некоторую сумму на счет в банк. Через год вкладчик добавил к получившейся сумме столько, что сумма вклада стала в два раза больше первоначальной. Еще через два года его вклад увеличился до 43 тыс. 200 руб. Сколько процентов начисляет банк по вкладам в год, если за первый год процентные деньги составляли 3 тыс. руб.
9. Антикварный магазин продал картину со скидкой в 10% по сравнению с первоначально назначенной ценой и получил при этом 8% прибыли. Сколько процентов прибыли магазин предполагал получить первоначально?
10. Предприниматель вложил 3/7 своего капитала в покупку товара А, 70% оставшегося капитала в покупку товара Б, а все средства, оставшиеся после приобретения товаров А и Б, вложил в покупку товара В. При реализации товара А предприниматель потерпел убыток в 20%, а при реализации товара Б получил прибыль в размере 10%. Какой процент прибыли получил предприниматель от реализации товара В, если общая прибыль от реализации всех трех товаров составила 1%.
11. В банк помещен вклад в размере 3900 тыс руб под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял ко вкладу?
12. В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке 50% к текущей сумме на счете, во втором – 75% к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги – во второй банк с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах утроилось. Какую часть денег вкладчик положил в первый банк?
13. Известно, что вклад, находящийся в банке, с начала года возрастает к концу года на определённый процент (свой для каждого банка). В начале года 5/6 некоторого количества денег положили в первый банк. К концу года сумма этих вкладов стала равной 670 у.е., а к концу второго года – 749 у.е. Было подсчитано, что если бы первоначально 5/6 исходного количества денег положили во второй банк, то по истечении одного года сумма вкладов в эти банки стала бы равной 710 у.е. В предложении, что исходное количество денег первоначально целиком положено в первый банк, определить величину вклада по истечении двух лет.
14. Вновь созданное акционерное общество продало населению 1000 своих акций, установив скидку 10% на каждую пятую продаваемую акцию и 25 % на каждую тринадцатую продаваемую акцию. В случае, если на одну акцию выпадает обе скидки, то применяется большая из них. Определите сумму, вырученную от продажи всех акций, если цена акции составляет 1000 руб.
15. Магазин закупил некоторое количество товара и начал его реализацию по цене на 25% выше цены, назначенной производителем, чтобы чтобы покрыть затраты, связанные с его транспортировкой, и другие дополнительные расходы. Оставшуюся после реализации часть товара магазин уценил на 16% с тем, чтобы покрыть только затраты на покупку этой части товара у производителя и его транспортировку. Сколько процентов от цены, назначенной производителем, составляла цена транспортировки товара?
16. Бригаде грузчиков выделена некоторая сумма денег на разгрузку баржи, однако 3 человека заболели и в работе не участвовали. Оставшиеся выполнили задание, заработав каждый на 1,5 тысячи рублей больше, чем в случае работы в составе полной бригады. Определите выделенную бригаде сумму денег, если 5%-ный сбор за её банковский перевод обошелся работодателю дополнительно в величину, находящуюся в пределах от 1,2 до 1,6 тысяч рублей.
17. Банк планирует вложить на год 40% имеющихся у него средств в проект X, а остальные 60% - в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект X может принести прибыль в размере от 19% до 24 процентов годовых, а проект Y – от 29% до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты X и Y.
18. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом %, и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на %. Определите срок хранения вклада.
Посмотрите фрагмент видеолекции:
Немного теории
Рассмотрим вариант, когда мы вкладываем деньги в банк на N лет
1. Через год имеем на счету S 1 = S+r/100* S=(1+r/100) S
S 2 (1+r/100) 2 *S
S n =(1+r/100) n *S - (1)
q=(1+r/100) и формула (1) примет вид: S n =q n *S (2)
кредит в банке на N лет некоторую сумму S под r% годовых.
= S+r*S-X=(1+r)*S-X=q*S-X
2. Через год долг будет: = q 2 *S-(1+q)X
=q n *S-(1+q) n -1 *X.
Следовательно:
q n *S= *X (3)
Тип. Определение суммы кредита
Задача 1.1
1 способ:
2 способ:
2.
Ответ: 6330000
Задача № 1.2
Ответ: 1620 000
Задача № 1.3
Сергей взял кредит на срок 9 месяцев. В конце каждого общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?
Решение: Пусть Х- ежемесячно выплачиваемая сумма. Тогда S=9*X – сумма взята Сергеем в кредит. С другой стороны, S вып = 9*Х+ (9*Х+Х)/2*9*0.12=9*Х+5.4*Х=14.4*Х. Составим пропорцию:
Тогда У%=(14.4*100)/9=160%. Следовательно, сумма, уплаченная Сергеем банку, составит 60% от суммы кредита, взятого Сергеем в банке.
Задача №1. 4
Иван взял кредит в банке на 5 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму уплаченную Иваном. Суммы, выплачиваемые Иваном в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. За весь срок кредитования Иван выплатил банку в общей сложности 16250 рублей. Какую сумму он взял в банке в кредит?
Пусть X- равномерно выплачиваемая ежемесячная выплата. Тогда S=5*Х. Вся сумма выплаченная за период кредитования равна: S вып =5*Х+(5*Х+Х)/2*5*0.1=6,5*Х. По условию задачи 6,5*Х=16250. Следовательно, Х=2500 рублей. И сумма, полученная в кредит, равна: 2500*5=12500
Ответ:12500
Задача №5
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
· Каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
· С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
· В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Задача 2.1
15 января планируется взять кредит1,8 млн. рублей в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
15-го числа каждого месяца, последующего за месяцем получения кредита, долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Суммы, выплачиваемые Иваном, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Найдите r, если за первые шесть месяцев Иван выплатил банку 740250 рублей?
Пусть S=1800000 рублей – сумма кредита, Х- ежемесячно равномерно выплачиваемая сумма, r%- процентная ставка банка. Очевидно, что Х=1800000/24=75000 рублей.
1. Тогда вып =6*Х+(24*X+23*X+22*X+21*X+20*Х+19*Х)*0,01*r. Тогда r%=(740250-450000)/1,29*75000=3
Задача №2.2
- 1-го числа последующего месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца, последующего за месяцем получения кредита, долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r%.
Решение: Пусть S-сумма кредита в банке, Х- ежемесячно равномерно выплачиваемая сумма, r%- процентная ставка банка, известно также, что S вып =24*Х+(24Х+23Х+…+Х)*24*0,01*r. Следовательно, S вып =24*Х+3*Х*r . По условию задачи,
S вып =24*Х+3*Х*r - 125%
Произведя арифметические действия, получим: 3*r=6. Тогда, r%=2%
Задача №2.3
В июле планируется взять кредит на сумму 4,5 млн. рублей на срок 9 лет. Условия возврата таковы:
· 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с предыдущего года;
Найдите r%, если известно, что наибольший годовой платеж по кредиту составит не более 1,4 млн. рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн. рублей.
1. Пусть X- сумма ежемесячного равномерно вносимого платежа и она равна: Х=4500000/9=500000 рублей.
2. Теперь разберемся из чего складывается наибольшая сумма платежа: Х наиб ≥500000+0,01*r*4500000 (1)
3. Теперь разберемся из чего складывается наименьшая сумма платежа: Х наим ≤500000+0,01*r*500000 (2)
4. Решив неравенства (1) и (2), получим: . Следовательно, возможно только r=20
Задача №3.1
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 1300000 рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
· 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 10% по сравнению с предыдущего года;
· С февраля по июнь каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
· В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Задача №3.2
В июле планируется взять кредит на сумму 16 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия возврата таковы:
· 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 25% по сравнению с предыдущего года;
· С февраля по июнь каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
· В июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что выплаченная за весь срок кредитования сумма выплат составит 38 млн. рублей?
Пусть кредит взят на N лет. Тогда ежегодно равномерно выплачиваемая сумма равна . Тогда сумма полного погашения складывается из:
S вып =S+0,25* .*(N+(N-1)+(N-2)+….+1)=16+0,25* .*( *N
38=16+2*N+2. Следовательно, N=10
Задача №4.1
Зависимость объема Q (в шт) купленного у фирмы товара от цены P (руб за шт)выражается формулой: Q=15000-Р, где 1000≤Р≤15000. Доход от продажи товара составляет Q*Р рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют
3000* Q+5000000. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
Пусть D- доход от продажи, r-искомый процент увеличения сниженной цены, Z- затраты на производство, Y- предполагаемая прибыль, P- цена товара, Q - объем закупленного товара.
Тогда прибыль равна Y =D-Z=P*Q-3000*Q-5000000=P(15000-P)- 3000*(15000-P)-5000000= (15000-P)(P-3000)+5000000. Нам необходимо узнать первоначальную цену. Ее будем искать из условия, что прибыль не изменяется при снижении цены на 20%. Тогда Y=Y сн и потому (15000-P)(P-3000)+5000000=(15000-0,8*P)(0,8*P-3000)+5000000. Произведя необходимые вычисления, получим: 0,36*Р=3600 и Р=10000 рублей .
Теперь повысив цену Р c н на r%, получим:
=((15000-0,8* (1+ )*P)(0,8* (1+ )*P-3000)-5000000. Произведя вычисления, получим =(15000 -0,8* (1+ )*Р)(0,8* (1+ )*Р-3000-5000000
Так как Р- переменная величина (1000≤Р≤15000), то прибыль рассмотрим как функцию от переменной Р и получим: =(15000 -0,8* (1+ )*10000)(0,8* (1+ )*10000-3000)-5000000. Найдем производную от :
i =(-0,8* (1+ )*10000)(0,8* (1+ )*10000-3000)+ (15000 -0,8* (1+ )*10000)* 0,8* (1+ )*10000. i =0
15000 -0,8* (1+ )*10000 - 0,8* (1+ )*10000+3000=0. Разделив обе части на 1000, получим:18-1,6*(1+ )*10=0. Произведя вычисления, получим: 200=16*r. Отсюда,r=12,5%
Задача №4.2
Строительство нового завода стоит 75 млн. рублей. Затраты на Х тыс. единиц продукции на таком заводе равны 0,5*Х 2 +Х+7 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене Р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн. руб) за один год составит Р*Х-(0,5*Х 2 +Х+7). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении Р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
Пусть Y=Р*Х-(0,5*Х 2 +Х+7). Следовательно, Р*Х=25+0,5*Х 2 +Х+7. Тогда Р=(32+0,5*Х 2 +Х)/Х. Рассмотрев цену продукцию как функцию от затрат Х, получим:
Р(Х) =(32+0,5*Х 2 +Х)/Х. Тогда (Р(Х)) i =((Х+1)*Х-(32+0,5*Х 2 +Х)*1)/Х 2 . (Р(Х)) i =0
(Х+1)*Х-(32+0,5*Х 2 +Х)=0. Следовательно, 0,5*Х 2 =32. Очевидно, что Х=8 тыс. ед
Вычислим Р=(32+0,5*64+8)/8=9 тыс. рублей.
Задачи для самостоятельного решения
Типы экономических задач:
VI. Другие задачи
Предлагаю Вам самостоятельно:
1. Определить тип задачи и выбрать метод решения
2. Построение математической модели и получение результата.
1. 1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300000 рублей?
2. Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
3. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
r
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r .
4. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
5. Савелий хочет взять в кредит 1,4 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Савелий взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 330 тысяч рублей?
6. Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r .
7.
1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
r .
8. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?
9. Гражданин Петров по случаю рождения сына открыл 1 сентября 2008 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на счёте. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и 1 сентября 2014 года он открыл в другом банке счёт, на который ежегодно кладёт по 2200 рублей, а банк начисляет 44% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимают?
10. В начале года 5/6 некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось - в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у.е., к концу следующего - 749 у.е. Если первоначально 5/6 суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у.е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.
11. Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r .
12. Баба Валя, накопив часть своей пенсии, решила улучшить свое материальное положение. Она узнала, что в Сбербанке от пенсионеров принимают вклады под определенный процент годовых и на этих условиях внесла свои сбережения в ближайшее отделение Сбербанка. Но через некоторое время соседка ей рассказала, что недалеко от той местности, где проживают пенсионеры, есть коммерческий банк, в котором процент годовых для пенсионеров-вкладчиков в 20 раз выше, чем в Сбербанке. Баба Валя не доверяла коммерческим банкам, но стремление улучшить свое материальное положение взяло верх. После долгих колебаний и ровно через год после открытия счета в Сбербанке Баба Валя сняла половину образовавшей суммы от ее вклада, заявив: «Такой навар меня не устраивает!» И открыла счет в том коммерческом банке, о котором говорила ее соседка, не теряя надежды на значительное улучшение своего материального благосостояния.
Надежды оправдались: через год сумма Бабы Вали в коммерческом банке превысила ее первоначальные кровные сбережения на 65%. Сожалела Баба Валя, что год назад в Сбербанке сняла не всю сумму, а лишь половину, однако, подумала: «А где же мы не теряли?..»
Гендиректор коммерческого банка оказался хорошим: не оставил Бабу Валю без навара!
А каков в Сбербанке процент годовых для пенсионеров?
13. Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а % до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
14. 15-го января планируется взять кредит в банке на 39 месяцев. Условия его возврата таковы:
1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r .
15. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
16. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 200 рублей.
Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
17. В 1-е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом? 21. После распределения посчитали процент мальчиков в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
18.
19. 1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. НА какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей?
20. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары - стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
21. 31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
22. Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?
23. Оля хочет взять в кредит 1 200 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 000 рублей?
24. 31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
25. Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.
Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?
26. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X , чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
27. Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
28. Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей?
29. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?
30. 31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а %), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
Немного теории
Сначала рассмотрим так называемые «банковские» задачи: варианты, когда имеет дело с вкладом и кредиты.
Рассмотрим вариант, когда мы вкладываем деньги
1. Через год имеем на счету S 1 = S+r/100* S=(1+r/100) S
2. Через два года на счету будет S 2 =(1+r/100)* S +((1+r/100)*S)*r/100=((1+r/100)*S)(1+r/100)=(1+r/100) 2 *S
3. Продолжая аналогичную схему рассуждения получим:
S n =(1+r/100) n *S - (1)
Для более компактной записи формулы (1) введем замену переменной q=(1+r/100) и формула (1) примет вид: S n =q n *S (2)
Рассмотрим вариант, когда мы берем кредит в банке на N лет некоторую сумму S под r% годовых.
1. К концу 1 года, наш долг увеличился на заявленные банком проценты, а мы платим заявленный платеж. Пусть Х- ежегодный платеж. Долг наш будет иметь следующий вид: = S+r*S-X=(1+r)*S-X=q*S-X
2. Через год долг будет: = (q*S-X)+(q*S-X)*r-X=(q*S-X)(1+r)-X= (q*S-X)*q-X=q 2 *S-q*X-X=q 2 *S-(1+q)X
3. Аналогично продолжая рассуждения получим, что к концу договора мы полностью выплачиваем кредит и =q n *S-(1+q) n -1 *X. Так как кредит выплачен полностью, то
q n *S-(1+q+q 2 +….+q n-1)*X =q n *S-(1+q) n-1 *X=0. Следовательно, q n *S=(1+q) n -1 *X. q n *S-(1+q) n -1 *X. Домножив и разделив правую часть на (q-1)получим:
q n *S= *X (3)
Для облегчения решения задач предлагаю воспользоваться следующими формулами, которые можете доказать самостоятельно:
1. Если величину х увеличить на р % , то получим х·(1+р/100)
2. Если величину х уменьшить на р % , то получим х·(1-р/100)
3. Если величину х увеличить на р %, а затем уменьшить на q %, то получим х·(1+р/100)(1-q/100)
4. Если величину х увеличить дважды на р%, получим х·(1+р/100) 2
5. Если величину х уменьшить дважды на р%, получим х·(1-р/100) 2
тип. Определение суммы кредита
Задача 1.1
31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 11%), затем Василий переводит в банк 3696300 рублей. Какую сумму Василий взял в кредит в банке, если он выплатил долг двумя платежами (т.е. за 2 года)?
1 способ:
Пусть S- сумма кредита, Х- выплачиваемая сумма, r- процентная ставка и Х=3696300 рублей, r=11% или r=0,11, n=2.
Тогда q 2 *S=(q 2 -1)/(q-1)*X. Следовательно, S=((q+1)*X)/q 2 . Получим, что Василий взял в кредит 6330000 рублей. Ответ:6330000
2 способ:
1. К концу первого года мы имеем долг: =S+0.11*S –Х=1.11*S-X
2. Через год остаток после выплаты будет: =(1.11*S-X)+(1.11*S-X)*0.11-X=(1.11*S-X)*1.11-X=1.11 2 *S-2.11*X. Так как Василий выплатил долг за два транша, то 1.11 2 *S-2.11*X=0. Решив полученное уравнение, имеем: S=2.11*3696300/1,2321=6330000 рублей.
Ответ: 6330000
Задача № 1.2
15 января планируется взять в кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сложные задачи Задача: При двух последовательных одинаковых процентных повышениях зарплаты сумма в 100 рублей обратилась в 125,44 рубля. Определите, на сколько процентов повышалась зарплата. Решение: Из второй формулы сложного процента при А=125,44, А=100, n=2, имеем (1+ p / 100) = A / A, (1+p/100)² = 1,2544, 1+ p/ 50 + p² /10000 = 1,2544, p² + 200p 2544 = 0, p =100 ± = -100 ± 112, p = 12, p = Ответ: 12%.
Задачи на сплавы и смеси. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди? Решение: Сплав состоит из меди и олова. Проследим за содержанием одного из этих веществ, например, олово в первоначальном сплаве и в полученном. В 12 кг сплава было 45% меди, а олова в нем было 55%, т.е. 12 * 55% / 100% кг олова. Пусть к первоначальному сплаву добавили x кг олова. Тогда получилось (12+ x) кг нового сплава, в котором олово стало 60%, т.е. 60%(12+x) / 100% кг. Таким образом, получается следующее уравнение: 55% * 12 / 100% + x = 60% (12+ x) / 100%. Решив это уравнение, найдем, что x = 1,5. по смыслу задачи x > 0. Найденное значение x условию удовлетворяет. Итак, к первоначальному сплаву следует добавить 1,5 кг олова. Ответ: 1,5 кг олова.
0. Найденное значение x условию удовлетворяет. Итак, к первоначальному сплаву следует добавить 1,5 кг олова. Ответ: 1,5 кг олова.">
Экономические задачи. Известно, что вклад за год хранения возрастает на определенный процент. В начале года 5/6 некоторой суммы денег положили в первый банк, а оставшуюся часть – во второй. К концу первого года хранения общая сумма с накоплениями составила 670 единиц, к концу второго года – 749 единиц. Если бы первоначально 5/6 исходной суммы положили бы во второй банк, а 1/6 – в первый, то к концу первого года общая сумма составила бы 710 единиц. Определить общую сумму по истечению двух лет, если бы исходная сумма была положена в первый банк. Решение: Пусть x, y – проценты, выплачиваемые соответственно первым и вторым банками, Z – исходная сумма. В этом случае искомая общая сумма составила бы Z(1+x). По условию (5/6)Z * (1+x) + (Z/6) * (1+y) = 670, (1) (5/6)Z * (1+x) + (Z/6) * (1+y) = 749, (2) (1/6)Z * (1+x) + (5/6)Z * (1+y)= 710. (3) Складывая (1) с (3), имеем: Z(1+x) + Z(1+y) = 1380 (1+x) + (1+y) = 1380/Z. Вычитая из (1) (3), имеем (4/6)Z * (1+x) - (4/6)Z * (1+x) = - 40 (1+x) - (1+y) = - 60/Z. Складывая и вычитая полученные уравнения, имеем: 2(1+x) = 1320/Z, 2(1+y) = 1440/Z, Откуда имеем (1+x)/(1+y) = 11/12 И (1+y)² = 144/121 * (1+x)². Подставляя значение (1+y)² в уравнение (2), имеем: (5/6)Z * (1+x)² + Z/6(1+x)² * 144/121 = 749 Z(1+x)² * (5/ /6 * 121) = 749 Z(1+x)² = 726. Ответ: 726.
Кредиты в Эльдорадо. 1.Банк «Русский стандарт» Предоставляет несколько вариантов кредитования: Кредит на встраиваемую технику: - первоначальный взнос- 10% от стоимости товара - срок кредита- 6,10,12,24,36,48 месяцев - процентная ставка- 13% годовых - размер кредита: рублей - комиссия за расчетно-кассовое обслуживание- 1% ежемесячно от суммы кредита - кредит предоставляется на всю встраиваемую технику: - первоначальный взнос- 10% от стоимости товара - срок кредита- 10 месяцев - ежемесячный платеж-10% - выдается на все группы товаров, кроме мобильных телефонов. Обычный: - первоначальный взнос- 10% от стоимости товара - срок кредита- 6,12,18,24 месяцев - процентная ставка- 19% годовых - комиссия за расчетно-кассовое обслуживание- 1,99% ежемесячно от суммы кредита - выдается на все товары, кроме мобильных телефонов 0% первый взнос: - первоначальный взнос- 0% - срок кредита- 6,12 месяцев - процентная ставка- 29% годовых - комиссия за расчетно-кассовое обслуживание-1,9% ежемесячно от суммы товара - предоставляется на все группы товаров, кроме мобильных телефонов
2.Банк «Финансбанк» Также предоставляет несколько вариантов кредитования: Оптимальный кредит: - сумма кредита рублей - первоначальный взнос - от 0%: 4 месяца- 0%, 6-0%, 10-15%, 12-12%, %, %, 36-20% - срок кредита- 4,6,10,12,15,24,36 месяцев - комиссия за выдачу кредита: 4 месяца-0% от суммы кредита, 6-0%, 10-15%, 12-12%, 15-15%, 24-18%, 36-20% - процентная ставка: 4 месяца- 18%, 6-18%, 10-1%, 12-1%, 15-1%, 24-2,9%, 36- 0,9% 0% за 4 месяца: - сумма кредита - от 3000 до рублей, 75 % от стоимости покупки - сумма первоначального взноса- 25% от стоимости покупки - срок кредита- 4 месяца - процентная ставка- 16% годовых Бесплатный кредит на 12 месяцев: - сумма кредита- 100% стоимости товара - сумма первоначального взноса- 0% от стоимости покупки - срок кредита 12 месяцев - проценты за пользование кредитом- 10,75%
Занятие вновь посвящено 17 задаче - сложной текстовой задаче, мы рассмотрим различные варианты нахождения банковского процента.
Конспект занятия "Задача 17. Текстовые задачи."
Задача 17. Задачи на проценты.
В одной стране в обращении находилось 1 000 000 долларов, 20% из которых были фальшивыми. Некая криминальная структура стала ввозить в страну по 100000 долларов в месяц, 10% из которых были фальшивыми. В это же время другая структура стала вывозить из страны 50 000 долларов ежемесячно, из которых 30% оказались фальшивыми. Через сколько месяцев содержание фальшивых долларов в стране составит 5%?
Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% - в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект - от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.
В банк был положен вклад под банковский процент 10%. Через год хозяин вклада снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Однако, вследствие этих действий через три года со времени первоначального вложения вклада он получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы получил в итоге вкладчик?
Молодой семье на покупку квартиры банк выдает кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: ровно через год после выдачи кредита банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем эта семья в течение следующего года переводит в банк определенную (фиксированную) сумму ежегодного платежа. Семья Ивановых планирует погашать кредит равными платежами в течение 4 лет. Какую сумму может предоставить им банк, если ежегодно Ивановы имеют возможность выплачивать по кредиту 810 000 рублей?
Курс доллара в течение двух месяцев увеличился на одно и то же число процентов ежемесячно, но не более, чем в 1,5 раза. За сумму, вырученную от продажи в начале первого месяца одного доллара, к концу второго месяца можно было купить на 9 центов меньше, чем в конце первого месяца. На сколько процентов уменьшился курс рубля за два месяца?
В двух банках в конце года на каждый счет начисляется прибыль: в первом банке - 60% к текущей сумме на счете, во втором - 40% к текущей сумме на счете. Вкладчик в начале года часть имеющихся у него денег положил в первый банк, а остальные деньги – во второй банк, с таким расчетом, чтобы через два года суммарное количество денег на обоих счетах увеличилось на 150%. Сколько процентов денег вкладчик положил в первый банк?
В начале года 5/6 некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось - в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у.е., к концу следующего - 749 у.е. Если первоначально 5/6 суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у.е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.
Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Банк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составила х % годовых, тогда как в январе 2001 года - у % годовых, причем известно, что x + y = 30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение х при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.
Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?
31 декабря 2014 года Пётр взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Пётр переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 2 592 000 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 392 000 рублей, то за 2 года. Под какой процент Пётр взял деньги в банке?
31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий Переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. руб. до 20 тыс. руб., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. руб. и не больше 60 тыс. руб. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?
Задания по теме для самостоятельного решения
Задание 1
(2 балла)В 2010 году в городском квартале проживало 50000 человек. В 2011 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 15%, а в 2012 году — на 10% по сравнению с 2011 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2012 году?
Задание 2
(3 балла)Алек-сей взял кре-дит в банке на срок 17 ме-ся-цев. По до-го-во-ру Алек-сей дол-жен вер-нуть кре-дит еже-ме-сяч-ны-ми пла-те-жа-ми. В конце каж-до-го ме-ся-ца к остав-шей-ся сумме долга до-бав-ля-ет-ся r % этой суммы и своим еже-ме-сяч-ным пла-те-жом Алек-сей по-га-ша-ет эти до-бав-лен-ные про-цен-ты и умень-ша-ет сумму долга. Еже-ме-сяч-ные пла-те-жи под-би-ра-ют-ся так, чтобы долг умень-шал-ся на одну и ту же ве-ли-чи-ну каж-дый месяц (на прак-ти-ке такая схема на-зы-ва-ет-ся «схе-мой с диф-фе-рен-ци-ро-ван-ны-ми пла-те-жа-ми»). Из-вест-но, что общая сумма, вы-пла-чен-ная Алек-се-ем банку за весь срок кре-ди-то-ва-ния, ока-за-лась на 27 % боль-ше, чем сумма, взя-тая им в кре-дит. Най-ди-те r.
Задание 3
(3 балла)Алек-сей при-обрёл цен-ную бу-ма-гу за 8 тыс. руб-лей. Цена бу-ма-ги каж-дый год воз-рас-та-ет на 1 тыс. руб-лей. В любой мо-мент Алек-сей может про-дать бу-ма-гу и по-ло-жить вы-ру-чен-ные день-ги на бан-ков-ский счёт. Каж-дый год сумма на счёте будет уве-ли-чи-вать-ся на 8%. В те-че-ние ка-ко-го года после по-куп-ки Алек-сей дол-жен про-дать цен-ную бу-ма-гу, чтобы через два-дцать пять лет после по-куп-ки этой бу-ма-ги сумма на бан-ков-ском счёте была наи-боль-шей? (ответ записать числом)
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
В 19 Спецификация КИМ ЕГЭ 2015 г. Проверяемые требования (умения): использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни Элементы содержания Целые числа; дроби, проценты, рациональные числа; применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учёт реальных ограничений. Уровень сложности – повышенный Максимальный балл -3
У гражданина Лукина 1 августа 2000 года родился сын. По этому случаю он открыл в некотором банке вклад в 1000 рублей. Каждый следующий год 1 августа он пополнял вклад на 1000 рублей. По условиям договора банк ежегодно 31 июля начислял 20% на сумму вклада. Через 6 лет у гражданина Лукина родилась дочь, и он открыл в другом банке ещё один вклад, уже на 2200 рублей, и каждый следующий год вносил в банк 2200 рублей, а банк ежегодно начислял 44% на сумму вклада. Через сколько лет после рождения сына суммы на каждом из двух вкладов сравняются, если деньги из вкладов не изымаются?
Через n лет величина вклада в первом банке будет: Через n лет после открытия первого вклада величина второго вклада будет: 1 августа открыл первый вклад на 1000 рублей. Каждый следующий год 1 августа он пополнял вклад на 1000 рублей. Банк ежегодно 31 июля начислял 20% на сумму вклада. Через 6 лет открыл второй вклад на 2200 рублей, а банк ежегодно начислял 44% на сумму вклада.
Через сколько лет после рождения сына суммы на каждом из двух вкладов сравняются, если деньги из вкладов не изымаются? Ответ: 11.
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Пусть ежегодная выплата равна х, обозначим сумму кредита - a , долг Долг после начисления банком процентов Долг после выплаты а
Ответ: 3993000.
В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. Через год внесена первая добавка (х), которая тоже начала приносить доход.
Через пять лет забрал деньги (из последнего столбика).
К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% .
Ответ: 210 тыс.рублей. 210 тыс. рублей вкладчик ежегодно добавлял к вкладу
В начале года 5/6 некоторой суммы денег вложили в банк А, а остальное – в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определенный процент, величина которого зависит от банка. К концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у.е. , к концу следующего – 749 у.е. Если первоначально 5/6 суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся часть вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у.е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.
Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк ¾ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а еще через год в счет погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Фермер получил кредит А рублей в банке под р % годовых. Через год он должен банку рублей. Фермер в счет погашения кредита вернул в банк ¾ от всей суммы, которую он должен был банку к этому времени, а, следовательно, ему осталось вернуть: рублей. Через год он должен банку рублей в счет погашения кредита он внес в банк сумму на 21% превышающую величину полученного кредита. Ответ:120%.
За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12, 5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на. Определите срок хранения вклада.
Если первоначальная сумма была х р., то через месяц эта сумма станет (х + 0,05х) р. Можно сказать, что новая сумма составляет 105% от старой (увеличилась в 1,05 раз). Если ставку не менять, то сумма снова увеличится в 1,05 раз и станет (1,05·1,05х) р. Пусть первая ставка продержалась k , вторая - m , третья - n , последняя - t месяцев. Тогда сумма на счёте по истечении срока хранения увеличилась во столько раз:
сумма увеличилась на, т.е. составляет от начальной Иначе говоря, она увеличилась по сравнению с начальной суммой во столько раз: сумма на счёте по истечении срока хранения увеличилась во столько раз:
k = m=1, n=3, t=2 . Срок хранения вклада равен k + m + n + t = 1 + 1 + 3 + 2 = 7 .
Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй – 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?
Обозначим число акций первого брокера (4х), (75 % от этого числа равны (3х)) . Обозначим число акций второго брокера (5y), (80 % от этого числа равны (4y).)
