Методы начисления процентов. Методы и варианты начисления процентов

ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА - относительная величина процентных платежей на заемный капитал за определенной период времени, как правило, за год.

По степени реагирования на изменение рыночного уровня процента различают фиксированные процентные ставки и плавающие.

ФИКСИРОВАННАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА - ставка, установленная на весь период пользования заемными средствами без права ее пересмотра. ,

ПЛАВАЮЩАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА - ставка по средне- и долгосрочным кредитам, уровень которой колеблется в зависимости от конъюнктуры денежно-кредитного рынка.

Плавающая процентная ставка складывается из двух составных частей. Первая часть представляет подвижную основу, изменяющуюся в соответствии с конъюнктурой денежно-кредитного рынка. В се роли обычно выступают межбанковские ставки предложения кредитных ресурсов: ЛИБОР, ПИБОР, ФИБОР и др. Надбавкой выступает фиксированная величина, являющаяся предметом договоренности сторон и, как правило, неизменная на весь срок действия кредитного договора. Размер фиксированной надбавки зависит от условий сделки и степени ее риска.

Различают также НОМИНАЛЬНУЮ и РЕАЛЬНУЮ СТАВКИ ПРОЦЕНТА. Под номинальной ставкой понимается текущая рыночная процентная ставка. Реальная ставка представляет собой номинальную ставку, скорректированную на степень инфляционного обесценения денег. Взаимосвязь между реальной (г) и номинальной (i) ставками процента впервые была представлена Дж. Фишером:

где х - ожидаемый уровень инфляции.

В денежно-кредитной сфере западных стран имеется большое разнообразие процентных ставок.

Первый уровень процентных ставок - официальные процентные ставки, устанавливаемые центральными банками отдельных стран по кредитам, предоставляемым коммерческим банкам. Эти ставки носят название учетных или ставок рефинансирования.

Рефинансирование коммерческих банков может производиться либо путем прямого кредитования, либо путем переучета коммерческих векселей. Степень значимости той или иной ставки зависит от исторически сложившегося в стране развития вексельного обращения и системы рефинансирования.

Учетная ставка Центрального банка РФ, наряду с политикой в области обязательных резервов от объема привлеченных банками ресурсов и операциями на открытом рынке является одним из основных инструментов денежно-кредитного регулирования. При помощи маневриро-

вания учетным процентом Центральный банк РФ стремится регулировать объем денежной массы в обращении и темпы инфляционного обесценения денег. Так, понижение официальной учетной ставки приводит к удешевлению и увеличению предложения кредитных ресурсов на рынке. Такая политика имеет целью оживление инвестиций и стимулирование экономического роста. Проведение обратнонаправленной учетной политики ведет к сжатию денежно-кредитной массы, замедлению темпов инфляции, но одновременно это путь к сокращению объема инвестиций в экономику. Таким образом, учетная политика Центрального банка должна строиться в зависимости от состояния денежно-кредитной системы и учитывать как опасность инфляции при проводимой политике "дешевых денег", так и негативные последствия низких темпов экономического роста в периоды рестрикционной политики ЦБ РФ.

Следующий уровень процентных ставок представлен ставками предложения на межбанковском рынке кредитных ресурсов. По ставкам предложения ведущие банки осуществляют кредитование в евровалютах первоклассных банков путем размещения у последних депозитов. Примером служит ставка ЛИБОР (LIBOR) - Лондонская межбанковская ставка предложения, которая не является официально определяемой величиной, каждый крупный коммерческий банк фиксирует ее в зависимости от конъюнктуры денежно-кредитного рынка по состоянию на 11 ч утра каждого делового дня. Под ставкой ЛИБОР понимается также средняя ставка по этим банкам, рассчитываемая как средняя арифметическая.

Ставки "ПРАЙМ-РЕЙТ" - следующий уровень процентных ставок, по которым коммерческие банки предоставляют кредиты первоклассным заемщикам.

И наконец, последний уровень процентных ставок - это ставки по более рисковым ссудам предприятиям и частным лицам.

В России в настоящее время также существует целый набор процентных ставок, структура которых приближается к западной практике. Выделяются: учетная ставка Центрального банка РФ, ставки межбанковского денежного рынка, представленные большим набором инструментов (МИБИД - объявленная ставка по предоставлению кредитов коммерческими банками, МИАКР - фактическая ставка по предоставленным кредитам, рассчитываемые Информационным консорциумом как средние от ставок привлечения и размещения межбанковских кредитов, ИНСТАР - межбанковские базовые процентные ствки, рассчитываемые Межбанковским Финансовым Домом по результатам сделок, заключенных коммерческими банками), "базовые" процентные ставки по кредитованию первоклассных клиентов по обеспеченным ссудам и ставки с учетом надбавки за риск по кредитованию прочих заемщиков.

Помимо ставок кредитного рынка, рассмотренных выше, в систему процентных ставок входят ставки денежного и фондового рынков: ставки по казначейским, банковским и корпоративным векселям, проценты по государственным и корпоративным облигациям и др.

В банковской практике существуют различные методы и способы начисления процентов.

Так, в банковской практике применяются простые и сложные проценты.

Простые проценты используются прежде всего при краткосрочном кредитовании, когда один раз в квартал или другой срок, определенный договором, производится начисление процентов и выплата их кредитору. Как правило, в настоящее время преимущественно применяется изложенный выше способ. При этом общий объем платежей заемщика с учетом основной суммы долга составит:

где S - сумма выплат по кредиту с учетом первоначального долга;
Р - первоначальный долг;
i - ставка процентов;

п - продолжительность ссуды в годах либо отношение периода пользования ссудой в днях к применяемой базе (360 или 365 дням).

Очень часто в банковской практике приходится производить операцию, обратную процедуре начисления процентов. Это имеет место, например, в случае обращения дисконтных векселей. В этом случае при определении первоначального долга будет применяться следующая формула:

В банковской практике возможно использование сложного процента, как правило, при долгосрочном кредитовании, когда начисленные суммы не выплачиваются кредитору до окончания сделки, а увеличивают основ-

ную сумму долга. В отечественной практике метод начисления сложных процентов получил наибольшее распространение по депозитным счетам частных лиц.

При использовании этого метода размер начисленных средств включается в задолженность и на них продолжает начисляться процент. Формулу для начисления сложных процентов и определения обшей суммы задолженности можно представить в виде-

Банк должен тщательно анализировать все моменты, которые могут в конечном итоге повлиять на прибыльность банковских операций. Например, необходимо учитывать характер инфляции и в этой связи определять, что целесообразней для банка: либо наращивать сумму долга посредством начисленных, но невостребованных процентов, либо получать ежегодную плату за кредит.

Возможны различные способы начисления процента: они определяются характером измерения количества дней пользования ссудой и продолжительностью года в днях (временной базы для расчета процентов).

Так, число дней ссуды может определяться точно или приближенно, когда продолжительность любого полного месяца признается равной 30 дням. Временная база приравнивается либо к фактической продолжительности года (365 или 366 дней) или приближенно к 360 дням. Соответственно, применяют следующие варианты начисления сложных процентов:

1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды; этот способ дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками. Он характеризуется тем, что для расчета используется точное число дней ссуды, временная база равняется фактической продолжительности года. Например,

Р - сумма выданного кредита - 100 000 руб.,

i - ставка процента - 9% годовых.

К - точное число дней ссуды,

S - наращенная сумма долга.

S = 100 000 X (1+ 0,09% X 260 дн.: 365 дн.) = 106 411 руб.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды. В этом случае, так же как и в предыдущем, для расчета берется точное число дней ссуды, но временная база приравнивается к 360 дням. Если срок кредита превышает 360 дней, то сумма начисленных процентов будет больше, чем предусмотрено годовой ставкой (так, если период ссуды равен 364 дням, то 364: 360 = 1,011). Рассмотрим данный способ на предложенном выше примере:

S2 = 100 000 X (1 + 0,09% х 260 дн. : 360 дн.) = 106 499 руб.

3. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды. Здесь продолжительность ссуды в днях определяется приближенно, временная база равна 360 дням. Считается, что точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, поэтому и размер начисленных процентов с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным.

В нашем примере приближенное число дней ссуды равно 257 дням (S3), учитывая это:

S3 = 100 000 х (1 + 0,09% X 257 дн.: 360 дн.) = 106 424 руб.,

Приведенные расчеты показывают, что второй способ начисления процентов, а именно обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды дает несколько больший результат относительно двух других вариантов.

Банковская практика в России предусматривает начисление процентов по привлеченным и размещенным средствам (за исключением долговых обязательств и операций с платежными картами) по первому способу, а именно - как точные проценты с фактическим числом дней ссуды. По векселям и депозитным сертификатам применяется способ начисления обыкновенных процентов с приближенным числом дней ссуды.

ЛИТЕРАТУРА*

Аверьянова Л.Б. Банковская корреспонденция на английском языке: Учетно-расчетные операции. - М.: Менатеп-Ин-форм, 1996.

Адибекое М.Г. Кредитные операции: Классификация, порядок привлечения и учет /Банк внешнеэкономической деятельности. -М.: АО "Консалт-Банкир", 1995.

Анализ экономической деятельности клиентов банка: Учеб. пособие/ Под ред. О.И. Лаврушина. - М.: Инфра-М, 1996.

Ачкасов А.И. Операции "А-ФОРФЭ". Общая характеристика и техника совершения / Банк внешнеэкономической деятельности. - 2-е изд. - М.: АО "Консалт-Банкир", 1994.

Базельский комитет по банковскому надзору: Сборник документов и материалов / Сост. Ю. В. Кузнец. -М-: Центр подготовки персонала ЦБ РФ, 1997.

Банки и банковские операции: Учебник / Под ред. Е.Ф.Жукова. -М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

Банки на развивающихся рынках: В 2 т.: Пер. с англ. Т. 1. Укрепление руководства и повышение чувствительности к переменам / Д. МакНотон, Д. Дж. Карлсон, К.Т, Дитц и др. - М.: Финансы и статистика, 1994.

Банки на развивающихся рынках: В 2 т.: Пер. с англ. Т. 2. Интерпретирование финансовой отчетности /К. Дж. Барлтроп, Д. МакНотон. - М.: Финансы и статистика, 1994.

Банковские операции: Учетно-ссудные операции и агентские услуги банков: Учеб. пособие. -Ч. 2/Под ред. О. И. Лаврушина, -М.: Инфра-М, 1996.

Банковское дело и финансирование инвестиций. В 2 т. Пер. с англ. / Под ред. Н. Брука, Институт экономического развития Всемирного банка, 1995.

Белых Л.П. Устойчивость коммерческих банков: Как банкам избежать банкротства. -М.: Банки. ЮНИТИ, 1996.

+++* Список литературы подготовлен канд. экон. наук, доц. Л.А. Гуриной и канд. экон. наук И.Е. Шакер.

Беляев С. Г. Русско-французские банковские группы в период экономического подъема 1909-1914 гг. - СПб: АО "ЭН-ПИ", 1995.

Березина М.П. Безналичные расчеты в экономике России. Анализ практики. - М.: АО "Консалт-Банкир", 1997.

Букато В. И., Львов Ю.И. Банки и банковские операции в России /Под ред. М.Х. Лапидуса. - М.: Финансы и статистика, 1996.

Блумфшъд А. Как взять кредит в банке. - М.: Инфра-М, 1996.

Введение в банковское дело. Пер. с нем. / Кол. авторов под рук. Гюнтера Асхауэра. - М.: ИПФ "Мир и культура", 1997.

Гончаренко Л.И. Налогообложение коммерческих банков: Учеб. пособие / Под ред. Л.П. Павловой. - М.: Финансы и статистика, 1997.

Голубович А.Д. и др. Валютные операции в коммерческих банках. -М.: Менатеп-Информ, 1994.

Горина С.А. Учет в банке на основе нового плана счетов. Проверка правильности отражения банковских операций. - М.: Приор, 1998.

Гарантии и аккредитивы в современной банковской практике: Учебник для Высших финансовых школ и колледжей / Под ред. А.Д. Голубовича. -М.: Менатеп-Информ, 1994.

Гавалъда Кристиан Стуфле Жан. Банковское правой Учреждение - Счета - Операции - Услуги: Пер. с фр. /Под ред. В.Я. Лисняка. - М.: Финстатинформ, 1996.

Денежная реформа в посткоммунистических странах: Пер. с англ. / Под ред. Дж. Дорна, P.M. Нуреева. - М.: Catallaxy, 1995.

Гроссман Репе Клаус. Как вести дела с банками: Кредиты, денежные вклады, платежный оборот: Пер. с нем. - М.: Международные отношения, 1996.

Ермаков С. Л. Работа коммерческого банка по кредитованию заемщиков: Методические рекомендации. - М.: Компания "Алее", 1995.

Закон Российской Федерации "О внесении изменений и дополнений в Закон РСФСР "О банках и банковской деятельности в РСФСР" от 3 февраля 1996 г. // Деньги и кредит. -1996. -

Закон Российской Федерации "О внесении изменений и дополнений в Закон РСФСР "О Центральном банке РСФСР (Банке России)" от 26 апреля 1995 г. // Деньги и кредит. - 1995. -№ 5; Экономика и жизнь. - 1995. - № 19.

Закон Российской Федерации "О денежной системе Российской Федерации" от 23 сентября 1992 г.// Ведомости съезда народных депутатов РСФСР и Верховного Совета РСФСР. -1992. -№43.

ЗамиусскаяЕ.Р., КочмолаКВ., Лазарева Н.А., Чубарова Г.П. Внутренний аудит банка. - М.: "Экспертное бюро", 1997.

Европейский банк реконструкции и развития и другие финансовые учреждения. Европейская валютная система. Европейский валютный союз: Учеб. пособие на немецком языке / Сост. И. Н. Шахнес. - М.: ЦПП ЦБ РФ, 1996.

Иванов В.В. Как надежно и выгодно вкладывать деньги в коммерческие банки: Надежность банка. - М.: Инфра-М, 1996.

Иванов В.В. Анализ надежности банка. - М.: Русская Деловая Литература, 1996.

Кириллов И.А. Ломбарды в России. - М.: СО "АННИЯ", 1992.

Козлова Е.П., Галапииа Е.Н. Бухгалтерский учет в коммерческих банках. - М.: Финансы и статистика, 1996.

Комментарии к Базовым принципам эффективного надзора за банковской деятельностью. Подготовлены Базельским комитетом по банковскому регулированию в апреле 1997 г. Утверждены письмом АРБ от 24 июня 1997 г. № А-02/1-472// Вестник АРБ. -1997. - № 20; Бизнес и банки. - 1997. - № 32.

Комионский С.А. Наука и искусство управления современным банком. - М.: InterstaTO Publishers, 1995 (Мое. ин-т экономики, политики и права).

Коровкин В.В., Кузнецова Г.В. Оформление валютных операций. -М.: Приор, 1995.

Кочоеич Е. Финансовая математика: теория и практика финансово-банковских расчетов: Пер. с серб. - М.: Финансы и статистика, 1994.

Макарова Г. П. Система банковского маркетинга: Учеб. пособие. -М.: Финстатинформ, 1997.

Масленченков Ю. С. Финансовый менеджмент в коммерческом банке. - Кн. 1. Фундаментальный анализ. - М.: Перспектива, 1996.

Масленченков Ю. С. Финансовый менеджмент в коммерческом банке. - Кн. 2. Технологический уклад кредитования. - М: Перспектива, 1996.

Масленченков Ю. С. Финансовый менеджмент в коммерческом банке. - Кн. 3. Технология финансового менеджмента клиента. - М: Перспектива, 1997.

Межбанковский Финансовый Дом: Рассказ о компании. -М., 1996.

Международные валютно-кредитные и финансовые отношения: Учебник /Под ред. Л.Н. Красавиной. - М.: Финансы и статистика, 1994.

МиркипЯ. М. Банковские операции. Ч. 3: Инвестиционные операции банков. Эмиссионно-учредительская деятельность банков. -М.: Инфра-М, 1996.

Молчанов А.В. Коммерческий банк в современной России: Теория и практика. - М.: Финансы и статистика, 1996.

Московкина Л.А. Кредитно-банковская система Южной Кореи. - М: ЦПП ЦБ РФ, 1996.

Нидеккер Г. Л. и др. Анализ эффективности валютно-обменных операций банка. - М.: Русская Деловая Литература, 1996.

Нестерова Т. Н. Банковские операции. Ч. 4: Банковское обслуживание внешнеэкономической деятельности: Учеб. пособие. - М.: Инфра-М, 1996.

Об утверждении Правил ведения бухгалтерского учета в кредитных организациях, расположенных на территории Российской Федерации и дополнений и изменений к Плану счетов бухгалтерского учета в кредитных организациях Российской Федерации. Приказ ЦБ РФ от 18 июня 1997 г. № 02-263//Вестник Банка России. - 1997. - № 49.

Операционная работа в коммерческих банках: Сборник нормативных документов /Сост. Г.А. Яковлев. - М.: Менатеп-Информ, 1996.

Панова Г. С. Анализ финансового состояния коммерческого банка. - М.: Финансы и статистика, 1996.

Панова Г. С. Кредитная политика коммерческого банка. -М.: МКЦ Дис, 1997.

Поляков В.П., МосковкинаЛ.А. Основы денежного обращения и кредита: Учеб. пособие. - М.: Инфра-М, 1995.

Поляков В.П., МосковкипаЛ. А. Структура и функции центральных банков. Зарубежный опыт: Учеб. пособие-М.: Инфра-М, 1996.

Полфреман Дэвид Форд Филип. Основы банковского дела. Пер. с англ. М.: Инфра-М, 1996.

Рассказов Е. А. Управление свободными ресурсами банка. -М.: Финансы и статистика, 1996.

Роуз Питер С. Банковский менеджмент. Предоставление финансовых услуг. Пер. с англ. - М.: Дело, 1997.

Руководство по кредитному менеджменту: Пер. с англ. / Под ред. В.Эдвардса. - М., 1996.

Сидельникова Д. Б. Аудит коммерческого банка. - М.: Буквица, 1996.

Симоновский А. Ю. Финансово-банковский сектор российской экономики: Вопросы формирования и функционирования. - М.: Соминтэк, 1995.

Соколинская Н. Э. Учет и анализ краткосрочных и долгосрочных кредитов. - М.: АО "Консалт-Банкир", 1997.

Тагирбеков К. Р, Опыт развития технологии управления коммерческим банком. - М.: Финансы и статистика, 1996.

Сеферова Н. А., Можаева Н. Г. Методические указания по теме "Договоры, используемые для осуществления банковских операций. Типовые формы". - М.: ФА, 1996.

Смит Вера. Происхождение центральных банков: Пер. с англ.-М.: Институт Национальной Модели Экономики, 1996.

Усоскин В. М. Современный коммерческий банк: Управление и операции. - М., 1994.

Уткин Э.А. Стратегический менеджмент: Способы выживания российских банков. - М.: Фонд Экономического Просвещения, 1996.

Уайтииг Д. П. Осваиваем банковское дело: Пер. с англ. / Под ред. В.В.Мирюкова. -М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1996.

Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации. Нововведения в банковском бизнесе России: Сб. науч. трудов /Отв. ред. Э.А.Уткин. - М.: ФА, 1996.

Ширинская Е, Б. Операции коммерческих банков: российский и зарубежный опыт. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 1995.

Ширинская 3. Г., Нестерова Т. Н., Соколипская Н. Э. Бухгалтерский учет и операционная техника в банках. - М., 1997.

Экономический анализ деятельности банка: Учеб. пособие. -М.: Инфра-М, 1996.

Предисловие.. 3

Раздел I. ХАРАКТЕРИСТИКА БАНКА КАК ПРЕДПРИЯТИЯ.7

Глава 1. Сущность банка и организационные основы его построения....9

1.1. Представление о сущности банка с позиции его исторического развития...9

1.2. Современные представления о сущности банка.14

1.3. Банк как элемент банковской системы...18

1.4. Организационные основы построения аппарата управления банком...24

1.5. Структура аппарата управления банка и задачи его основных подразделений....28

Глава 2 Правовые основы банковской деятельности....34

2.1. Структура современного банковского законодательства..34

2.2. Эволюция банковского законодательства в России...37

2.3. Особенности первых банковских законов 1990 г....38

2.4. Основная характеристика современного банковского законодательства....41

2.5. Законодательные основы деятельности современного банка..44

2.6. Обеспечение безопасности банков...... 54

2.7. Банковская монополия..62

2.8. Взаимоотношения банка с клиентами..63

Раздел II ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА....67

Глава 3 Ресурсы коммерческого банка и его капитальная база...69

3.1. Ресурсы коммерческого банка: их структура и характеристика...69

3.2. Понятие и структура собственного капитала банка..70

3.3. Оценка достаточности собственного капитала банка...75

3.4. Привлеченные средства коммерческого банка...86

Глава 4 Структура и качество активов банка....94

4.1. Состав и структура активов.94

4.2. Качество активов банка..101

Глава 5 Доходы и прибыль коммерческого банка....115

5.1. Доходы коммерческого банка....115

5.2. Расходы коммерческого банка...119

5.3. Процентная маржа...121

5.4. Оценка уровня доходов и расходов коммерческого банка....125

5.5. Формирование и использование прибыли коммерческого банка..128

5.6. Оценка уровня прибыли коммерческого банка....130

Глава 6 Ликвидность и платежеспособность коммерческого банка...140

6.1. Понятие и факторы, определяющие ликвидность и платежеспособность коммерческого банка...140

6.2. Российская практика оценки ликвидности коммерческих банков..146

6.3. Зарубежный опыт оценки ликвидности коммерческих банков..163

662Глава 7 Банковская отчетность......159

7.1. Значение и виды банковской отчетности...169

7.2. Баланс банка и принципы его построения....170

7.3. Текущая бухгалтерская отчетность....202

7.4. Годовая бухгалтерская отчетность.204

7.5. Проблемы перехода на международные принципы учета в банках..205

Раздел III УСЛУГИ И ОПЕРАЦИИ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА....211

Глава 8 Пассивные операции банков.213

8.1. Структура и общая характеристика пассивных операций банков.213

8.2. Депозитные и внедепозитные операции..214

Глава 9 Система оценки кредитоспособности клиентов банка..,...222

9.1. Понятие и критерии кредитоспособности клиента...222

9.2. Кредитоспособность крупных и средних предприятий.224

9.2.1. Финансовые коэффициенты оценки кредитоспособности клиентов коммерческого банка.224

9.2.2. Анализ денежного потока как способ оценки кредитоспособности заемщика.232

9.2.3. Анализ делового риска как способ оценки кредитоспособности клиента 235

9.2.4. Определение класса кредитоспособности клиента..237

9.3. Оценка кредитоспособности мелких предприятий...240

9.4. Оценка кредитоспособности физического лица....241

Глава 10 Кредитование юридических лиц..243

10.1. Фундаментальные элементы системы кредитования...243

10.2. Субъекты кредитования и виды кредитов.245

10.3. Объекты кредитования....249

10.4. Особенности современной системы кредитования....251

10.5. Условия кредитования.252

10.6. Этапы кредитования....254

10.7. Общие организационно-экономические основы кредитования...256

10.7.1. Методы кредитования и формы ссудных счетов.257

10.7.2. Кредитная документация, представляемая банку на начальном и последующих этапах кредитования...259

10.7.3. Процедура выдачи кредита.262

10.7.4. Порядок погашения ссуды...264

Глава 11 Организация отдельных видов кредита..269

11.1. Современные способы кредитования.269

11.2. Кредит по овердрафту и контокорренту....270

11.3. Ипотечный кредит...273

11.4. Организация потребительского кредита (кредитование физических лиц).283

11.5. Межбанковские кредиты.295

11 .6. Кредиты Банка России...304

11.7. Консорциальные (синдицированные) кредиты....315

12.1. Правовой и экономический аспекты кредитного договора банка с клиентом.320

12.2. Основные требования к содержанию и форме кредитного договора..323

12.3. Международный опыт использования кредитных договоров в банковской практике.329

12.4. Анализ и оценка российской практики составления кредитных договоров банка с клиентом...334

Глава 13 Формы обеспечения возвратности кредита.337

13.1. Понятие формы обеспечения возвратности кредита..337

13.2. Залог и залоговый механизм...339

13.3. Уступка требований (цессия) и передача права собственности....,.351

13.4. Гарантии и поручительства....354

13.5. Классификация предприятий по степени кредитного риска в зависимости от финансового состояния и качества обеспечения кредита.,...359

Глава 14 Организация платежного оборота и межбанковские корреспондентские отношения.363

14.1. Основы платежного оборота..363

14.2. Платежная система и ее элементы..366

14.3. Принципы организации безналичных расчетов....373

14.4. Расчеты в нефинансовом секторе (в народном хозяйстве)...377

14.5. Расчеты в финансовом секторе (между банками).. 407

Глава 15 Лизинговые операции коммерческих банков..455

15.1. История возникновения и развития лизинга.455

15.2. Сущность лизинговой сделки..459

15.3. Основные элементы лизинговой операции....460

15.4. Классификация видов лизинга и лизинговых операций..466

15.5. Организация и техника лизинговых операций.....472

15.7. Риски лизинговых сделок....476

Глава 16 Операции коммерческих банков с ценными бумагами..478

16.1. Виды банковской деятельности на рынке ценных бумаг...478

16.2. Выпуск банком собственных ценных бумаг..480

16.3. Инвестиционные операции коммерческих банков с ценными бумагами...490

16.4. Операции репо..494

Глава 17 Валютные операции коммерческих банков......497

17 Л. Регулирование валютных операций коммерческих банков..497

17.2. Экономические основы валютных операций коммерческих банков России.505

17.3. Классификация и понятие валютных операций коммерческих банков России.512

17.4. Валютные риски и методы их регулирования..530

17.5. Финансовые инструменты как метод страхования валютных рисков...563

Глава 18 Прочие операции коммерческих банков..584

18.1. Классификация и общая характеристика прочих операций коммерческих банков....584

18.2. Правовые основы развития прочих операций коммерческих банков..585

18.3. Организация прочих операций коммерческих банков.586

Глава 19 Новые банковские продукты и услуги....604

19.1. Пластиковые карты. Особенности применения пластиковых карт в российской и зарубежной практике.... 604

19.2. Банкомат как элемент электронной системы платежей...626

19.3. Межбанковские электронные переводы денежных средств в торговых организациях..627

19.4. "Home banking" - банковское обслуживание клиентов на дому и на их рабочем месте...629

19.5. Хранение ценностей.. 632

19.6. Форфейтинговые операции банков...632

19.7. Опционы, фьючерсы, свопы....635

Глава 20 Банковский процент и процентные начисления..638

20.1. Банковский процент и механизм его использования....638

20.2. Процентный риск, методы его оценки и управления....643

20.3. Процентные ставки и методы начисления процентов...650

Литература

Банковское дело: Учебник. - 2-е изд., перераб. и доп./ Под ред. Б23 О.И. Лаврушина. - М.: Финансы и. статистика, 2005. - 672 с: ил. ISBN 5-279-02102-4

Настоящее издание учебника подготовлено преподавателями Финансовой академии при Правительстве РФ по специальностям «Финансы икредит» и «Бухгалтерский учет, анализ и аудит». Рассматриваются теория и практика работы банка, правовые и экономические основы его деятельности. Наибольшее внимание уделено организации и порядку оформления отдельных банковских операций, технологии банковского дела. Приводятся конкретные расчеты, производимые банком в процессе выполнения своих функций (1-еизд. - 1998г).

Общие положения
Практически все финансово-экономические расчеты, так или иначе, связаны с начислением процентов. В банковской практике применяются простые и сложные проценты.
Процентные деньги (проценты) - это сумма доходов от предоставления денег в долг в различных формах (выдача ссуды, открытие депозитных счетов, покупка облигаций, сдача оборудования в аренду и др.).
Сумма процентных денег зависит от трех факторов:
суммы основного долга (размера ссуды);
срока погашения;
процентной ставки, которая характеризует интенсивность начисления процентов.
Проценты могут выплачиваться по мере их начисления или присоединяться к сумме долга. Увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов называют наращением первоначальной суммы долга.
Отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга называют множителем (коэффициентом) наращения (КН):
Кн = 8 / Р,
где 8 - наращенная сумма (погашаемая);
Р - первоначальная сумма долга.
КН всегда больше единицы.
Интервал времени, за который начисляют проценты, называют периодом начисления.
При использовании простых ставок процентов сумма процентных денег в течение всего срока долга определяется исходя из его первоначальной суммы, независимо от периодов начисления и их длительности, т.е. отсутствует капитализация процентов (начисление процентов на процент).
При использовании сложных ставок начисленные за предыдущий период проценты прибавляются к сумме долга и на них в следующем периоде начисляются проценты (имеет место капитализация процентов).
Величина самих ставок (и простых, и сложных) может меняться или оставаться неизменной. Если процентная ставка изменяется, но при этом нет капитализации, т.е. проценты всегда начисляются на одну и ту же сумму, то они будут простыми. Если же будет капитализация даже при неизменных процентных ставках, то проценты - сложные.
Как простые, так и сложные проценты, могут начисляться двумя методами:
декурсивным - проценты начисляются в конце каждого интервала;
антисипативным - проценты начисляются в начале каждого интервала.
В первом случае величина процентных денег определяется исходя из величины предоставленного кредита. Декурсивная процентная ставка называется ссудным процентом. Это отношение суммы начисленного за интервал времени дохода к первоначальной сумме (сумме на начало интервала начисления процентов):
1 = Доход х 100% / Р.
При антисипативном (предварительном) методе начисления процентов сумма процентных денег определяется исходя из наращенной суммы. Процентная ставка (ё) называется учетной или антисипативной:
ё = Доход х 100% / 8.
Более распространен в мировой практике декурсивный метод.
Рассмотрим различные виды ставок и методы их начисления в соответствии со следующим планом:
простые декурсивные процентные ставки;
сложные декурсивные процентные ставки;
простые антисипативные (учетные) ставки;
сложные антисипативные (учетные) ставки;
эквивалентные процентные ставки.
Декурсивный метод начисления простых процентов
Начисление простых ставок применяется, как правило, при краткосрочном кредитовании.
Введем обозначения:
8 - наращенная сумма, р.;
Р - первоначальная сумма долга, р.;
1 - годовая процентная ставка (в долях единицы);
п - срок ссуды в годах.
В конце первого года наращенная сумма долга составит
81 = Р + Р 1 = Р (1+ 1);
в конце второго года:
82 = 81 + Р 1 = Р (1+ 1) + Р 1 = Р (1+ 2 1); в конце третьего года:
83 = 82 + Р1 = Р (1+ 2 1) + Р 1 = Р (1+3 1) и так далее. В конце срока п: 81 = Р (1+ п 1).
Это формула наращения по простой ставке процентов.
Надо иметь в виду, что процентная ставка и срок должны соответствовать друг другу, т.е. если берется годовая ставка, то срок должен быть выражен в годах (если квартальная, то и срок - в кварталах и т.д.).
Выражение в скобках представляет собой коэффициент наращения по простой ставке процентов:
Кн = (1+ п 1).
Следовательно,
81 = Р Кн.
Задача 5.1
Банк выдал ссуду в размере 5 млн р. на полгода по простой ставке процентов 12% годовых. Определить погашаемую сумму.
Решение:
8 = 5 млн. (1 + 0.5 ¦ 0.12) = 5 300 000 р.
Если срок, на который деньги берутся в долг, задан в днях, наращенная сумма будет равна 8 = Р (1 + д/К 1),
где д - продолжительность срока в днях;
К - число дней в году.
Величину К называют временной базой.
Временная база может браться равной фактической продолжительности года - 365 или 366 (тогда проценты называются точными) или приближенной, равной 360 дням (тогда это обыкновенные проценты).
Значение числа дней, на которые деньги взяты в долг, может также определяться точно или приближенно. В последнем случае продолжительность любого целого месяца принимается равной 30 дням. В обоих случаях дата выдачи де-нег в долг и дата их возвращения считается за один день.
Задача 5.2
Банк выдал ссуду в размере 200 тыс. р. с 12.03 по 25.12 (год високосный) по ставке 7% годовых. Определить размер погашаемой суммы с различными вариантами временной базы при точном и приближенном числе дней ссуды и сделать вывод о предпочтительных вариантах с точки зрения банка и заемщика.
Решение:
Точное число дней ссуды с 12.03. по 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Приближенное число дней ссуды:
20+8-30+25=285;
а) Точные проценты и точное число дней ссуды:
8 =200 000 (1+289/366 ¦ 0.07) = 211 016 р.;
б) обыкновенные проценты и точное число дней ссуды:
8 =200 000 (1+289/360 ¦ 0.07) =211 200;
в) обыкновенные проценты и приближенное число дней ссуды:
8= 200 000 (1+285/360 ¦ 0.07) =211 044;
г) точные проценты и приближенное число дней ссуды:
8= 200 000 (1+285/366 ¦ 0.07) =210 863.
Таким образом, самая большая наращенная сумма будет в варианте б) - обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды, а самая маленькая - в варианте г) - точные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Следовательно, с точки зрения банка как кредитора предпочтительным является вариант б), а с точки зрения заемщика - вариант г).
Надо иметь в виду, что кредитору в любом случае более выгодны обыкновенные проценты, а заемщику - точные (при любых ставках - простых или сложных). В первом случае наращенная сумма всегда больше, а во втором случае - меньше.
Если ставки процентов на разных интервалах начисления в течение срока долга будут различными, наращенная сумма определяется по формуле
n
8 = Р (1 + X п 10,
1=1
где N - количество интервалов начисления процентов;
п - длительность 1-го интервала начисления;
^ - ставка процентов на I- м интервале начисления.
Задача 5.3
Банк принимает вклады по простой ставке процентов, которая в первый год составляет 10%, а потом каждые полгода увеличивается на 2 процентных пункта. Определить размер вклада в 50 тыс. р. с процентами через 3 года.
Решение:
8 = 50 000 (1 + 0.1 + 0.5 0.12 + 0.5 0.14 + 0.5 0.16 + 0.5 0.18) = 70 000 р.
Используя формулу для наращенной суммы, можно определить срок ссуды при прочих заданных условиях.
Срок ссуды в годах:
8 - Р N = .
Р 1
Задача 5.4
Определить срок ссуды в годах, за который долг 200 тыс. р. возрастет до 250 тыс. р. при использовании простой ставки процентов - 16% годовых.
Решение:
(250 000 - 200 000) / (200 000 0.16) = 1.56 (лет).
Из формулы для наращенной суммы можно определить ставку простых процентов, а также первоначальную сумму долга.
Решить самостоятельно
Задача 5.5
При выдаче кредита 600 тыс. р. оговорено, что заемщик вернет через два года 800 тыс. р. Определить использованную банком величину ставки процентов.
Ответ: 17%.
Задача 5.6
Ссуда, выданная по простой ставке 15% годовых, должна быть возвращена через 100 дней. Определить сумму, полученную заемщиком, и сумму процентных денег, полученных банком, если возвращаемая сумма должна составить 500 тыс. р. при временной базе 360 дней.
Ответ: 480 000р.
Операцию нахождения первоначальной суммы долга по известной погашаемой называют дисконтированием. В широком смысле термин "дисконтирование" означает определение значения Р стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она будет равна заданному значе-нию 8. Подобные расчеты называют также приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а значение Р, определенное дисконтированием, называют современным, или приведенным, значением стоимостной величины. Дисконтирование позволяет учитывать в стоимостных расчетах фактор времени. Коэффициент дисконтирования всегда меньше единицы.
Формула дисконтирования по простой ставке процентов:
Р = 8 / (1 + ш), где 1 / (1 + ш) - коэффициент дисконтирования.
Декурсивный метод начисления сложных процентов
При долгосрочных финансово-кредитных операциях проценты после очередного периода начисления присоединяются к сумме долга, и в следующем периоде проценты начисляются на общую сумму, т.е. с капитализацией процентов. Такие проценты называются сложными, база для их начисления увеличивается с каждым очередным периодом начисления.
Наращенная сумма за п лет при использовании постоянной годовой ставки сложных процентов 1с определяется по формуле
8 = Р (1 + 1с)п.
Задача 5.7
Банк выдал ссуду 500 тыс. р. на 3 года. Определить погашаемую сумму при использовании сложной ставки 18% годовых и сумму процентных денег.
Решение:
8 = 500 000 (1 + 0.18)3 = 821 516 р.
Процентные деньги = 821 516 - 500 000 = 321 516 р.
Начисление сложных процентов при сроке ссуды более одного года дает большую сумму процентных денег, чем начисление простых процентов.
Если начисление сложных процентов осуществляется несколько раз в году (по месяцам, кварталам, полугодиям), то используется номинальная ставка процентов - годовая ставка, исходя из которой определяется величина ставки процентов, применяемой в каждом периоде начисления.
Наращенная сумма при этом определяется по формуле
8 = Р (1 + ] / т)тп, где ] - номинальная ставка сложных процентов, десятичная дробь;
т - количество периодов начисления процентов в году;
п - срок ссуды в годах;
] / т - ставка процентов в каждом периоде начисления, десятичная дробь.
Задача 5.8
Банк ежеквартально начисляет проценты на вклады по номинальной ставке 16% годовых. Определить сумму, полученную вкладчиком через 5 лет, если первоначальная сумма вклада равна 100 тыс. р.
Решение:
8 = 100 000 (1 + 0.16 / 4)4 х 5 = 219 112.2 р.
Из формулы для наращенной суммы можно определить значение суммы, выдаваемой заемщику, т.е. осуществить дисконтирование суммы 8 по сложной ставке процентов.
Решите самостоятельно
Задача 5.9
Определите современную величину суммы 500 тыс. р., которая будет выплачена через 3 года при использовании ставки сложных процентов 20% годовых.
Ответ: 289 351.8р.
Срок ссуды (из формулы наращенной суммы) определится
п = 1од (8/Р) / 1од (1+1).
Логарифмы могут браться с любыми равными основаниями.
Задача 5.10
Банк начисляет сложные проценты по ставке 12% годовых. Определите срок в годах, за который сумма вклада в 25 тыс. руб. вырастет до 40 тыс. р.
Ответ: 4.15 года.
Задача 5.11
Сумма долга удвоилась за 3 года. Определить использованную годовую ставку сложных процентов.
Ответ: 26%.
Антисипативный метод начисления простых процентов (простые учетные ставки)
При использовании учетных ставок сумма процентных денег от предоставления денег в долг определяется исходя из суммы, которая должна быть возвращена, т.е. величиной получаемого кредита считается не получаемая, а наращенная сумма. Процентные деньги, начисленные по учетной ставке, удерживаются непосредственно при выдаче ссуды, а заемщик получает сумму кредита сразу за вычетом процентных денег. Такая операция называется дисконтированием по учетной ставке, а также банковским или коммерческим учетом. Сумма процентных денег, начисленная по учетной ставке, называется дисконтом.
Сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле
Р = 8 (1 - п й),
где й - простая учетная ставка;
(1 - п ё) - коэффициент дисконтирования по простой учетной ставке.
Из формулы видно, что, в отличие от ссудных ставок, учетные ставки не могут принимать любые значения, коэффициент дисконтирования не может быть отрицательным, т.е. п^ё должно быть строго меньше единицы. Значения ё, близкие к предельным, на практике не встречаются. Задача 5.12
Заемщик берет ссуду на квартал с обязательством возвратить 100 тыс. р. Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, удержанного банком, при учетной ставке 15% годовых.
Решение:
Р = 100 000 (1 - 0.25 х 0.15) = 96 250 р.
Дисконт = 8 - Р = 100 000 - 96 250 = 3 750 р.
Если срок ссуды задан в днях (д), сумма, получаемая заемщиком, определится по формуле
Р = 8 (1 - а д / К),
где К - количество дней в году (временная база).
Решите самостоятельно
Задача 5.13
Определить сумму, полученную заемщиком, и величину дисконта, полученного банком, если по договору заемщик должен через 200 дней возвратить 100 тыс. р. при учетной ставке банка 10% годовых и временной базе 360 дней.
Ответ: 94 444.44р.; 5 555.56р.
На практике учетные ставки используются при покупке (учете) векселей и других денежных обязательств. В этом случае банк или другое финансовое учреждение до наступления срока по векселю покупает его у владельца (поставщика) по цене, меньшей той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, или, как принято говорить, банк учитывает вексель с дисконтом. Владелец векселя при этом получает деньги ранее указанного в векселе срока за вы-четом дохода банка в виде дисконта. Банк, получив при наступлении срока оплаты векселя указанную в нем сумму, реализует (получает) дисконт.
Указанную операцию можно рассматривать как выдачу банком ссуды в размере суммы, указанной в векселе, по учетной ставке, используемой при его учете, на срок, равный сроку от даты учета до даты погашения векселя. Следовательно, сумма, выдаваемая владельцу учитываемого векселя, будет определяться по формуле
Р = 8 (1 - Дп-ё) = 8 (1 - ё-Дд / К), где Дп = Дд / К - срок в днях от даты учета до даты погашения векселя;
Ад - число дней от даты учета до даты погашения векселя.
Задача 5.14
При учете векселя на сумму 100 тыс. р., до срока оплаты которого осталось 80 дней, банк выплатил его владельцу 98 тыс. р. Определить, какую учетную ставку использовал банк при временной базе 360 дней.
Решение:
ё = (100 000 - 98 000) х 360 / (100 000 х 80) = 0.09 = 9%.
Решите самостоятельно
Задача 5.15
Вексель на сумму 200 тыс. р. учет в банке за 30 дней до срока его погашения по учетной ставке 15% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя, и сумму дисконта, полученную банком, при временной базе 360 дней.
Ответ: 197 500р.; 2 500р.
Задача 5.16
Банк выдает ссуды по учетной ставке 15% годовых. Определить срок ссуды в годах, если заемщик хочет получить 500 тыс. р., а погашаемая сумма должна составить 550 тыс. р
. Ответ: 0.61 года.
Антисипативный метод начисления сложных процентов (сложные учетные ставки)
Введем следующие обозначения:
ёс - сложная учетная ставка;
^ - номинальная годовая учетная ставка (применяется при начислении процентов по учетной ставке несколько раз в году);
Формула дисконтирования по сложной учетной ставке:
Р = 8 (1 - йс)п.
Наращенная сумма через п лет: 8 = Р / (1 - Дс)п.
Здесь 1 / (1 - йс)п - коэффициент наращения по сложной учетной ставке.
При равенстве ссудного процента и учетной ставки наращение первоначальной суммы во втором случае (антисипативным методом) идет быстрее. Поэтому в литературе можно встретить утверждение о том, что декурсивный метод начисления процентов более выгоден заемщику, а антисипативный - кредитору. Однако это можно считать справедливым лишь для небольших процентных ставок, когда расхождение не столь значительно. Но с ростом процентной ставки разница в наращенных суммах становится огромной (и растет с ростом %), и сравнение этих двух методов теряет всякий смысл.
Из формулы следует, что учетная ставка может принимать значения только строго меньше 100%. Наращенная сумма быстро увеличивается с ростом учетной ставки, стремясь к бесконечности.
Если учетная ставка изменяется в течение срока ссуды:
n
8 = Р / П (1 - п й).
1=1
Здесь п1, п2, ... пN - продолжительность интервалов начисления в годах;
й1, ... ^ - учетные ставки в этих интервалах;
Если начисление процентов т раз в году, то
8 = Р / (1 - Г/т)™
Если провести расчеты 8 для разных видов процентных ставок (простых и сложных ссудных и учетных) при одинаковых Р и размерах процентных ставок, то наибольший рост капитала получится в случае начисления процентов по простой учетной ставке.
Задача 5.17
Первоначальная сумма долга - 25 тыс. р. Определить наращенную сумму через 3 года при применении декурсивного и антисипативного способов начисления процентов. Годовая процентная ставка - 25%.
Решение:
= 25 000 (1 + 0.25)3 = 48 828,125 р.;
= 25 000 (1 - 0.25)-3 = 59 255,747 р.
Решите самостоятельно
Задача 5.18
Определить современное значение суммы в 120 000 р., которая будет выплачена через 2 года при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.
Ответ: 76 800 р
Задача 5.19.
Определить наращенные суммы для различных видов процентных ставок при одинаковых начальных условиях: Р = 10 000 р., процентная ставка = 10%.
Результаты расчетов свести в таблицу и сравнить скорости наращения. Вид ставки и формула расчета 8 Срокп = 1 Срокп =3 Срокп =6 Простая ссудная: 8 = Р (1 + т) 11 000 13 000 16 000 Сложная ссудная: 8 = Р (1 + 1с)п Непрерывный способ начисления %% 8 = Р е] п 11 044 Простая учетная: 8 = Р / (1 - йп) Сложная учетная: 8 = Р / (1 - й)п
Для примера в верхней строке приведены результаты расчетов наращенных сумм по простой ссудной ставке при сроках ссуды, равных одному, трем и шести годам. Пустые строки следует заполнить самостоятельно.
В формуле расчета для непрерывного начисления процентов е - основание натурального логарифма. Для п = 1: 8 = 10 000 х 2.701 х 1 = 11 044.
Эквивалентные процентные ставки Эквивалентные процентные ставки - это такие ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты. Их необходимо знать, когда существует возможность выбора условий финансовых операций и требуется инструмент для корректного сравнения различных процентных ставок.
Для нахождения эквивалентных процентных ставок используют уравнения эквивалентности. Выбирается величина, которую можно рассчитать при использовании различных видов ставок (обычно это наращенная сумма). На основании равенства двух выражений для данной величины составляется уравнение эквивалентности, из которого путем соответствующих преобразований получается соотношение, выражающее зависимость между процентными ставками различного вида. Например, для нахождения простой учетной ставки, эквивалентной простой ссудной ставке, уравнение эквивалентности будет иметь вид
Р (1 + ш) = Р/ (1 - пй) или (1 + ш) = 1 / (1 - пй), т.е. необходимо приравнять соответствующие коэффициенты наращения. Отсюда й = 1 / (1 + ш) и 1 = й / (1 - пй).
Задача 5.20
Срок уплаты по долговому обязательству - полгода, простая учетная ставка - 18%. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудных процентов?
Решение:
1 = 0.18 / (1 - 0.5 х 0.18) = 0.198 = 19.8%. Для нахождения эквивалентности между собой годовой сложной ссудной ставки и годовой сложной номинальной ссудной ставки приравняем выражения: 8 = Р (1 + 1с)п и 8 = Р (1 + Ут)™, т.е. (1 + дп = (1 + Ут)™
Отсюда 1с = (1 + Ут) т - 1.
Полученная годовая ставка сложных процентов, эквивалентная номинальной процентной ставке, называется эффективной ставкой сложных процентов. Ее необходимо знать для определения реальной доходности или сравнения процентов, когда используются разные интервалы начисления.
Задача 5.21
Рассчитать эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка 24% и начисление процентов ежемесячное.
Решение:
1с = (1 + 0.24 / 12)12 - 1 = 0.268 = 26.8%.
Задача 5.22
Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал в 10 000 тыс. р. на 5 лет:
а) под простую ссудную ставку 20% годовых;
б) под сложную ссудную ставку 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов.
Решение:
Здесь не обязательно считать величину наращенной суммы при различных ставках. Поэтому не важна величина первоначального капитала. Достаточно, например, найти простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, т.е. использовать формулу
1 = [(1 + ] / т)тп - 1] / п = [(1 + 0.12 / 4)20 - 1] / 5 = 0.1612 = 16.12%.
Поскольку простая процентная ставка 16.12%, которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой (12%) результат, значительно ниже предложенной в первом варианте ставки (20%), ясно, что гораздо выгоднее первый вариант вложения (под простую ставку 20% годовых).
Посчитаем теперь наращенные суммы в обоих случаях:
а) 8 = 10 000 (1 + 5 х 0.2) = 20 000 тыс. р.;
б) 8 = 10 000 (1 + 0.12 / 4)20 = 18 061 тыс. р.
Полученный результат подтверждает ранее сделанный вывод о том, что первый вариант более выгоден, поскольку дает большую сумму наращения. При этом использование эквивалентных ставок вдвое сокращает расчеты.
Решите самостоятельно
Задача 5.23
Вексель учтен за три месяца до срока его погашения по учетной ставке 20% годовых. Определить значение эквивалентной ставки простых процентов, определяющей доходность операции учета.
Ответ: 21.1%.
Задача 5.24
Простая ставка процентов равна 20% годовых. Определить значение эквивалентной ей учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Ответ: 18%.
Задача 5.25
Кредит на два года предоставлен по ставке сложных процентов 16% годовых. Определить значение эквивалентной учетной ставки при выдаче ссуды на полгода.
Ответ: 14.5%.
Задача 5.26
По депозитному сертификату сроком на пять лет начисляются простые ссудные проценты по ставке 15% годовых. Определить эквивалентную ставку сложных процентов.
Ответ: 11.84%.
Задача 5.27
Банк ежемесячно начисляет проценты на вклады по номинальной годовой ставке 12% годовых. Определить доходность вкладов по сложной годовой ставке процентов.
Ответ: 12.68%.
Можно сделать следующие выводы:
Значение эффективной ставки больше значения номинальной, а совпадают они при т = 1.
Простая учетная ставка всегда меньше эквивалентных ей других ставок (поскольку наращение по этой ставке при прочих равных условиях всегда быстрее).
Эквивалентность различных процентных ставок не зависит от величины первоначальной суммы Р (первоначальная сумма предполагается одинаковой).
Эквивалентность процентных ставок всегда зависит от продолжительности периода начисления процентов за исключением случаев эквивалентности между собой сложных процентных ставок разного вида (если период начисления один и тот же).

В зависимости от условий проведения расчетов оценки эффективности инвестиционных проектов как дисконтирование, так и наращение осуществляются с применением простых и сложных процентов.

Простые проценты в практике используются в краткосрочных финансовых операциях сроком менее одного года, когда используется наиболее упрощенная система расчетных алгоритмов.

Базой для исчисления процентов за каждый плановый период при простых процентах является первоначальная (исходная) сумма сделки. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

1. Будущая стоимость вклада К б с учетом начисленной суммы процента через t лет определяется по формуле

где Р – сумма процента за обусловленный период времени в целом;

К

t -

процентных платежей;

i – процентная ставка.

Множитель (1+ t х i ) называется множителем наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно больше единицы.

Сумма простого процента в процессе наращения стоимости капитала рассчитывается по формуле:

Р = К x t x i.

Пример . Определить будущую стоимость вклада и сумму простого процента за год при следующих условиях:

первоначальная сумма вклада – 5000 руб.;

Решение:

сумма процента составит

Р = 5000 х4х0,03 = 600 руб.;

Будущая стоимость вклада составит

К = 5000(1+4х0,03) = 5600 руб.

Пример . Определить период начисления при годовой процентной ставке i = 0,1, за который первоначальный капитал 100 тыс. руб. вырастет до 140 тыс. руб. по простым процентам.

Решение:

К б = К(1+ i х t),

t = года.

Решение:

2. Настоящая стоимость денежных средств К н с учетом начисленной суммы простого процента определяется по формуле:

Множитель называется дисконтным множителем суммы простых процентов, значение которого всегда должно быть меньше единицы.

Сумма простого процента в процессе дисконтирования стоимости определяется по формуле

где D – величина дисконта за обусловленный период времени в целом;

К – первоначальная сумма денежных средств;

Пример . Определить настоящую (текущую) стоимость вклада и сумму дисконта по простому проценту за год при следующих условиях:

конечная сумма вклада – 5000 руб.;

дисконтная ставка, выплачиваемая ежеквартально, – 3%.

Решение:

настоящая стоимость вклада составит

руб.;

Начисленная сумма дисконта составит

D руб.

Сложные проценты широко применяются в долгосрочных финансовых операциях со сроком более одного года. Для расчета по сложным процентам используется более обширная система расчетных алгоритмов.

Базой для исчисления процентов за каждый плановый период при сложных процентах являются первоначальная (исходная) сумма сделки и к этому времени накопленные проценты.

1. При расчете будущей суммы вклада в процессе его наращения по сложным процентам используется следующая формула:

где К б – будущая стоимость вклада по сложным процентам;

К – первоначальная сумма вклада;

t - количество интервалов, по которым осуществляется расчет

процентных платежей;

i – процентная ставка.

Соответственно начисленная сумма процента Р определяется по формуле

Р = К б – К.

Таким образом, если инвестиция осуществлена на условиях сложного процента, то годовой доход по определенной годовой ставке исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей ранее начисленные и невостребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. исходная база все время возрастает.

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления значительно выгоднее, поскольку вложенный капитал постоянно возрастает.

Проценты

Рис. 5.2. Доходы по простым и сложным процентам

Рисунок 5.2 показывает, что за период менее 1 года выгодно вкладывать капитал по простым процентам. За период более 1 года – по сложным процентам. На период 1 год – одинаково.

Формула сложных процентов используется при оценке эффективности инвестиционных проектов. Выражение (1+i ) t называют мультиплицирующим множителем или множителем наращения сложных процентов.

Экономический смысл множителя состоит в следующем: он показывает будущую стоимость вложенного капитала через n лет при заданной процентной ставке i .

Пример. Определить будущую стоимость вклада и сумму сложного процента за весь период инвестирования при следующих условиях:

первоначальная стоимость вклада – 5000 руб.;

процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально, – 3%;

общий период инвестирования – 1 год.

Решение:

будущая стоимость составить

начисленная сумма процента равна

Р = 5627,5 – 5000 = 627,5 руб.

При вложении капитала на депозитный счет может быть ситуация, когда срок операции составляет не целое число лет. В этом случае кредиторы используют смешанный порядок начисления процентов: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке. Тогда будущая (наращенная) стоимость вложенного капитала определяется по формуле

где n – число полных лет в составе продолжительности операции;

n - число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год;

k – временная база.

Пример . Инвестор вкладывает 100 тыс. руб. на депозитный счет банка под 12% годовых. Действие договора распространяется на период с 1 го июня 2006 г. по 31 декабря 2009 г. Определить будущую стоимость первоначального капитала по формуле сложных процентов и по формуле, предусматривающей смешанный порядок исчисления процентов.

Решение:

в случае начисления сложных процентов за весь срок договора

Тыс. руб.;

при смешенном способе

Тыс. руб.

Таким образом, при смешанном методе начисления процентов инвестор получит на 3,6 тыс. руб. больше.

2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования(К н ) по сложным процентам используется следующая формула:

где К б – будущая стоимость вклада;

t - количество интервалов, по которым осуществляется расчет

процентных платежей;

i – процентная ставка.

Соответственно начисленная сумма дисконта D определяется по формуле:

D = К – К н.

Пример . Определить настоящую стоимость денежных средств и сумму дисконта по сложным процентам за 1 год при следующих условиях:

будущая стоимость вклада – 5000 руб.;

процентная ставка, выплачиваемая ежеквартально, – 3%.

Решение:

настоящая стоимость составить

руб.

начисленная сумма дисконта

D =5000 - 4440,0 = 560,0 руб.

3. При определении процентной ставки, используемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется следующая формула

где i – процентная ставка;

К б – будущая стоимость вклада при его наращении по сложным

процентам;

К – первоначальная сумма денежных средств;

t - количество интервалов, по которым осуществляется расчет

процентных платежей.

Пример . Определить годовую ставку доходности облигации при следующих условиях:

номинал облигации, подлежащей погашению через 3 года, составляет 5000 руб.;

цена, по которой облигация реализуется в момент ее эмиссии, составляет 3000 руб.

Решение:

годовая ставка доходности составит

Пример . Инвестор имеет 300 000 руб. и желает получить через 2 года 400 000 руб. Каково в этом случае должно быть минимальное значение годовой процентной ставки?

Решение:

пользуемся формулой

Следовательно, для того чтобы получить необходимую сумму нужно вложить денежные средства по годовой ставке не ниже 8%.

4. Эффективная процентная ставка в процессе наращения стоимости денежных средств по сложным процентам рассчитывается по формуле

где i э – эффективнаясреднегодовая процентная ставка при наращении

стоимости денежных средств по сложным процентам;

i – процентная ставка, используемая при наращении стоимости

денежных средств по сложным процентам.

Пример . Определить эффективнуюсреднегодовую процентную ставку при следующих условиях:

денежная сумма 5000 руб. помещена в коммерческий банк на депозит сроком на 2 года;

годовая процентная ставка, по которой ежеквартально осуществляется начисление процента, составляет 12%.

Решение:

эффективная среднегодовая процентная ставка составит

Результаты расчетов показывают, что условия размещения вклада на 2 года под 12% годовых при ежеквартальном начислении процентов равнозначны условиям начисления этих процентов 1 раз в год под 12,5% годовых.

При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам надо иметь в виду, что на результат оценки оказывает влияние не только ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода.

Пример . Если вклад в сумме 100 000 руб. хранить в банке 2 года, то при годовой ставке 12% в зависимости от частоты начисления процентов накопленная сумма составит:

а) при начислении процента 1 раз в год

100 000(1+0,12) 2 = 125440,0 руб.;

б) при полугодовом начислении процентов

100 000(1+0,12/2) 2х2 = 100 000(1+0,06) 4 = 126247,69 руб.;

в) при ежеквартальном начислении процентов

100 000(1+0,12/4) 2х4 = 100 000(1+0,03) 8 = 126677,0 руб.;

г) при ежемесячном начислении процентов

100 000(1+0,12/12) 2х12 = 100 000(1+0,01) 24 = 126973,46 руб.

Пример . Перед инвестором стоит задача разместить 100 тыс. руб. на депозитный вклад сроком на 1 год. Первый банк предлагает инвестору выплачивать доход по сложным процентам в размере 3% в квартал; второй - в размере 7% 2 раза в год, третий - 13% 1 раз в год. Определить? какой вариант лучше. Результаты расчетов приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Второй вариант лучший.

Временные периоды, которым соответствуют определенные по величине денежные потоки, обычно предполагаются равными. Одновременно предполагается, что денежные поступления имеют место либо в начале, либо в конце периода, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ, в начале или в конце года.

Поступления в начале года называются потоком пренумерандо , или авансом, в конце года - постнумерандо .

Разница между ними состоит в том, что в первом случае поступление денежных средств происходит параллельно с вложением инвестиций.

На практике относительно большее распространение получил поток постнумерандо, поскольку финансовые результаты определяются обычно по окончании очередного отчетного года. Именно этот поток положен в основу методик анализа эффективности инвестиционных проектов. Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Виды процентных ставок и способы начисления процентов. Простые проценты.

Основным свойством денег является их временная ценность, связанная с

− наличием инфляции,

− обращением капитала.

Деньги, относящиеся к различным моментам времени, неравноценны, например, сегодняшние деньги ценнее будущих, а будущие, в свою очередь, менее ценны, чем сегодняшние при равенстве их сумм.

Предмет финансовой математики – это специальные модели и алгоритмы, связанные с проблемой «деньги – время» и позволяющие оценить будущие доходы с позиции текущего момента.

Основными задачами финансовой математики являются:

− измерение конечных результатов финансовой операции;

− разработка планов выполнения финансовых операций;

− оценка зависимости конечных результатов операции от ее условий;

− определение допустимых критических значений параметров операции и расчет параметров эквивалентного (безубыточного) изменения первоначальных условий финансовой операции.

Любая финансовая операция, инвестиционный проект или коммерческое соглашение предполагают наличие ряда условий их выполнения, с которыми согласны участвую­щие стороны.

К таким условиям относятся следующие количе­ственные данные:

− денежные суммы,

− временные параметры,

− процентные ставки.

Под процента­ми, понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, про­дажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облига­ции и т.д.

Под процентной ставкой пони­мается относительная величина дохода за фиксированный отре­зок времени – отношение дохода (процентных денег) к сумме долга.

Она измеряется в процентах. При выполнении расчетов про­центные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.

Временной интервал, к которому приурочена процентная ставка, называют периодом начисления. В качестве такого перио­да принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

Проценты согласно договоренности между кредитором и за­емщиком выплачиваются по мере их начисления или присоеди­няются к основной сумме долга (капитализация процентов).

Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присо­единением процентов называют наращениемэтой суммы.

Возможно определение процентов и при движении во времени в обратном направлении – от будущего к настоящему. В этом случае сумма денег, относящаяся к будущему, уменьша­ется на величину соответствующего дисконта(скидки). Такой способ называют дисконтированием(сокращением).

Размер процентной ставки зависит от:

− общего состояния экономики, в том числе денежно-кредитного рынка;

− кратковре­менных и долгосрочных ожиданий его динамики; вида сделки, ее валюты; срока кредита;

− особенностей заемщика (его надеж­ности) и кредитора, истории их предыдущих отношении и т. д.

Простые проценты

Под наращенной суммойссуды (депозита, инвестированных средств, платежного обязательства и т.п.) понимается ее первоначальная сумма с начисленными на нее процентами к концу срока наращения.Величина наращенной суммы представляет собой произведение первоначальной суммы ссуды на множитель наращения, который показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной.В зависимости от применяемой процентной ставки и условий наращения формула расчета множителя наращения записывается по-разному.

Например, для наращения по простым процентам наращенная сумма (S) будет рассчитываться так:

где Р – первоначальная сумма ссуды, ден. ед.; п –срок ссуды (а днях, месяцах, годах и т. п.); i – ставка наращения (простая постоянная), ед.

Выражение (1 + ni) называется множителем наращения.

В финансово-экономических расчетах срок ссуды обычно измеряется годами, поэтому значение ставки наращения i есть значение годовой ставки процентов. Проценты, начисленные за весь срок ссуды, в этом случае составят:

,

где I – процентная сумма (величина дохода), ден. ед.

Представленная выше формула называется формулой простых процентов, а величину I можно определить как процентный доход, или процентные деньги (проценты).

В практической работе банки, коммерческие организации, финансовые институты и т.п. используют различные способы изменения числа дней ссуды (t) и продолжительности года (временной базыдля расчета процентов) в днях (К).В зависимости от того, как определяются величины t и К– точно, или приблизительно применяются следующие варианты («практики», «системы») начисления простых процентов.

1. Точные проценты с фактическим числом дней ссуды(так называемая «английская» практика).Этот вариант дает самые точные результаты и применяется многими центральными и крупными коммерческими банками мира. В этом случае K=365 дням, а в месяцах 28, 29, 30 и 31 день.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды(так называемая «французская»практика или банковский метод).Этот вариант дает несколько больший результат, чем применение точных процентов.Так, если число дней ссуды превышает 360, то данный способ измерения времени приводит к тому, что сумма начисленных процентов будет больше, чем предусматривается годовой ставкой. Например, при t = 363 дням, n=363:З60=1,0083, а множитель наращения за этот период будет равен: 1+1,0083*i.

3.Обыкновенные проценты с приближенным числом днейссуды («германская»практика). Подсчет числа дней в этом варианте базируется на годе в 360 дней и месяцах по 30 дней. Поскольку точное число дней ссуды в большинстве случаев больше приближенного, то проценты с точным числом дней обычно больше, чем с приближенным, a следовательно, и наращенная сумма по процентам с точным числом дней обычно выше.

Наращение суммы в случае изменения простой процентной ставки в течение срока ссуды.На практике часто встречается ситуация, когда кредитные договоры (соглашения) предусматривают изменение процентной ставки в течение срока ссуды (например, в связи с изменением ставки рефинансирования; желанием банка учесть темп инфляции и т. д.). При этом годовая ставка процентов, указанная в кредитном договоре, носит название номинальной.В этом случае наращенная сумма будет исчисляться следующим образом:

где i t , – ставка простых процентов в периоде t; t=l,2,...,m; ед.;

n t , – продолжительность периода; лет;

т – число периодов, ед.

Наращение суммы при реинвестировании.В целях повышения заинтересованности вкладчиков и быстрого привлечения дополнительных денежных средств, например, в кратко- и среднесрочные депозиты, банки и финансовые компании могут предлагать производить своим клиентам неоднократное наращение вложенной суммы в пределах общего срока займа, т.е. реинвестировать ее. Иными словами, реинвестирование предполагает присоединение начисленных процентов к исходной (первоначальной) сумме и начисление процентов уже на возросшую сумму, и так несколько раз за период.При таком реинвестировании наращенная сумма рассчитывается по формуле:

где n 1 ,n 2 ,...n t – продолжительность периодов наращения, лет;

причем (общий срок сделки);

i 1 , i 2 , … i t , – ставки реинвестирования, ед.

В частном случае, когда и , т.е. когда периоды начисления и ставки процентов равны формула принимает

,

где m – число операций реинвестирования, ед.

Пример 1.1. На сумму вклада в размере 50 тыс. р. в течение месяца начисляются простые проценты по ставке 24% годовых. Какова будет наращенная сумма, если эта операция будет повторена в течение 6 мес. текущего года (т.е. при реинвестировании этой суммы шесть раз) при расчете точных процентов с фактическим числом дней ссуды с 1 -го марта?

По условиям примера Р = 50 тыс. р.; i = 0,24. Точное число дней не високосного года, начиная с марта и заканчивая августом составит: 31+30+31+30+31->-31=184 дня.

По формуле получаем:

Пример 1.2. Потенциальный клиент ряда надежных и расположенных в пределах его пешеходной доступности банков города имеет временно свободные денежные средства в размере 10 тыс. р. и хотел бы поместить их на депозитный счет сроком на 1 год. Первый банк (банк А) предлагает ему сделать вклад на условиях ежеквартального начисления по ставке 20% годовых и капитализации (реинвестирования) процентов. Второй банк (банк Б) на следующих условиях: начисление на вклад по ставке 24% годовых дважды в год с капитализацией процентов. Банк В предлагает ежемесячное начисление процентов по ставке 20% годовых и капитализацией начисленных процентов. И, наконец, банк Г предлагает сделать вклад на условиях начисления 25% годовых без капитализации процентов и начисления их в конце срока вклада.

В каком из банков вкладчик может получить наибольшую сумму по окончании срока договора?

По условиям примера Р = 10тыс. р.; i 1 = 20% ; i 2 = 24% ; i 3 = 20%; i 4 = 25%. Учитывая, что начисление процентов происходит ежеквартально, по полугодиям и ежемесячно с капитализацией, и только в банке Г – в конце года (без реинвестирования), по формуле и получим (тыс. р.):

Наращенная сумма при вкладах в конце и в начале каждого года.

Довольно часто по условиям договоров вклада депозитных договоров банки предусматривают возможность довложения определенной (часто – не выше первоначальной) денежной суммы.

В случае если вклады делаются в конце каждого года, то наращенная сумма составит:

где m – число вкладов, ед.; D – величина вклада, ден. ед.

Если вклады по своей величине равны, т.е. D 1 =D 2 =D 3 =D m , Т о формулу можно записать так:
,

или, учитывая, что ,

можно окончательно написать: .

Очевидно, что наращение по ставке простых процентов в случае, когда довложения делаются в начале года, существенно выгоднее по сравнению в довложениями в конце года.Это происходит потому, что в первом случае увеличивается на один год наращения.

Расчет суммы необходимого депозита при ежегодных выплатах. Довольно часто (особенно при работе с клиентами – пенсионерами, со вкладами на несовершеннолетних и т.п.) работники банка, работающие со вкладами населения, сталкиваются с задачей определения необходимой первоначальной суммы вклада (депозита) клиента, который смог бы обеспечить ему определенные ежегодные выплаты в течении n лет по заранее оговоренной ставке процентов. В общем случае эта задача сводится к решению задачи определения «вечной» ренты, которая подробно будет рассмотрена ниже. Сейчас же рассмотрим ее решение исходя из тех знаний, которые мы уже имеем.

Используя формулу , можно составить следующее уравнение:

где Р 1 ,Р 2 ,…,Р n – определенные ежегодные выплаты, ден, ед.; п – время выплат, лет.

При условии равенства ежегодных выплат, т.е. при P 1 =P 2 = Р 3 = Рn формулу можно преобразовать в выражение следующего вида:

.

Для приближенных, оценочных расчетов величины первоначального вклада можно использовать примерное равенство выражений:

.

Пример 1.3. Рассчитать необходимую первоначальную величину депозита клиента для того, чтобы он имел возможность ежегодно в течении 5 лет получать со своего счета в банке сумму в размере 6 тыс. руб. при начислении простой процентной ставки, равной 30% годовых.

По условиям примера Р=6 тыс. руб.; i n =30%; n=5 лет. Используя формулу , получим (тыс. р.):

Расчет по формуле
дает следующий результат:

Расхождение по сравнению с результатом, полученным по первой формуле, равно – 0,046 тыс. руб., или менее 0,3%. Как видим, расчет по второй формуле дает вполне приемлемый результат.

Расчет срока ссуды и уровня процентной ставки.При подготовке обоснования для получения ссуды и расчета ее эффективности возникает задача определения срока ссуды и уровня процентной ставки при имеющихся прочих условиях. В этом случае срок ссуды может быть определен как в годах, так и в днях:

в годах ;

в днях .

Соответственно и размер процентной ставки может быть определен при исчислений срока ссуды в годах как: ,

а при исчислении срока ссуды в днях так: .

Наращение и равномерная выплата процентов в потребительском кредите. В потребительском кредите, т.е. кредите, как правило, на личные нужды для приобретения товаров (или услуг) проценты начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу чаще всего уже в момент открытия кредита. Такой подход называется разовым начислением процентов, апогашение долга с процентами в этом случае производится обычно равными суммами на протяжении всего срока кредита. Наращенная сумма долга при таком подходе рассчитывается по формуле , а величина разового погасительного платежа (R) так:

,

где т – число погасительных платежей по кредиту в году, ед.

Заметим, что в связи с тем, что проценты начисляются на первоначальную сумму долга, а фактическая его величина постоянно уменьшается со временем, действительная процентная ставка (по фактически использованному кредиту) оказывается заметно выше, чем ставка по первоначальным договорным условиям.

Вопросы для самопроверки:

1. Что является предметов финансовой математики?

2. Какую роль играет время в финансовых расчетах?

3. Перечислите виды процентных ставок.

4. Что такое наращенная сумма?

5. Что такое дисконтирование?

6. Как определяется величина процентной ставки?

7. Как рассчитывается срок ссуды.

Тема 3.1.-3.2. Понятие эквивалентности процентных ставок. Вывод формул эквивалентности процентных ставок на основе равенства множителей наращения. Принцип финансовой эквивалентности обязательств. Уравнение эквивалентности. Объединение (консолидация) платежей.

Вопросы для рассмотрения:

1. Эквивалентность процентных ставок. Общие принципы.

2. Эквивалентность простой и сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год.

3. Эквивалентность простой процентной ставки и сложной с начислением процентов m раз в год.

4. Эквивалентность сложной процентной ставки с начислением процентов 1 раз в год и сложной процентной ставки с начислением процентов m раз в год.

5. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки.

6. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и сложной процентной ставки с начислением 1 раз в год.

7. Эквивалентность непрерывной процентной ставки и простой процентной ставки с начислением m раз в год.

8. Средняя процентная ставка.

9. Финансовая эквивалентность обязательств.

1. Принцип финансовой эквивалентности обязательств

В финансовой практике часто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например, с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один (кон­солидировать платежи), изменить схему начисления процентов и т. п. Таким общепринятым принципом, на котором базируются изменения условий контрактов, является финан­совая эквивалентность обязательств.

Изменение условий контракта основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств , который позволяет сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот принцип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. При изменении способов начисления процентов необходимо учитывать взаимозаменяемость между различными видами процентных ставок.

Эквивалентными называются процентные ставки , которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т.е. отношения сторон не изменяются в рамках одной финансовой операции.

При изменении условий платежей также необходимо учитывать разновременность платежей, которые производятся в ходе выполнения условий контракта до и после его изменения. Эквивалентными считаются такие платежи , которые оказываются равными после их приведения по заданной процентной ставке к одному моменту времени, либо после приведения одного из них к моменту наступления другого по заданной процентной ставке.

Приведе­ние осуществляется путем дисконтирования (приведение к бо­лее ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (ес­ли эта дата относится к будущему).

Если при изменении усло­вий контракта принцип финансовой эквивалентности не со­блюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, раз­мер которого можно заранее определить.

2. Эквивалентность процентных ставок

Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составлять уравнение эквивалентности.

Эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок. Исходные уравнения для вывода эквивалентности

S = P (1 + n ∙ i ) и

Если результаты наращения равны, то получаем уравнение

P (1 + n ∙ i ) = .

Отсюда 1 + n ∙ i =

и .

Для одних и тех же параметров ссуды условие эквивалентности приводит к тому, что d < i . При этом с ростом срока финансовой операции различие между ставками увеличивается.

Пример 1 . Определить простую учетную ставку, эквивалентную ставке обычных процентов 12 % годовых, при наращении за 2 года.

Решение . Параметры задачи: n = 2 года, i = 12 %. Тогда

d = 0,12/(1 + 2 ∙ 0,12) = 0,0968 или 9,7 %.

Следовательно, операция, в которой принята учетная ставка 9,7 %, дает тот же финансовый результат для 2-годичного периода, что и простая ставка 12 % годовых.

Эквивалентность простой и сложной процентных ставок. Наращенные суммы по простой и сложной процентным ставкам равны

и .

Если равны результаты наращения, то уравнение эквивалентности

= .

Отсюда
и .

При начислении процентов m раз в году аналогично рассуждая, получим: и
.

Пример 2 . Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26 % годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение . Параметры задачи: n = 4 года, m = 2, i с = 20 %, i п = 26 %. Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

0,285 9 или 28,59 %.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке, по первому варианту, простая процентная ставка составляет 28,59 % годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26 % годовых по второму варианту. Следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т.е. под 20 % годовых с полугодовым начислением процентов.

Пример 3. По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2 % годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на ежемесячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита, если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов (T =360)?

Решение . Приравняем соответствующие множители наращения:

Отсюда получаем, что i = 0,101 1 или 10,11 %.

Простые проценты.

. Из равенства: получаем: , где i – простая ставка процентов, характеризующая требуемую реальную доходность финансовой операции (нетто-ставка); i τ – процентная ставка с поправкой на инфляцию.

Это ставка, скорректированная на инфляцию, называется брутто-ставкой.

Сложные проценты.

Проценты 1 раз в год:

Наращенная сумма при отсутствии инфляции равна , а ее эквивалент в условиях инфляции равен . Из равенства: получаем:
из которой можно сравнивать уровни процентной ставки и инфляции, проводить анализ эффективности вложений и устанавливать реальный прирост вложенного капитала.

Проценты m раз в год:

При начислении процентов несколько раз в год:

.

Эти модели позволяют производить учет инфляции и корректировку процентных ставок.

Годовая ставка сложных процентов, обеспечивающая реальную доходность кредитной операции, определяется по формуле Фишера, связывает три показателя:

R – номинальная процентная ставка, α – уровень инфляции

r – реальная процентная ставка (доходность финансовой операции)

, , .

Пример 4.1. Годовой темп инфляции 20%. Банк рассчитывает получить 10% реального дохода в результате предоставления кредитных ресурсов. Какова номинальная ставка, по которой банк предоставит кредит?

На практике довольно часто довольствуются сравнением i и τ путем вычисления реальной ставки , т.е. уменьшенной ставки доходности на уровень инфляции:

i = (i - τ) / (1 + τ)

Поскольку покупательная способность денег снижается в условиях инфляции, то происходит обесценивание денежных доходов. Поэтому при наращении денег на депозите вкладчик должен сопоставить номинальную процентную ставку, т.е. ставку, указанную в договоре, с величиной индекса потребительских цен.

Вычисление наращенных сумм

Получаем формулу: или, где - уровень инфляции.

Реальная стоимость С суммы S , обесцененная во времени за счет инфляции при индексе цен , рассчитывается по формуле:

Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то . С учетом инфляции реальная стоимость суммы S составит

Для определения реальной покупательской способности, наращенную сумму необходимо привести ее к ценам базового периода:
.

Вследствие начисления процентов происходит увеличение денежных сумм, но их стоимость под влиянием инфляции уменьшается. Поскольку каждая денежная единица обесценивается вследствие инфляции, то в дальнейшем обесцениваются уже обесцененные деньги.

Наращение осуществляется по простым или сложным процентам, но инфляция всегда оценивается по сложному проценту.

Наращенная сумма за n лет с учетом ее обесценивания составит:
, здесь множитель наращения, учитывающий темп инфляции.

− Если темп инфляции больше ставки начисляемых процентов, то полученная наращенная сумма не компенсирует потерю покупательной способности денег. Банковская ставка называется отрицательной.

− Если темп инфляции меньше ставки начисляемых процентов, то наблюдается реальный рост покупательной способности денег. Банковская ставка называется положительной.

− Если темп инфляции равен ставке начисляемых процентов, то покупательная способность наращенной суммы равна покупательной способности первоначальной суммы.

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое инфляция? Перечислите виды инфляции.

2. Что такое ИПЦ?

3. С какой целью проводят учет инфляции?

4. Что такое номинальная ставка процента? Чем она отличается от реальной ставки?

5. Что такое финансовая операция?

6. Как измерить реальную доходность финансовой операции?

Тема 5.1.-5.2. Понятия видов потоков платежей и их основные параметры. Понятие финансовой ренты. Основные параметры ренты и их вычисление. Различные виды финансовых рент. Виды переменных рент. Постоянная непрерывная рента. Конверсии рент.

Вопросы для рассмотрения:

1. Ренты. Классификация рент.

2. Наращенная сумма финансовой ренты постнумерандно.

3. Современная величина финансовой ренты постнумерандно.

4. Срок финансовой ренты постнумерандно.

5. Член финансовой ренты постнумерандно.

6. Наращенная сумма и современная величина других типов финансовых рент.

7. Определение параметров других типов финансовых рент.

8. Определение процентной ставки финансовой ренты.

Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серию платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и пр. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей . Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления - положительными.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей - это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

5.1. Понятие финансовой ренты (аннуитета)

Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом .

Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты - величина каждого отдельного платежа, период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты - время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка - ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты.

Виды финансовых рент

Классификация рент может быть произведена по различным признакам. Рассмотрим их.

В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p-срочные, где p - число выплат в году. Довольно часто в практике встречаются ренты, в которые период выплат превышает год и более (например, в инвестиционной деятельности).

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами)и переменные ренты . Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные . Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

Так, например, с необходимостью учета и расчета вечной ренты приходится сталкиваться при финансовых вычислениях, связанных с инвестированием денежных средств или покупкой финансового инструмента (материального объекта), если период их функционирования (возможного получения дохода) достаточно продолжительный и не оговорен конкретными сроками (отсюда и возможность получения бессрочной, т.е. «вечной» ренты), в качестве примера можно привести инвестирование в ценные бумаги крупнейших транснациональных компаний и государства (при отсутствии срока окончания их обращения), покупку доходных гостиниц, ферм, участков земли, производств и т.п.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные . Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода – года, полугодия, месяца и т.п., то такие ренты называются обычными или постнумерандо . Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо . Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

постнумерандо(когда платежи осуществляются в конце соответствующих периодов) и ренты пренумерандо(когда соответствующие платежи осуществляются в начале указанных периодов). Поток пренумерандо имеет значение при анализе различных схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования.

Рента пренумерандо отличается от обычной ренты числом периодов начисления процентов. Поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо будет больше наращенной суммы обычной ренты в (1 + i ) раз.

Нечасто, но встречаются на практике и ренты, платежи по которым производятся в середине периодов. Такие ренты называются миннумерандо .Примером такой ренты могут служить, в ряде случаев, авансовые платежи по аренде помещений, а также полугодовые оплаты трат по внешнеторговым контрактам.

Чаще всего в практических финансово-экономических расчетах решается, по существу, двуединая задача определения наращенной суммыили современной величины(стоимости) потока платежей. В данном контексте под современной величиной потока платежей понимается сумма всех его членов, дисконтированных на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей, или упреждающий его. Она может характеризовать капитализированный доход, чистую приведенную прибыль, приведенные издержки, эффективность инвестиций и валютно-финансовых условий внешнеторговых контрактов, доходность вкладов и депозитов и др. финансово-экономических и коммерческих операций.

Формулы наращенной суммы

Обычная годовая рента

Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в года по ставке i . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины , так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

В которой первый член равен R , знаменатель (1+i) , число членов n . Эта сумма равна

где - по схеме постнумерандо.

- по схеме пренумерандо. (1.2)

Пример: В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:
млн. руб.

Обычная годовая рента

Пусть член годовой ренты равен R , процентная ставка i , проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты n . Тогда дисконтированная величина первого платежа равна

, где - дисконтный множитель.

Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rn 2 и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rn, Rn 2 ,Rn 3 , ..., R n n , сумма которой равна

Теперь, когда мы обозначили , рассмотрим как оценить стоимость кредита. Явную (номинальную) стоимость кредита отражает его годовая процентная ставка. Этот показатель вполне может служить для ориентира, но следует иметь в виду, что более точный расчет выплат банку может показать сумму бо льшую, чем предполагает заемщик. Вполне можно столкнуться с парадоксом, когда процентная ставка в банке А ниже, чем у Б , в то время как итоговая стоимость кредита А - выше. Здесь стоит сказать пару слов о терминах. Это важно, потому что в данном случае одно слово употребляется для обозначения разных смыслов.

Нюансы терминологии

Когда в первой части статьи мы употребили выражение «возврат (кредита) с процентами», то «проценты» здесь обозначают всю сумму вознаграждения банковских услуг. Но когда говорят о «начисленных процентах», то имеют в виду конкретно процент, на который увеличивается размер долга заемщика (в приведенной выше формуле). Помимо начисляемых процентов банк взимает комиссионные и страховые платежи. Эти дополнительные затраты не отражаются в процентной ставке. Кроме того, расходы по процентам зависят от способа начисления. Вкратце рассмотрим основные.

Простые и сложные проценты

Выделяют два основных способа начисления – способ простых и сложных процентов. Наглядно они представлены на диаграммах ниже.

.

Проценты начисляются через полгода. В диаграммах можно увидеть, что, в отличие от начисления простых процентов, при начислении сложных в базу начисления процентов за текущий период включаются проценты, накопленные за предыдущий период. Поэтому сумма долга растет с ускорением. Сумма кредита (строка «база начисления») в обоих таблицах одинакова, а процентная ставка разная. В диаграмме №1 она годовая, а в диаграмме №2 – полугодовая, хотя по итогам первого года сумма начисленных процентов в обоих случаях одинакова – 200 000 денежных единиц.

В чем разница между двумя методами, и в каких случаях какой из них применяется? Взгляните на следующий график:

График : Сопоставление методов начисления процентов

Здесь сопоставлены оба метода начисления для одной годовой процентной ставки. Как видно, для кредитов на срок меньше года проценты, начисленные по простому методу больше, чем по сложному (зеленая линия выше красной). Для долгосрочных кредитов – наоборот (после точки пересечения линий красная выше зеленой). При годовой ставке в пределах 30% разница методов несущественна, поэтому используется метод простых процентов, он легче для расчетов.

Аннуитетный метод начисления процентов

Метод аннуитета – это метод начисления процентов, когда кредит погашается равными частями. На диаграмме кредит в размере 1 000 000 под 20% годовых погашается равномерно в течение 3-х лет полугодовыми платежами. На ней видно, что, по мере уменьшения основного долга (база начисления процентов – светло-синяя область в основании диаграммы) уменьшаются и начисляемые проценты (светло-зеленая область вверху диаграммы). Сумма погашения основного долга и процентов (темно-зеленая и темно-синяя области), увеличивается равномерно (линейно), как раз потому что все аннуитетные платежи равны.

Актуарный метод начисления процентов

Актуарный метод, по сути, похож на аннуитетный, но в отличие от него предусматривает погашение долга неравными частями. Если заемщик погашает долг единоразово, то проценты периодически начисляются на сумму основного долга вместе с ранее начисленными процентами. Этот случай отражает ранее приводившаяся диаграмма расчета сложных процентов.

Если заемщик выплачивает долг несколькими платежами, то проценты начисляются на остаток задолженности. При этом задолженность уменьшается на сумму очередного платежа минус начисленные до этого момента проценты. Иными словами, на сумму платежа, превышающую задолженность по процентам.

На диаграмме отображен кредит на сумму 1 000 000 под 20% годовых на 4 года, погашаемый тремя платежами. Первый платеж 300 000 расходуется на погашение процентов, начисленных в первый год (200 000), остальная часть платежа идет на сокращение суммы основного долга. Поэтому во второй год начисление процентов идет на меньшую сумму - 900 000. В 3-й год платеж составляет 700 000, а общая – 300 000 + 700 000 = 1 000 000. На 4-й год погашается остаток долга – 380 000.

Если очередной платеж меньше начисленных процентов, то база начисления в течение следующего периода остается той же, а этот платеж прибавляется к следующему.

В этой статье остались за рамками еще многие методы начисления процентов, но общее представление, мы надеемся, позволяет сформировать. Для более детального изучения этой темы вы найдете множество источников в Интернет. Например, для продолжения начального изучения можете посмотреть http://www.finmath.ru/likbez.