При размещении ставок любого типа всегда существует определенная вероятность получения прибыли и риск потерпеть неудачу, И положительный исход сделки, и риск потерять деньги неразрывно связаны с математическим ожиданием. В данной статье мы подробно остановимся на этих двух аспектах трейдинга.

Словарь терминов:

В: Смещение (коэффициент прибыльных сделок)

R: Отношение прибыльных сделок к убыточным (вероятность)

Е: Математическое ожидание ставки (преимущество)

FO: Оптимальная ставка по Келли

ЕЕ: Результирующий баланс счета

N: Количество сделок

Ставка: Процент от баланса в сделке (потенциальный убыток)

Существует некоторое недопонимание торговли с использованием математического ожидания и критерия Келли (оптимальная ставка - FO). Данная статья проясняет эти вопросы. Для вычисления математического ожидания (Е) используется достаточно простое уравнение:

Математическое ожидание (Е) = B * R - (1 - B) = B * (1 + R) -1

Если математическое ожидание больше нуля, это дает вам преимущество в торговле. Смысл в том, что положительное математическое ожидание ведет к положительной (с повышением прибыли) торговле, а нулевое или отрицательное математическое ожидание означают, что не нужно торговать вообще.

В общем случае, есть два вида торговли: торговля фиксированной суммой обычно ассоциируется с игрой в казино, а торговля фиксированной частью (FF) - с работой на рынке акций. Например, при игре в рулетку мы обычно ставим фиксированную сумму и повторяем эту ставку многократно без изменений. Оказывается, игра на рулетке является убыточной для игрока, поскольку E = -0.0526.

На длительном интервале времени игрок потеряет свои деньги (конечно, всегда есть исключения, когда везунчик побеждает заведение). Поскольку (в общем случае) изменение ставки не применяется, игрок теряет 2$ за каждые 38 вращений колеса (при ставке 1$ за раз), что приводит к линейному убытку на уровне -5.26%, который увеличивается по мере роста числа ставок (в среднем).

Таким образом, итоговый убыток на балансе счета, в среднем, выражается формулой:

EE = E * N * Количество ставок

Инвестирование FF-типа отличается, поскольку убытки и приобретения накапливаются по экспоненциальной ставке, определяемой следующей формулой торгового баланса.

День добрый, уважаемые читатели нашего сайта и все те, кто хочет обеспечивать свою финансовую независимость за счет трейдинг. На поверку дня у нас с вами весьма интересная и во многом недооцененная тема – это математическое ожидание форекс .

В рамках данной статьи мне хотелось бы наиболее детально рассказать вам о том, что это такое , и почему данная тема имеет весьма высокую важность в рамках трейдинга.

Как я уже сказал вам, данная тема недооценена начинающими трейдерами, но это роковая ошибка. В целом, если у любого начинающего трейдера спросить, а что самое важное в трейдинге. От чего вообще зависит успех на финансовом рынке? В большинстве случаев проследует ответ, что самое важное – это торговая система.

Психология

В общем-то, вопрос вполне логичный и не сразу тут найдешь подвох. Но, на самом деле, особую важность в рамках трейдинга имеет никак не система. Нет, конечно, она крайне важна, но особую важность имею иные вещи.

Часто говорят, что успех на форекс зависит на 10% от стратегии, 20% от манименеджмента и 70% от психологогии . Начинающему трейдеру не сразу становится понятно, почему психология занимает ведущую роль. Тем не менее, с течением времени приходит осознание того, что она крайне важна. Сейчас же я попробую вам это доказать! Представьте себе, что у вас появляется хорошая стратегия, вы знаете, что она результативная, и может приносить хороший профит. Кроме того, вы четко понимаете, как распоряжаться своими средствами по каждой сделке. Но при всем при этом, у вас есть психологические изъяны, например, проблемы с дисциплиной или же излишняя эмоциональность.

В данном случае, ни грамотная стратегия, ни грамотное управление капиталом вас не спасут. А знаете почему? Да потому, что при таком раскладе вы просто не будете следовать правилам своей системы и ММ. Эмоции постоянно будут вас захлестывать, а отсутствие дисциплины не позволит вам, во что бы то ни стало, следовать правилам.

Опытные трейдеры говорят, что человек, который сможет торговать на рынке как робот, станет в этой сфере миллионером. На самом деле, это утопия, потому как мы с вами вполне себе живые люди, у нас есть свои страхи и надежды. У любого, даже опытного трейдера есть запас прочности. Как вы видите, психологические проблемы могут по щелчку пальца превратить качественную систему в машину для сливания денег.

Изначально новичок может задаться вопросом, а разве сложно следовать правилам стратегии, мол, написано так, вот и выполняй. На самом деле, уже прибегнув к практической торговле, становится понятно, что соблюдать свои же правила – это далеко не такая уж и простая задача, как кажется. Рынок всегда будет провоцировать вас, чтобы вы совершали опрометчивые действия, приводящие к убыткам.

Теперь ближе к теме, а причем тут математическое ожидание, и к чему оно относится. Само по себе математическое относится к разряду манименеджмента . Само по себе математическое – это среднее значение случайной величины. Вы должны понимать, что открытая сделки имеет вероятность 50 на 50, что она закроется в прибыли или убытке, иных вариантов не дано.

Ожидание

Существует отрицательное математическое ожидание и положительное. В рамках рынка, положительное математическое ожидание обусловит тот факт, что ваша торговля будет прибыльной в долгосрочной перспектив е. В свою очередь, отрицательное математическое ожидание приведет к сливу через некоторое время. Это может произойти ни за день, ни за два и даже ни за год. Тем не менее, исход будет один – это слив.

Наверное, вы часто слышали, что торговля должна иметь положительное математическое ожидание. Правда начинающие трейдеры вообще не понимают, как сделать так, чтобы их торговля имела то самое ожидание. Самый простой способ регулирования вашего математического ожидания – это соотношение стоп-лосса к тейк-профиту.

Смотреть обзорное видео

Чтобы ваше математическое ожидание было положительным, нужно, чтобы был больше стопа . Чем больше разница между ними, тем более положительным будет математическое ожидание. К примеру, соотношение 1к1 не подойдет.

Первая причина – это возможные комиссии, в виде спреда и свопа. Соотношение 1к1,5 уже лучше, но все равно недостаточно, потому как бывают периоды, когда идет серия из убыточных сделок. Даже для опытного трейдера является вполне себе обыденной практикой, когда он ловит 3-4 стопа подряд. На деле, соотношение 1к1,5 приведет к тому, что вы будете крутиться около 0 или даже чуть хуже.

Минимальным значением, на мой взгляд, является соотношение 1к2 . В данном случае, вы покроете все издержки на уплату комиссии, да и в периоды просадок будете чувствовать себя более комфортно, так как ваша прибыльная сделка будет перекрывать 2 убыточные.

Опять же, повторюсь, чем больше будет ваше математическое ожидание, тем лучше. Но тут есть один подводный камень, он состоит в том, что чем выше ваше математическое ожидание, тем потенциально меньшее количество сделок будет закрываться по тейк-профиту. Грубо говоря, если выставлять соотношение 1к10, давайте будем говорить откровенно, рынок далеко не всегда будет давать условия, чтобы получать такое соотношение.

Потому, нужно брать вполне себе осязаемые цели, например, математическое ожидание в пределах 1к2-4 будет вполне адекватной целью. Выставляя в каждой сделке соотношение 1к4, вы можете делать только 30% прибыльных сделок, но все равно будете в плюсе.

Пример

Давайте с вами разберем пример, как это вообще работает на практике. Представим, что ваше соотношение 1к4, и торгуете вы, скажем, на интервале Н1. Ваш стоп по каждой сделке будет 15 пунктов, соответственно, тейк 60 пунктов. Для часового графика – это вполне себе осязаемая и нормальная цифра.

Возьмем выборку из 100 сделок, из которых только 30% оказались прибыльными, а 70% убыточными. Считаем, мы заработали пунктов 30 х 60 = 1800 пунктов, а потеряли 70 х 15 = 1050 пунктов. Итого, конечный профит составил 750 пунктов. Как вы видите, подавляющее большинство сделок в убытке, но грамотное математическое ожидание даже при таком раскладе позволило хорошо заработать.

В этой статье мы рассмотрим такой важный для трейдера показатель как соотношение риск прибыль и математическое ожидание. Мы расскажем, почему вопреки распространенному мнению ключ к успеху это не только прогнозирование будущего направления движения рынка.

Сколько раз прибыль, полученную в результате выигрышной серии сделок, вы теряли всего в нескольких убыточных сделках. Вы позволяли убыточным сделкам расти устанавливая очень большие стоп лоссы (или еще хуже, обходились без них), надеясь, что рынок развернется, но в то же время когда вы открывали сделку и она шла в прибыльном направлении всего несколько пунктов вы ее сразу закрывали только для того чтобы получить небольшую прибыль.

Если вы так делали, то вы не одиноки, это является одной из главных проблем многих участников рынка.

Трейдеры часто зацикливаются на стратегии быстрого выхода и никогда не позволяют своим прибыльным сделкам расти, что отрицательно сказывается не только на балансе счета, но и на психологическом состоянии трейдера. Реальность такова, что у людей есть естественная склонность хотеть всегда быть правым, так как это вызывает у нас чувство удовлетворения. Нас научили, что ошибаться плохо, поэтому мы стараемся всеми силами избегать потерь, хотя это не правильно. Трейдер должен рассматривать свою торговлю с точки зрения вероятности, которая поможет трейдеру в долгосрочной перспективе получать прибыль.

Риск и прибыль

Соотношение риск прибыль рассчитывается путем взвешивания возможного выигрыша по отношению к потенциальным потерям. В примере ниже приведена информация о серии сделок, где только 50% сделок оказались прибыльными, но при этом трейдер все равно получил прибыль в размере 10 тыс. долларов.

Соотношение риск прибыль является лишь частью этой головоломки. Торговая система, которая дает соотношение риска к прибыли 1:2, но количество прибыльных сделок составляет только 2 из 10, то такая стратегия является убыточной. Это подводит нас к важной концепции… математическое ожидание. Эта убыточная стратегия с 2 из 10 прибыльных сделок имеет отрицательное ожидание -400 долларов, в то время как стратегия, показанная в таблице выше, имеет положительное математическое ожидание 1000 долларов. Давайте разберемся в этом детально и рассмотрим уравнение, с помощью которого можно рассчитать математическое ожидание прибыли.

Математическое ожидание

Наверное, вы неоднократно слышали от других трейдеров такую аксиому, как «соотношение риск прибыль должно быть больше, чем 1:2, чтобы получать прибыль в трейдинге» или аналогичную. Реальность такова, что так называемое матожидание стратегии дает вам понимание того, где находится грань в вашей торговой стратегии. Матожидание дает приблизительное значение средней суммы, которую вы можете выиграть или проиграть в сделке.

Матожидание состоит из четырех элементов:

Прибыльные сделки – W%

Убыточные сделки – L%

Средняя прибыль – Ave W

Средний убыток – Ave L

Математическое ожидание торговой стратегии может быть рассчитано по следующей формуле:

Матжидание = (W% * Ave W) – (L% * Ave L)

Так что матожидание в нашем примере серии из 10 сделок составляет:

(0,5*3000) – (0,5*1000) = 1500 – 500 = 1000

Это пример торговой стратегии, которая имеет положительное матожидание. Надеюсь, вы понимаете, что размер выборки из 10 трейдов не является достаточным для проведения анализа. В действительности трейдеры рассматривают сотни сделок для того чтобы получить представление о том, каким образом работает система, а демо торговля является одним из способов сбора данных. Даже эти данные не гарантируют, что в будущем торговля будет повторять исторические данные, но это природа риска. Тем не менее, дневник трейдера дает нам полезную информацию, которую мы можем использовать для расчета прибыльности нашей стратегии.

Вы должны постоянно следить, как работает ваша торговая стратегия и насколько она эффективна. Теперь вы понимаете, что трейдер может иметь убыточных сделок больше 50%, но в то же время он может зарабатывать, так как ему это позволяет его соотношение риска к прибыли в сделке. Рассматривать эффективность своей стратегии можно после того, как вы получите достаточное количество исторических данных, оперируя которыми вы сможете получить самое лучше соотношение риска прибыли для вашей стратегии. Существует и альтернативная точка зрения, которая заключается в том, что при большом количестве положительных сделок можно фиксировать небольшую прибыль, но при условии, что размер средней убыточной сделки также небольшой. Тем не менее, большинство трейдеров не имеет высокого показателя прибыльных сделок, поэтому они должны искать сделки с приемлемым соотношением риска к прибыли.

Математическое ожидание и размер позиции являются двумя важными факторами, от которых зависит успех в трейдинге. Профессиональные трейдеры, как правило, имеют твердое понимание математического ожидания и управления капиталом, которые вместе с дисциплиной и собственными правилами торговли способны принести трейдеру прибыль от торговли на финансовых рынках. Они стремятся постоянно поддерживать положительное матожидание и используют размер позиции, который соответствует их рискам. Если вы торгуете по своей торговой стратегии и не можете получить прибыль, возможно вам нужно перейти на демо счет для того чтобы просмотреть, какое соотношение риск прибыль и какое матожидание у вашей торговой стратегии.

01.02.2018

Математическое ожидание. Просто о сложном. Азы трейдинга.

При размещении ставок любого типа всегда существует определенная вероятность получения прибыли и риск потерпеть неудачу. Положительный исход сделки, и риск потерять деньги неразрывно связаны с математическим ожиданием. В данной статье мы подробно остановимся на этих двух аспектах трейдинга.

Математическое ожидание - при количестве выборок или количества её измерений (иногда говорят - количества испытаний) стремящимся к бесконечности.

Смысл в том, что положительное математическое ожидание ведет к положительной (с повышением прибыли) торговле, а нулевое или отрицательное математическое ожидание означают, что не нужно торговать вообще.

Что бы было легче разобраться в данном вопросе, давайте рассмотрим понятие математического ожидания при игре в рулетку. Пример с рулеткой очень прост для понимания.

Рулетка - (Крупье запускает шарик в противоположную сторону вращения колеса, с того номера на какой шарик упал в предыдущий раз, который должен упасть в одну из пронумерованных ячеек, сделав не менее трёх полных оборотов по колесу.

Ячейки, пронумерованные числами от 1 до 36, окрашены в чёрный и красный цвета. Номера расположены не по порядку, хотя цвета ячеек строго чередуются, начиная с 1 - красного цвета. Ячейка, обозначенная цифрой 0, окрашена в зелёный цвет и называется зеро

Рулетка- это игра с отрицательным математическим ожиданием. Все из-за поля зеро.«0», которое не является ни черным, ни красным.

Поскольку (в общем случае) если не применять изменение ставки, игрок теряет 1$ за каждые 37 вращений колеса (при ставке 1$ за раз), что приводит к линейному убытку на уровне -2,7%, который увеличивается по мере роста числа ставок (в среднем).

Конечно у игрока на интервале, к примеру, в 1000 игр, могут случаться серии побед, и человек может начать ошибочно считать, что он может зарабатывать, обыгрывая казино, так и серии поражений. Серия побед в таком случае может увеличить капитал игрока на большее значение, чем у него было изначально, в таком случае, если у игрока была 1000$, после 10 игр по 1$ у него в среднем должно остаться 973$. Но если в таком сценарии у игрока окажется денег меньше или больше, мы будем называть такую разницу между текущим капиталом дисперсией. Зарабатывать на игре в рулетку можно только в рамках дисперсии.Если игрок продолжит следовать этой стратегии, в конечном счете человек останется без денег, а казино заработает.

Второй пример — знаменитые бинарные опционы. Вам дают сделать ставку, при удачном исходе вы забираете аж 90 процентов сверху от своей ставки, а при неудачном- теряете все 100. И дальше владельцам БО достаточно просто ждать, рынок и отрицательное мат ожидание сделают свое дело. А временная дисперсия даст надежду трейдеру бинарных опционов, что на данном рынке можно зарабатывать. Но это временно.

В чем же плюс криптовалютного трейдинга (как и трейдинга на фондовом рынке) ?

Человек сам может создать для себя систему. Сам может ограничить свой риск, и стараться забрать с рынка максимум возможной прибыли. (Причем если со вторым ситуация довольно спорная, то риск нужно контролировать очень четко.)

Чтобы понимать в каком направлении вас ведёт ваша стратегия необходимо ведение статистики. Трейдер должен знать:

1. Количество своих трейдов. Чем больше количество трейдов по заданной стратегии, тем точнее будет математическое ожидание
2. Частота удачных входов. (Вероятность) (R)
3. Свой профит по каждой положительной сделке.
4. Смещение (коэффициент прибыльных сделок) (B)
5. Средний размер вашей ставки (стоп ордер) (S)

Математическое ожидание (Е) = B * R – (1 – B) = B * (1 + R) –1

Чтобы примерно узнать свой итоговый заработок или убыток на счете (EE), к примеру, на дистанции в 1000 трейдов, воспользуемся формулой.

Где N — количество трейдов, которые мы планируем исполнить.

Для примера возмем начальные данные:

стоп лосс - 30 долларов.

профит - 100 долларов.

Количество сделок 30

Математическое ожидание отрицательное только при соотношении прибыльных и убыточных сделок (R) 20%/80% или хуже В остальных случаях положительное.

Пусть теперь профит будет 150. Тогда отрицательным мат ожидание будет при соотношении 16%/84%. Или ниже.

Вывод.

Что с этим делать? Начните вести статистику, если еще не начинали. Проверьте свои трейды, определите Ваше мат ожидание. Найдите то, что можно улучшить (количество верных входов, добор профита, урезание убытков)

Разработанно Expertcoin

Скальпинг на Форексе когда-то был горячей темой среди инвесторов. Похоже, тема остается актуальной поскольку та же самая тема стала вновь актуальной для криптовалюты. Для многих новых инвесторов криптовалютный скальпинг может быть новым, но им занимаются уже довольно давно. Понятие скальпинг Термин «скальпинг» используется для описания внутридневной торговли. Этот стиль инвестирования подходит тем, кто хочет получить…

Прогнозирование рынков, используя фундаментальный анализ становится немного сложнее, но его достаточно легко понять. Многие из вас уже слышали об этом методе. Однако для большинства начинающих трейдеров фундаментальный анализ является очень сложным методом прогнозирования. У фундаментального анализа долгая история, поскольку он используется на финансовых рынках уже более 100 лет. Вы можете применить его ко всем финансовым…

Существует множество методов, которые инвесторы и трейдеры могут использовать для поиска прибыльных позиций. От простых значений на экране до более сложных систем, таких как CANSLIM. Эти методы можно использовать для поиска акций и других активов для покупки. Здесь вся надежда на то, что метод инвестора поможет направить их к большой прибыли и уберет эмоции с…

Ральф Нельсон Эллиот был профессионалом, занимая различные бухгалтерские и деловые должности, пока не заболел в Центральной Америке, что привело к нежелательному выходу на пенсию в возрасте 58 лет. Теперь у него было большое количество времени и Эллиот начал изучать 75-летнее поведение фондового рынка в начале 1900-х годов, чтобы определить годовые, ежемесячные, еженедельные, ежедневные, часовые или…

Представьте, что вы потеряли более $660,000 всего за 30 секунд! В январе 2014 года один профессиональный трейдер сумел сделать то же самое, торгуя акциями HSBC, благодаря «толстым пальцам» и тому что не установил верхний ценовой лимит на свою сделку. В этом случае трейдер, вероятно, мог бы избежать потерь, разместив лимитный ордер вместо рыночного, тем самым…

Если вы планируете заняться инвестициями для того, чтобы обеспечить себя после выхода на пенсию, то единственная вещь о которой вы беспокоитесь — это хватит ли вам в итоге денег для ваших нужд в долгосрочной перспективе. Пенсионное планирование включает в себя расчеты, чтобы понять, насколько и как быстро ваши деньги будут расти со временем. Сложный процент…

Каждый трейдер сталкивается с проскальзываниями цены при торговле, будь то торговля акциями, торговля на форекс или торговля фьючерсами. Проскальзывание — это когда вы получаете цену, отличную от ожидаемой на входе или выходе из сделки. Если бид-аск спрэд акции составляет 49,36 доллара к 49,37, и вы размещаете рыночный ордер на покупку 500 акций, то вы ожидаете,…

Мы расскажем вам о различных типах торговли акциями, чтобы вы могли решить, что и как анализировать. Вопрос в том, каким типом биржевого трейдера вы хотите стать. Это зависит от вашего понимания «себя» и ваших знаний о различных типах торговли. Различные виды торговли требуют различные типы личности, количества времени и капиталовложений. Поэтому, вы должны решить, что…

Стаканы на бирже

В мире крипто-трейдинга важным аспектом являются динамические отношения между покупателями и продавцами. За ними всегда можно наблюдать в так называемых «стаканах». Стакан — это инструмент, который визуализирует в реальном времени список еще невыполненных ордеров для определенного актива. Стаканы показывают интерес покупателей и продавцов, что показывает спрос и предложение. Хотя все стаканы служат для одной и…

Математическое ожидание - это распределение вероятностей случайной величины

Математическое ожидание, определение, математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин, выборочное, условное матожидание, расчет, свойства, задачи, оценка матожидания, дисперсия, функция распределения, формулы, примеры расчета

Развернуть содержание

Свернуть содержание

Математическое ожидание - это, определение

Одно из важнейших понятий в математической статистике и теории вероятностей, характеризующее распределение значений или вероятностей случайной величины. Обычно выражается как средневзвешенное значение всех возможных параметров случайной величины. Широко применяется при проведении технического анализа, исследовании числовых рядов, изучении непрерывных и продолжительных процессов. Имеет важное значение при оценке рисков, прогнозировании ценовых показателей при торговле на финансовых рынках, используется при разработке стратегий и методов игровой тактики в теории азартных игр.

Математическое ожидание - это среднее значение случайной величины, распределение вероятностей случайной величины рассматривается в теории вероятностей.

Математическое ожидание – это мера среднего значения случайной величины в теории вероятности. Математическое ожидание случайной величины x обозначается M(x) .

Математическое ожидание – это

Математическое ожидание – это в теории вероятности средневзвешенная величина всех возможных значений, которые может принимать эта случайная величина.

Математическое ожидание – это сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Математическое ожидание – это средняя выгода от того или иного решения при условии, что подобное решение может быть рассмотрено в рамках теории больших чисел и длительной дистанции.

Математическое ожидание – это в теории азартных игр сумма выигрыша, которую может заработать или проиграть игрок, в среднем, по каждой ставке. На языке азартных игроков это иногда называется «преимуществом игрока» (если оно положительно для игрока) или «преимуществом казино» (если оно отрицательно для игрока).

Математическое ожидание – это процент прибыли на выигрыш, умноженный на среднюю прибыль, минус вероятность убытка, умноженная на средний убыток.

Математическое ожидание случайной величины в математической теории

Одной из важных числовых характеристик случайной величины является математическое ожидание. Введем понятие системы случайных величин. Рассмотрим совокупность случайных величин, которые являются результатами одного и того же случайного эксперимента. Если - одно из возможных значений системы, то событию соответствует определенная вероятность удовлетворяющая аксиомам Колмогорова. Функция, определенная при любых возможных значениях случайных величин, называется совместным законом распределения. Эта функция позволяет вычислять вероятности любых событий из. В частности, совместный закон распределения случайных величин и, которые принимают значения из множества и, задается вероятностями.

Термин «математическое ожидание» введён Пьером Симоном маркизом де Лапласом (1795) и произошёл от понятия «ожидаемого значения выигрыша», впервые появившегося в 17 веке в теории азартных игр в трудах Блеза Паскаля и Христиана Гюйгенса. Однако первое полное теоретическое осмысление и оценка этого понятия даны Пафнутием Львовичем Чебышёвым (середина 19 века).

Закон распределения случайных числовых величин (функция распределения и ряд распределения или плотность вероятности) полностью описывают поведение случайной величины. Но в ряде задач достаточно знать некоторые числовые характеристики исследуемой величины (например, ее среднее значение и возможное отклонение от него), чтобы ответить на поставленный вопрос. Основными числовыми характеристиками случайных величин являются математическое ожидание, дисперсия, мода и медиана.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности. Иногда математическое ожидание называют взвешенным средним, так как оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины при большом числе опытов. Из определения математического ожидания следует, что его значение не меньше наименьшего возможного значения случайной величины и не больше наибольшего. Математическое ожидание случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание имеет простой физический смысл: если на прямой разместить единичную массу, поместив в некоторые точки некоторую массу (для дискретного распределения), или «размазав» её с определенной плотностью (для абсолютно непрерывного распределения), то точка, соответствующая математическому ожиданию, будет координатой «центра тяжести» прямой.

Среднее значение случайной величины есть некоторое число, являющееся как бы её «представителем» и заменяющее её при грубо ориентировочных расчетах. Когда мы говорим: «среднее время работы лампы равно 100 часам» или «средняя точка попадания смещена относительно цели на 2 м вправо», мы этим указываем определенную числовую характеристику случайной величины, описывающую её местоположение на числовой оси, т.е. «характеристику положения».

Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.

Рассмотрим случайную величину Х , имеющую возможные значения х1, х2, …, хn с вероятностями p1, p2, …, pn . Нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений xi , причем каждое значение xi при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднее случайной величины X , которое мы обозначим M |X| :

Это среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины. Таким образом, мы ввели в рассмотрении одно из важнейших понятий теории вероятностей – понятие математического ожидания. Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Пусть производится N независимых опытов, в каждом из которых величина X принимает определенное значение. Предположим, что значение x1 появилось m1 раз, значение x2 появилось m2 раз, вообще значение xi появилось mi раз. Вычислим среднее арифметическое наблюденных значений величины Х, которое, в отличие от математического ожидания М|X| мы обозначим M*|X|:

При увеличении числа опытов N частоты pi будут приближаться (сходиться по вероятности) к соответствующим вероятностям. Следовательно, и среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины M|X| при увеличении числа опытов будет приближаться (сходится по вероятности) к её математическому ожиданию. Сформулированная выше связь между средним арифметическим и математическим ожиданием составляет содержание одной из форм закона больших чисел.

Мы уже знаем, что все формы закона больших чисел констатируют факт устойчивости некоторых средних при большом числе опытов. Здесь речь идет об устойчивости среднего арифметического из ряда наблюдений одной и той же величины. При небольшом числе опытов среднее арифметическое их результатов случайно; при достаточном увеличении числа опытов оно становится «почти не случайным» и, стабилизируясь, приближается к постоянной величине – математическому ожиданию.

Свойство устойчивости средних при большом числе опытов легко проверить экспериментально. Например, взвешивая какое-либо тело в лаборатории на точных весах, мы в результате взвешивания получаем каждый раз новое значение; чтобы уменьшить ошибку наблюдения, мы взвешиваем тело несколько раз и пользуемся средним арифметическим полученных значений. Легко убедиться, что при дальнейшем увеличении числа опытов (взвешиваний) среднее арифметическое реагирует на это увеличение все меньше и меньше и при достаточно большом числе опытов практически перестает меняться.

Следует заметить, что важнейшая характеристика положения случайной величины – математическое ожидание – существует не для всех случайных величин. Можно составить примеры таких случайных величин, для которых математического ожидания не существует, так как соответствующая сумма или интеграл расходятся. Однако для практики такие случаи существенного интереса не представляют. Обычно случайные величины, с которыми мы имеем дело, имеют ограниченную область возможных значений и, безусловно, обладают математическим ожиданием.

Кроме важнейшей из характеристик положения случайной величины – математического ожидания, - на практике иногда применяются и другие характеристики положения, в частности, мода и медиана случайной величины.

Модой случайной величины называется её наиболее вероятное значение. Термин «наиболее вероятное значение», строго говоря, применим только к прерывным величинам; для непрерывной величины модой является то значение, в котором плотность вероятности максимальна. На рисунках показана мода соответственно для прерывной и непрерывной случайных величин.

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет более одного максимума, распределение называется «полимодальным».

Иногда встречаются распределения, обладающие посередине не максимумом, а минимумом. Такие распределения называют «антимодальными».

В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. В частном случае, когда распределение является симметричным и модальным (т.е. имеет моду) и существует математическое ожидание, то оно совпадает с модой и центром симметрии распределения.

Часто применяется еще одна характеристика положения – так называемая медиана случайной величины. Этой характеристикой пользуются обычно только для непрерывных случайных величин, хотя формально можно её определить и для прерывной величины. Геометрически медиана – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.

В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.

Математическое ожидание представляет собой среднее значение, случайной величины - числовая характеристика распределения вероятностей случайной величины. Самым общим образом математическое ожидание случайной величины Х(w) определяется как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере Р в исходном вероятностном пространстве:

Математическое ожидание может быть вычислено и как интеграл Лебега от х по распределению вероятностей рх величины X :

Естественным образом можно определить понятие случайной величины с бесконечным математическим ожиданием. Типичным примером служат времена возвращения в некоторых случайных блужданиях.

С помощью математического ожидания определяются многие числовые и функциональные характеристики распределения (как математическое ожидание соответствующих функций от случайной величины), например, производящая функция, характеристическая функция, моменты любого порядка, в частности дисперсия, ковариация.

Математическое ожидание есть характеристика расположения значений случайной величины (среднее значение ее распределения). В этом качестве математическое ожиддание служит некоторым "типичным" параметром распределения и его роль аналогична роли статического момента - координаты центра тяжести распределения массы - в механике. От прочих характеристик расположения, с помощью которых распределение описывается в общих чертах,- медиан, мод, математическое ожидание отличается тем большим значением, которое оно и соответствующая ему характеристика рассеяния - дисперсия - имеют в предельных теоремах теории вероятностей. С наибольшей полнотой смысл математического ожидания раскрывается законом больших чисел (неравенство Чебышева) и усиленным законом больших чисел.

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть есть некоторая случайная величина, которая может принять одно из нескольких числовых значений (допустим, количество очков при броске кости может быть 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Часто на практике для такой величины возникает вопрос: а какое значение она принимает "в среднем" при большом количестве тестов? Каков будет наш средний доход (или убыток) от каждой из рискованных операций?

Скажем, есть какая-то лотерея. Мы хотим понять, выгодно или нет в ней поучаствовать (или даже участвовать неоднократно, регулярно). Допустим, выигрышный каждый четвёртый билет, приз составит 300 руб., а цена любого билета - 100 руб. При бесконечно большом количестве участий получается вот что. В трёх четвертях случаев мы проиграем, каждые три проигрыша обойдутся в 300 руб. В каждом четвёртом случае мы выиграем 200 руб. (приз минус стоимость), то есть за четыре участия мы в среднем теряем 100 руб., за одно - в среднем 25 руб. Итого в среднем темпы нашего разорения составят 25 руб./билет.

Кидаем игральную кость. Если она не жульническая (без смещения центра тяжести и т.д.), то сколько мы в среднем будем иметь очков за раз? Поскольку каждый вариант равновероятен, берём тупо среднее арифметическое и получаем 3,5. Поскольку это СРЕДНЕЕ, то незачем возмущаться, что 3,5 очков никакой конкретный бросок не даст - ну нет у этого куба грани с таким числом!

Теперь обобщим наши примеры:

Обратимся к только что приведённой картинке. Слева табличка распределения случайной величины. Величина X может принимать одно из n возможных значений (приведены в верхней строке). Никаких других значений не может быть. Под каждым возможным значением снизу подписана его вероятность. Справа приведена формула, где M(X) и называется математическим ожиданием. Смысл этой величины в том, что при большом количестве испытаний (при большой выборке) среднее значение будет стремиться к этому самому математическому ожиданию.

Вернёмся опять к тому же самому игральному кубу. Математическое ожидание количества очков при броске равно 3,5 (посчитайте сами по формуле, если не верите). Скажем, вы кинули его пару раз. Выпали 4 и 6. В среднем получилось 5, то есть далеко от 3,5. Кинули ещё разок, выпало 3, то есть в среднем (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Как-то далеко от математического ожидания. А теперь проведите сумасшедший эксперимент - киньте куб 1000 раз! И если в среднем и не будет ровно 3,5, то будет близко к тому.

Посчитаем математическое ожидание для выше описанной лотереи. Табличка будет выглядеть вот так:

Тогда математическое ожидание составит, как мы установили выше.:

Другое дело, что так же "на пальцах", без формулы, было бы трудновато, если бы имелось больше вариантов. Ну скажем, имелось бы 75% проигрышных билетов, 20% выигрышных билетов и 5% особо выигрышных.

Теперь некоторые свойства математического ожидания.

Доказать это просто:

Постоянный множитель допускается выносить за знак математического ожидания, то есть:

Это является частным случаем свойства линейности математического ожидания.

Другое следствие линейности математического ожидания:

то есть математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий случайных величин.

Пусть X, Y - независимые случайные величины , тогда:

Это тоже несложно доказать) Произведение XY само представляет собой случайную величину, при этом если исходные величины могли принимать n и m значений соответственно, то XY может принимать nm значений. Вероятность каждого из значений вычисляется исходя из того, что вероятности независимых событий перемножаются. В итоге получаем вот что:

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

У непрерывных случайных величин есть такая характеристика, как плотность распределения (плотность вероятности). Она, по сути характеризует ситуацию, что некоторые значения из множества действительных чисел случайная величина принимает чаще, некоторые - реже. Например, рассмотрим вот какой график:

Здесь X - собственно случайная величина, f(x) - плотность распределения. Судя по данному графику, при опытах значение X часто будет числом, близким к нулю. Шансы же превысить 3 или оказаться меньше -3 скорее чисто теоретические.

Пусть, например, есть равномерное распределение:

Это вполне соответствует интуитивному пониманию. Скажем, если мы получаем при равномерном распределении много случайных действительных чисел, каждое из отрезка |0; 1| , то среднее арифметическое должно быть около 0,5.

Свойства математического ожидания - линейность и т.д., применимые для дискретных случайных величин, применимы и здесь.

Взаимосвязь математического ожидания с другими статистическими показателями

В статистическом анализе наряду с математическим ожиданием существует система взаимозависимых показателей, отражающих однородность явлений и устойчивость процессов. Часто показатели вариации не имеют самостоятельного смысла и используются для дальнейшего анализа данных. Исключением является коэффициент вариации, который характеризует однородность данных, что является ценной статистической характеристикой.

Степень изменчивости или устойчивости процессов в статистической науке может измеряться с помощью нескольких показателей.

Наиболее важным показателем, характеризующим изменчивость случайной величины, является Дисперсия , которая самым тесным и непосредственным образом связана с математическим ожиданием. Этот параметр активно используется в других видах статистического анализа (проверка гипотез, анализ причинно-следственных связей и др.). Как и среднее линейное отклонение, дисперсия также отражает меру разброса данных вокруг средней величины.

Язык знаков полезно перевести на язык слов. Получится, что дисперсия - это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, мы просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя. Разгадка магического слова «дисперсия» заключается всего в трех словах.

Однако в чистом виде, как, например, средняя арифметическая, или индекс, дисперсия не используется. Это скорее вспомогательный и промежуточный показатель, который используется для других видов статистического анализа. У нее даже единицы измерения нормальной нет. Судя по формуле, это квадрат единицы измерения исходных данных.

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Или будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию Mx . В данном случае Mx = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях n1 раз выпало 1 очко, n2 раз – 2 очка и так далее. Тогда количество исходов, в которых выпало одно очко:

Аналогично для исходов, когда выпало 2, 3, 4, 5 и 6 очков.

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk.

Математическое ожидание Mx случайной величины x равно:

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

Вероятность р1 того, что случайная величина х окажется меньшей х1/2, и вероятность р2 того, что случайная величина x окажется большей х1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Стандартным или Среднеквадратическим отклонением в статистике называется степень отклонения данных наблюдений или множеств от СРЕДНЕГО значения. Обозначается буквами s или s. Небольшое стандартное отклонение указывает на то, что данные группируются вокруг среднего значения, а значительное - что начальные данные располагаются далеко от него. Стандартное отклонение равно квадратному корню величины, называемой дисперсией. Она есть среднее число суммы возведенных в квадрат разностей начальных данных, отклоняющихся от среднего значения. Среднеквадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из дисперсии:

Пример. В условиях испытаний при стрельбе по мишени вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины:

Вариация - колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности. Отдельные числовые значения признака, встречающиеся в изу¬чаемой совокупности, называют вариантами значений. Недостаточность средней величины для полной характеристики совокупности заставляет дополнять средние величины показателями, позволяющими оценить типичность этих средних путем измерения колеблемости (вариации) изучаемого признака. Коэффициент вариации вычисляют по формуле:

Размах вариации (R) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности. Этот показатель дает самое общее представление о колеблемости изучаемого признака, так как показывает разницу только между предельными значениями вариантов. Зависимость от крайних значений признака придает размаху вариации неустойчивый, случайный характер.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднее арифметическое из абсолютных (по модулю) отклонений всех значений анализируемой совокупности от их средней величины:

Математическое ожидание в теории азартных игр

Математическое ожидание – это среднее количество денег, которое игрок в азартные игры может выиграть или проиграть на данной ставке. Это очень существенное понятие для игрока, потому что оно является основополагающим для оценки большинства игровых ситуаций. Математическое ожидание – это также оптимальный инструмент для анализа основных карточных раскладов и игровых ситуаций.

Допустим, вы играете с другом в монетку, каждый раз делая ставку поровну по $1 независимо оттого, что выпадет. Решка – вы выиграли, орел – проиграли. Шансы на то, что выпадет решка один к одному, и вы делаете ставку $1 к $1. Таким образом, математическое ожидание у вас равно нулю, т.к. с точки зрения математики вы не можете знать будете вы вести или проигрывать после двух бросков или после 200.

Ваш часовой выигрыш равен нулю. Часовой выигрыш – это то количество денег, которое вы ожидаете выиграть за час. Вы можете кидать монету 500 раз в течение часа, но вы не выиграете и не проиграете, т.к. ваши шансы ни положительны, ни отрицательны. Если смотреть, с точки зрения серьезного игрока такая система ставок неплоха. Но это попросту потеря времени.

Но предположим, кто-то хочет поставить $2 против вашего $1 в эту же игру. Тогда вы сразу же обладаете положительным матожиданием в 50 центов с каждой ставки. Почему 50 центов? В среднем одну ставку вы выигрываете, вторую проигрываете. Поставите первый доллар – и потеряете $1, ставите второй – выиграете $2. Вы два раза сделали ставку по $1 и идете впереди на $1. Таким образом, каждая из ваших однодолларовых ставок дала вам 50 центов.

Если за один час монета выпадет 500 раз, ваш часовой выигрыш составит уже $250, т.к. в среднем вы потеряли по одному доллару 250 раз и выиграли по два доллара 250 раз. $500 минус $250 равно $250, что и составляет суммарный выигрыш. Обратите внимание, что матожидание, являющиеся суммой, которую в среднем вы выиграли на одной ставке, равняется 50 центам. Вы выиграли $250, делая ставку по доллару 500 раз, что равняется 50 центам со ставки.

Математическое ожидание не имеет ничего общего с кратковременным результатом. Ваш оппонент, который решил ставить против вас $2 мог обыграть вас на первых десяти бросках подряд, но вы, обладая преимуществом ставок 2 к 1 при прочих равных, в любых обстоятельствах зарабатываете 50 центов с каждой ставки в $1. Нет разницы, выигрываете вы либо проигрываете одну ставку или несколько ставок, но только при условии, что у вас хватит наличности, чтобы спокойно компенсировать затраты. Если вы будете продолжать ставить так же, то за длительный период времени ваш выигрыш подойдет к сумме матожиданий в отдельных бросках.

Каждый раз, делая ставку с лучшим исходом (ставка, которая может оказаться выгодной на длинной дистанции), когда шансы в вашу пользу, вы обязательно что-то выигрываете на ней, и не важно теряете ли вы ее или нет в данной раздаче. И напротив, если вы сделали ставку с худшим исходом (ставка, которая невыгодна на длинной дистанции), когда шансы не в вашу пользу, вы что-то теряете независимо от того, выиграли вы или проиграли в данной раздаче.

Вы делаете ставку с лучшим исходом, если матожидание у вас положительно, а оно является положительным, если шансы на вашей стороне. Делая ставку с худшим исходом, у вас отрицательное матожидание, которое бывает, когда шансы против вас. Серьезные игроки делают ставки только с лучшим исходом, при худшем – они пасуют. Что означает шансы в вашу пользу? Вы можете в итоге выиграть больше, чем приносят реальные шансы. Реальные шансы на то, что выпадет решка 1 к 1, но у вас выходит 2 к 1 за счет соотношения ставок. В данном случае шансы в вашу пользу. Вы точно получаете лучший исход с положительным ожиданием в 50 центов за одну ставку.

Вот более сложный пример математического ожидания. Приятель пишет цифры от одного до пяти и делает ставку $5 против вашего $1 на то, что вы не определите загаданную цифру. Соглашаться ли вам на такое пари? Какое здесь матожидание?

В среднем четыре раза вы ошибетесь. Исходя из этого, шансы против того, что вы отгадаете цифру, составят 4 к 1. Шансы за то, что при одной попытке вы лишитесь доллара. Тем не менее, вы выигрываете 5 к 1, при возможности проиграть 4 к 1. Поэтому шансы в вашу пользу, вы можете принимать пари и надеяться на лучший исход. Если вы сделаете такую ставку пять раз, в среднем вы проиграете четыре раза по $1 и один раз выиграете $5. Исходя из этого, за все пять попыток вы заработаете $1 с положительным математическим ожиданием в 20 центов за одну ставку.

Игрок, который собирается выиграть больше, чем ставит, как в примере выше, – ловит шансы. И напротив, он губит шансы, когда предполагает выиграть меньше, чем ставит. Игрок, делающий ставку может иметь либо положительное, либо отрицательное матожидание, которое зависит от того, ловит он или губит шансы.

Если вы поставите $50 для того, чтобы выиграть $10 при вероятности выигрыша 4 к 1, то вы получите отрицательное матожидание $2, т.к. в среднем вы выиграете четыре раза по $10 и один раз проиграете $50, из чего видно, что потеря за одну ставку составит $10. Но вот если вы поставите $30 для того, чтобы выиграть $ 10, при тех же шансах выигрыша 4 к 1, то в данном случае вы имеете положительное ожидание $2, т.к. вы вновь выигрываете четыре раза по $10 и один раз проигрываете $30, что составит прибыль в $10. Данные примеры показывают, что первая ставка плохая, а вторая – хорошая.

Математическое ожидание является центром любой игровой ситуации. Когда букмекер призывает футбольных болельщиков ставить $11, чтобы выиграть $10, то он имеет положительное матожидание с каждых $10 в размере 50 центов. Если казино выплачивает равные деньги с пасовой линии в крепсе, то положительное ожидание казино составит приблизительно $1.40 с каждых $100, т.к. эта игра построена так, что каждый, кто поставил на эту линию, в среднем проигрывает 50.7% и выигрывает 49.3% общего времени. Бесспорно, именно это вроде бы минимальное положительное матожидание и приносит колоссальные прибыли владельцам казино по всему миру. Как заметил хозяин казино Vegas World Боб Ступак, «одна тысячная процента отрицательной вероятности на достаточно длинной дистанции разорит богатейшего человека в мире».

Математическое ожидание при игре в Покер

Игра в Покер является наиболее показательным и наглядным примером с точки зрения использования теории и свойств математического ожидания.

Математическое ожидание (англ. Expected Value) в Покере – средняя выгода от того или иного решения при условии, что подобное решение может быть рассмотрено в рамках теории больших чисел и длительной дистанции. Успешная игра в покер заключается в том, чтобы всегда принимать ходы только с положительным математическим ожиданием.

Математический смысл математического ожидания при игре в покер заключается в том, что мы часто сталкиваемся со случайными величинами при принятии решения (мы не знаем, какие именно карты на руках у оппонента, какие карты придут на последующих кругах торговли). Мы должны рассматривать каждое из решений с точки зрения теории больших чисел, которая гласит, что при достаточно большой выборке среднее значение случайной величины будет стремиться к её математическому ожиданию.

Среди частных формул для вычисления математического ожидания, в покере наиболее применима следующая:

При игре в покер математическое ожидание можно рассчитывать как для ставок, так и для коллов. В первом случае во внимание следует принимать фолд-эквити, во втором - собственные шансы банка. При оценке математического ожидания того или иного хода следует помнить, что фолд всегда имеет нулевое матожидание. Таким образом, сброс карт будет всегда более выгодным решением, чем любой отрицательный ход.

Ожидание говорит вам о том, что вы можете ожидать (прибыль или убыток) на каждый рискуемый вами доллар. Казино зарабатывают деньги, поскольку математическое ожидание от всех игры, которые практикуются в них, в пользу казино. При достаточно длинной серии игры можно ожидать, что клиент потеряет свои деньги, поскольку «вероятность» в пользу казино. Однако профессиональные игроки в казино ограничивают свои игры короткими промежутками времени, тем самым увеличивая вероятность в свою пользу. То же самое касается и инвестирования. Если ваше ожидание является положительным, вы можете заработать больше денег, совершая много сделок в короткий период времени. Ожидание это ваш процент прибыли на выигрыш, умноженный на среднюю прибыль, минус ваша вероятность убытка, умноженная на средний убыток.

Покер также можно рассмотреть с точки зрения математического ожидания. Вы можете предположить, что определенный ход выгоден, но в некоторых случаях он может оказаться далеко не лучшим, потому что выгоднее другой ход. Допустим, вы собрали фулл-хаус в пятикарточном покере с обменом. Ваш соперник делает ставку. Вы знаете, что если повысите ставку, он ответит. Поэтому повышение выглядит лучшей тактикой. Но если вы все же поднимите ставку, оставшиеся двое игроков, точно сбросят карты. Но если вы уравняете ставку, то будете полностью уверены, что двое других игроков после вас поступят также. При повышении ставки вы получаете одну единицу, а просто уравнивая – две. Таким образом, уравнивание дает вам более высокое положительное математическое ожидание, и будет являться наилучшей тактикой.

Математическое ожидание также может дать понятие о том, какая в покере тактика менее выгодна, а какая – более. К примеру, играя на определенной руке, вы полагаете, что ваши потери в среднем составят 75 центов, включая анте, то такую руку следует играть, т.к. это лучше, чем сброситься, когда анте равно $1.

Другой важной причиной для понимания сути математического ожидания является то, что оно дает вам чувство спокойствия независимо от того, выиграли вы ставку или нет: если вы сделали хорошую ставку или вовремя спасовали, вы будете знать, что вы заработали или сберегли определенное количество денег, которое игрок слабее не смог уберечь. Гораздо сложнее сбросить карты, если вы расстроены тем, что соперник на обмене собрал более сильную комбинацию. При всем при этом, деньги, которые вы сберегли, не играя, вместо того, чтобы ставить, прибавляются к вашему выигрышу за ночь или за месяц.

Просто помните, что если поменять ваши руки, ваш соперник ответил бы вам, и как вы увидите в статье «фундаментальная теорема покера» это лишь одно из ваших преимуществ. Вы должны радоваться, когда это случится. Вам даже можно научиться получать удовольствие от проигранной раздачи, потому что вы знаете, что другие игроки на вашем месте проиграли бы гораздо больше.

Как говорилось в примере с игрой в монетку в начале, часовой коэффициент прибыли взаимосвязан с математическим ожиданием, и данное понятие особенно важно для профессиональных игроков. Когда вы собираетесь играть в покер, вы должны мысленно прикинуть, сколько вы сможете выиграть за час игры. В большинстве случаев вам необходимо будет основываться на вашей интуиции и опыте, но вы также можете пользоваться и некоторыми математическими выкладками. К примеру, вы играете в лоуболл с обменом, и наблюдаете, что три участника делают ставки по $10, а затем меняют две карты, что является очень плохой тактикой, вы можете посчитать для себя, что каждый раз, когда они ставят $10, они теряют около $2. Каждый из них делает это восемь раз в час, а значит, все трое теряют в час примерно $48. Вы один из оставшихся четырех игроков, которые приблизительно равны, соответственно эти четыре игрока (и вы среди них) должны разделить $48, и прибыль каждого составит $12 в час. Ваш часовой коэффициент в этом случае попросту равен вашей доли от суммы денег, проигранной тремя плохими игроками за час.

За большой промежуток времени суммарный выигрыш игрока составляет сумму его математических ожиданий в отдельных раздачах. Чем больше вы играете с положительным ожиданием, тем больше выигрываете, и наоборот, чем больше раздач с отрицательным ожиданием вы сыграете, тем больше вы проиграете. Вследствие этого, следует отдавать предпочтение игре, которая сможет максимально увеличить ваше положительное ожидание или сведет на нет отрицательное, чтобы вы смогли поднять до максимума ваш часовой выигрыш.

Положительное математическое ожидание в игровой стратегии

Если вы знаете, как считать карты, у вас может быть преимущество перед казино, если они не заметят этого и не выкинут вас вон. Казино обожают пьяных игроков и не переносят считающих карты. Преимущество позволит вам со временем выиграть большее число раз, чем проиграть. Хорошее управление капиталом при использовании расчетов математического ожидания может помочь извлечь больше прибыли из вашего преимущества и сократить потери. Без преимущества вам лучше отдать деньги на благотворительность. В игре на бирже преимущество дает система игры, создающая большую прибыль, чем потери, разница цен и комиссионные. Никакое управление капиталом не спасет плохую игровую систему.

Положительное ожидание определяется значением, превышающим ноль. Чем больше это число, тем сильнее статис¬тическое ожидание. Если значение меньше нуля, то математическое ожидание также будет отрицательным. Чем больше модуль отрица¬тельного значения, тем хуже ситуация. Если результат равен нулю, то ожидание является безубыточным. Вы можете выиграть только тогда, когда у вас положительное математическое ожидание, разумная система игры. Игра по интуиции приводит к катастрофе.

Математическое ожидание и биржевая торговля

Математическое ожидание – достаточно широко востребованный и популярный статистический показатель при осуществлении биржевых торгов на финансовых рынках. В первую очередь данный параметр используют для анализа успешности торговли. Не сложно догадаться, что чем больше данное значение, тем больше оснований считать изучаемую торговлю успешной. Конечно, анализ работы трейдера не может производиться только лишь с помощью данного параметра. Тем не менее, вычисляемое значение в совокупности с другими способами оценки качества работы, может существенно повысить точность анализа.

Математическое ожидание часто вычисляется в сервисах мониторингов торговых счетов, что позволяет быстро оценивать работу, совершаемую на депозите. В качестве исключений можно привести стратегии, в которых используется “пересиживание” убыточных сделок. Трейдеру может некоторое время сопутствовать удача, а потому, в его работе может не оказаться убытков вообще. В таком случае, ориентироваться только по матожиданию не получится, ведь не будут учтены риски, используемые в работе.

В торговле на рынке математическое ожидание чаще всего применяют при прогнозировании доходности какой-либо торговой стратегии или при прогнозировании доходов трейдера на основе статистических данных его предыдущих торгов.

В отношении управления капиталом очень важно понимать, что при совершении сделок с отрицательным ожиданием нет схемы управления деньгами, которая может однозначно принести высокую прибыль. Если вы продолжаете играть на бирже в этих условиях, то независимо от способа управления деньгами вы потеряете весь ваш счет, каким бы большим он ни был в начале.

Эта аксиома верна не только для игры или сделок с отрицательным ожиданием, она истинна также для игры с равными шансами. Поэтому единственный случай, когда у вас есть шанс получить выгоду в долгосрочной перспективе, - это заключение сделок с положительным математическим ожиданием.

Различие между отрицательным ожиданием и положительным ожиданием - это различие между жизнью и смертью. Не имеет значения, насколько положительное или насколько отрицательное ожидание; важно только то, положительное оно или отрицательное. Поэтому до рассмотрения вопросов управления капиталом вы должны найти игру с положительным ожиданием.

Если у вас такой игры нет, тогда никакое управление деньгами в мире не спасет вас. С другой стороны, если у вас есть положительное ожидание, то можно, посредством правильного управления деньгами, превратить его в функцию экспоненциального роста. Не имеет значения, насколько мало это положительное ожидание! Другими словами, не имеет значения, насколько прибыльна торговая система на основе одного контракта. Если у вас есть система, которая выигрывает 10 долларов на контракт в одной сделке (после вычета комиссионных и проскальзывания), можно использовать методы управления капиталом таким образом, чтобы сделать ее более прибыльной, чем систему, которая показывает среднюю прибыль 1000 долларов за сделку (после вычета комиссионных и проскальзывания).

Имеет значение не то, насколько прибыльна система была, а то, насколько определенно можно сказать, что система покажет, по крайней мере, минимальную прибыль в будущем. Поэтому наиболее важное приготовление, которое может сделать трейдер, - это убедиться в том, что система покажет положительное математическое ожидание в будущем.

Для того чтобы иметь положительное математическое ожидание в будущем, очень важно не ограничивать степени свободы вашей системы. Это достигается не только упразднением или уменьшением количества параметров, подлежащих оптимизации, но также и путем сокращения как можно большего количества правил системы. Каждый параметр, который вы добавляете, каждое правило, которое вы вносите, каждое мельчайшее изменение, которое вы делаете в системе, сокращает число степеней свободы. В идеале, вам нужно построить достаточно примитивную и простую систему, которая постоянно будет приносить небольшую прибыль почти на любом рынке. И снова важно, чтобы вы поняли, - не имеет значения, насколько прибыльна система, пока она прибыльна. Деньги, которые вы заработаете в торговле, будут заработаны посредством эффективного управления деньгами.

Торговая система - это просто средство, которое дает вам положительное математическое ожидание, чтобы можно было использовать управление деньгами. Системы, которые работают (показывают, по крайней мере, минимальную прибыль) только на одном или нескольких рынках или имеют различные правила или параметры для различных рынков, вероятнее всего, не будут работать в режиме реального времени достаточно долго. Проблема большинства технически ориентированных трейдеров состоит в том, что они тратят слишком много времени и усилий на оптимизацию различных правил и значений параметров торговой системы. Это дает совершенно противоположные результаты. Вместо того, чтобы тратить силы и компьютерное время на увеличение прибылей торговой системы, направьте энергию на увеличение уровня надежности получения минимальной прибыли.

Зная, что управление капиталом - это всего лишь числовая игра, которая требует использования положительных ожиданий, трейдер может прекратить поиски "священного Грааля" биржевой торговли. Вместо этого он может заняться проверкой своего торгового метода, выяснить, насколько этот метод логически обоснован, дает ли он поло¬жительные ожидания. Правильные методы управления капиталом, применяемые по отношению к любым, даже весьма посредственным методам ведения торговли, сами сделают всю остальную работу.

Любому трейдеру для успеха в своей работе необходимо решить три самые важные задачи: . Добиться, чтобы число удачных сделок превышало неизбежные ошибки и просчеты; Настроить свою систему торговли так, чтобы возможность заработка была как можно чаще; Достичь стабильности положительного результата своих операций.

И здесь нам, работающим трейдерам, неплохую помощь может оказать математическое ожидание. Данный термин в теории вероятности является одним из ключевых. С его помощью можно дать усредненную оценку некоторому случайному значению. Математическое ожидание случайной величины подобно центру тяжести, если представить себе все возможные вероятности точками с различной массой.

Применительно к торговой стратегии для оценки ее эффективности чаще всего используют математическое ожидание прибыли (либо убытка). Этот параметр определяют, как сумму произведений заданных уровней прибыли и потерь и вероятности их появления. К примеру, разработанная стратегия торговли предполагает, что 37% всех операций принесут прибыль, а оставшаяся часть – 63% - будет убыточной. При этом, средний доход от удачной сделки составит 7 долларов, а средний проигрыш будет равен 1,4 доллара. Рассчитаем математическое ожидание торговли по такой системе:

Что означает данное число? Оно говорит о том, что, следуя правилам данной системы, в среднем мы будет получать 1,708 доллара от каждой закрытой сделки. Поскольку полученная оценка эффективности больше нуля, то такую систему вполне можно использовать для реальной работы. Если же в результате расчета математическое ожидание получится отрицательным, то это уже говорит о среднем убытке и такая торговля приведет к разорению.

Размер прибыли на одну сделку может быть выражен также и относительной величиной в виде %. Например:

– процент дохода на 1 сделку - 5%;

– процент успешных торговых операций - 62%;

– процент убытка в расчете на 1 сделку - 3%;

– процент неудачных сделок - 38%;

То есть, средняя сделка принесет 1,96%.

Можно разработать систему, которая несмотря на преобладание убыточных сделок будет давать положительный результат, поскольку ее МО>0.

Впрочем, одного ожидания мало. Сложно заработать, если система дает очень мало торговых сигналов. В этом случае ее доходность будет сопоставима с банковским процентом. Пусть каждая операция дает в среднем всего лишь 0,5 доллара, но что если система предполагает 1000 операций в год? Это будет очень серьезная сумма за сравнительно малое время. Из этого логически вытекает, что еще одним отличительным признаком хорошей торговой системы можно считать короткий срок удержания позиций.

Источники и ссылки

dic.academic.ru – академический интернет-словарь

mathematics.ru – образовательный сайт по математике

nsu.ru – образовательный веб-сайт Новосибирского государственного университета

webmath.ru – образовательный портал для студентов, абитуриентов и школьников.

exponenta.ru образовательный математический сайт

ru.tradimo.com – бесплатная онлайн школа трейдинга

crypto.hut2.ru – многопрофильный информационный ресурс

poker-wiki.ru – свободная энциклопедия покера

sernam.ru – Научная библиотека избранных естественно-научных изданий

reshim.su – интернет сайт РЕШИМ задачи контрольные курсовые

unfx.ru – Forex на UNFX: обучение, торговые сигналы, доверительное управление

slovopedia.com – Большой Энциклопедический словарь Словопедия

pokermansion.3dn.ru – Ваш гид в мире покера

statanaliz.info – информационный блог «Статистический анализ данных»

форекс-трейдер.рф – портал Форекс-Трейдер

megafx.ru – актуальная аналитика Форекс

fx-by.com – всё для трейдера