Понятие математического ожидания можно рассмотреть на примере с бросанием игрального кубика. При каждом броске фиксируются выпавшие очки. Для их выражения используются натуральные значения в диапазоне 1 – 6.

После определенного количества бросков при помощи не сложных расчетов можно найти среднее арифметическое значение выпавших очков.

Также, как и выпадение любого из значений диапазона, эта величина будет случайной.

А если увеличить количество бросков в несколько раз? При больших количествах бросков среднее арифметическое значение очков будет приближаться к конкретному числу, получившему в теории вероятностей название математического ожидания.

Итак, под математическим ожиданием понимается среднее значение случайной величины. Данный показатель может представляться и в качестве взвешенной суммы значений вероятной величины.

Это понятие имеет несколько синонимов:

среднее значение;
средняя величина;
показатель центральной тенденции;
первый момент.

Иными словами, оно является ничем иным как числом вокруг которого распределяются значения случайной величины.

В различных сферах человеческой деятельности подходы к пониманию математического ожидания будут несколько отличаться.

Оно может рассматриваться как:

средняя выгода, полученная от принятия какого-то решения, в том случае, когда такое решение рассматривается с точки зрения теории больших чисел;
возможная сумма выигрыша либо проигрыша (теория азартных игр), рассчитанная в среднем для каждой из ставок. На сленге они звучат как «преимущество игрока» (позитивно для игрока) либо «преимущество казино» (негативно для игрока);
процент прибыли, полученной от выигрыша.

Матожидание не является обязательным для абсолютно всех случайных величин. Оно отсутствует для тех у которых наблюдается расхождение соответствующей суммы или интеграла.

Свойства математического ожидания

Как и любому статистическому параметру, математическому ожиданию присущи свойства:

Основные формулы для математического ожидания

Вычисление математического ожидания может выполняться как для случайных величин, характеризующихся как непрерывностью (формула А), так и дискретностью (формула Б):

M(X)=∑i=1nxi⋅pi, где xi – значения случайной величины, pi – вероятности:
M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, где f(x) – заданная плотность вероятностей.

Примеры вычисления математического ожидания

Пример А.

Можно ли узнать средний рост гномов в сказке о Белоснежке. Известно, что каждый из 7 гномов имел определенный рост: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81 м.

Алгоритм вычислений достаточно прост:

находим сумму всех значений показателя роста (случайная величина):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
полученную сумму делим на количество гномов:
6,31:7=0,90.

Таким образом, средний рост гномов в сказке равен 90 см. Иными словами таково математическое ожидание роста гномов.

Рабочая формула — М(х)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Практическая реализация математического ожидания

К вычислению статистического показателя математического ожидания прибегают в различных сферах практической деятельности. В первую очередь речь идет о коммерческой сфере. Ведь введение Гюйгенсом этого показателя связано с определением шансов, которые могут быть благоприятными, либо напротив неблагоприятными, для какого-то события.

Этот параметр широко применяется для оценки рисков, особенно если речь идет о финансовых вложениях.
Так, в предпринимательстве расчет математического ожидания выступает в качестве метода для оценивания риска при расчете цен.

Также данный показатель может использоваться при расчете эффективности проведения тех или иных мероприятий, например, по охране труда. Благодаря ему можно вычислить вероятность наступления события.

Еще одна сфера применения данного параметра – менеджмент. Также он может рассчитываться при контроле качества продукции. Например, при помощи мат. ожидания можно рассчитать возможное количество изготовления бракованных деталей.

Незаменимым мат.ожидание оказывается и при проведении статистической обработки полученных в ходе научных исследований результатов. Он позволяет рассчитать и вероятность проявления желательного либо нежелательного исхода эксперимента или исследования в зависимости от уровня достижения поставленной цели. Ведь ее достижение может ассоциироваться с выигрышем и выгодой, а ее не достижение – в качестве проигрыша либо убытка.

Использование математического ожидания на Форекс

Практическое применение данного статистического параметра возможно при проведении операций на валютном рынке. С его помощью можно осуществлять анализ успешности торговых сделок. При чем увеличение значения ожидания свидетельствует об увеличении их успешности.

Также важно помнить, что математическое ожидание не должно рассматриваться в качестве единственного статистического параметра используемого для анализа работы трейдера. Использование нескольких статистических параметров наряду со средним значением повышает точность проводимого анализа в разы.

Данный параметр хорошо зарекомендовал себя при мониторинговых наблюдениях за торговыми счетами. Благодаря ему выполняется быстрая оценка работ, осуществляемых на депозитном счете. В тех случаях, когда деятельность трейдера удачна и он избегает убытков, пользоваться исключительно расчетом математического ожидания не рекомендуется. В этих случаях не учитываются риски, что снижает эффективность анализа.

Проведенные исследования тактик трейдеров свидетельствуют о том, что:

наиболее эффективными оказываются тактики, базирующиеся на случайном входе;
наименее эффективны – тактики, базирующиеся на структурированных входах.

В достижении позитивных результатов не менее важны:

тактика управления капиталом;
стратегии выходов.

Используя такой показатель как математическое ожидание можно предположить каким будет прибыль либо убыток при вложении 1 доллара. Известно, что этот показатель, рассчитанный для всех игр, практикуемых в казино, в пользу заведения. Именно это позволяет зарабатывать деньги. В случае длинной серии игр вероятность потери денег клиентом существенно возрастает.

Игры профессиональных игроков ограничены небольшими временными промежутками, что увеличивает вероятность выигрыша и снижает риск проигрыша. Такая же закономерность наблюдается и при выполнении инвестиционных операций.

Инвестор может заработать значительную сумму при положительном ожидании и совершении большого количества сделок за небольшой временной промежуток.

Ожидание может рассматриваться как разница между произведением процента прибыли (PW) на среднюю прибыль (AW) и вероятность убытка (PL) на средний убыток (AL).

В качестве примера можно рассмотреть следующий: позиция – 12,5 тыс. долларов, портфель — 100 тыс. долларов, риск на депозит – 1%. Прибыльность сделок составляет 40% случаев при средней прибыли 20%. В случае убытка средние потери составляют 5%. Расчет математического ожидания для сделки дает значение в 625 долларов.

Не следует торговать до тех пор, пока не будет добыто абсолютно убедительных доказательств того, что используемая вами торговая система будет прибыльной - или, иначе говоря, что она имеет при реальной торговле положительное математическое ожидание.
Математическое ожидание - это то количество, которое вы добавляете к счету (или теряете) в среднем при каждой сделке. В теории игр это то, что называется player"s edge (преимущество игрока, если результат положителен для игрока) или house"s advantage (преимущество дома, если результат отрицателен для игрока):

Математическое ожидание = вероятность выигрыша * средняя величина выигрыша + вероятность проигрыша * средняя величина проигрыша

В примере выше с 50% игрой, при которой на 1$ проигрыша приходилось 2$ выигрыша математическое ожидание будет равно:

(0.5*2)+(0.5*(-1))=1+(-0.5)=0.5

Таким образом, математическое ожидание этой игры равно 50 центам на ход.
Оценим математическое ожидание к игре в рулетку:

((1/38)*35)+((37/38)*(-1)) = -0.0526

Таким образом, при игре в рулетку математическое ожидание составляет минус 5.26 центов на ход при ставке 1$. Если ставка составляет 5$, то, в среднем, за ход будет теряться 26.3 цента.
При различных по величине ставках математическое ожидание будет различаться по величине при выражении в пунктах, но будет одинаковым при выражении в процентах. Математическое ожидание серии ставок является суммой ожиданий отдельных ставок. Если вы ставите на число в рулетке сначала 1$, потом 10$, а потом 5$, то математическое ожидание будет равно:

(-0.526 *1)+ (-0.526*10)+ (-0.526*5)=-0.8416

Этот принцип объясняет, почему системы, основанные на изменении размера ставок в зависимости от размера проигрыша или выигрыша обречены на поражение. Сумма негативных ожиданий всегда останется негативной. Мартингайл может быть выигрышным только при неограниченном размере капитала.
Наиболее важный вывод в плане управления капиталом состоит в том, что при отрицательном математическом ожидании торговой системы никакая система управления капиталом не может сделать чуда и принести прибыль.
Различие между положительным и отрицательным математическим ожиданием - это как различие между жизнью и смертью. Не так важно, насколько выигрышна ваша торговая система, как уверенность в том, что она действительно имеет положительное математическое ожидание. При наличии пусть даже небольшого по размеру, но твердого положительного математического ожидания, применение управления капиталом позволяет добиться экспоненциального роста капитала. Поэтому самое важное, что может сделать трейдер - это убедиться всеми возможными способами в том, что его торговая система действительно будет иметь в будущем положительное математическое ожидание.
Основой для такого убеждения служит максимально возможное сохранение степеней свободы вашей торговой системы. Это достигается не только уменьшением числа оптимизируемых параметров в вашей торговой системе, но и уменьшением, насколько это возможно, числа правил. Каждый добавляемый параметр, каждое новое правило, небольшое улучшение и уточнение, вносимые в систему - все ограничивает ее степени свободы и уменьшает уверенность в ее устойчиво-положительном результате в будущем. В идеале нужно иметь очень простую и даже примитивную торговую систему, которая в течение всего времени торговли выдает пусть небольшую, но прибыль, на почти всех несвязанных рынках.
И еще раз - не так важно насколько прибыльна ваша система, сколько то - что она прибыльна. Количество зарабатываемых денег определяется тем, насколько эффективны используемые вами методы управления капиталом. Торговая система - это только средство получения положительного математического ожидания, к которому далее применяется управление капиталом.
Система, которая работает только на одном или нескольких рынках или имеет различные правила и параметры для различных рынков вероятно не будет прибыльной при реальной торговле в течение длительного времени. Проблема многих ориентированных на технический анализ трейдеров состоит в том, что они проводят слишком много времени, терзая свой компьютер бесчисленными тестами в попытках добавить новое правило к своей торговой системе. Лучше направить свою энергию на то, чтобы с максимально возможной уверенностью утверждать, что торговая система будет приносить прибыль, пусть небольшую, при реальной торговле в будущем в течение длительного времени.

01.02.2018

Математическое ожидание. Просто о сложном. Азы трейдинга.

При размещении ставок любого типа всегда существует определенная вероятность получения прибыли и риск потерпеть неудачу. Положительный исход сделки, и риск потерять деньги неразрывно связаны с математическим ожиданием. В данной статье мы подробно остановимся на этих двух аспектах трейдинга.

Математическое ожидание - при количестве выборок или количества её измерений (иногда говорят - количества испытаний) стремящимся к бесконечности.

Смысл в том, что положительное математическое ожидание ведет к положительной (с повышением прибыли) торговле, а нулевое или отрицательное математическое ожидание означают, что не нужно торговать вообще.

Что бы было легче разобраться в данном вопросе, давайте рассмотрим понятие математического ожидания при игре в рулетку. Пример с рулеткой очень прост для понимания.

Рулетка - (Крупье запускает шарик в противоположную сторону вращения колеса, с того номера на какой шарик упал в предыдущий раз, который должен упасть в одну из пронумерованных ячеек, сделав не менее трёх полных оборотов по колесу.

Ячейки, пронумерованные числами от 1 до 36, окрашены в чёрный и красный цвета. Номера расположены не по порядку, хотя цвета ячеек строго чередуются, начиная с 1 - красного цвета. Ячейка, обозначенная цифрой 0, окрашена в зелёный цвет и называется зеро

Рулетка- это игра с отрицательным математическим ожиданием. Все из-за поля зеро.«0», которое не является ни черным, ни красным.

Поскольку (в общем случае) если не применять изменение ставки, игрок теряет 1$ за каждые 37 вращений колеса (при ставке 1$ за раз), что приводит к линейному убытку на уровне -2,7%, который увеличивается по мере роста числа ставок (в среднем).

Конечно у игрока на интервале, к примеру, в 1000 игр, могут случаться серии побед, и человек может начать ошибочно считать, что он может зарабатывать, обыгрывая казино, так и серии поражений. Серия побед в таком случае может увеличить капитал игрока на большее значение, чем у него было изначально, в таком случае, если у игрока была 1000$, после 10 игр по 1$ у него в среднем должно остаться 973$. Но если в таком сценарии у игрока окажется денег меньше или больше, мы будем называть такую разницу между текущим капиталом дисперсией. Зарабатывать на игре в рулетку можно только в рамках дисперсии.Если игрок продолжит следовать этой стратегии, в конечном счете человек останется без денег, а казино заработает.

Второй пример — знаменитые бинарные опционы. Вам дают сделать ставку, при удачном исходе вы забираете аж 90 процентов сверху от своей ставки, а при неудачном- теряете все 100. И дальше владельцам БО достаточно просто ждать, рынок и отрицательное мат ожидание сделают свое дело. А временная дисперсия даст надежду трейдеру бинарных опционов, что на данном рынке можно зарабатывать. Но это временно.

В чем же плюс криптовалютного трейдинга (как и трейдинга на фондовом рынке) ?

Человек сам может создать для себя систему. Сам может ограничить свой риск, и стараться забрать с рынка максимум возможной прибыли. (Причем если со вторым ситуация довольно спорная, то риск нужно контролировать очень четко.)

Чтобы понимать в каком направлении вас ведёт ваша стратегия необходимо ведение статистики. Трейдер должен знать:

Количество своих трейдов. Чем больше количество трейдов по заданной стратегии, тем точнее будет математическое ожидание
Частота удачных входов. (Вероятность) (R)
Свой профит по каждой положительной сделке.
Смещение (коэффициент прибыльных сделок) (B)
Средний размер вашей ставки (стоп ордер) (S)

Математическое ожидание (Е) = B * R – (1 – B) = B * (1 + R) –1

Чтобы примерно узнать свой итоговый заработок или убыток на счете (EE), к примеру, на дистанции в 1000 трейдов, воспользуемся формулой.

Где N — количество трейдов, которые мы планируем исполнить.

Для примера возмем начальные данные:

стоп лосс - 30 долларов.

профит - 100 долларов.

Количество сделок 30

Математическое ожидание отрицательное только при соотношении прибыльных и убыточных сделок (R) 20%/80% или хуже В остальных случаях положительное.

Пусть теперь профит будет 150. Тогда отрицательным мат ожидание будет при соотношении 16%/84%. Или ниже.

Вывод.

Что с этим делать? Начните вести статистику, если еще не начинали. Проверьте свои трейды, определите Ваше мат ожидание. Найдите то, что можно улучшить (количество верных входов, добор профита, урезание убытков)

Разработанно Expertcoin

Скальпинг на Форексе когда-то был горячей темой среди инвесторов. Похоже, тема остается актуальной поскольку та же самая тема стала вновь актуальной для криптовалюты. Для многих новых инвесторов криптовалютный скальпинг может быть новым, но им занимаются уже довольно давно. Понятие скальпинг Термин «скальпинг» используется для описания внутридневной торговли. Этот стиль инвестирования подходит тем, кто хочет получить…

Прогнозирование рынков, используя фундаментальный анализ становится немного сложнее, но его достаточно легко понять. Многие из вас уже слышали об этом методе. Однако для большинства начинающих трейдеров фундаментальный анализ является очень сложным методом прогнозирования. У фундаментального анализа долгая история, поскольку он используется на финансовых рынках уже более 100 лет. Вы можете применить его ко всем финансовым…

Существует множество методов, которые инвесторы и трейдеры могут использовать для поиска прибыльных позиций. От простых значений на экране до более сложных систем, таких как CANSLIM. Эти методы можно использовать для поиска акций и других активов для покупки. Здесь вся надежда на то, что метод инвестора поможет направить их к большой прибыли и уберет эмоции с…

Ральф Нельсон Эллиот был профессионалом, занимая различные бухгалтерские и деловые должности, пока не заболел в Центральной Америке, что привело к нежелательному выходу на пенсию в возрасте 58 лет. Теперь у него было большое количество времени и Эллиот начал изучать 75-летнее поведение фондового рынка в начале 1900-х годов, чтобы определить годовые, ежемесячные, еженедельные, ежедневные, часовые или…

Представьте, что вы потеряли более $660,000 всего за 30 секунд! В январе 2014 года один профессиональный трейдер сумел сделать то же самое, торгуя акциями HSBC, благодаря «толстым пальцам» и тому что не установил верхний ценовой лимит на свою сделку. В этом случае трейдер, вероятно, мог бы избежать потерь, разместив лимитный ордер вместо рыночного, тем самым…

Если вы планируете заняться инвестициями для того, чтобы обеспечить себя после выхода на пенсию, то единственная вещь о которой вы беспокоитесь — это хватит ли вам в итоге денег для ваших нужд в долгосрочной перспективе. Пенсионное планирование включает в себя расчеты, чтобы понять, насколько и как быстро ваши деньги будут расти со временем. Сложный процент…

Каждый трейдер сталкивается с проскальзываниями цены при торговле, будь то торговля акциями, торговля на форекс или торговля фьючерсами. Проскальзывание — это когда вы получаете цену, отличную от ожидаемой на входе или выходе из сделки. Если бид-аск спрэд акции составляет 49,36 доллара к 49,37, и вы размещаете рыночный ордер на покупку 500 акций, то вы ожидаете,…

Мы расскажем вам о различных типах торговли акциями, чтобы вы могли решить, что и как анализировать. Вопрос в том, каким типом биржевого трейдера вы хотите стать. Это зависит от вашего понимания «себя» и ваших знаний о различных типах торговли. Различные виды торговли требуют различные типы личности, количества времени и капиталовложений. Поэтому, вы должны решить, что…

Стаканы на бирже

В мире крипто-трейдинга важным аспектом являются динамические отношения между покупателями и продавцами. За ними всегда можно наблюдать в так называемых «стаканах». Стакан — это инструмент, который визуализирует в реальном времени список еще невыполненных ордеров для определенного актива. Стаканы показывают интерес покупателей и продавцов, что показывает спрос и предложение. Хотя все стаканы служат для одной и…

В этой статье мы рассмотрим такой важный для трейдера показатель как соотношение риск прибыль и математическое ожидание. Мы расскажем, почему вопреки распространенному мнению ключ к успеху это не только прогнозирование будущего направления движения рынка.

Сколько раз прибыль, полученную в результате выигрышной серии сделок, вы теряли всего в нескольких убыточных сделках. Вы позволяли убыточным сделкам расти устанавливая очень большие стоп лоссы (или еще хуже, обходились без них), надеясь, что рынок развернется, но в то же время когда вы открывали сделку и она шла в прибыльном направлении всего несколько пунктов вы ее сразу закрывали только для того чтобы получить небольшую прибыль.

Если вы так делали, то вы не одиноки, это является одной из главных проблем многих участников рынка.

Трейдеры часто зацикливаются на стратегии быстрого выхода и никогда не позволяют своим прибыльным сделкам расти, что отрицательно сказывается не только на балансе счета, но и на психологическом состоянии трейдера. Реальность такова, что у людей есть естественная склонность хотеть всегда быть правым, так как это вызывает у нас чувство удовлетворения. Нас научили, что ошибаться плохо, поэтому мы стараемся всеми силами избегать потерь, хотя это не правильно. Трейдер должен рассматривать свою торговлю с точки зрения вероятности, которая поможет трейдеру в долгосрочной перспективе получать прибыль.

Риск и прибыль

Соотношение риск прибыль рассчитывается путем взвешивания возможного выигрыша по отношению к потенциальным потерям. В примере ниже приведена информация о серии сделок, где только 50% сделок оказались прибыльными, но при этом трейдер все равно получил прибыль в размере 10 тыс. долларов.

Соотношение риск прибыль является лишь частью этой головоломки. Торговая система, которая дает соотношение риска к прибыли 1:2, но количество прибыльных сделок составляет только 2 из 10, то такая стратегия является убыточной. Это подводит нас к важной концепции… математическое ожидание. Эта убыточная стратегия с 2 из 10 прибыльных сделок имеет отрицательное ожидание -400 долларов, в то время как стратегия, показанная в таблице выше, имеет положительное математическое ожидание 1000 долларов. Давайте разберемся в этом детально и рассмотрим уравнение, с помощью которого можно рассчитать математическое ожидание прибыли.

Математическое ожидание

Наверное, вы неоднократно слышали от других трейдеров такую аксиому, как «соотношение риск прибыль должно быть больше, чем 1:2, чтобы получать прибыль в трейдинге» или аналогичную. Реальность такова, что так называемое матожидание стратегии дает вам понимание того, где находится грань в вашей торговой стратегии. Матожидание дает приблизительное значение средней суммы, которую вы можете выиграть или проиграть в сделке.

Матожидание состоит из четырех элементов:

Прибыльные сделки – W%

Убыточные сделки – L%

Средняя прибыль – Ave W

Средний убыток – Ave L

Математическое ожидание торговой стратегии может быть рассчитано по следующей формуле:

Матжидание = (W% * Ave W) – (L% * Ave L)

Так что матожидание в нашем примере серии из 10 сделок составляет:

(0,5*3000) – (0,5*1000) = 1500 – 500 = 1000

Это пример торговой стратегии, которая имеет положительное матожидание. Надеюсь, вы понимаете, что размер выборки из 10 трейдов не является достаточным для проведения анализа. В действительности трейдеры рассматривают сотни сделок для того чтобы получить представление о том, каким образом работает система, а демо торговля является одним из способов сбора данных. Даже эти данные не гарантируют, что в будущем торговля будет повторять исторические данные, но это природа риска. Тем не менее, дневник трейдера дает нам полезную информацию, которую мы можем использовать для расчета прибыльности нашей стратегии.

Вы должны постоянно следить, как работает ваша торговая стратегия и насколько она эффективна. Теперь вы понимаете, что трейдер может иметь убыточных сделок больше 50%, но в то же время он может зарабатывать, так как ему это позволяет его соотношение риска к прибыли в сделке. Рассматривать эффективность своей стратегии можно после того, как вы получите достаточное количество исторических данных, оперируя которыми вы сможете получить самое лучше соотношение риска прибыли для вашей стратегии. Существует и альтернативная точка зрения, которая заключается в том, что при большом количестве положительных сделок можно фиксировать небольшую прибыль, но при условии, что размер средней убыточной сделки также небольшой. Тем не менее, большинство трейдеров не имеет высокого показателя прибыльных сделок, поэтому они должны искать сделки с приемлемым соотношением риска к прибыли.

Математическое ожидание и размер позиции являются двумя важными факторами, от которых зависит успех в трейдинге. Профессиональные трейдеры, как правило, имеют твердое понимание математического ожидания и управления капиталом, которые вместе с дисциплиной и собственными правилами торговли способны принести трейдеру прибыль от торговли на финансовых рынках. Они стремятся постоянно поддерживать положительное матожидание и используют размер позиции, который соответствует их рискам. Если вы торгуете по своей торговой стратегии и не можете получить прибыль, возможно вам нужно перейти на демо счет для того чтобы просмотреть, какое соотношение риск прибыль и какое матожидание у вашей торговой стратегии.

В большинстве случаев математическое ожидание еще не достаточно характеризует случайную величину. На практике встречаются случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания, однако принимающие резко различающиеся значения. У одних из этих величин отклонения значений от математического ожидания небольшие, а для других, наоборот, значительны, т.е. для одних рассеивание значений случайной величины вокруг математического ожидания мало, а для других оно велико.

Например, пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

Математические ожидания этих случайных величин одинаковы и равны нулю. Однако характер их распределения их различный. Случайная величина X принимает значения, мало отличающиеся от математического ожидания, а случайная величина Y – значения, значительно отличаются от математического ожидания.

Приведенные рассуждения и пример свидетельствую о целесообразности введения такой характеристики случайной величины, которая оценивала бы меру рассеивания значений случайной величины вокруг ее математического ожидания, тем более что на практике часто приходится оценивать такое рассеивание. Например, артиллеристам необходимо знать как кучно лягут снаряды вблизи цели, по которой ведется стрельба.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не дает, т.к. среднее значение отклонение для любой случайной величины равно нулю. Это объясняется тем, что возможные значения X–M[X] могут иметь как положительные, так и отрицательные знаки.

Избежать изменения знаков отклонений x i – M[X] можно, если заменить их абсолютными значениями или возвести в квадрат. Замена отклонений их абсолютными величинами нецелесообразно, т.к. действия с абсолютными величинами, как правило, вызывают затруднения. Поэтому следует использовать величину (X–M[X]) 2 (точнее, ее среднее значение) для характеристики рассеивания значений случайной величины.

Определение. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Законы распределения вероятностей случайной величины X и (X–M[X]) 2 одинаковы. Пусть M[X]m , тогда дисперсия ДСВ будет иметь вид

, (5.5)

дисперсия НСВ

дисперсия
. (5.6)

Из определения следует, что дисперсия случайной величины есть величина не случайная (постоянная). Тогда формулу для дисперсии можно преобразовать следующим образом

Таким образом,

. (5.7)

Это есть основная формула для вычисления дисперсии.

Случайная величина и ее математическое ожидание имеют одну и ту же размерность, но дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. недостатка можно избежать если воспользоваться величиной, равной квадратному корню из дисперсии:

. (5.8)

Эта случайная величина называется средним квадратичным отклонением случайной величиной.

Пример 5.4. ДСВ X задана следующим законом распределения:

Решение . Способ 1.

Способ 2.

Пример 5.5. НСВ X задана следующей плотностью распределения:

Найти дисперсию D[X] двумя способами и среднее квадратичное отклонение.

Решение . Способ 1.

Способ 2.

Среднее квадратичное отклонение

Отметим некоторые свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равно нулю:

Действительно, т.к. M[С]=C, то D[C]=M[С–M(С)] 2 =M[С–С] 2 =M=0. Это свойство очевидно, т.к. постоянная величина принимает только одно значение, следовательно, рассеяние рассеяния вокруг математического ожидания нет.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D = C 2 D[X].

Действительно, т.к. постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, то

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин:

D = D[X]+ D[Y].

Действительно, учитывая свойства математического ожидания, получим

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме их дисперсий:

D = D[X] + D[Y].

Действительно, в силу свойства 3 D = D[X] + D[–Y]. В соответствие со свойством 2, получим

Ранее было введено понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Эту случайную величину

Иногда называют центрированной случайной величиной . Выше было показано (свойство 5), что математическое ожидание случайной величины равно нулю. Найдем дисперсию центрированной случайной величины. На основании свойств дисперсии, получим

Таким образом, дисперсия случайной величины X и центрированной случайной величины X–M[X] равны между собой.

Иногда бывает удобно использовать безразмерные центрированные случайные величины. Разделим величину X–M[X] на среднее квадратичное отклонениеsимеющее ту же размерность. Вновь полученную случайную величину называютстандартной случайной величиной :

. (5.9)