Часто нам необходимо узнать еще и приведенную стоимость платежей по аннуитету. Например, сколько денег вам нужно было бы поместить в фонд, на который начисляется 10% годовых для того, чтобы иметь возможность брать оттуда по 100 долл. в год на протяжении последующих трех лет? Ответом будет приведенная стоимость трех денежных платежей.

Приведенная стоимость аннуитета - это сумма приведенной стоимости каждого из трех платежей по 100 долл.:

PV = 100 долл./1,1+100 долл./1,1 2 + 100 долл./1,1 3

Вынесем постоянный платеж 100 долл. в год за скобки и получим:

PV = 100 долл. х (1/1,1+1/1,1 2 + 1/1,1) 3

Полученный результат является приведенной стоимостью аннуитета и равняется 348,69 долл. Коэффициент, на который умножали платежи по 100 долл., -- это приведенная стоимость обычного трехлетнего аннуитета величиной в 1 долл., при процентной ставке 10%. Табл. 4.5 подтверждает, что 248,69 долл. - это вся сумма, которую вы должны положить на счет для того, чтобы иметь возможность снимать по 100 долл. в год на протяжении последующих трех лет.

Приведем формулу для расчета приведенной стоимости обычного аннуитета в 1 долл. для л периодов при процентной ставке с

Договор пожизненного страхования

Вам 65 лет, и вы подумываете о целесообразности покупки специального договора пожизненного страхования (он тоже называется аннуитет) у страховой компании. За 10000 долл. страховая компания обязуется выплачивать вам по 1000 долл. в год до конца вашей жизни. Если вы можете положить свои деньги на банковский счет под 8% годовых и надеетесь прожить до 80 лет, стоит ли покупать аннуитет? Каков размер процентной ставки, которую вам собирается платить страховая компания? Сколько вам нужно прожить для того, чтобы оправдать покупку аннуитета?

Таблица 4.5. Доказательство того, что вклад в размере 248,69 долл. позволяет вам получать по 100 долл. каждый год на протяжении 3 лет

Проще всего определить целесообразность принятия этого решения об инвестировании на основе расчета приведенной стоимости выплат по договору пожизненного страхования (договор аннуитета) и сравнения полученной суммы со стоимостью аннуитета (10000 долл.). Допустим, что это обычный аннуитет. Тогда ожидается 15 выплат по 1000 долл. каждая, начиная с 66 лет и заканчивая 80 годами. Приведенная стоимость этих 15 платежей при дисконтной ставке 8% годовых составляет 8559,48 долл.

Другими словами, для того, чтобы собрать те же самые 15 годовых платежей по 1000 долл. каждый, было бы достаточно положить 8559,48 долл. на банковский счет, который выплачивает 8% годовых. Следовательно, чистая приведенная стоимость, вложения в аннуитет, составляет:

NPV = 8559,48 долл. - 10000 долл. = -1440,52 долл.

и покупать его не стоит.

Для того чтобы рассчитать предполагаемую процентную ставку по аннуитету, нам необходимо найти дисконтную ставку, благодаря которой Wf этого вклада становится равной нулю. Правильный ответ – 5,56% годовых. Для того чтобы найти данную величину на финансовом калькуляторе, мы вводим значения п, РМТ, РV и рассчитываем i.

Другими словами, если бы банк предложил вам процентную ставку 5,56% годовых, вы могли бы положить сейчас на счет 10000 долл. и снимать по 1000 долл. в год на протяжении последующих 15 лет.

Для того чтобы определить количество лет, которое человек должен прожить для того, чтобы оправдать покупку этого аннуитета, мы должны задать себе следующий вопрос: каково должно быть значение и, чтобы NPV вклада равнялась нулю? Правильный ответ - 21 год. На финансовом калькуляторе мы можем найти эту величину п после того, как введем значения для i, РМТ и PV.

Взгляните на это с другой стороны; если вы проживете 21 год, то страховая компания разорится, обеспечивая вам аннуитетные платежи из расчета предполагаемой ставки в 8% годовых.

Определим Приведенную (текущую) стоимость будущих доходов (или расходов) в случае аннуитета. Для этого будем использовать функцию ПС() . Также выведем альтернативную формулу для расчета Текущей стоимости.

Примечание . Английский вариант функции: PV(rate, nper, pmt, , ), т.е. Present Value – будущая стоимость.

Расчеты в ПС() производятся по этой формуле:

Использование функции ПС() в случае выплаты кредита

Определим сумму кредита, на которую можно рассчитывать, зная сумму ежемесячного платежа, срок кредита и процентную ставку (см. файл примера Лист Кредит ).

Пусть ежемесячный взнос =10000р. (плт), ставка по кредиту 10% (ставка). Кредит планируется вернуть в течение года (кпер=12). Взнос в конце месяца (тип=0).
Записав формулу =ПС(10%/12; 12; -10000; 0; 0) получим ответ 113 745,08р., т.е. взяв эту сумму в кредит и выплачивая по 10000р. ежемесячно, мы погасим полностью кредит через 12 месяцев.

Пример вычисления остатка суммы основного долга (при БС=0, тип=0)

Пусть был взят кредит в размере 100 000руб. на 10 лет под ставку 9%. Кредит должен гаситься ежемесячными равными платежами (в конце периода). Требуется вычислить сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат.
Решение простое – используйте функцию ОСПЛТ(): =ОСПЛТ(9%/12;25;10*12;100000)
Ставка за период (ставка): 9%/12
Номер периода (первый месяц третьего года выплат): 25=2*12+1
Всего периодов (кпер): 10*12
Кредит: 100000
Сумма основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат: -618,26руб.

Теперь выполним те же вычисления, только осмысленно, т.е. понимая, суть расчета.

1. Вычислим ежемесячный платеж, используя формулу приведенной стоимости. Обозначим сумму кредита как ПС, ежемесячный платеж как ПЛТ: ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Отсюда, ПМТ=ПС* ставка /(1-(1+ставка)^-кпер)=1266,76 (правильность расчета можно проверить с помощью ПЛТ() – см. статью ). ПЛТ() вернет -1266,76. Знак минус указывает на различные направления денежных потоков + (из банка сумма кредита), - (в банк ежемесячные платежи). Формула приведенной стоимости является следствием того, что сумма долей ежемесячных платежей, идущих на погашение основной суммы долга, должна быть равна сумме кредита. Поясним:
1. Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 1-й период =ПМТ-ПС*ставка, а с учетом знаков =-ПМТ-ПС*ставка (чтобы сумма долей была того же знака, что и ПС). Обозначим эту долю как ПС1. Кстати, ПС*ставка – это сумма процентов, уплаченная за пользование кредитом в первый период.
2. Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 2-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка=-ПМТ-(ПС +ПМТ+ПС*ставка) *ставка=(-ПМТ-ПС*ставка)*(1+ставка)=ПС1*(1+ставка). Обозначим эту долю как ПС2. Кстати, ПС-ПС1 – это остаток суммы долга в конце второго периода.
3. Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 3-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1-ПС2)*ставка=-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка+ПС2*ставка =ПС2+ПС2*ставка= ПС2*(1+ставка) =ПС1*(1+ставка)^2
4. Очевидно, что доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в последний период (кпер)= ПС1*(1+ставка)^ кпер =-(ПМТ+ПС*ставка) *(1+ставка)^ кпер
5. Чтобы погасить кредит полностью, необходимо, чтобы сумма долей, идущих на погашение кредита, была равна сумме кредита, т.е. =-(ПМТ+ПС*ставка)*(1-(1+ставка)^ кпер)/ставка=ПС. Эта формула получена как сумма членов геометрической прогрессии: первый член =-(ПМТ+ПС*ставка), знаменатель =(1+ставка).
6. Решая нехитрое уравнение, полученное на предыдущем шаге, получим, что ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Это и есть формула приведенной стоимости (при БС=0 и платежах, осуществляемых в конце периода (тип=0)).
2. Вычислим сумму основного долга, которую нужно будет выплатить начиная с 25-го месяца (т.е. в начиная с 25 и заканчивая 120 периодом). Сделаем это так же используя формулу приведенной стоимости ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Теперь ПМТ нам известно, ПС – это искомая сумма основного долга, которую нужно будет выплатить, начиная с 25-го месяца, т.е. за 96 периодов (120-24=кпер). ПС=86466,91 Правильность расчета можно проверить с помощью ОБЩДОХОД() .
3. Вычислим сумму процентов, которые будут выплачены в 25-й месяц: 86466,91*ставка=648,50 Правильность расчета можно проверить с помощью ПРПЛТ() .
4. Наконец, т.к. каждый платеж содержит сумму, идущую в оплату основной суммы долга и начисленные за период проценты, то Сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат получим как: ПМТ-648,50=618,26

Как видим, сумма совпадает результатом ОСПЛТ() , вычисленную ранее (с точностью до знака).

Примечание : в файле примера приведено решение нескольких простых задач по определению .

Аннуитеты. Текущая стоимость аннуитета. Будущая стоимость аннуитета

Аннуитет (финансовая рента) - ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени.

Ренты, по которым платежи производятся раз в год, называются годовыми; ренты, платежи по которым производятся несколько раз в год, либо период между платежами может превышать год, называются дискретными.

По моменту, с которого начинается реализация рентных платежей, ренты делятся на немедленные (платежи производятся сразу же после заключения контракта) и отложенные (срок реализации откладывается на указанное в контракте время).

По моменту выплат подразделяются на обычные - постнумерандо, в которых платежи производятся в конце соответствующе периодов (года, полугодия и т. д.), и пренумерандо, в которых платежи осуществляются в начале соответствующих периодов. Встречаются также ренты, в которых предусматривается поступление платежей в середине периода.

Обобщающими показателями ренты являются: наращенная сумма и современная (текущая, приведенная) величина.

Наращенная сумма ренты (FVA) - это сумма потока платежей с начисленными на них процентами на конец срока, т.е. на дату последней выплаты. Наращенная сумма показывает, какую величину будет представлять капитал, вносимый через равные промежутки времени в течение всего срока ренты вместе с начисленными процентами.

где FVA - будущая стоимость аннуитета (future value of annuity);

А - платеж, осуществленный в конце периода t (величина ежегодного взноса);

i - уровень дохода по инвестициям (годовая процентная ставка);

n - число периодов, в течение которых получается доход.

Если суммы платежей одинаковы в каждом периоде, то это уравнение можно представить в виде:

Коэффициент наращения ренты, который называют также коэффициентом накопления денежной единицы за период. Коэффициент наращения ренты показывает будущую стоимость аннуитета в 1 руб. в конце каждого периода получения доходов на протяжении n периодов и при ставке процентного дохода на уровне i. Коэффициенты наращения ренты табулированы приложении.

Ренты (пренумерандо) также называются авансовыми или причитающимися аннуитетами, т. е. первый платеж производится немедленно, а последующие платежи производятся через равные интервалы. Сумма членов такой ренты вычисляется по формуле:

т. е. сумма членов ренты пренумерандо больше наращенной суммы ренты постнумерандо в (1+i) раз, поэтому наращенная сумма ренты пренумерандо равна:

где FVAo - наращенная сумма аннуитета постнумерандо.

В случае, когда платежи производятся в середине периодов, вычисление наращенной суммы производится по формуле:

где FVAо - наращенная сумма платежей, выплачиваемых в конце каждого периода (рента постнумерандо).

Если начисление процентов осуществляется m раз в год, то расчет будущей стоимости аннуитета производится по формуле:

Определение будущей стоимости дискретной ренты (платежи осуществляются несколько раз в год) осуществляется по формуле:

Пример 1. В компании принято решение сформировать инвестиционный фонд, откладывая в течение 10 лет по 500 000 руб. на банковский счет со ставкой 10%. Сколько средств будет в инвестиционном фонде компании через 10 лет.

Пример 2. Предприятию предстоит через 5 лет заменить технологическую установку стоимостью в 1 млн. руб. Имеется договоренность с банком об открытии накопительного счета под амортизационный фонд со ставкой в 10% годовых. Спрашивается, сколько надо предприятию ежегодно перечислять на этот счет, чтобы к концу 5 года собрать сумму, достаточную для покупки аналогичной установки (не беря в расчет инфляцию)

1 000 000 = А. 6,105

А = 1 000 000 / 6,105 =163 800,2 руб.

Пример 3. Производственная компания заключила договор с банком на 5 лет, поступающие ежегодные денежные платежи в размере 10 млн. руб. помещаются на депозит под 8% годовых с начислением процентов по полугодиям. Определите сумму депозита в конце срока договора.

Пример 4. Для создания фонда развития фирма заключила договор с банком, предусматривающий ежеквартальное внесение 15 млн. руб. на депозит в течение 5 лет под 7,5% готовых. Определите сумму депозита по окончанию срока договора.

Современная величина ренты (ее также называют текущей, или приведенной величиной) - это сумма всех членов ренты, дисконтированных на момент приведения по выбранной дисконтной ставке.

где FA - будущие поступления денежных средств в конце периода t;

i - норма доходности по инвестициям (годовая процентная ставка);

n - число периодов, на протяжении которых в будущем поступят доходы от современных инвестиций.

Для ренты с членами, равными будущими поступлениями денежных средств (FA), современная величина рассчитывается по формуле:

Коэффициент приведения ренты - текущая стоимость аннуитета стоимостью в 1руб. в конце каждого из n периодов при ставке доходности на уровне i.

Данный показатель также называется текущей стоимостью обычного аннуитета, или текущей стоимостью будущих платежей. Коэффициенты приведения ренты табулированы в приложении.

В случае начисления процентов m раз в год, расчет текущей (приведенной) стоимости аннуитета производится по формуле:

где m - число начислений в течение года.

Определение текущей стоимости дискретной ренты (платежи осуществляются несколько раз в год) осуществляется по формуле:

где k - число рентных платежей в течение года.

Пример 1. Фирмой предусматривается создание в течение 3 лет фонда инвестирования в размере 811,6 тыс. руб. Фирма имеет возможность ассигновать на эти цели ежегодно 250 тыс. руб., помещая в банк под 8 % годовых. Какая сумма потребовалась бы фирме для создания фонда, если бы она поместила ее в банк одномоментно на 3 года под 8 % годовых.

Для ответа на поставленный вопрос рассчитаем текущую величину ренты с параметрами: FA = 250 тыс. руб.; n = 3; i = 8%.

Действительно, если бы фирма имела возможность указанную сумму (644,27 тыс. руб.) поместить в банк на 3 года под 8%, годовых, то наращенная сумма составила бы:

В то же время наращенная сумма при ежегодных платежах в размере 250 тыс. руб. под 8 % годовых составит:

Пример 2. Фирма создает фонд развития путем ежегодных помещений в банк сумм в размере 2 млн. руб. под 10% годовых. Взносы в банк производятся равными частями один раз в год в середине года. Необходимо определить величину фонда к концу пятого года и современную стоимость потока платежей.

Определение наращенной суммы (величины фонда).

В современном мире, где банковские продукты входят в жизнь любого человека, понимание сути финансовой математики и умение делать простые финансовые вычисления становится необходимым навыком. Но многие учебники и статьи по этой теме написаны сложным языком финансовых терминов и математических формул. Без терминов и формул, конечно, не обойтись. Однако объяснить суть вычислений можно простым языком, понятным любому человеку. Эта статья — продолжение статьи о дисконтировании денежных потоков. В ней речь пойдет об аннуитете (аннуитетных денежных потоках). Вечная рента, формула аннуитета — расчет текущей и будущей стоимости на простых примерах , объяснения для людей, а не для банкиров – об этом вы узнаете, прочитав данную статью.

Что такое аннуитет?

Услышав слово аннуитет, многие подумают о чем-то сверхсложном и недоступном для понимания. На самом деле всё просто, только слово иностранное.

Аннуитет – это серия одинаковых платежей через одинаковые промежутки времени. Этот термин представляет собой буквенный «перевод» английского слова annuity , что означает «fixed sum paid every year». Люди, владеющие английским языком, вспомнят еще слово «annual», которое в переводе означает «годовой». Оба этих слова происходят от латинского слова annuus – ежегодно. Таким образом, в самом слове аннуитет содержится указание на ежегодную периодичность платежей.

На временной линии (или шкале времени) аннуитетные денежные потоки можно изобразить, например, вот так (Рис. 1):
В настоящее же время аннуитетом называются не только серии одинаковых годовых платежей, но и любые последовательности одинаковых по сумме платежей вне зависимости от их периодичности. Это могут быть ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные платежи. Главным остаётся одно: аннуитет – это несколько одинаковых платежей (денежных потоков) через одинаковые промежутки времени. Например, зарплата. Если ваша зарплата постоянна в течение года, то ежемесячный приток денежных средств в виде зарплаты является аннуитетом с ежемесячным периодом выплаты. Другой пример: если вы покупаете какую-то вещь в рассрочку, то ваши ежемесячные платежи банку тоже будут аннуитетом.

Пренумерандо и постнумерандо

Еще немного терминов. Аннуитеты бывают пренумерандо и постнумерандо. Это красивые и загадочные термины обозначают всего лишь момент платежа: пренумерандо означает платежи в начале каждого временного периода, постнумерандо — в конце его. Эти термины, пришедшие к нам, судя по всему из латыни, используются в учебниках или в официальных бумагах. Я же буду говорить по-русски: денежные потоки с выплатой в конце года или в начале года.

В данной статье рассматриваются примеры расчета простых аннуитетов, в которых период платежа и период начисления процентов равны друг другу. То есть если проценты начисляются, например, за год, то и выплаты будут ежегодными. Или проценты начисляются ежемесячно, и платежи тоже осуществляются ежемесячно. Существуют аннуитеты, в которых эти периоды не совпадают (периоды выплат и периоды начисления процентов), но это более сложные вычисления. Я не буду их затрагивать. Всем, кто хочет разобрать эту тему досконально, лучше обращаться к учебникам по финансовой математике.

Дисконтирование и наращение

Для начала вспомним о том, что такое дисконтирование и наращение. Более подробно об этом рассказано в предыдущей статье. В ней речь шла о дисконтировании и наращении единичного денежного потока, то есть одной денежной суммы. Продисконтировать – это значит рассчитать текущую стоимость будущего денежного потока. То есть, если вам надо накопить определенную сумму к какой-то дате в будущем, то, применив дисконтирование, вы сможете рассчитать, сколько надо положить в банк сегодня.

Наращение – это движение из сегодняшнего дня в завтрашний: расчет будущей стоимости тех денег, которые у вас есть сегодня. Если вы положите деньги на банковский счет, то, зная банковскую ставку, вы сможете рассчитать, сколько денег у вас накопится на счете в любой момент времени в будущем.

Наращение и дисконтирование, конечно, неприменимы, если вы храните деньги дома. Все эти расчеты справедливы только тогда, когда вы можете инвестировать ваши деньги: положить на банковский счет или купить долговые ценные бумаги.

Дисконтирование и наращение применяются не только к одному денежному потоку, но и к последовательности денежных потоков, при этом денежные суммы могут быть любыми по величине. Частным случаем таких множественных денежных потоков и являются аннуитеты .

Формула аннуитета

Аннуитетные денежные потоки тоже можно дисконтировать и наращивать, то есть определять их текущую и будущую стоимости.

Например, это необходимо, когда нам нужно выбрать между двумя предлагаемых нам вариантами получения денег. Не зная основных положений финансовой математики, можно прогадать и выбрать заведомо невыгодный для себя вариант. Чем и пользуются более осведомленные участники финансового рынка, а именно банки.

Расчет аннуитета — дисконтирование

ПРИМЕР 1. Возьмем абстрактный пример. Допустим, вам надо выбрать, что лучше:

• (А) получить 100,000 долларов сегодня или
• (Б) 5 раз по 25,000 долларов в конце каждого из следующих 5 лет.

В сумме 5 * 25,000 = 125,000, что вроде бы лучше, чем 100,000 долларов. Но так ли это? Ведь у денег есть еще и «временная» стоимость. Банковская ставка в данный момент в данной стране, допустим, равна 10%.

Вариант (Б) представляет собой простой вариант аннуитета. Только не все знают, что это именно так называется. Чтобы сравнить эти два варианта между собой (что выгоднее?), надо привести их к одному моменту времени, поскольку стоимость денег в разные моменты времени различна. В данном случае надо продисконтировать аннутитетный денежный поток (Б), т.е. рассчитать его сегодняшнюю стоимость. Если дисконтированная стоимость аннуитета будет больше, чем 100,000 долларов, значит, второй вариант выгоднее при данной ставке процента.

В предыдущей статье мы научились дисконтировать одиночную сумму. Те же вычисления можно сделать и в этот раз, только придется повторить их 5 раз.

На данной шкале времени кроме платежа в сумме 25,000 нанесены соответствующие каждому периоду коэффициенты дисконтирования. приведена в предыдущей статье про дисконтирование.

Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) каждую сумму отдельно, то получится вот такая табличка:

• 25,000*0,9091 = 22,727
• 25,000*0,8264 = 20,661
• 25,000*0,7513 = 18,783
• 25,000*0,6830 = 17,075
• 25,000*0,6209 = 15,523
• Итого: 94,770

Здесь сумма платежа умножена на соответствующий каждому году коэффициент дисконтирования. В целом пять платежей по 25,000 в конце каждого года с учетом дисконтирования стоят 94,770, что несколько меньше, чем 100,000 сегодня. Следовательно, 100,000 сегодня при ставке 10% будет выгоднее, чем предложенный аннуитет 5 лет по 25,000.

Этот пример важен не только, чтобы еще раз продемонстрировать временную стоимость денег. Из таблицы становится ясно, как можно упростить вычисление дисконтированной стоимости аннуитета. Вместо того чтобы дисконтировать каждую сумму отдельно, можно сложить все коэффициенты дисконтирования и умножить только один раз:

25,000*(0,9091+0,8264+0,7513+0,6830+0,6209) что аналогично 25,000*3,7908 =94,770

Из этого примера легко вывести математическую формулу расчета дисконтированной стоимости аннуитета.

Сначала вспомним, как выглядит формула дисконтирования:

PV = FV*1/(1+R) n

Коэффициент дисконтирования равен 1/(1+R) n - это 0,9091, 0,8264 и т.д. в нашем примере.

Формула аннуитета (для расчета дисконтированной стоимости аннуитетных денежных потоков)

PV = FV*

Выражение в квадратных скобках можно представить математически, но вряд ли это нужно большинству людей. Это называется коэффициент аннуитета, или аннуитетный коэффициент дисконтирования, точное название не столь важно. В примере выше этот коэффициент равен 3,7908 .

Гораздо полезнее уметь пользоваться таблицами таких коэффициентов для расчета приведенной (дисконтированной) стоимости аннуитетного денежного потока. Такие таблицы позволяют быстро решать простые задачи на дисконтирование аннуитетов. Пример такой таблицы дисконтирования приведен ниже:

Если кому-то нужна точная формула аннуитета , точнее формула коэффициента дисконтирования аннуитета, то вот она:

Коэффициент дисконтирования аннуитета: 1/R — 1/(R*(1+R) n)

Дисконтированная стоимость аннуитета: PV= платеж умножить на коэффициент

Расчет аннуитета — наращение

В примере выше мы считали дисконтированную стоимость денежного потока. То есть приводили стоимость денежного потока к текущему моменту времени. Можно решать и обратную задачу – узнать будущую стоимость аннуитета (аннуитетного денежного потока).

ПРИМЕР 2. В нашем первом примере мы можем посчитать будущую стоимость обоих вариантов. Если перевести из области чистой математики в жизненную плоскость, то надо выбрать, что лучше:

• (А) положить сегодня 100,000 долларов в банк под 10% годовых или
• (Б) в конце каждого года делать взносы в сумме 25,000.

Для первого варианта можно воспользоваться (она есть в предыдущей статье).

Для варианта (А) будущая стоимость считается просто: $100,000 через 5 лет будут равны 100,000*1,6105 = $161,050

Для варианта (Б) ситуация несколько сложнее.
Мы хотим узнать, сколько будет у нас на счете через 5 лет, если мы будем откладывать 25,000 в конце каждого года. То есть мы сделаем последний взнос и сразу же посчитаем, сколько мы накопили. Чтобы не ошибиться, лучше подписать коэффициенты наращения, соответствующие каждому году, на шкалу времени. Первый платеж будет сделан в конце первого года, это значит, что через 5 лет по нему будут наращены проценты только за 4 года. Соответственно, по второму платежу мы получим проценты за 3 года, по третьему – за два года, по четвертому – за один год, и, наконец, положив деньги в пятый раз, проценты по последнему взносу еще нее возникнут (то есть надо будет умножить на 1,10 в нулевой степени!)

25,000*(1,1) 4 +25,000*(1,1) 3 + 25,000*(1,10) 2 + 25,000*(1,10) 1 + 25,000 (1,10) 0 что равно

25,000*1,4641 + 25,000*1,3310 +25,000*1,2100 +25,000*1,1000 + 25,000*1 = 25,000*6,1051 = 152,628

Будущая стоимость аннуитета (вариант Б) равняется $152,628, что существенно меньше, чем $161,050 (вариант А). Это означает, что выгоднее внести на банковский счет 100,000 долларов сегодня, чем делать взносы 25,000 в конце каждого из 5 следующих лет. Данный вывод справедлив для банковской ставки 10% годовых.

Для расчета будущей стоимости аннуитетных денежных потоков тоже имеются таблицы коэффициентов. В данном случае этой таблицей можно пользоваться для расчета аннуитетов с платежами в конце временного интервала (т.е. постнумерандо).

Для любителей математики формула аннуитета для расчета его будущей стоимости выглядит так:

Коэффициент наращения аннуитета: FV = платеж умножить на коэффициент ,

где коэффициент равен: [(1+R) n – 1]/R

Это был аннуитет с платежами в конце каждого года (постнумерандо ).

ПРИМЕР 3. Можно рассмотреть и другой пример. Сколько мы накопим на счете в банке, если будем вносить по 25,000 в начале каждого года, а не в конце? Это будет так называемый аннуитет пренумерандо, назовем его вариант В. Этот денежный поток можно изобразить на шкале времени таким образом:

Как видно из рисунка, платежи по 25,000 делаются в начале каждого годового периода. Например, вы решили класть на счет в банке по 25,000 каждый год 1 января. Первый платеж принесет нам проценты за 5 лет, второй — за 4 года, третий — за 3 года, четвертый — за 2 год и, наконец, платеж, сделанный в начале пятого года, принесет нам проценты за один год. я взяла из соответствующей таблицы, которую можно открыть по ссылке.

25,000*1,6105+25,000*1,4641 +25,000*1,3310 + 25,000*1,2100 + 25,000*1,1000 = 25,000* (1,6105+1,4641+1,3310+1,2100+1,1000) = 25,000*6,7156 = 167,890

Таким образом, если начинать вносить 25,000 каждый год в начале годового периода и делать это в течение 5 лет, то через 5 лет сумма на счете будет равна $167,890 . Этот вариант В выгодней, чем варианты А и Б, которые были рассмотрены раньше.

• Вариант А — $100,000, внесенные сегодня, накопят на банковском счете через 5 лет только 161,050
• Вариант Б — $25,000, внесенные на счет в конце каждого из 5 последующих лет, накопят через 5 лет только $152,628

Как видно из двух последних примеров, большое значение имеет момент, когда производятся платежи: в начале или в конце периода. Поэтому, если нужно рассчитать дисконтированную или будущую стоимость любых денежных потоков, желательно рисовать , на которой отметить суммы и коэффициенты, соответствующие каждому периоду.

Как эти расчеты могут пригодиться в жизни?

В примерах выше были разобраны абстрактные примеры аннуитетов. Но с аннуитетными денежными потоками мы встречаемся и в реальной жизни. Например, интересно будет рассчитать, сколько удастся накопить на сберегательном счете, если откладывать каждый месяц часть зарплаты. Подобным же образом можно будет рассчитать, скажем, дисконтированную стоимость всех платежей по автокредиту. Выплаты банку при покупке автомобиля (и не только автомобиля) в кредит представляют собой аннуитет. Его дисконтированная (приведенная к сегодняшнему дню) стоимость — это и будет стоимость приобретаемого автомобиля. Можно точно узнать, сколько вы переплачиваете при покупке машины в кредит в сравнении с вариантом покупки с уплатой полной суммы сразу. А также можно будет сравнить кредитные предложения разных банков. Единственная проблема в таких расчетах – выбрать правильную месячную ставку дисконтирования.

Вечная рента

Вечная рента — это аннуитет, платежи которого продолжаются в течение неограниченного срока. Другими словами – это серия одинаковых платежей, которая продолжается вечно. Такой вариант возможен, если, например, у вас есть вклад в банке, вы снимаете только ежегодные проценты, а основная сумма вклада остается нетронутой. Тогда, если ставка процента по вкладу не меняется, у вас будет так называемая .

В викторианскую эпоху все английские аристократы жили на проценты со своего капитала. Чем больший капитал лежал в банке, тем большие средства можно было потратить на жизнь и при этом не работать. Капитал переходил по наследству, и теоретически (если бы не было банкротств банков, войн и инфляции) так могло бы продолжаться вечно.

Будущая стоимость вечной ренты не имеет смысла, так как платежи продолжаются неограниченно долго. Однако текущая стоимость вечной ренты является конечной суммой, которую можно вычислить по формуле:

PV = платеж/R,

где R – это банковская ставка %, PV — текущая стоимость

Например, если хочется снимать со счета проценты в сумме 500,000 рублей в год, а годовая банковская ставка составляет 8%, то это значит, что сумма вклада на банковском счете должна быть равна:

500,000/0,08 = 6,250,000 рублей (PV).

В этом случае (если у банка не отберут лицензию или банк не обанкротится сам) можно снимать такие проценты постоянно на протяжении неограниченного периода времени. Единственное, что может нарушить такую идиллическую картину, — это инфляция, благодаря которой деньги обецениваются. Поэтому с течением времени снимаемые проценты будут приносить всё меньше материальных благ.

Философское отступление для тех, кто дочитал до этого места.

Чтобы рента была вечной, нужно сохранять капитал, с которого мы получаем эту ренту. Этот закон действует не только в финансовом мире. Человечество живет за счет природной ренты – оно пользуется ресурсами планеты, которые, к сожалению, исчерпаемы. Если брать от природы слишком много, природная рента иссякнет. Истощение земных ресурсов происходит на наших глазах.

При традиционном рыболовстве рыбу ловили понемногу, но это могло продолжаться вечно. Индустриальные города требуют рыбу определенного сорта и качества, для вылова которой применяется промышленный рыболовный флот. Крупные суда гонятся лишь за прибылью и не уважают океан. В настоящее время 80% мест промысловых районов Европы истощены. По расчетам ученых к 2050 году промышленное рыболовство сойдет на нет. Рыбная «рента» исчерпает себя. Много ли других ресурсов останется у человечества через 35-50 лет?

«Мир достаточно велик, чтобы удовлетворить нужды любого человека, но слишком мал, чтобы удовлетворить человеческую жадность» Махатма Ганди

Планета Земля – это наш единственный дом. Думаем ли мы об этом?

Рассчитать свой потенциальный доход по вкладу можно самостоятельно, не полагаясь на калькуляторы дохода, которые размещены на сайтах банковских учреждений. В этой статье на конкретных примерах показано, как рассчитать доход по вкладу с капитализацией процентов (ежеквартальной, ежемесячной, ежедневной, непрерывной) и как рассчитать эффективную ставку по вкладам с капитализацией.

Обычный аннуитет определяется как серия равновеликих платежей, первый из которых осуществляется через один период начиная с настоящего момента. Он также определяется как серия поступлений. Например, право получать 100 долл. в конце каждого года в течение следующих 4 лет создает обычный аннуитет. Аналогично обязательство ежемесячно выплачивать 100 долл. в течение следующих 300 месяцев является обычным аннуитетом. Текущая стоимость аннуитета показана графически на рис. 3-9.

Рис. 3-9. Текущая стоимость обычного аннуитета

Текущая стоимость аннуитета при заданной ставке дисконта может быть рассчитана путем оценки каждого платежа (поступления) в отдельности. При этом сумма каждого платежа умножается на соответствующий фактор текущей стоимости единицы.
Например, право получения 100 долл. чистого рентного дохода в конце каждого года на протяжении следующих 4 лет может быть оценено, если учитывать каждое из четырех поступлений как отдельную реверсию. При 10%-ной ставке дисконта стоимость первого поступления равна 90,91 долл. (100,00 долл. X 0,90909 = 90,91 долл.); второго - 82,64 долл., третьего - 75,13, четвертого - 68,30 долл. Текущая стоимость всего четырехлетнего аннуитета составляет 316,98 долл. (90,91 долл. + 82,64 долл. + 75,13 долл. + 68,30 долл.). Поэтому при 10%-ной ставке сегодняшние инвестиции в 316,98 долл. (текущая стоимость) являются обоснованной платой за право ежегодного получения 100,00 долл. на протяжении последующих четырех лет.

Предварительно рассчитанные таблицы. Широкое и интенсивное использование фактора текущей стоимости аннуитета привело к построению соответствующих таблиц. Данные таблицы показывают факторы с учетом того, что каждый платеж за период равен 1 долл. Это фа-кторы аннуитета (annuity factors), или факторы Инвуда (Inwoodfactors), по имени Уильяма Инвуда (1771-1843). Во многих таблицах сложно го процента они показаны в колонке 5.

Фактор Инвуда рассчитывается по следующей формуле:

Фактор текущей стоимости аннуитета может быть также рассчитан ка сумма текущих стоимостей в 1 долл. за определенный временной период

Для построения аннуитетной таблицы следует просто сложить факторы текущей стоимости единицы за соответствующее число лет, как это показано в табл. 3-7.

ТАБЛИЦА 3-7

Соотношение текущей стоимости единицы и текущей стоимости аннуитета (ставка = 10%)

Метод «депозитной книжки»

Как способ проверки или доказательства того, что текущая стоимость аннуитета определена правильно, рассмотрим метод «депозитной книжки». В соответствии с данным подходом любые суммы, находящиеся на депозите» должны приносить процент. Снимаемые суммы перестают приносить процент. Текущая стоимость аннуитета показывает сумму сегодняшнего депозита, с которого (включая начисляемый на остаток процент) в течение всего срока аннуитета может ежегодно сниматься определенная равная сумма.

Например, рассмотрим сегоднящний депозит в 316,98 долл. Если бы эта сумма была внесена на беспроцентный текущий счет к с него ежегодно в течение четырех лет снимались равные суммы, то последние не могли превысить 79,24 доля* Однако, если бы на остаток вклада ежегодно выплачивался процент, то ежегодные изъятия могли бы быть больше 79,24 долл. Чем выше ставка процента, тем выше сумма возможного ежегодного изъятия. При ставке 10% она может составить 100 долл. Для проверки обратимся к табл. 3-8. Заметим, что процент прибавляется в конце каждого года» в зависимости от суммы остатка на протяжении года. В конце каждого года со счета снимаются 100 долл.» включая процент.

ТАБЛИЦА 3-8

Метод «депозитной книжки» (депозит в 316,98 долл.» при ставке 10% и ежегодном изъятии 100 долл.)

Применение калькулятора

Используя для оценки аннуитета финансовый калькулятор» введите число периодов N, ставку процента %I и известный периодический платеж РМТ. Затем наберите COMPUTE и PV. На дисплее появится текущая стоимость аннуитета. Пример показан на рис. 3-10.

РИС. 3-10. Клавиши калькулятора, используемые для расчета текущей стоимости аннуитета при ставке дисконта 10%, ежегодном дисконтировании за 4 года и ежегодном платеже в 100,00 долларов

Укороченные интервалы

Поступления от обычных аннуитетов часто происходят не раз в год, а ежемесячно» каждый квартал или каждое полугодие. Для того чтобы учесть это, необходимо номинальную ставку процента разделить на число периодов в году. Общее число периодов равно числу лет, умноженному на число периодов в году.

Авансовый аннуитет (причитающийся аннуитет)

Некоторые аннуитеты структурированы таким образом, что первое поступление (платеж) в потоке доходов происходит немедленно. Последующие же платежи производятся через равные интервалы. Такие аннуитеты называются авансовыми (annuities in advance), ИЛИ причитающимися аннуитетами (annuities due).

Для того чтобы оценить подобный аннуитет, рассмотрим первый платеж, осуществляемый на полную сумму. Он производится немедленно, поэтому дисконтировать его не следует. Последующие поступления дисконтируются. Поскольку второе поступление произойдет через один временной интервал от настоящего момента, его следует оценивать с использованием фактора текущей стоимости реверсии для первого интервала (из стандартных таблиц). Для того чтобы превратить фактор обычного аннуитета в фактор авансового аннуитета, необходимо взять фактор обычного аннуитета для потока доходов, укороченного на один период, и добавить к нему единицу. При добавлении единицы как раз и учитывается первое поступление. При сокращении потока на один период во внимание принимается текущая стоимость остальных платежей.

Например, на протяжении четырех лет ежегодный чистый рентный доход составляет 100 долл., причем он выплачивается в начале каждого года. Текущая стоимость потока доходов, дисконтированная по ставке 10%, равна 348,68 долл. Текущая стоимость первого платежа - 100,00 долл., второго - 90,91 долл., третьего - 82,64 долл., четвертого - 75,13 долл. (100,00 долл. + 90,91 долл. + 82,64 долл. + 75,13 долл. = 348,68 долл.).

Некоторые калькуляторы для авансового аннуитета предусматривают клавишу DUE. Клавиши, используемые для расчета текущей стоимости причитающегося аннуитета, показаны ниже.

Результат: 316,98 (на дисплее)

Использование двух факторов
Доход, ожидаемый от недвижимого имущества, часто состоит из двух частей: а) поток доходов; б) единовременная сумма от перепродажи актива. Соответственно, для его оценки следует использовать два различных фактора сложного процента.
Например, предположим, что на протяжении 25 лет в конце каждого года недвижимость должна приносить доход в 65 000 долларов, затем она будет перепродана за 500 000 долларов Соответствующая ставка дисконта равна 12%. Для оценки ожидаемых 65 000 долларов ежегодного дохода может быть использован фактор текущей стоимости аннуитета (колонка 5) (65 000 долларов х 7,8431 = 509 804 долларов), а для оценки единовременной суммы от перепродажи актива - фактор текущей стоимости единицы (колонка 4) (500 000 долларов X 0,05882 29 411 долларов). Общая стоимость собственности оценивается в 539 000 долларов (509 804 долларов + 29 411 долларов = 539 215 долларов, что округляется до 539 000 долларов). Таким образом, для анализа двух составляющих ожидаемого общего дохода использованы два различных фактора сложного процента.
Использование «расщепленных» коэффициентов
Инвестиционные предложения могут содержать прогнозы на получение доходов с разным уровнем осознанного риска. Для того чтобы сделать поправки на эти различия, при оценке прогнозируемых доходов следует применять различные ставки дисконта.
В качестве примера, предположим, что здание сдано в аренду правительству США сроком на 25 лет при ежегодном чистом рентном доходе 65 000 долларов Ожидается, что по окончании этого срока оно будет перепродано за 500 000 долларов Поток доходов абсолютно ясен. Что же касается цены перепродажи, то здесь сохраняется неопределенность; здание может быть реализовано и за значительно большую (меньшую) сумму, чем 500 000 долларов Для того чтобы учесть неопределенность прогнозируемой цены перепродажи, при ее дисконтировании следует использовать более высокую ставку. Выбор последней является результатом аналитических оценок, выносимых с учетом текущих рыночных ставок.
Так, известный поток ежегодных доходов в 65 000 долларов может быть дисконтирован по 12%-ной ставке, в то время как 500 000 долларов, прогнозируемые от перепродажи собственности, - по 15%-ной ставке. В этом случае оценочная стоимость собственности составит 524 000 долларов:

$65 000×7,8431 = 509 802
$500 000×0,0304 = 15 200
525 002

Всего Округление до $525 000

Повышающиеся или снижающиеся потоки доходов

Аренда или ипотека могут предусматривать периодическое увеличение или снижение платежей. В том случае, когда платеж должен возрастать, имеет место «повышающаяся» аренда, часто используемая арендодателем как средство защиты от инфляции. Снижение же арендных платежей может иногда использоваться с учетом износа собственности по мере ее старения. Оценка повышающихся или снижающихся потоков доходов с использованием сложного процента может быть проведена различными путями.
Например, предположим, что чистый рентный доход подлежит выплате в конце каждого года по следующей схеме:

Данному потоку доходов соответствует ставка дисконта 12%. Реверсия (перепродажа) актива должна рассматриваться отдельно. Использовано три расчетных метода:

1. Оценить 25-летний поток ежегодного дохода в 70 000 долларов; затем вычесть текущую стоимость потока ежегодного дохода в 10 000 долларов, получаемого в течение первых пяти лет:

2. Оценить 25-летний поток ежегодного дохода в 60 000 долларов; за тем добавить текущую стоимость потока ежегодного дохода в 10 000 долларов, получаемого в течение последних 20 лет:

3. Оценить 25-летний поток ежегодного дохода в 60 000 долларов и добавить текущую стоимость потока ежегодного дохода в 10 000 долларов получаемого между пятым и 25-м годами:

(Различия между тремя результатами являются следствием их округления.)

Сложный процент является краеугольным камнем сложного инвестиционного анализа. Он предполагает, что все деньги, находящиеся на депозите, будут приносить процент, как первоначальная сумма, так и начисленный, но не выплаченный процент. Текущая стоимость реверсии - это величина, обратная сложному проценту. Она показывает нынешнюю стоимость денежной суммы, которая, как ожидается, будет получена в будущем. Текущая стоимость аннуитета - это стоимость серии платежей или поступлений, которые должны произойти в будущем.

После оценки сумм и времени получения притока денежных средств от инвестиций, может быть определена их текущая стоимость, исходя из соответствующей ставки дисконта. Для того чтобы оценить, насколько прогнозируемый доход действительно оправдывает необходимые инвестиционные расходы, следует сравнить риск или неопределенность, связанные с различными вариантами инвестиций, с предлагаемыми ими ставками дохода.