Пример 17. При оплате за поездку в такси взимается некоторая сумма – b за посадку, а далее оплата зависит от стоимости одного километра поездки – k и покрытых километров – x . Требуется построить график, отражающий зависимость оплаты за поездку от километража.

Исходя из условия задачи ясно, что формула для расчета оплаты за поездку будет следующей: y=kx+b. То есть мы имеем уравнение прямой с угловым коэффициентом – k и свободным членом – b.

Следует построить график по алгоритму, аналогичному в примере 10, взяв произвольные значения коэффициента и свободного члена, например: 5 и 3.

Калькулятор , выполнив команду: Вид>Панели >Вычисления.

Графики, выполнив команду: Вид>Панели >Графики.

Установите курсор в то место рабочей области, куда следует вводить формулу.

2. Наберите требуемую функцию, у нас f(х):=5х+3 (не путать знак := со знаком = ), используя клавиатуру и панель Калькулятор , и нажмите клавишу .

5.Для построения графика заданной функции:

ü нажмите на панели Графики кнопку [График] – и в рабочем поле появится прямоугольник, представляющий собой декартовы координаты;

ü напишите на оси абсцисс в маркере-шаблоне имя переменной х , а на оси ординат в таком же маркере – имя функции f(х) .

Запомните (!), что в качестве имени функции следует набирать: f(x), y(x), – а не f, y .

ü щелкните мышью на рабочей области – на экране появится график требуемой функции (рис. 33).

Рис. 33. Определение зависимости платы за проезд от километража

Пример 18 . На склад, где имеется запас продукции на некоторую сумму – b, поступило два вида новой продукции в количестве: k1 и k2, по цене: x1 и x2 соответственно. Построить график зависимости стоимости продукции от цен.

Зависимость общей суммы за продукции от цен может быть представлена уравнением вида: y=k1*x1+k2*x2+b. Мы имеем уравнение поверхности, и алгоритм построения графика, например, при k1= 10, k2=20, b=15 будет таким:

1. Для записи функции выведите на экран панель Калькулятор , выполнив команду: Вид>Панели >Вычисления.

2. Для работы с графиками выведите на экран панель Графики, выполнив команду: Вид>Панели >Графики.

3.Установите курсор в то место рабочей области, куда следует вводить формулу.

4. Наберите на клавиатуре требуемую функцию, например, y(х1,x2):=10*х1+20*x2+15 (не путать знак := со знаком = ), используя панель Калькулятор , и нажмите клавишу .

4.Для построения графика заданной функции:

ü нажмите на панели Графики кнопку [Поверхностный График] – на экране появится область для построения поверхности, в которой лишь один маркер-шаблон;

ü ведите в этот шаблон только имя функции, не указывая аргументы;

ü щелкните мышью на рабочей области – на экране появится график требуемой функции (рис. 34).

Рис. 34. График зависимости суммы от цен

Пример 19 . В начале НЭП (Новая экономическая политика) в СССР функционировало несколько систем денежных единиц, – екатеринки, рубли, золотые десятки, американские доллары, злотые. В Национальный банк частные ростовщики сдавали деньги в различных денежных единицах.

Определить сданные в банк суммы в рублях, если известны: сданные суммы и соответствующие коэффициенты перевода одних денежных единиц в другие. Найти также общую сумму сданных денег.

Сведем данные задачи в таблицу 3, введя в ней условные обозначения:

Денежные единицы Таблица 3

Общая сумма сданных денег будет вычисляться так: Y= С1*К1+С2*К2 . Полученную формулу можно рассматривать как уравнение поверхности с переменными С1, С2 и коэффициентами К1, К2. Алгоритм построения этого графика при К1=10 И К2=15 аналогичен предыдущему примеру и представлен на рис. 35.

Рис. 35. График поступления денег в банк

Спрос и предложение, пожалуй, самое фундаментальное понятие, и оно является основой рыночной экономики. Спрос – это то, сколько (количество) товара или услуги желают приобрести покупатели. Объем спроса является количеством товара, которое люди готовы купить по определенной цене. Предложение показывает, сколько товара рынок может предложить. Объем предложения значит сколько товара производители готовы поставить по определенной цене. Цена является отражением спроса и предложения.

Отношения между спросом и предложением лежат в основе силы, стоящей за распределением ресурсов. В теории рыночной экономики, спрос и предложение распределяют ресурсы наиболее эффективным способом. Как? Рассмотрим ближе закон спроса и закон предложения.

1. Закон спроса.
Закон спроса гласит, что, если все другие факторы остаются равными, то чем выше цена товара, тем меньше людей будут покупать это товар. Другими словами, чем выше цена, тем ниже величина спроса. Объем товара, которые покупатели приобретают по более высокой цене мал, потому что, как цена товара растет, покупка становится непривлекательной. В результате, люди, естественно не будут покупать продукт, который заставит их отказаться от потребления других товаров. График ниже показывает кривую спроса.

A, B и C являются точками на кривой спроса (Demand). Каждая точка на кривой отражает прямую зависимость между объемом спроса (Quantity) и цены (Price). Итак, в точке А, величина спроса будет Q1 и цена будет P1, и так далее. Кривая спроса иллюстрирует отношения обратную связь между ценой и величиной спроса. Чем выше цена товара, тем ниже величина спроса (A), и чем ниже цена, тем больше товара будет пользоваться спросом (С).

B. Закон предложения.
Как и закон спроса, закон предложение демонстрирует объем товара, который будет продаваться по определенной цене. Но в отличие от закона спроса, кривая предложения направлена вверх. Это означает, что чем выше цена, тем выше объем предложения. Производители поставляют больше по более высокой цене, потому что продажи большего количества товара по более высокой цене даст больше прибыли.

A, B и C являются точками на кривой предложения. Каждая точка на кривой отражает прямую связь между объемом предложения (Q) и цены (P). В точке В, объем предложения будет Q2 и цена будет P2, и так далее.

С. Равновесие, равновесная цена.
Когда спрос и предложение равны (т.е. когда кривые спроса и предложения пересекаются) экономика, как говорят, находится в состоянии равновесия. На этот момент, распределение товаров происходит наиболее эффективно, потому что количество товаров, которое производится, точно такое же, как и количество товаров, которое потребляется. Таким образом, все (физические лица, фирмы или страны) удовлетворены текущим экономическим положением. По данной цене, поставщики продают все товары, которые они произвели, а потребители получают все товары, в которых они нуждаются.

Как вы можете видеть на графике, точка равновесия находится на пересечении кривой спроса и кривой предложения, что указывает на отсутствие неэффективного распределения. В этот момент, цена товара будет Р * и объем будет Q *. Эти показатели называют равновесной ценой и равновесным объемом.

D. Дисбаланс
Дисбаланс в экономике происходит всякий раз, когда цена или количество не равно P* и Q *.

1. избыточное предложение
Если цена устанавливается ​​слишком высоко, на рынке будет создано избыточное предложение и распределение будет происходить неэффективно.

По цене P1 объем товаров, который производители хотят продать равен Q2. Однако, что количество покупателей, которые готовы купить по цене Р1 равно Q1, количество значительно меньше, чем Q2. Потому что Q2 больше Q1, значит что слишком много производится и слишком мало потребляется. Поставщики пытаются производить больше товаров, которые они надеются продать, чтобы увеличить прибыль, но те, которые потребляют товары, посчитают цену на продукт менее привлекательной и купят меньше, потому что цена слишком высока.

Избыточный спрос создается, когда цена устанавливается ниже равновесной цены. Потому что цена настолько низка, слишком многие потребители хотят купить товар производителей, в то время как его не производят в достаточном объеме.

В этой ситуации, при цене P1, количество товара востребованное покупателями равно Q2. Наоборот, количество товаров, которое производители готовы производить по этой цене, равно Q1. Таким образом, на рынке существует слишком мало товаров, чтобы удовлетворить потребности (спроса) покупателей. И покупатели должны конкурировать друг с другом, чтобы купить товар по этой цене. Спрос будет толкать цену вверх, в результате чего поставщики захотят поставлять больше, и в результате цена приблизится к своему равновесию.

В реальной экономике, на работающей бирже, равновесие может быть достигнуто только в теории, так как цены на товары и услуги постоянно меняются в связи с колебаниями спроса и предложения.

Чтобы узнать, как можно использовать дисбаланс спроса и предложения на бирже, чтобы заработать на трейдинге, зарегистрируйтесь на форуме.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых в экономике функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью так называемых рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Вместе с тем, наряду с линейными, используются нелинейные функции, такие, как дробно-линейные (гиперболические), степенные (квадратная, кубическая и т.д.), показательные (экспоненциальные), логарифмические и другие функции. Периодичность ряда экономических процессов позволяет также использовать тригонометрические функции.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

Функция полезности (функция предпочтений) – в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов.

Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема продукции.

Функция спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Если действием побочных факторов можно пренебречь, или удается зафиксировать эти факторы на определенных уровнях, то влияние одного главного фактора изучается с помощью функции одной переменной.

Рассмотрим некоторые функции и их свойства:

1. Функции потребления и линия бюджетного ограничения.

В теории потребительского спроса на два благаx и y (к примеру, исследуемое x и все остальные y ), предпочтения потребителя описываются кривой безразличия U(x,y)= U k = const, а бюджетное ограничение (расходы потребителя  его дохода) в случае, когда потребитель тратит весь свой доход на рассматриваемые блага: x×p x + y×p y = I , где I – доход потребителя, а p x и p y – цены благ x и y соответственно. Для того, чтобы построить графики этих неявнозаданных функций y(x) в системе координат, где по оси абсцисс отложена величина блага x , а по оси ординат – y , нужно выразить в явном виде величину y как функцию от x для обеих зависимостей. Сделаем это для простейшей функции полезности U(x,y) = x م×y . Для уровня полезности (благосостояния) U 0 и дохода I получаем следующие функции:
Графиком первой из этих функций (кривой безразличия) является гипербола, а графиком второй (бюджетного ограничения) – прямая линия, имеющая отрицательный наклон, равный по абсолютной величине относительной цене благаx и точку пересечения с осью ординат соответствующую количеству благаy 2 , которое можно приобрести по цене p x , если потратить на него весь доход I .

2. Кривые спроса и предложения.

Другим примером функций в экономике служат функции спросаD(p ) ) и предложения S(p ), выражающие связь цены блага p и величины спроса и предложения блага при постоянных вкусах потребителей, ценах на другие блага и других параметрах.

Рассматривая в одной системе координат кривые спроса и предложения, можно установить равновесную (рыночную) цену p 0 данного товара в процессе формирования цен в условиях конкурентного рынка (паутинообразная модель экономики ).

3. Зависимости величины спроса от дохода.

В модели потребительского спроса используются также функции Л.Торнк-

виста, моделирующие связь между величиной дохода I и величиной спроса потребителей D(I ) на:

a
) малоценные товары

\
;

б) товары первой необходимости

;

в) товары второй необходимости (относительной роскоши)

;

г) предметы роскоши

.

Соответствующие им графики приведены на рисунке (α , β , γ > 0− const).

Можно установить уровень дохода  , при котором начинается приобретение тех или иных товаров, и уровень насыщения  для групп товаров первой и второй необходимости.

4. Графики зависимости издержек и дохода от объема производства.

Рассмотрим функции издержек C(q) и дохода фирмы R(q) = q·D(q) в зависимости от объема производства q . Поведение функции дохода определяется функцией спроса D(q) . Рассмотрим более подробно поведение функции издержек C(q) . В типичном случае издержки фирмы велики при небольшом объеме производства q и вначале растут быстрее, чем доход. С увеличением объема производства скорость роста издержек уменьшается, и в какой-то момент времени они сравниваются с доходом и фирма начинает получать прибыль(соответствует объему производства большим q 1 ). При увеличении объема производства прибыль увеличивается, достигая максимума при оптимальном значении q opt . При дальнейшем увеличении объема производства издержки снова начинают расти быстрее дохода (исчерпаны эффективные ресурсы, нужны дополнительные помещения сырье, квалифицированная рабочая сила) и прибыль фирмы уменьшается, достигая отрицательных значений при достаточно больших объемах производства (рис.4). Типичным графикам дохода, издержек и прибыли, например, могут соответствовать функции R(q)= a×q - b×q 2 , C(q) = c×q - d×q 2 +e q 3 , где (a, b, c, d, e - const).

Явления, наблюдаемые в экономике, часто выражаются в числах. Это и цены, и количество проданного товара, и затраты на его производство. Количественные экономические переменные могут быть взаимосвязаны. Например, если цена товара растет, то в большинстве случаев его покупают меньше. Простой и наглядный способ представления таких взаимосвязей заключается в построении графиков. Рассмотрим методы изучения математических зависимостей между переменными с использованием графиков.

Графики зависимости двух переменных

Временной ряд — совокупность значений экономической переменной, распределенных по периодам. Временные ряды представляются графиками зависимости изучаемой переменной от времени. Например, на рис. 1.3 представлен график временного ряда, отражающий средние цены на сахар в нашей стране в период с 2004 по 2008 г. поданным государственной службы статистики1. График отражает динамику цен на сахар во времени.


Рис. 1.3. График временного ряда цены на сахар в стране

График двух переменных в системе координат

Экономистов часто интересуют зависимости между парами самых разнообразных переменных. Эти зависимости они представляют на графике в системе двух координат.
Например, вы хотите изучить зависимость между доходом семьи и величиной суммы денег на карманные расходы, которую получает студент от родителей. При опросе студентов вы записываете пары чисел: сумму месячного дохода семьи и сумму денег, выдаваемую ежемесячно студенту на карманные расходы. Пусть доход семьи Владимира 30 тыс. руб., он получает на карманные расходы 1500 руб., а доход семьи Юли — 100 тыс. руб., на карманные расходы она получает 5000 руб. Остальные студенты назвали промежуточные величины карманных расходов и доходов семей.
Представим полученные данные в двумерной системе координат. Первое число каждой пары — координата А показывает горизонтальное расположение точки графика, второе — координата К показывает ее вертикальное расположение.
Точка, в которой X и К равны нулю, называется началом координат. Две координаты показывают положение точки относительно начала координат. Положительные координаты располагаются правее начала координат, а координаты Y — выше его. График на рис. 1.4 отражает зависимость суммы денег, выдаваемых студенту на карманные расходы, от величины доходов его семьи.


Рис. 1.4. Зависимость карманных расходов студента от дохода семьи
Точки, расположенные на плоскости правее, соответствующие большим доходам семьи, также размешаются выше, что соответствует большим суммам на карманные расходы студентов. Из этого следует: количество денег, выдаваемых студентам на карманные расходы, возрастает с увеличением доходов его семьи, т.е. между рассматриваемыми переменными существует прямая зависимость. Величина одной переменной — суммы карманных расходов студента прямо пропорциональна величине другой — сумме доходов семьи.
График на рис. 1.4, конечно, не точно определяет прямую пропорциональную зависимость между рассматриваемыми переменными. Вероятно, на величину карманных расходов влияет не только величина дохода семьи, но и другие переменные. В частности, на карманные расходы может влиять количество членов семьи. Для проверки этого предположения можно продолжить исследование и построить график зависимости суммы карманных расходов от средней величины дохода, приходящегося на одного члена семьи студента. Возможно, это позволит получить более явно выраженную и точную прямую пропорциональную зависимость.
Экономистов, как и других ученых, например физиков, часто интересует зависимость между двумя какими-либо переменными при допущении, что все другие остаются постоянными величинами.

Кривые спроса

Кривая спроса: её значение и факторы, влияющие на неё.

Кривая спроса отражает влияние цены на количество товара, которое купят потребители. Это один из самых важных графиков, рассматриваемых в экономической теории.
Для построения примера кривой спроса рассмотрим табл. 1.1, в которой показано, как количество фильмов на ДВД-дисках, которые купит в месяц студентка, обожающая кино, зависит от цены диска и величины месячного дохода, приходящегося на каждого члена ее семьи.
Таблица 1.1 Покупки студенткой фильмов на DVD-дисках

Дешевые диски студентка может покупать в больших количествах, но по мере роста цены диска она вынуждена покупать их в меньших количествах. Подобным же образом при любой данной цене студентка покупает фильмов больше, если ее семья имеет больший доход. При любом данном уровне дохода данные о ценах и величине спроса студентки на фильмы можно показать на графике. В результате будут построены кривые спроса студентки на фильмы (рис. 1.5 и 1.6). Табл. 1.1 включает три переменные: цена фильмов, душевой доход, количество купленных фильмов.
Чтобы представить данные табл. 1.1 в виде графиков, необходимо принять одну из трех переменных за константу и показать зависимость между двумя оставшимися. Кривая спроса отражает зависимость между ценой и спросом, поэтому примем душевой доход в семье студентки за постоянную величину и покажем, как количество фильмов, которые она покупает, зависит от их цены.
Предположим, душевой доход в семье студентки 40 тыс. руб. в месяц. На оси А отметим количество фильмов, которые покупает студентка, а на оси Y— цену фильмов. Соединив полученные по данным таблицы точки, получим линию, представленную на рис. 1.5, — кривую спроса студентки на фильмы, показывающую, сколько дисков она хотела бы купить при данной цене. Кривая направлена вниз, что отражает обратную зависимость между количеством фильмов, на которые существует спрос, и их ценой.


Рис. 1.5. Кривая спроса студентки при душевом доходе в семье 40 000 руб.
Предположим, в связи с экономическим кризисом душевой доход в семье студентки сократился до 20 тыс. руб. в месяц. При любой данной цене теперь студентка купит меньше фильмов, чем при более высоком доходе. Построим новую линию, используя значения из нижней строки табл. 1.1. Новая кривая спроса прочерчена на рис. 1.6 тонкой линией и расположена вдоль старой кривой, прочерченной жирной линией. Новая кривая похожа на линию старой кривой справа. Таким образом, рост доходов в семье студентки привел к сдвигу или смешению ее кривой спроса влево.


Рис. 1.6. Сдвиг кривой спроса при снижении душевого дохода до 20 000 руб.
Расположение кривой спроса студентки на фильмы зависит от величины дохода в ее семье. Чем меньше доход, тем меньше фильмов она будет покупать при любой данной иене, что вызывает сдвиг ее кривой спроса влево. Чем больше доход в семье, тем больше фильмов она будет покупать при любой данной цене, что вызовет сдвиг ее кривой спроса вправо.
Жирная линия показывает первоначальную кривую спроса студентки при душевом доходе 40 тыс. руб. в год. Если доход в ее семье уменьшается до 20 тыс. рублей в месяц, кривая спроса переместится влево.
В экономической теории важно различать движение вдоль кривой и сдвиг кривой. Как мы видели на рис. 1.5, если в семье студентки душевой доход 40 тыс. руб. в месяц, а один фильм стоит 200 руб., то за месяц она купит 8 фильмов. Если цена фильма упадет до 100 руб., количество купленных фильмов возрастет до 12, но кривая спроса остается на одном и том же месте.
Если цена фильмов остается неизменной — 200 руб., а доход в семье снизится до 20 тыс. руб. в месяц, студентка уменьшит количество покупок фильмов с 8 до 6 в месяц. Так как студентка покупает меньше фильмов по каждой возможной цене, ее кривая спроса смешается влево, как показано на рис. 1.6.
Если переменная, которую мы принимали за константу, изменится, это приведет к сдвигу кривой. А когда изменяется переменная, отражающаяся на оси координат графика, кривая не сдвигается. Такое изменение отражается движением вдоль кривой.

Наклон кривой спроса

В какой степени воздействует цена фильмов на покупки студентки. Взгляните на кривую спроса на рис. 1.7. Если кривая очень крутая, количество покупаемых студенткой фильмов при увеличении или уменьшении цены изменяется незначительно. Если кривая более пологая, то небольшое изменение цены приводит к тому, что число покупаемых девушкой фильмов значительно увеличивается или уменьшается. Ответить на вопрос, как одна переменная реагирует на изменения другой, позволяет использование понятия наклона кривой.


Для оценки наклона кривой спроса следует рассмотреть изменения координат К и А как перемещение из точки А (250 руб., 6 фильмов) в точку Б (150руб., 10 фильмов).
Наклон линии — это отношение изменения координаты У(250 — — 150 = 100) к изменению координаты Х(6 — 10 = —4). Это отношение равно —25. Наклон линии — это отношение вертикального изменения координат точки к горизонтальному изменению координат по мере движения вдоль линии. Математически это определение описывается следующим образом:


где буква Д (дельта) означает величину изменения переменной.
Таким образом, наклон линии равен изменению по вертикали (изменению Y), разделенному на изменение по горизонтали (изменение X). Пологая линия, стремящаяся вверх, характеризуется наклоном, выраженным маленьким положительным числом, крутая — большим положительным числом. Линия, направленная вниз, имеет наклон, характеризующийся отрицательным числом.
Наклон горизонтальной линии равен нулю, потому что в этом случае координаты переменной по оси Y не изменяются. Наклон вертикальной линии равен бесконечности, потому что значение переменной по оси У может быть любым, независимо от изменения значения переменной по оси X.