Fans - «веера».
Идея построения веерных линий во многом напоминает предыдущий случай. Вначaле проводится линия тренда (прямая линия от экстремальной тoчки, соответствующей началу движения, до экстремальной точки окончания (предполагаемого окончания) движения). Затем опускается (поднимается) невидимая вертикальная линия. Далее проводятся наклонные линии из первой точки линии тренда таким образом, чтобы они пересекли вертикальную прямую на уровнях Фибоначчи 38,2; 50 и 61,8% (сравни с предыдущим) (рис. 3.29).
Построенные линии интерпретируются очевидным образом: потенциальные наклонные силовые уровни.
Retracements - уровни коррекции.
Уровни коррекции не являются исключением из общего правила. Строится линия тренда, а затем проводятся девять горизонтальных линий, пересекающих линию тренда на уровнях Фибоначчи 0,0; 23,6; 38,2; 50; 61,8; 100; 161,8; 261,8 и 423,6%, в зависимости от выбранного масштаба некоторые из этих линий могут не поместиться на графике. Кроме того, достаточно часто на практике наносят только уровни, соответствующие 0,0; 38,2; 50; 61,8 и 100% ценового движения (рис. 3.30).
«Мораль» проста: после сильного подъема (спада) цены достаточно часто возвращаются назад, корректируя значительную долю (а иногда и полностью) своего первоначального движения. В ходе такого возвратного движения цены часто встречают поддержку (сопротивление) на уровнях коррекции Фибоначчи или вблизи них.
Тimе Zones - временные зоны.
Временные зоны Фибоначчи - это ряд вертикальных линий с интервалами Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc. Принято считать, что вблизи этих линий следует ожидать значительных ценовых изменений (рис. 3.31).
Интерпретация описанных линий уже не вызывает сомнения.
В заключение поставим вопрос о правомочности использования теории Фибоначчи применительно к прогнозированию динамики на срочном рынке. По всей видимости, правильнее будет говорить так: большинство участников рынка «верят» в эту теорию и поступают согласно с ней. Что, в свою очередь, подкрепляет саму теорию. Однако все может быть и наоборот...
Итальянский математик Леонардо Фибоначчи жил в 13 столетии и одним из первых в Европе стал использовать арабские (индийские) цифры. Он придумал несколько искусственную задачу о кроликах, которых выращивают на ферме, причем все они считаются самками, самцы игнорируются. Кролики начинают размножаться после того, как им исполняется два месяца, а потом каждый месяц рожают по кролику. Кролики никогда не умирают.
Нужно определить, сколько кроликов будет на ферме через n месяцев, если в начальный момент времени был только один новорожденный кролик.
Очевидно, что
фермер имеет одного кролика в первый
месяц и одного кролика – во второй
месяц. На третий месяц будет уже два
кролика, на четвертый – три и т.д.
Обозначим количество кроликов в n
месяце как
.
Таким образом,
,
,
,
,
,
…
Можно построить
алгоритм, позволяющий найти
при любомn
.
Согласно условию
задачи общее количество кроликов
вn
+1
месяце раскладывается на три составляющие:
одномесячные кролики, не способные к размножению, в количестве
;
Таким образом, получим
. (8.1)
Формула (8.1) позволяет вычислить ряд чисел: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …
Числа в данной последовательности называются числами Фибоначчи .
Если
принять
и
,
то с помощью формулы (8.1) можно определить
все остальные числа Фибоначчи. Формула
(8.1) называется рекуррентной
формулой (recurrence
– «возвращение» на латыни).
Пример 8.1. Предположим, что имеется лестница в n ступенек. Мы можем подниматься по ней с шагом в одну ступеньку, либо – с шагом в две ступеньки. Сколько существует комбинаций различных способов подъема?
Если n = 1, имеется только один вариант решения задачи. Для n = 2 существует 2 варианта: два единичных шага либо один двойной. Для n = 3 существует 3 варианта: три единичных шага, либо один единичный и один двойной, либо один двойной и один единичный.
В следующем случае n = 4, имеем 5 возможностей (1+1+1+1, 2+1+1, 1+2+1, 1+1+2, 2+2).
Для
того чтобы ответить на заданный вопрос
при произвольном n
,
обозначим количество вариантов как
,
и попробуем определить
по известным
и
.
Если мы стартуем с единичного шага, то
имеем
комбинаций для оставшихсяn
ступенек. Если стартуем с двойного шага,
то имеем
комбинаций для оставшихсяn
–1
ступенек. Общее количество вариантов
для n
+1
ступенек равно
. (8.2)
Полученная
формула как близнец напоминает формулу
(8.1). Тем не менее, это не позволяет
отождествлять количество комбинаций
с числами Фибоначчи
.
Мы видим, например, что
,
но
.
Однако имеет место следующая зависимость:
.
Это
справедливо для n
= 1, 2, и также справедливо для каждого n
.
Числа Фибоначчи и количество комбинаций
вычисляются по одной и той же формуле,
однако начальные значения
,
и
,
у них различаются.
Пример 8.2.
Этотпример имеет
практическое
значение для задач помехоустойчивого
кодирования. Найдем число всех двоичных
слов длины n
,
не содержащих несколько нулей подряд.
Обозначим это число через
.
Очевидно,
,
а слова длины 2, удовлетворяющие нашему
ограничению, таковы: 10, 01, 11, т.е.
.
Пусть
– такое слово изn
символов. Если символ
,
то
может быть произвольным (
)-буквенным
словом, не содержащим несколько нулей
подряд. Значит, число слов с единицей
на конце равно
.
Если же символ
,
то обязательно
,
а первые
символа
могут быть произвольными с учетом
рассматриваемых ограничений. Следовательно,
имеется
слов длины
n
с нулем на конце. Таким образом, общее
число интересующих нас слов равно
.
С учетом того, что
и
,
полученная последовательность чисел
– это числа Фибоначчи.
Пример 8.3.
В
примере 7.6 мы нашли, что число двоичных
слов постоянного веса t
(и длиной k
)
равно
.
Теперь найдем число двоичных слов
постоянного весаt
,
не содержащих несколько нулей подряд.
Рассуждать можно
так. Пусть
число нулей в рассматриваемых словах.
В любом слове имеется
промежутков между ближайшими нулями,
в каждом из которых находится одна или
несколько единиц. Предполагается, что
.
В противном случае нет ни одного слова
без рядом стоящих нулей.
Если из каждого
промежутка удалить ровно по одной
единице, то получим слово длины
,
содержащее
нулей. Любое такое слово может быть
получено указанным образом из некоторого
(и притом только одного)k
-буквенного
слова, содержащего
нулей, никакие два из которых не стоят
рядом. Значит, искомое число совпадает
с числом всех слов длины
,
содержащих ровно
нулей, т.е. равно
.
Пример 8.4.
Докажем,что сумма
равна числам Фибоначчи для любого целого
.
Символ
обозначаетнаименьшее
целое число, большее или равное
.
Например, если
,
то
;
а если
,
то
ceil
(«потолок»). Также встречается символ
,
который обозначаетнаибольшее
целое число, меньшее или равное
.
По-английски эту операцию называютfloor
(«пол»).
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Если
,
то
.
Таким образом, для рассмотренных случаев сумма действительно равна числам Фибоначчи. Теперь приведем доказательство для общего случая. Поскольку числа Фибоначчи можно получить с помощью рекуррентного уравнения (8.1), то должно выполняться равенство:
.
И оно действительно выполняется:
Здесь мы использовали
полученную ранее формулу (4.4):
.
Сумма чисел Фибоначчи
Определим сумму первых n чисел Фибоначчи.
0+1+1+2+3+5 = 12,
0+1+1+2+3+5+8 = 20,
0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.
Легко заметить, что прибавлением к правой части каждого уравнения единицы мы снова получаем число Фибоначчи. Общая формула для определения суммы первых n чисел Фибоначчи имеет вид:
Докажем это, используя метод математической индукции. Для этого запишем:
Эта
сумма должна быть равна
.
Сократив левую и правую часть уравнения на –1, получим уравнение (6.1).
Формула для чисел Фибоначчи
Теорема 8.1. Числа Фибоначчи можно рассчитать по формуле
.
Доказательство . Убедимся в справедливости этой формулы для n = 0, 1, а затем докажем справедливость данной формулы для произвольного n по индукции. Вычислим отношение двух ближайших чисел Фибоначчи:
Мы
видим, что отношение этих чисел колеблется
около значения 1.618 (если игнорировать
несколько первых значений). Этим свойством
числа Фибоначчи напоминают члены
геометрической прогрессии. Примем
,
(
).
Тогда выражение
преобразуется в
которое после упрощений выглядит так
.
Мы получили квадратное уравнение, корни которого равны:
Теперь можем записать:
(где
c
является константой). Оба члена 
и
не дают чисел Фибоначчи,
например
,
в то время как
.
Однако разность 
удовлетворяет
рекуррентному уравнению:
Для
n
=0
эта разность дает
,
то есть: 
.
Однако при n
=1
мы имеем 
.
Чтобы получить
,
необходимо принять:
.
Теперь
мы имеем две последовательности: 
и 
,
которые начинаются с одинаковых двух
чисел и удовлетворяют одной и той же
рекуррентной формуле. Они должны быть
равны: 
.
Теорема доказана.
При
возрастании n
член
становится очень большим, в то время
как
,
и роль члена
в разности сокращается.
Поэтому при больших n
приближенно можем записать
.
Мы игнорируем 1/2 (поскольку числа Фибоначчи возрастают до бесконечности при росте n до бесконечности).
Отношение
называется золотым
сечением
,
его используют за пределами математики
(например, в скульптуре и архитектуре).
Золотым сечением является отношение
между диагональю и стороной правильного
пятиугольника
(рис. 8.1).
Рис. 8.1. Правильный пятиугольник и его диагонали
Для обозначения
золотого сечения принято использовать
букву
в честь известного афинского скульптора
Фидия.
Простые числа
Все натуральные числа, большие единицы, распадаются на два класса. К первому относятся числа, имеющие ровно два натуральных делителя, единицу и самого себя, ко второму – все остальные. Числа первого класса называют простыми , а второго – составными . Простые числа в пределах первых трех десятков: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
Свойства простых чисел и их связь со всеми натуральными числами изучалась Евклидом (3 век до нашей эры). Если выписывать простые числа подряд, то можно заметить, что относительная плотность их убывает. На первый десяток их приходится 4, т. е. 40%, на сотню – 25, т.е. 25%, на тысячу – 168, т.е. меньше 17%, на миллион – 78498, т.е. меньше 8%, и т.д.. Тем не менее, их общее число бесконечно.
Среди простых чисел попадаются пары таких, разность между которыми равна двум (так называемые простые близнецы ), однако конечность или бесконечность таких пар не доказана.
Евклид считал очевидным, что с помощью умножения только простых чисел можно получить все натуральные числа, причем каждое натуральное число представимо в виде произведения простых чисел единственным образом (с точностью до порядка множителей). Таким образом, простые числа образуют мультипликативный базис натурального ряда.
Изучение распределения
простых чисел привело к созданию
алгоритма, позволяющего получать таблицы
простых чисел. Таким алгоритмом является
решето
Эратосфена
(3 век до нашей эры). Этот метод заключается
в отсеивании (например, путем зачеркивания)
тех целых чисел заданной последовательности
,
которые делятся хотя бы на одно из
простых чисел, меньших
.
Теорема 8 . 2 . (теорема Евклида). Число простых чисел бесконечно .
Доказательство . Теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел докажем способом, предложенным Леонардом Эйлером (1707–1783). Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам p :
при
.
Это произведение сходится, и если его
раскрыть, то в силу однозначности
разложения натуральных чисел на простые
сомножители получается, что оно равняется
сумме ряда
,
откуда следует тождество Эйлера:
.
Так как при
ряд справа расходится (гармонический
ряд), то из тождества Эйлера следует
теорема Евклида.
Русский математик
П.Л. Чебышев (1821–1894) вывел формулу,
определяющую пределы, в которых заключено
число простых чисел
,
не превосходящихX
:
,
где
,
.
Вы слышали когда-нибудь, что математику называют «царицей всех наук»? Согласны ли вы с таким утверждением? Пока математика остается для вас набором скучных задачек в учебнике, вряд ли можно прочувствовать красоту, универсальность и даже юмор этой науки.
Но есть в математике такие темы, которые помогают сделать любопытные наблюдения за обычными для нас вещами и явлениями. И даже попытаться проникнуть за завесу тайны создания нашей Вселенной. В мире есть любопытные закономерности, которые могут быть описаны с помощью математики.
Представляем вам числа Фибоначчи
Числами Фибоначчи называют элементы числовой последовательности. В ней каждое следующее число в ряду получается суммированием двух предыдущих чисел.
Пример последовательности: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Записать это можно так:
F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2 , n ≥ 2
Можно начинать ряд чисел Фибоначчи и с отрицательных значений n . При этом последовательность в таком случае является двусторонней (т.е. охватывает отрицательные и положительные числа) и стремится к бесконечности в обоих направлениях.
Пример такой последовательности: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
Формула в этом случае выглядит так:
F n = F n+1 - F n+2 или иначе можно так: F -n = (-1) n+1 Fn .
То, что мы сейчас знаем под названием «числа Фибоначчи», было известно древнеиндийским математикам задолго до того, как ими стали пользоваться в Европе. А с этим названием вообще один сплошной исторический анекдот. Начнем с того, что сам Фибоначчи при жизни никогда не называл себя Фибоначчи – это имя стали применять к Леонардо Пизанскому только спустя несколько столетий после его смерти. Но давайте обо всем по порядку.
Леонардо Пизанский, он же Фибоначчи
Сын торговца, который стал математиком, а впоследствии получил признание потомков в качестве первого крупного математика Европы периода Средних веков. Не в последнюю очередь благодаря числам Фибоначчи (которые тогда, напомним, еще так не назывались). Которые он в начале XIII века описал в своем труде «Liber abaci» («Книга абака», 1202 год).
Путешествую вместе с отцом на Восток, Леонардо изучал математику у арабских учителей (а они в те времена были в этом деле, да и во многих других науках, одними из лучших специалистов). Труды математиков Античности и Древней Индии он прочитал в арабских переводах.
Как следует осмыслив все прочитанное и подключив собственный пытливый ум, Фибоначчи написал несколько научных трактатов по математике, включая уже упомянутую выше «Книгу абака». Кроме нее создал:
- «Practica geometriae» («Практика геометрии», 1220 год);
- «Flos» («Цветок», 1225 год – исследование, посвященное кубическим уравнениям);
- «Liber quadratorum» («Книга квадратов», 1225 год – задачи о неопределенных квадратных уравнениях).
Был большим любителем математических турниров, поэтому в своих трактатах много внимания уделял разбору различных математических задач.
О жизни Леонардо осталось крайне мало биографических сведений. Что же касается имени Фибоначчи, под которым он вошел в историю математики, то оно закрепилось за ним только в XIX веке.
Фибоначчи и его задачи
После Фибоначчи осталось большое число задач, которые были очень популярны среди математиков и в последующие столетия. Мы с вами рассмотрим задачу о кроликах, в решении которой и используются числа Фибоначчи.
Кролики – не только ценный мех
Фибоначчи задал такие условия: существует пара новорожденных кроликов (самец и самка) такой интересной породы, что они регулярно (начиная со второго месяца) производят потомство – всегда одну новую пару кроликов. Тоже, как можно догадаться, самца и самку.
Эти условные кролики помещены в замкнутое пространство и с увлечением размножаются. Оговаривается также, что ни один кролик не умирает от какой-нибудь загадочной кроличьей болезни.
Надо вычислить, сколько кроликов мы получим через год.
- В начале 1 месяца у нас 1 пара кроликов. В конце месяца они спариваются.
- Второй месяц – у нас уже 2 пары кроликов (у пара – родители + 1 пара – их потомство).
- Третий месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара спаривается. Итого – 3 пары кроликов.
- Четвертый месяц: Первая пара рождает новую пару, вторая пара времени не теряет и тоже рождает новую пару, третья пара пока только спаривается. Итого – 5 пар кроликов.
Число кроликов в n -ый месяц = число пар кроликов из предыдущего месяца + число новорожденных пар (их столько же, сколько пар кроликов было за 2 месяца до настоящего момента). И все это описывается формулой, которую мы уже привели выше: F n = F n-1 + F n-2 .
Таким образом, получаем рекуррентную (пояснение о рекурсии – ниже) числовую последовательность. В которой каждое следующее число равно сумме двух предыдущих:
- 1 + 1 = 2
- 2 + 1 = 3
- 3 + 2 = 5
- 5 + 3 = 8
- 8 + 5 = 13
- 13 + 8 = 21
- 21 + 13 = 34
- 34 + 21 = 55
- 55 + 34 = 89
- 89 + 55 = 144
- 144 + 89 = 233
- 233+ 144 = 377 <…>
Продолжать последовательность можно долго: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 <…>. Но поскольку мы задали конкретный срок – год, нас интересует результат, полученный на 12-ом «ходу». Т.е. 13-ый член последовательности: 377.
Ответ в задаче: 377 кроликов будет получено при соблюдении всех заявленных условий.
Одно из свойств последовательности чисел Фибоначчи очень любопытно. Если взять две последовательные пары из ряда и разделить большее число на меньшее, результат будет постепенно приближаться к золотому сечению (прочитать о нем подробнее вы сможете дальше в статье).
Говоря языком математики, «предел отношений a n+1 к a n равен золотому сечению» .
Еще задачи по теории чисел
- Найдите число, которое можно разделить на 7. Кроме того, если разделить его на 2, 3, 4, 5, 6, в остатке получится единица.
- Найдите квадратное число. О нем известно, что если прибавить к нему 5 или отнять 5, снова получится квадратное число.
Ответы на эти задачи мы предлагаем вам поискать самостоятельно. Свои варианты вы можете оставлять нам в комментариях к этой статье. А мы потом подскажем, верными ли были ваши вычисления.
Пояснение о рекурсии
Рекурсия – определение, описание, изображение объекта или процесса, в котором содержится сам этот объект или процесс. Т.е., по сути, объект или процесс является частью самого себя.
Рекурсия находит широкое применение в математике и информатике, и даже в искусстве и массовой культуре.
Числа Фибоначчи определяются с помощью рекуррентного соотношения. Для числа n>2 n- е число равно (n – 1) + (n – 2) .
Пояснение о золотом сечении
Золотое сечение – деление целого (например, отрезка) на такие части, которые соотносятся по следующему принципу: большая часть относится к меньшей так же, как и вся величина (например, сумма двух отрезков) к большей части.
Первое упоминание о золотом сечении можно встретить у Евклида в его трактате «Начала» (примерно 300 лет до н.э.). В контексте построения правильного прямоугольника.
Привычный нам термин в 1835 году ввел в оборот немецкий математик Мартин Ом.
Если описывать золотое сечение приблизительно, оно представляет собой пропорциональное деление на две неравных части: примерно 62% и 38%. В числовом выражении золотое сечение представляет собой число 1,6180339887 .
Золотое сечение находит практическое применение в изобразительном искусстве (картины Леонардо да Винчи и других живописцев Ренессанса), архитектуре, кинематографе («Броненосец «Потемкин» С. Эзенштейна) и других областях. Долгое время считалось, что золотое сечение – наиболее эстетичная пропорция. Такое мнение популярно и сегодня. Хотя по результатам исследований визуально большинство людей не воспринимают такую пропорцию наиболее удачным вариантом и считают слишком вытянутой (непропорциональной).
- Длина отрезка с = 1, а = 0,618, b = 0,382.
- Отношение с к а = 1, 618.
- Отношение с к b = 2,618
А теперь вернемся к числам Фибоначчи. Возьмем два следующих друг за другом члена из его последовательности. Разделим большее число на меньшее и получим приблизительно 1,618. А теперь задействуем то же большее число и следующий за ним член ряда (т.е. еще большее число) – их отношение рано 0,618.
Вот пример: 144, 233, 377.
233/144 = 1,618 и 233/377 = 0,618
Кстати, если вы попробуете проделать тот же эксперимент с числами из начала последовательности (например, 2, 3, 5), ничего не получится. Ну, почти. Правило золотого сечения почти не соблюдается для начала последовательности. Но зато по мере продвижения вдоль ряда и возрастания чисел работает отлично.
И для того, чтобы вычислить весь ряд чисел Фибоначчи, достаточно знать три члена последовательности, идущих друг за другом. Можете убедиться в этом сами!
Золотой прямоугольник и спираль Фибоначчи
Еще одну любопытную параллель между числами Фибоначчи и золотым сечением позволяет провести так называемый «золотой прямоугольник»: его стороны соотносятся в пропорции 1,618 к 1. А ведь мы уже знаем, что за число 1,618, верно?
Например, возьмем два последовательных члена ряда Фибоначчи – 8 и 13 – и построим прямоугольник со следующими параметрами: ширина = 8, длина = 13.
А затем разобьем большой прямоугольник на меньшие. Обязательное условие: длины сторон прямоугольников должны соответствовать числам Фибоначчи. Т.е. длина стороны большего прямоугольника должна быть равной сумме сторон двух меньших прямоугольников.
Так, как это выполнено на этом рисунке (для удобства фигуры подписаны латинскими буквами).
Кстати, строить прямоугольники можно и в обратном порядке. Т.е. начать построение с квадратов со стороной 1. К которым, руководствуясь озвученным выше принципом, достраиваются фигуры со сторонами, равными числам Фибоначчи. Теоретически продолжать так можно бесконечно долго – ведь и ряд Фибоначчи формально бесконечен.
Если соединить плавной линией углы полученных на рисунке прямоугольников, получим логарифмическую спираль. Вернее, ее частный случай – спираль Фибоначчи. Она характеризуется, в частности, тем, что не имеет границ и не изменяет формы.
Подобная спираль часто встречается в природе. Раковины моллюсков – один из самых ярких примеров. Более того, спиральную форму имеют некоторые галактики, которые можно разглядеть с Земли. Если вы обращаете внимание на прогнозы погоды по телевизору, то могли заметить, что подобную спиральную форму имеют циклоны при съемке их со спутников.
Любопытно, что и спираль ДНК подчиняется правилу золотого сечения – соответствующую закономерность можно усмотреть в интервалах ее изгибов.
Такие удивительные «совпадения» не могут не будоражить умы и не порождать разговоры о неком едином алгоритме, которому подчиняются все явления в жизни Вселенной. Теперь вы понимаете, почему эта статья называется именно так? И двери в какие удивительные миры способна открыть для вас математика?
Числа Фибоначчи в живой природе
Связь чисел Фибоначчи и золотого сечения наводит на мысли о любопытных закономерностях. Настолько любопытных, что возникает соблазн попробовать отыскать подобные числам Фибоначчи последовательности в природе и даже в ходе исторических событий. И природа действительно дает повод для подобного рода допущений. Но все ли в нашей жизни можно объяснить и описать с помощью математики?
Примеры живой природы, которые могут быть описаны с помощью последовательности Фибоначчи:
- порядок расположения листьев (и веток) у растений – расстояния между ними соотносимы с числами Фибоначчи (филлотаксис);
- расположение семян подсолнуха (семечки располагаются двумя рядами спиралей, закрученных в разном направлении: один ряд по часовой стрелке, другой – против);
- расположение чешуек сосновых шишек;
- лепестки цветов;
- ячейки ананаса;
- соотношение длин фаланг пальцев на человеческой руке (приблизительно) и т.д.
Задачи по комбинаторике
Числа Фибоначчи находят широкое применение при решении задач по комбинаторике.
Комбинаторика – это раздел математики, который занимается исследованием выборки некого заданного числа элементов из обозначенного множества, перечислением и т.п.
Давайте рассмотрим примеры задач по комбинаторике, рассчитанных на уровень старшей школы (источник - http://www.problems.ru/).
Задача №1:
Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. За один раз он прыгает вверх либо на одну ступеньку, либо на две ступеньки. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?
Число способов, которыми Леша может подняться на лестницу из n ступенек, обозначим а n. Отсюда следует, что a 1 = 1, a 2 = 2 (ведь Леша прыгает либо на одну, либо через две ступеньки).
Оговорено также, что Леша прыгает по лестнице из n > 2 ступенек. Предположим, с первого раза он прыгнул на две ступеньки. Значит, по условию задачи, ему нужно запрыгнуть еще на n – 2 ступеньки. Тогда количество способов закончить подъем описывается как a n–2 . А если считать, что в первый раз Леша прыгнул только на одну ступеньку, тогда количество способов закончить подъем опишем как a n–1 .
Отсюда получаем такое равенство: a n = a n–1 + a n–2 (выглядит знакомо, не правда ли?).
Раз мы знаем a 1 и a 2 и помним, что ступенек по условию задачи 10, вычисли по порядку все а n : a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.
Ответ: 89 способов.
Задача №2:
Требуется найти количество слов длиной в 10 букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не должны содержать две буквы «б» подряд.
Обозначим за a n количество слов длиной в n букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не содержат двух букв «б» подряд. Значит, a 1 = 2, a 2 = 3.
В последовательности a 1 , a 2 , <…>, a n мы выразим каждый следующий ее член через предыдущие. Следовательно, количество слов длиной в n букв, которые к тому же не содержат удвоенной буквы «б» и начинаются с буквы «а», это a n–1 . А если слово длиной в n букв начинается с буквы «б», логично, что следующая буква в таком слове – «а» (ведь двух «б» быть не может по условию задачи). Следовательно, количество слов длиной в n букв в этом случае обозначим как a n–2 . И в первом, и во втором случае далее может следовать любое слово (длиной в n – 1 и n – 2 букв соответственно) без удвоенных «б».
Мы смогли обосновать, почему a n = a n–1 + a n–2 .
Вычислим теперь a 3 = a 2 + a 1 = 3 + 2 = 5, a 4 = a 3 + a 2 = 5 + 3 = 8, <…>, a 10 = a 9 + a 8 = 144. И получим знакомую нам последовательность Фибоначчи.
Ответ: 144.
Задача №3:
Вообразите, что существует лента, разбитая на клетки. Она уходит вправо и длится бесконечно долго. На первую клетку ленты поместим кузнечика. На какой бы из клеток ленты он ни находился, он может перемещаться только вправо: или на одну клетку, или на две. Сколько существует способов, которыми кузнечик может допрыгать от начала ленты до n -ой клетки?
Обозначим число способов перемещения кузнечика по ленте до n -ой клетки как a n . В таком случае a 1 = a 2 = 1. Также в n + 1 -ую клетку кузнечик может попасть либо из n -ой клетки, либо перепрыгнув ее. Отсюда a n + 1 = a n – 1 + a n . Откуда a n = F n – 1 .
Ответ: F n – 1 .
Вы можете и сами составить подобные задачи и попробовать решить их на уроках математики вместе с одноклассниками.
Числа Фибоначчи в массовой культуре
Разумеется, такое необычное явление, как числа Фибоначчи, не может не привлекать внимание. Есть все же в этой строго выверенной закономерности что-то притягательное и даже таинственное. Неудивительно, что последовательность Фибоначчи так или иначе «засветилась» во многих произведениях современной массовой культуры самых разных жанров.
Мы вам расскажем про некоторые из них. А вы попробуйте поискать сами еще. Если найдете, поделитесь с нами в комментариях – нам ведь тоже любопытно!
- Числа Фибоначчи упоминаются в бестселлере Дэна Брауна «Код да Винчи»: последовательность Фибоначчи служит кодом, при помощи которого главные герои книги открывают сейф.
- В американском фильме 2009 года «Господин Никто» в одном из эпизодов адрес дома представляет собой часть последовательности Фибоначчи – 12358. Кроме этого, в другом эпизоде главный герой должен позвонить по телефонному номеру, который по сути – та же, но слегка искаженная (лишняя цифра после цифры 5) последовательность: 123-581-1321.
- В сериале 2012 года «Связь» главный герой, мальчик, страдающий аутизмом, способен различать закономерности в происходящих в мире событиях. В том числе посредством чисел Фибоначчи. И управлять этими событиями также посредством чисел.
- Разработчики java-игры для мобильных телефонов Doom RPG поместили на одном из уровней секретную дверь. Открывающий ее код – последовательность Фибоначчи.
- В 2012 году российская рок-группа «Сплин» выпустила концептуальный альбом «Обман зрения». Восьмой трек носит название «Фибоначчи». В стихах лидера группы Александра Васильева обыграна последовательность чисел Фибоначчи. На каждый из девяти последовательных членов приходится соответствующее число строк (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):
0 Тронулся в путь состав
1 Щёлкнул один сустав
1 Дрогнул один рукав
2 Всё, доставайте стафф
Всё, доставайте стафф
3 Просьбой о кипятке
Поезд идёт к реке
Поезд идёт в тайге <…>.
- лимерик (короткое стихотворение определенной формы – обычно это пять строк, с определенной схемой рифмовки, шуточное по содержанию, в котором первая и последняя строка повторяются или частично дублируют друг друга) Джеймса Линдона также использует отсылку к последовательности Фибоначчи в качестве юмористического мотива:
Плотная пища жён Фибоначчи
Только на пользу им шла, не иначе.
Весили жёны, согласно молве,
Каждая - как предыдущие две.
Подводим итоги
Мы надеемся, что смогли рассказать вам сегодня много интересного и полезного. Вы, например, теперь можете поискать спираль Фибоначчи в окружающей вас природе. Вдруг именно вам удастся разгадать «секрет жизни, Вселенной и вообще».
Пользуйтесь формулой для чисел Фибоначчи при решении задач по комбинаторике. Вы можете опираться на примеры, описанные в этой статье.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
