Сложная процентная ставка
Формулы наращения
Сложная процентная ставка наращения – это процентная ставка, при которой база начисления, в отличие от простых процентов, является п е р е м е н н о й, т.е. проценты начисляются на проценты.
Также заранее оговаривается некоторый единичный промежуток начисления процентов (год, месяц, квартал и т.д.) и ставка процента i (илиi % = 100i ). Пусть начальная сумма долга равнаP . Тогда через единичный промежуток сумма долга составитS 1 =P (1+i ), как и в случае простых процентов. Однако к концу 2-го единичного промежутка сумма долга составитS 2 =S 1 (1+i ) =P (1+i )2 (в отличие от формулыS 2 =P (1+2i ) для простых процентов. К концу 3-го периода получаемS 3 =S 2 (1+i ) =P (1+i )3 . И т.д. К концу n -го единичного промежутка получаем
S n =P (1+i )n . |
Итак, через n промежутков начальная суммаP увеличится в (1+i )n раз. Множитель (1+i )n называетсямножителем наращения . Отметим, что наращение по сложным процентам представляет рост начальной суммы по закону геометрической прогрессии, первый член которой равенP , а знаменатель 1+i .
Задача 1 . Исходная сумма вкладаP = 40 000 р. Процентная ставкаi %=10% годовых. Определить наращѐнную по сложным процентам за 3 года, а затем сравнить ее с суммой наращения по схеме простых процентов.
Решение . Применяя формулу (1) имеем
S 3,слож =P (1+i )3 = 40 000 (1+0.1)3 = 53 240 р.
Вычислим наращѐнную сумму по схеме простых процентов:
S 3,пр =P (1+3i ) = 40 000 (1+0.3) = 52 000 р. < 53 240 р.
Итак, в рассматриваемом случае использование сложных процентов приводит к большей наращѐнной сумме, что выгоднее вкладчику по сравнению с наращением по схеме простых процентов.
Формула наращения сложных процентов (1), выведенная для целых
положительных n , применима и для нецелыхt | 0: S t | P (1+i )t . | |||||||
Задача 2 . Какой величиныS 4.6 | достигнет долг, равный 8 000 р., через 4.6 года |
||||||||
при росте по сложной ставке процента i =20% годовых. | |||||||||
Решение . По условию задачиP = 8 000 р. Тогда | |||||||||
S 4.6 =P (1+i )t = 8 000(1+0.2)4.6 | |||||||||
Итак, через 4.6 года долг достигнет значения 18 506 р. 48 коп. | |||||||||
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула |
|||||||||
наращѐнной суммы принимает вид | |||||||||
S = P (1 | i )n 1 (1 | ) n2 | ...(1 | ) nm . | |||||
Здесь P – начальная сумма,n k – продолжительность k -го периода начисления процентов иi k – ставка простых процентов в периоде с номеромk .
Задача 3 . В договоре об обслуживании банковского вклада в течение 4-х лет зафиксирована переменная ставка сложных процентов следующим образом. В 1-й год – 6% годовых, во 2-й и 3-й год ставка одна и та же – 5% годовых, в 4-й год
– 8%. Определить величину множителя наращения за 4 года.
Решение . ПустьP – некоторая начальная сумма. По условию задачи
i 1 = 0.06,i 2 =i 3 = 0.05,i 4 = 0.08.
Обозначим i 23 = 0.05. Имеем в соответствии с формулой (2):
S = P (1 i 1 ) 1 (1 i 23 ) 2 (1 i 4 ) 1 =P (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08).
В результате вычислений получаем значение множителя наращения:
S /P = (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08) = 1.262142.
Сравнение силы роста простых и сложных процентов
При одной и той же ставке процента i наращение сложных процентов:
идет быстрее, чем простых процентов, если длина периода наращения больше единичного периода;
идет медленнее, чем простых процентов, если длина периода наращения меньше единичного периода.
Ранее было отмечено, что наращение для единичного периода одинаково, независимо от того, используется схема простых процентов или сложных.
Обоснуем сказанное. В самом деле при i > 0:
если t
>1, то (1+i
)t
> 1+it
; если 0 Для доказательства этого факта рассмотрим функции f
(t
) = (1+i
)t
иg
(t
) = 1+it
. Очевидно,f
(0) =g
(0),f
(1) =g
(1) и обе функции возрастают приt
0 не только по их содержательному смыслу, но и формально ввиду положительности их производныхf
(t
) = (1+i
)t
ln
(1+i
) иg
(t
) =i
. В то же время производная второго порядкаf
(t
) = (1+i
)t
ln
2
(1+i
) положительна приt
0, что означает выпуклость вниз функцииf
(t
) приt
0 (т.е. ускоренный рост). При этом функцияg
(t
) растет линейно (g
(t
) = 0). На графике изображены функции f
(t
) = (1+i
)t
иg
(t
) = 1+it
в зависимости отt
: Пример
. Пусть суммаP
=800 наращивается по ставке i=8% простых и сложных процентов. Тогда наращѐнные суммы таковы Для оценки своих перспектив кредитору и должнику зачастую важно знать, через сколько времени сумма ссуды возрастает в N
раз при данной процентной ставкеi
. Для этого приравняем множитель наращения величинеN
, в результате чего получим: a)
для простых процентов 1 +
ni
=N
, откудаn
= (N
–1) / i
. b)
для сложных процентов (1 +
i
)n
=N
, откудаn
= lnN
/ ln(1 +i
). Решение
. По условию задачиi
=0.04,N
=2. Имеем a) для простых процентов n
= (N
–1) / i
= 1 /i
, откудаn
= 1/0.04 = 25 лет b) для сложных процентов n
= lnN
/ ln(1 +i
), откудаn
= ln 2/ln(1.04) 17.67 лет. Расчет по схеме сложных процентов быстрее удваивает долг. Некоторые способы начисления процентов при дробном числе лет В практике финансовых учреждений при дробном числе лет t
проценты начисляются по-разному. Рассмотрим три основных способа начисления. 1.
По формуле сложных процентов:
S = P
(1+i
)t
. 2.
На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые:
S = P
(1+i
)n
(1+bi
), гдеt=n+b
,n –
целое число лет,b –
дробная часть года. 3.
В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезок времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.
S = P(1+
i)
n
.
Задача 5
. Размер ссуды, представленной на 27 месяцев, равен 100 000 р. Годовая процентная ставка равна 20%. Вычислить наращѐнную сумму указанными тремя способами. Решение
. По условию задачи срок ссуды составляет 2.25 года. Имеем следующие расчеты. По 1-му способу:S
I
= 100 000(1+0.2)2 . 2 5
150 715 р. 46 коп. По 2-му способу:S
II
= 100 000(1+0.2)2
(1+0.25 0.2) = 151 200 р. По 3-му способу:S
III
= 100 000(1+0.2)2
= 144 000 р. Формулы дисконтирования в случае сложных процентов Задача 6
. Выписать таблицу для дисконтного множителя (1+i
)–
n
при сроке ссуды 5, 10 и 20 лет; сложная ставка наращения составляет 10% и 20%. Решение
. Результаты расчетов по формуле (3) приведены в таблице Если осуществляется дисконтирование по схеме банковского (коммерческого) учета, то изначально оговаривается учетная ставка d
, 0d
<1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен P = S(1–
d)
n
.
Задача 7
. Вексель на сумму 20 000 р., срок платежа по которому наступает через 1.5 года, учтен по сложной процентной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, а также соответствующий дисконт. Решение
. Здесь по условию задачиS
=20 000,n
=1.5,d
=0.18. Тогда по формуле (4) получаем следующие результаты расчетов: сумма, получаемая владельцем P =
20 000(1 – 0.18)1.5
14850 р. 83 коп., дисконт D = S – P
20 000 – 14850.83 = 5149 р. 17 коп. Сложные проценты
Наращение по сложным процентам Сложными
называются ставки процентов, которые применяются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчётного периода к другому. Механизм наращения первоначального капитала по сложным процентам называется капитализацией
процентов. Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный. Рассмотрим декурсивный метод расчёта сложных процентов. В этом случае начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения. В конце первого периода (года) наращенная сумма равна: S
=P
(1+i
). В конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму S
=P
(1+i
)(1+i
)=P
(1+i
) 2 , S=P
(1+i
) n
. (1.11) Формула (1.11) называется формулой наращения по сложным процентам
(формулой сложных процентов
). Множитель (1+i
) n
в формуле (1.11) является коэффициентом наращения. Формулы удвоения суммы В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастёт в N
раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем коэффициент наращения величине N
, в результате получим: а) для простых процентов 1+ni
=N
, тогда б) для сложных процентов (1+i
) n
=N
, тогда Для случая N=
2 формулы (1.12) и (1.13) называются формулами удвоения
и принимают следующий вид: а) для простых процентов n=
1/i
; (1.14) б) для сложных процентов При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы (1.22) можно использовать приближённую формулу, если учесть, что ln 2»0,7, а ln(1+i
)»i
. Тогда n»
0,7/i.
(1.16) □ Пример 1.5.
За сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 5%? 1. Случай простых процентов: n=
1/0,05=20 лет. 2. Случай сложных процентов, вычисленных по точной формуле: 3. Случай сложных процентов, вычисленных по приближённой формуле: n
»0,7/0,05=14 лет. Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближённая формулы дают практически одинаковые результаты.■ Начисление сложных процентов при дробном числе лет Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти различными способами: S=P
(1+i
) n
, 2. смешанным методом, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые S=P
(1+i
) [n
] (1+{n
}i
), (1.17) где [n
] - целая часть числа n
; {n
} - дробная часть числа n
. 3. в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е. S=P
(1+i
) [n
] . (1.18) Номинальная ставка В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j,
а число периодов начисления в году m.
Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке j/m.
Ставка j
называется номинальной
. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле где N=mn
- число периодов начисления, n
- число лет. Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m
раз в году, то наращенная сумма может быть определена несколькими способами, приводящими к различным результатам: 1. по формуле сложных процентов где N/t -
число периодов начисления процентов, t -
период начисления процентов; 2. по смешанному методу где [N/t
] - число полных периодов начисления процентов, {N/t
} -
дробная часть одного периода начисления процентов. □ Пример 1.6.
На сумму 600 ден. ед. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определите величину наращенной суммы двумя методами. Решение. Общее число периодов начисления процентов составит , т. е. 4 квартала и 2 месяца. По формуле сложных процентов наращенная сумма будет равна Используя смешанный метод начисления, наращенная сумма составит: Если дробную часть не учитывать, то наращенная сумма будет равна: Из полученных результатов расчёта следует, что для ссудодателя выгоднее смешанный метод начисления процентов, т. к. итоговая сумма получается максимальной, а для заёмщика предпочтительнее третий вариант, т. к. итоговая сумма минимальна. ■ Переменные ставки сложных процентов Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле: где P
- первоначальная сумма; i t -
ставка простых процентов в периоде с номером ; n t
- продолжительность периода начисления по ставке i t
. 1.2.2 Сложные учётные ставки
Наращение по сложной учётной ставке Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу начисления простых антисипативных процентов. В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле во втором периоде она будет равна где d
- учётная ставка сложных процентов; n
- число лет. Формула (1.23) называется формулой наращения по сложным антисипативным процентам
(формулой сложных антисипативных процентов
). Множитель в формуле (1.23) является коэффициентом наращения. Номинальная учётная ставка процентов В тех случаях, когда начисление сложных антисипативных процентов производят m
раз в году, используют номинальную учётную ставку f
. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке f/m
, и наращенная сумма определяется по формуле где, N=mn
- число периодов начисления, n
- число лет. □ Пример 1.7.
Срочный вклад в размере 800 ден. ед. положен в банк на 2,5 года. По условиям договора начисления процентов производится один раз в году по сложной учётной ставке d
=15% годовых. Определить наращенную сумму. Решение. Наращенная сумма составит Если наращение по учётной ставке производить не один, а два раза в год (m
=2), то наращенная сумма будет равна: Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год. При краткосрочных операциях срок инвестирования, как мы уже убедились, удобно измерять в днях. Поэтому продолжительность года принимают равной либо 360 дням (360 - 12 х 30 дней), либо фактическому числу дней в году. В первом случае проценты называют обычными, во втором - точными. При подсчете числа дней срока инвестирования т возможны два варианта. Первый вариант: наиболее часто подсчитывают точное число дней с помощью специальной таблицы, в которой приведены порядковые номера каждого дня в году. При этом день выдачи и возврата ссуды считают за один день. Во втором варианте подсчитывают точное число месяцев в сроке и добавляют число оставшихся дней. При этом длительность каждого полного месяца полагают равной 30 дням. Второй вариант дает обычно меньшее значение т. Таким образом, всего имеются четыре схемы расчета процентов, из которых применяются следующие три. Четвертая схема- точные проценты
и приближенное число дней ссуды -
не применяется. Наращение капитала может осуществляться либо в виде простых процентов, либо в виде сложных процентов. Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р
, а установленная норма доходности - г
(в долях единицы). Тогда говорят, что инвестирование осуществлено на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Рх г.
Таким образом, размер инвестированного капитала через п
периодов (Р
п) будет равен: Выражение (7.6) часто называют формулой наращения по простым процентам, а множитель
коэффициентом наращения простых процентов. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления, использования в других инвестиционных проектах или в текущей деятельности. Простые проценты применяют в следующих случаях: ф при выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года; ф когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору заемщиком в конце каждого конверсионного периода (конверсионный период - это временной интервал, в конце которого начисляется процент за этот интервал); ф при сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов и т. п. При выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года в качестве показателя п
берется величина, характеризующая длину периода (дни, месяц, квартал, полугодие) в долях года. При этом длина различных временных интервалов в расчетах, как правило, округляется: месяц - 30 дней, квартал - 90 дней, полугодие - 180 дней, год - 360 дней. Пример 7. 3 млн руб. выдано в кредит на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10% в месяц. Найдем наращенное значение долга в конце каждого месяца. Обозначим через Р п
наращенное значение долга в конце каждого месяца. Так как Р
- 3 млн руб. и г - 0,1, то в силу формулы (7.6): Полученные результаты сведем в табл. 7.1. Из табл. 7.1 видно, что последовательность Р, Р 2 ,... Р б представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 3 млн руб. и знаменателем 300 тыс. руб. Таблица 7.1
Наращенное значение долга Пример 8. Ссуда в размере 5 млн руб. выдана на один месяц под 130% годовых. Тогда размер платежа к погашению будет равен: Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, т. е. база начисления процентов постоянно возрастает. Это означает, что инвестиция осуществлена на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. Присоединение начисленных процентов к базовой сумме называется капитализацией процентов. При начислении сложного процента размер капитала будет равен: к концу первого года к концу второго года к концу л-го года Использование в расчетах сложного процента более логично со стороны инвестора, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. Пример 9. Определить, какой величины через пять лет достигнет долг, равный 1 млн руб. при сложной ставке 15,5% годовых. В соответствии с формулой (7.7) имеем: Формула (7.7) является одной из базовых в финансовых вычислениях. Множитель М(г, л) - (1 + г)", обеспечивающий наращение стоимости, называют факторным множителем. Значения факторного множителя Л/(г, п)
табулированы для различных значений г и л. С его помощью формула (7.7) переписывается в виде: С экономической точки зрения факторный множитель показывает, чему будет равна одна денежная единица через л периодов при заданной процентной ставке г. Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать «классическую» схему с помощью применения плавающих ставок. Расчет на перспективу по таким ставкам достаточно условен. Вместе с тем справедлива следующая важная теорема (принцип стабильности рынка): «Если не учитывать налоги и другие накладные расходы, то коэффициент наращения на некотором интервале равен произведению коэффициентов наращения на каждом из составляющих его подинтервалов». Следовательно, где г |Р г 2 ,.... г к -
последовательные во времени значения ставок; л, л 2 .....п к -
периоды, в течение которых «работают» соответствующие ставки. Пример 10. Заключен договор о ссуде на 5 лет. Договорная процентная ставка составляет 12% годовых с маржой (доплата за накладные расходы, комиссионные) в размере 0,5% в первые два года и 0,75% - в оставшиеся 3 года. Используя формулу (7.8), найдем, что коэффициент наращения М
в этом случае составит: Для того чтобы сопоставить результаты наращения при простых и сложных процентах, достаточно сравнить соответствующие коэффициенты наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношение коэффициентов существенно зависит от срока инвестиции. Действительно, при сроке инвестиции меньше года простые проценты дают наращение больше, чем сложные: Для срока больше года сложные проценты дают наращение больше, чем простые:
Для срока, равного году, коэффициенты наращения равны друг другу при условии, что ставка начисления процентов одна и та же. Заметим также, что с увеличением срока (при п
> 1) различия в последствиях применения простых и сложных процентов усиливаются. Графическая иллюстрация этого утверждения приведена на рис. 7.1. В табл. 7.2 в качестве примера приведены значения коэффициентов наращения для г - 8% годовых и временной базы в один год. Рис. 7.1. Коэффициент наращения Срок ссуды При начислении процентов за нецелое число лет более эффективна смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года: где а + р = п
;
а - целое число периодов; (3 - дробная часть периода. Различия в последствиях применения простых и сложных процентов наиболее наглядно проявляются при определении времени, необходимого для увеличения суммы в Л^раз. В этом случае коэффициент наращения, очевидно, равен N,
и, следовательно, для простых процентов (1 + п
х г) - N,
откуда для сложных процентов (1 + г)" - N,
откуда Пример 11. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в пять раз соответственно при начислении сложных и простых процентов по ставке 15% годовых. Найдем теперь период инвестиции, необходимый для удвоения первоначальной суммы. В этом случае, положив в (7.9) и (7.10) N =
2, получим следующие формулы удвоения: удвоение по простым процентам удвоение по сложным процентам Результаты применения формул удвоения для ряда значений процентных ставок приведены в табл. 7.3. Таблица 7.3
Сроки удвоения для различных значений процентных ставок
Для небольших значений процентной ставки г частное от деления числа 72 на г показывает число периодов, за которое исходная сумма удвоится при наращивании ее по этой ставке с использованием формулы сложных процентов («правило 72»). Стоит задача выбора наилучшего банка и наиболее выгодного типа счета. И если с банками более-менее все понятно - можно сориентироваться по многочисленным рейтингам и выбрать то отделение, которое недалеко расположено от места проживания, то с выбором типа счета дело обстоит куда сложней. Ведь помимо величины процента нужно учитывать еще возможность пополнения депозита, досрочного снятия, способ начисления процентов и прочие факторы. Помимо размера самого процента большое значение имеет его вид. Рассмотрим подробно, чем отличаются между собой простой и сложный процент. Простой процент. Формула расчета
С все предельно ясно, ведь его изучают еще в школе. Единственное, что нужно помнить, это то, что ставка всегда указывается за годовой период. Непосредственно сама формула имеет такой вид: КС = НС + НС*i*п = НС*(1 + i*п), где НС - начальная сумма, КС - конечная сумма, i - величина Для депозита сроком на 9 мес и ставкой 10%, i =0,1*9/12 = 0,075 или 7,5%, п - число периодов начисления. Рассмотрим несколько примеров: 1. Вкладчик размещает 50 тыс. рублей на срочном депозите, под 6% годовых на 4 месяца. КС = 50000*(1+0,06*4/12) = 51000,00 р. 2. 80 тыс. рублей, под 12% годовых на 1,5 года. При этом проценты ежеквартально выплачиваются на карточку (к депозиту не присоединяются). КС = 80000*(1+0,12*1,5) = 94400,00 р. (поскольку ежеквартальная выплата процентов не прибавляется к сумме депозита, то на конечную сумму это обстоятельство не влияет) 3. Вкладчик решил положить 50000 рублей на срочный вклад, под 8% годовых на 12 месяцев. Разрешено пополнение депозита и на 91 день было сделано пополнение счета в сумме 30000 рублей. КС1 = 50000*(1+0,08*12/12) = 54000 р. КС2 = 30000*(1+0,08*9/12) = 31800 р. КС = КС1+КС2 = 54000 + 31800 = 85800 р. Сложный процент. Формула расчета
Если в условиях размещения вклада указано, что возможна капитализация или реинвестирование, то это говорит о том, что в этом случае будет использован сложный процент, расчет которого выполняется по такой формуле: КС = (1 + i) n *НС Обозначения такие же, как и в формуле для простого процента. Бывает так, что проценты выплачиваются чаще, чем один раз в год. В этом случае сложный немного по-другому: КС = (1 + i/к) nk *НС, где к - частота накоплений в год. Вернемся к нашему примеру, в котором банк принял срочный депозит в 80 тыс. рублей, под 12% годовых на 1,5 года. Допустим, что проценты также выплачиваются ежеквартально, но на этот раз они будут прибавляться к телу вклада. То есть, наш депозит будет с капитализацией. КС = (1+0,12/4) 4*1,5 *800000 = 95524,18 р. Как вы уже успели, наверное, заметить, полученный результат оказался на 1124,18 рублей больше. Преимущество сложных процентов
Сложный процент по сравнению с простым всегда приносит больше прибыли, причем эта разница со временем увеличивается все быстрее и быстрее. Этот механизм способен превратить любой стартовый капитал в сверхприбыльную машину, стоит лишь дать ему достаточное время. В свое время Альберт Эйнштейн назвал сложный процент самой мощной силой в природе. По сравнению с другими видами инвестиций такой имеет значительные преимущества, особенно когда инвестор выбирает долгосрочный период. По сравнению с акциями, сложный процент имеет намного меньший риск, а стабильные облигации дают меньший доход. Конечно, любой банк может со временем разориться (всякое случается), но выбирая банковское учреждение, которое участвует в государственной программе страхования депозитов, можно свести к минимуму и этот риск. Таким образом, можно утверждать, что сложный процент имеет намного большие перспективы по сравнению с практически любым финансовым инструментом. Выгода
банковского вклада оценивается не только по процентной ставке. Большое влияние
на доходность депозита оказывает способ начисления процентов. В финансовой сфере существует понятие простого
и сложного процента. Когда применяется тот или иной метод расчета? Как
осуществляется начисление процентов по каждому способу? И какой метод выгоднее для
вкладчика?
Метод расчета
простых процентов основан на принципе наращения денег по арифметической
прогрессии. Допустим, инвестор в начале года положил в банк на сумму
100 000 руб. под 10% годовых: Поскольку
банки указывают ставку за год, то чтобы определить доход за другой период
(к примеру, 3 месяца), применяя простую
ставку процентов, формула будет такой: S = (P x I x
Т
/ K) / 100,
где: S
–
сумма насчитанных процентов (руб.); P
– начальная
сумма вложенных средств; I
–
процентная ставка за год; Т
– срок действия вклада в днях; K
– число
дней в году. (100 000 х 10 х 92 / 365) / 100 = 2520,55 (руб.). Получается, что в конце срока вкладчик получит на руки внесенные
100 000 руб. плюс 2520,55 руб. дохода, т.е. 102 520,55 руб. Чтобы более наглядно продемонстрировать разницу по использованию простой схемы начисления процентов и сложной, данные занесены в
таблицу: При подсчете коэффициентов
использовалась ежегодная капитализация процентов. Из таблицы видно, что: Этот принцип определения
доходности вклада зависимо от метода вычисления процентов сохраняется и при
расчетах на месяц. Подведя итог, можно сказать, что применение сложного
процента выгодно, если период вклада превышает период капитализации. Иначе говоря: Если срок депозита меньше, чем периодичность проведения капитализации, то расчет простых процентов
по вкладам получится выгоднее.
лет.
, (1.19)
, (1.20)
, (1.21)
ден. ед.
ден. ед.
ден. ед.
,
ден. ед.
ден. ед. ■
Понятие простых процентов и как они
рассчитываются
Простые проценты – это проценты,начисляющиеся лишь на первоначальную величину вклада, независимо от количества
периодов и их продолжительности. Они считаются один раз по окончанию срока депозита.
Это обозначает, что сумма процентов за предыдущий период не учитывается при
расчете в следующем. 
То есть при вкладе 100 000 руб. на 3 месяца под 10%
годовыхвычисление простых процентовбудет выполняться так:
Составив аналогичную таблицу
с учетом проведения ежеквартальной капитализации, можно увидеть, что доход
будет одинаков при вкладе на квартал. При более коротких депозитах (на месяц
или два) больший доход будет получаться по простым процентам. При вкладах на
срок более квартала, наоборот, выгоднее будут сложные проценты.
