Экспоненциальная скорость. Законы силы в бизнесе

Если прирост численности популяции пропорционален количеству особей, численность популяции будет расти экспоненциально.

Выражение «экспоненциальный рост» вошло в наш лексикон для обозначения быстрого, как правило безудержного увеличения. Оно часто используется, например, при описании стремительного роста числа городов или увеличения численности населения. Однако в математике этот термин имеет точный смысл и обозначает определенный вид роста.

Экспоненциальный рост имеет место в тех популяциях, в которых прирост численности (число рождений минус число смертей) пропорционален числу особей популяции. Для популяции человека, например, коэффициент рождаемости примерно пропорционален количеству репродуктивных пар, а коэффициент смертности примерно пропорционален количеству людей в популяции (обозначим его N ). Тогда, в разумном приближении,

прирост населения = число рождений - число смертей

(Здесь r - так называемый коэффициент пропорциональности, который позволяет нам записать выражение пропорциональности в виде уравнения.)

Пусть dN - число особей, добавившихся к популяции за время dt , тогда если в популяции в общей сложности N особей, то условия для экспоненциального роста будут удовлетворены, если

После того как в XVII веке Исаак Ньютон изобрел дифференциальное исчисление, мы знаем, как решать это уравнение для N - численности популяции в любое заданное время. (Для справки: такое уравнение называется дифференциальным.) Вот его решение:

где N 0 - число особей в популяции на начало отсчета, t - время, прошедшее с этого момента. Символ е обозначает такое специальное число, оно называется основание натурального логарифма (и приблизительно равно 2,7), и вся правая часть уравнения называется экспоненциальная функция .

Чтобы лучше понять, что такое экспоненциальный рост, представьте себе популяцию, состоящую изначально из одной бактерии. Через определенное время (через несколько часов или минут) бактерия делится надвое, тем самым удваивая размер популяции. Через следующий промежуток времени каждая из этих двух бактерий снова разделится надвое, и размер популяции вновь удвоится - теперь будет уже четыре бактерии. После десяти таких удвоений будет уже более тысячи бактерий, после двадцати - более миллиона, и так далее. Если с каждым делением популяция будет удваиваться, ее рост будет продолжаться до бесконечности.

Существует легенда (скорее всего, не соответствующая действительности), будто бы человек, который изобрел шахматы, доставил этим такое удовольствие своему султану, что тот пообещал исполнить любую его просьбу. Человек попросил, чтобы султан положил на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую - два, на третью - четыре и так далее. Султан, посчитав это требование ничтожным по сравнению с оказанной им услугой, попросил своего поданного придумать другую просьбу, но тот отказался. Естественно, к 64-му удвоению число зерен стало таким, что во всем мире не нашлось бы нужного количества пшеницы, чтобы удовлетворить эту просьбу. В той версии легенды, которая известна мне, султан в этот момент приказал отрубить голову изобретателю. Мораль, как я говорю моим студентам, такова: иногда не следует быть чересчур умным!

Пример с шахматной доской (как и с воображаемыми бактериями) показывает нам, что никакая популяция не может расти вечно. Рано или поздно она попросту исчерпает ресурсы - пространство, энергию, воду, что угодно. Поэтому популяции могут расти по экспоненциальному закону лишь некоторое время, и рано или поздно их рост должен замедлиться. Для этого нужно изменить уравнение так, чтобы при приближении численности популяции к максимально возможной (которая может поддерживаться внешней средой) скорость роста замедлялась. Назовем эту максимальную численность популяции K . Тогда видоизмененное уравнение будет выглядеть так:

dN = rN(1 - (N/K)) dt

Когда N намного меньше K , членом N/K можно пренебречь, и мы возвращаемся к первоначальному уравнению обычного экспоненциального роста. Однако когда N приближается к своему максимальному значению K , значение 1 - (N/K) стремится к нулю, соответственно стремится к нулю и прирост численности популяции. Общая численность популяции в этом случае стабилизируется и остается на уровне K . Кривая, описываемая этим уравнением, а также само уравнение, имеют несколько названий - S-кривая , логистическое уравнение , уравнение Вольтерры , уравнение Лотки-Вольтерры . (Вито Вольтерра, 1860–1940 - выдающийся итальянский математик и преподаватель; Альфред Лотка, 1880–1949 - американский математик и страховой аналитик.) Как бы она ни называлась, это - достаточно простое выражение численности популяции, резко возрастающей экспоненциально, а затем замедляющейся при приближении к некоему пределу. И она гораздо лучше отражает рост численности реальных популяций, чем обычная экспоненциальная функция.

Люди не слишком хорошие предсказатели будущего. На протяжении большей части истории наш опыт был «локальным и линейным»: мы использовали одни и те же инструменты, ели одни и те же блюда, жили в определенном месте. В результате наши способности к прогнозированию основаны на интуиции и прошлом опыте. Это похоже на лестницу: сделав несколько шагов вверх, мы понимаем, каким будет оставшийся путь по этой лестнице. Проживая жизнь, мы ожидаем, что каждый новый день будет похож на предыдущий. Однако сейчас все меняется.

Известный американский изобретатель и футуролог Рэймонд Курцвейл в своей книге «Сингулярность уже близко» (The Singularity Is Near) пишет, что скачок развития технологий, который мы наблюдаем последние десятилетия, вызвал ускорение прогресса во множестве разных областей. Это привело к неожиданным технологическим и социальным изменениям, происходящим не только между поколениями, но и внутри них. Теперь интуитивный подход в предсказании будущего не работает. Будущее разворачивается уже не линейно, а экспоненциально: все сложнее предсказать, что будет дальше и когда это случится. Темпы технического прогресса постоянно удивляют нас, и чтобы за ними успевать и научиться предсказывать будущее, нужно сначала научиться мыслить экспоненциально.

Что такое экспоненциальный рост?

В отличие от линейного роста, который является результатом многократно добавления постоянной, экспоненциальный рост - это многократное умножение. Если линейный рост - это стабильная во времени прямая линия, то линия экспоненциального роста похожа на взлет. Чем большее значение принимает величина, тем быстрее она растет дальше.

Представьте, что вы идете по дороге, и каждый ваш шаг получается метр в длину. Вы делаете шесть шагов, и теперь вы продвинулись на шесть метров. После того, как вы сделаете еще 24 шага, вы окажетесь в 30 метрах от того места, где вы начали. Это линейный рост.

А теперь представьте (хотя ваше тело так не умеет, но представьте), что каждый раз длина вашего шага увеличивается вдвое. То есть сначала вы шагаете на один метр, затем на два, затем на четыре, затем на восемь и так далее. За шесть таких шагов вы преодолеете 32 метра - это гораздо больше, чем за шесть шагов по одному метру. В это трудно поверить, но если продолжать в том же темпе, то после тридцатого шага вы окажетесь на расстоянии миллиарда метров от исходной точки. Это 26 поездок вокруг Земли. И это экспоненциальный рост.

Интересно, что каждый новый шаг при таком росте - это сумма всех предыдущих. То есть после 29 шагов вы преодолели 500 миллионов метров, и столько же вы преодолеваете за один следующий, тридцатый шаг. Это означает, что любой из ваших предыдущих шагов несравнимо мал по отношению к последующим нескольким шагам взрывного роста, а большая его часть происходит в течение относительно короткого периода времени. Если представить такой рост в виде движения из точки А в точку Б, самый большой прогресс в перемещении будет достигнут на последнем этапе.

Мы часто упускаем показательные тенденции на ранних стадиях, так как начальный темп экспоненциального роста медленный и постепенный, его трудно отличить от линейного роста. Кроме того, зачастую предсказания, основанные на предположении, что какое-то явление будет развиваться по экспоненте, могут показаться невероятными, и мы от них отказываемся.

«Когда в 1990 году началось сканирование генома человека, критики отметили, что, учитывая скорость, с которой сначала шел этот процесс, геном мог бы быть отсканирован только через тысячи лет. Однако проект был завершен уже в 2003 году», - приводит пример Рэймонд Курцвейл.

В последнее время развитие технологий идет по экспоненте: с каждым десятилетием, с каждым годом мы умеем несравнимо больше, чем раньше.

Может ли экспоненциальный рост когда-нибудь закончиться?

На практике экспоненциальные тенденции не длятся вечно. Тем не менее, некоторые из них могут продолжаться в течение длительных периодов времени, если есть соответствующие условия для взрывного развития.

Как правило, экспоненциальный тренд состоит из серии последовательных S-образных технологических циклов жизни или S-образных кривых. Каждая кривая выглядит как буква «S» из-за трех стадий роста, которые она показывает: начальный медленный рост, взрывной рост и выравнивание, по мере того, как технология созревает. Эти S-кривые пересекаются, и когда одна технология замедляется, начинается рост новой. С каждым новым S-образным витком развития, количество времени, необходимое для достижения более высоких уровней производительности, становится меньше.

Например, говоря о развитии технологий в прошлом веке, Курцвейл перечисляет пять вычислительных парадигм: электромеханические, реле, вакуумные лампы, дискретные транзисторы и интегральные схемы. Когда одна технология исчерпывала свой потенциал, начинала прогрессировать следующая, и она делала это стремительнее, чем ее предшественники.

Планирование экспоненциального будущего

В условиях экспоненциального развития очень сложно предсказать, что ждет нас в будущем. Построить график, основанный на геометрической прогрессии - это одно, а прикинуть, как изменится жизнь за десять-двадцать лет - совсем другое. Но можно следовать простому эмпирическому правилу: ожидай, что жизнь тебя очень сильно удивит, и планируй все исходя из ожидаемых сюрпризов. Иными словами, предполагать можно самые невероятные исходы и готовиться к ним, как если бы они точно состоялись.

«Будущее будет гораздо более удивительным, чем большинство людей могут себе представить. Лишь немногие действительно осознали тот факт, что скорость самого изменения ускоряется», - пишет Рэймонд Курцвейл.

Как будет выглядеть наша жизнь в ближайшие пять лет? Один из способов сделать прогноз - посмотреть на последние пять лет и перенести этот опыт на следующие пять, но это «линейное» мышление, которое, как мы выяснили, работает не всегда. Скорость изменений меняется, поэтому для того прогресса, который был достигнут за последние пять лет, в будущем потребуется уже больше времени. Вполне вероятно, что те изменения, которых вы ждете через пять лет, на самом деле произойдут через три или два года. После небольшой практики мы научимся лучше предсказывать дальнейшее развитие жизни, научимся видеть перспективы экспоненциального роста и сможем лучше планировать наше собственное будущее.

Это не просто интересная концепция. Наше мышление, заточенное чаще под линейное развитие, может привести нас в тупик. Именно линейное мышление заставляет некоторых бизнесменов и политиков противиться переменам, они просто не понимают, что развитие происходит по экспоненте, и беспокоятся из-за того, что все сложнее становится контролировать будущее. Но именно это поле для конкуренции. Чтобы угнаться за этим изменением, нужно всегда быть на шаг впереди и делать не то, что актуально сейчас, а то, что будет актуальным и востребованным в будущем, учитывать, что развитие происходит не линейно, а экспоненциально.

Экспоненциальное мышление уменьшает действие разрушительных стрессов, которые возникают из-за нашего страха перед будущим, и открывает новые возможности. Если мы сможем лучше планировать наше будущее и сможем мыслить экспоненциально, мы облегчим переход от одной парадигмы к другой и встретим будущее спокойно.

Хотя я по образованию вовсе не математик, однако питаю симпатию к этой науке, поэтому в статье будут использоваться некоторые, на первый взгляд, сложные математические термины.

Цель данной статьи рассказать об одном любопытном феномене: увеличивая бюджет на рекламу вдвое, вы начинаете зарабатывать не вдвое больше, а в 2.5, 3 и т.д. раз больше. Конечно, до определенного момента. Этот феномен в математике называется экспоненциальным ростом. Примером экспоненциального роста может быть рост числа бактерий в колонии до наступления ограничения ресурсов.

Тем из вас, кто сталкивался со сложным процентом, например, при расчете дохода по депозитам, сразу станет понятно о чем речь, так как сложный процент — как раз еще один пример экспоненциального роста. Если не снимать накопленные средства с депозита, то рост дохода происходит не линейно, а экспоненциально. Так же и с ростом дохода от продаж: при увеличении бюджета на рекламу доход растет экспоненциально. В рамках этой статьи хочется проиллюстрировать еще один феномен. Именно из-за этого феномена отдел контекстной рекламы более не именуется так, а называется отделом платного трафика. Речь идет об эффекте синергии.

Что же такое эффект синергии? Представим себе идеальную ситуацию: есть интернет-магазин, для его продвижения в первый месяц использовалась только контекстная реклама, которая принесла 20 продаж, а во второй месяц использовалось только SEO-продвижение, которое дало также 20 продаж. В третий месяц использовались и контекстная реклама, и SEO — что в итоге дало не 40 продаж, а 50. Это и есть эффект синергии: ситуация, когда взаимодействие двух и более факторов дает увеличение результата больше, чем мог бы дать каждый из этих факторов по отдельности.

Используя одновременно два и более каналов рекламы, мы получаем большую отдачу. Зная об эффекте синергии не понаслышке, наши интернет-маркетологи стремятся задействовать максимум каналов рекламы. Вот такую маленькую хитрость рекомендуем взять на заметку:) Теперь перейдем к конкретному примеру, который проиллюстрирует все вышесказанное — кейс по услуге «платный трафик» в тематике шин.

Сразу приложу свежий скриншотик из Google Analytics, так как знаю, что читатели кейсов их очень любят:

Этот кейс отражает дальнейшие результаты работы по проекту, кейс которого я выкладывала в прошлом году. Сравним эти два года. Для начала сравним расходы каждого сезона - 2012 и 2013 года (под сезоном подразумеваю период с 1.09. по 31.12):

• реклама в прайс-агрегаторах;
• контекстная реклама.

В сезоне 2012 года использовалась реклама в Google Ads и размещение на двух прайсах: Яндекс.Маркет и Hotline.ua. В аналогичном сезоне 2013 года уже использовалась реклама в Google Ads, Яндекс.Директе и на 10 прайс-агрегаторах. Использование дополнительных каналов рекламы увеличило расходы почти на 310%. Теперь посмотрим, как при увеличении затрат на рекламу на 310% вырос доход по проекту:

Таким образом, мы видим, что увеличив расходы на рекламу на 310%, мы увеличили доход клиента не на 310%, а на 573%. Замечательно, не так ли?! То есть рост дохода в сравнении с тратами проиходит не линейно, а экспоненциально.

В получении такого результата, конечно же, не обошлось без эффекта синергии.

Посмотрим на рост валовой прибыли:

Проиллюстрируем также, как выросло число транзакций:

Этот скриншот позволяет сделать выводы о ситуации со средним чеком. Если доход вырос на 573%, а количество продаж на 557%, то становится ясно, что немного вырос средний чек.

Обладая данными о доходе из Google Analytics, тратах и марже, посчитаем самый главный показатель эффективности — ROMI (возврат маркетинговых инвестиций) по следующей формуле:

ROMI = ((Доход × Маржа) — Траты клиента) / Траты клиента

Итак, сравним результаты по ROMI двух сезонов:

Важно отметить, что при расчете ROMI мы учитывали только тот доход, который показывает Google Analytics, а это говорит о том, что мы не учли еще 80% продаж, которые были осуществлены по телефону, то есть учли лишь 20% полученного дохода клиента — это всего лишь 5-я часть.

Очень интересная ситуация вырисовывается, когда мы посчитаем наш ROMI с учетом 80% заказов по телефону. Для этого умножим наш доход на 5, а дальше считаем как обычно:

Рост ROMI на более приближенном к реальности доходе выглядит еще привлекательнее. Однако дело ведь не только в ROMI, а в реальном увеличении оборотов: значительно больше клиентов -> значительно больше продаж.

Теперь еще раз итоги сезона 2013-го года

Траты клиента : 131 341 грн. (включая оплату за услуги агентства). Маржа : 13%. Количество транзакций : 880. Доход по Google Analytics : 1 317 166,2 грн. Валовая прибыль (с учетом заказов по телефону) : 856 158 грн. ROMI по валовой прибыли (с учетом заказов по телефону) : 551,86%.

Конечно, полученный результат — это еще далеко не предел: есть куда растить бюджет на рекламу > есть куда расти доходу клиента. В следующем сезоне мы обязательно задействуем дополнительные каналы рекламы (их количество, наверное, никогда не закончится).

Среди must have фишек нового сезона — использование инструмента отслеживания заказов по телефону ifTheyCall . Это новинка от Netpeak, которую мы просто не успели задействовать в сезоне сентябрь-декабрь 2013 года. Этот инструмент позволит корректнее оценить отдачу от каждого канала рекламы, перераспределить бюджет и быть еще эффективнее.

Проиллюстрирую итоги в виде картинок

Как видно из графика — внизу находится точка безубыточности. До этой точки вложения в рекламу не окупятся. К примеру, если вы потратите 100 грн. на то, чтобы получить 100 кликов — вероятность получить продажу, которая окупила бы эти вложения практически равна 0. Вторая точка на графике — это точка оптимума (назовем ее так) — это когда вы вкладываете в рекламу максимум средств и получаете максимальный доход. После этой точки наблюдается уход в насыщение, то есть рынок насыщен, рекламой охвачены все потенциальные покупатели, рост вложений в рекламу не дает более роста дохода. Если ваш рекламный бюджет находится за точкой безубыточности, то велика вероятность, что вкладывая в рекламу вдвое больше — ваш доход будет расти экспоненциально до достижения точки оптимума.

• эффект синергии от использования 2-х и более каналов рекламы одновременно:

К этой иллюстрации остается только добавить — пробуйте новые каналы рекламы:)