На двух комбинатах работает по 20 человек.

На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В . На втором заводе для изготовления t деталей (и А , и В ) требуется t 2 человеко-смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна 1 деталь А и 3 детали В . При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Решение.

Начнём решение с анализа фразы: «на втором заводе для изготовления t деталей (и А , и В ) требуется человеко-смен». Из этого условия следует, что работающие на заводе 100 человек за смену смогут произвести максимум 10 деталей.

Пусть на первом комбинате х А , а остальные 100 − х рабочих производят детали типа В , и пусть на втором комбинате из 10 деталей производится y деталей типа А и 10 − y деталей типа В

B A :

Пусть s шт. - количество изделий, оно равно количеству деталей типа А

s соответствует наибольшее значение при неотрицательных целых значениях y , не больших 10.

Функция − убывающая. Наибольшее значение на отрезке она принимает при , при этом , а

Таким образом, максимальное количество изделий за смену будет собрано, если на втором заводе будут изготавливать только детали типа В (100 рабочих изготовят 10 деталей типа В ), а на первом заводе 11 человек изготовят 33 детали типа А , а остальные 89 рабочих изготовят 89 деталей типа В . Итого получим 33 детали типа А и 99 деталей типа В , на производстве которых были заняты все 200 человек.

Значит, комбинат сможет собрать за смену 33 изделия.

Ответ: 33 изделия.

Замечание.

Вначале мы прочли условие иначе и полагали, что на втором заводе для изготовления t деталей каждого типа (и А , и В независимо друг от друга) требуется t 2 человеко-смен. Приведём решение и примечания к нему для такого понимания условия. К этому же пониманию условия относятся комментарии читателей.

Пусть на первом комбинате х рабочих, а на втором комбинате y рабочих заняты на производстве детали А . Внесем данные из условия в таблицу.

Для производства изделий деталей типа B должно быть в три раза больше деталей типа A :

Пусть s шт - количество изделий, оно равно количеству деталей типа А : Будем искать наибольшее возможное значение этого выражения, подставив в него (*):

Наибольшему возможному значению s соответствует наибольшее значение при натуральных значениях y не больших 100. Имеем:

Найдем нули производной:

В найденной точке производная меняет знак с плюса на минус, поэтому в ней функция достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции на исследуемой области, равным при этом Количество деталей должно быть натуральным числом, поэтому рабочие могут произвести, самое большее, 33 детали типа А .

Из (*) находим чел. Это означает, что 10 рабочиx первого комбината и 10 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве детали А , за сутки они произведут их 33 шт, оставшиеся 90 рабочих первого комбината и 90 рабочих второго комбината должны быть заняты на производстве деталей В , за сутки они произведут их 99 шт.

Ответ: 33 изделия.

Примечание 1.

Внимательный читатель мог бы задать вопрос о том, почему в равенстве (*) предполагается, что деталей производится ровно в отношении 1:3. Ведь можно произвести, например, 11 деталей типа B и 34 детали типа А , из них получится собрать 33 изделия, а одна деталь типа А останется лишней. Ответим на этот вопрос.

Если есть лишние детали, то уменьшим их число до соотношения 1:3 и отправим на обед людей, производивших лишние детали. Тогда получим решение задачи для меньшего числа людей, но с тем же выходом продукта и соотношением деталей 1:3. Теперь вернём людей с обеда. Меньшего количества изделий мы не получим, поскольку зависимость между числом деталей и количеством людей неубывающая. Большего количества изделий тоже не достичь, поскольку из лишних деталей целого изделия собрать не получится. Поэтому наибольшее количество изделий совпадет с найденным.

Примечание 2.

Заметим, что если рабочие второго комбината будут производить только детали типа В , то они произведут их 10 шт. Пусть при этом 89 рабочих первого комбината произведут 89 деталей типа В , а оставшиеся 11 рабочих первого комбината произведут 33 детали типа А . Тогда всего будет произведено 33 детали типа А и 99 деталей типа В . Из них также можно собрать 33 изделия. Таких вариантов довольно много (см. таблицу в конце).

Примечание 3.

Можно было бы спросить, почему не образовать из рабочих второго завода 100 независимых групп, каждая из которых состоит из одного рабочего.

Приведём решение Евгения Обухова.

Пусть первый завод выпускает x деталей В , а второй завод выпускает y деталей В . Тогда на первом заводе деталь В выпускает x рабочих, а деталь А выпускает рабочих. Поэтому первый завод выпускает деталей А .

На втором заводе деталь В выпускает рабочих, деталь А выпускает рабочих. Поэтому второй завод выпускает деталей A. Здесь - целая часть числа.

Пусть комбинат выпускает k изделий. Имеем следующие необходимые и достаточные условия:

Рассмотрим Тогда получим:

Домножим второе неравенство на 3 и сложим с первым, получим: Заметим, что (при ) удовлетворяют исходному неравенству. То есть комбинат может изготовить 33 изделия.

Проверим, может ли он изготовить больше. Пусть , тогда:

Следовательно, максимальное число изделий, которое может произвести комбинат, равно 33.

Приведём таблицу других вариантов, также дающих 33 изделия

Решим несколько задач из задания 17.

Задача 1. В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях сможет ежедневно производить завод?

Сначала поясним термин, который встречается в условии:

Человеко-час

Вот что написано по этому поводу в Википедии:

"Человеко-час - единица учёта рабочего времени, соответствует часу работы одного человека. Иногда удобно оценить работу через количество человеко-часов для её выполнения, что позволяет при планировании более точно сопоставлять количество работников и сроки выполнения задания.

Суммарные человеко-часы являются результатом умножения количества работников на время, потраченное на работу. То есть 40 человеко-часов формируют 1 человек, работающий 40 часов, или 2 человека, работающие 20 часов, или 4 человека, работающие 10 часов и т. д."

Иногда при решении задачи удобно найти, сколько человеко-часов требуется для изготовления единицы продукции. Например, если в условии сказано, что один рабочий делает за час две детали, следовательно, на изготовление одной детали требуется человеко-часа.

Так как в каждой области имеем по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки, получаем 500 человеко-часов в сутки в каждой области.

Пусть в первой области добывается кг алюминия и кг никеля в сутки. Во второй области, соответственно кг алюминия и кг никеля в сутки.

В первой области один рабочий за час добывает

0,2 кг алюминия, следовательно, на изготовление 1 кг алюминия требуется 5 человеко-часов, и на добычу кг алюминия человеко-часов,

0,1 кг никеля, следовательно, на изготовление 1 кг никеля требуется 10 человеко-часов, и на добычу кг никеля человеко-часов.

Так как за сутки вырабатывается всего 500 человеко-часов, получаем первое уравнение:

Во второй области на изготовление кг алюминия требуется человеко-часов, и на изготовление кг никеля требуется человеко-часов.

Так как за сутки вырабатывается всего 500 человеко-часов, получаем второе уравнение:

Всего в обоих областях добывается кг алюминия и кг никеля.

По условию в сплаве на на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля, следовательно, никеля должно быть в два раза больше, чем алюминия. Получаем третье уравнение:

В итоге масса полученного сплава равна суммарной массе добытых металлов:

Или, учитывая последнее уравнение,

Получили систему:

Выразим все переменные через одну, например, через .

Из первого уравнения: .

Из второго уравнения: . (Сразу заметим, что .)

Подставим в третье уравнение:

Подставим выражение для в четвертое уравнение системы и получим функциональную зависимость массы сплава от переменной :

Где .

Найдем максимальное значение функции на отрезке .

Найдем производную и приравняем ее к нулю.

На отрезке производная равна нулю при . Легко проверить, что слева от производная положительна, а справа отрицательна, следовательно функция имеет на отрезке единственный максимум в точке , следовательно, в точке функция принимает наибольшее значение.

Найдем его.

В двух областях есть по 40 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий добывает за час 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать алюминий или никель, причем 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть суммарно в двух областях для нужд промышленности?

В каждой области рабочие в сутки вырабатывают человеко-часов.

По условию 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. В первой области один рабочий добывает за час 0,1 кг алюминия или 0,2 кг никеля, то есть никель добывать выгоднее. Тогда в первой области 40 рабочих за сутки добудут кг никеля.

Пусть во второй области в сутки добывают кг алюминия и кг никеля. Тогда при условии (1) нужно найти наибольшее значение суммы .

Из уравнения (1) выразим : .

Получим функцию зависимости массы металлов, добытых во второй области от : на отрезке .

Приравняем производную у нулю:

Промежутку принадлежит точка . Докажем, что - точка максимума функции . Слева от точки (например, в точке ) .

Справа от точки (например, в точке ) , следовательно, - точка максимума функции .

Найдем

В итоге, суммарная добыча металлов в в двух областях составит кг.

На каждом комбинате работает по 200 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает 1 деталь А или 3 детали В. На втором комбинате для изготовления деталей (и А, и В) требуется человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат,из которых собирают изделие,для изготовления которого нужна 1 деталь А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Пусть на первом комбинате за смену изготавливается деталей А и деталей В. На втором комбинате, соответственно деталей А и деталей В.

В каждую смену отрабатывается 200 человеко-смен.

Получим систему уравнений:

Из первого уравнения , из второго:

Подставим в третье уравнение:

Тогда

Найдем наибольшее значение функции на отрезке

Приравняем производную к нулю:

Нетрудно убедиться, что слева от точки производная положительна, а справа - отрицательна. Следовательно, точка - точка максимума функции

на отрезке

НО! Величины могут принимать только натуральные значения.

То есть наиболее близкие к точке максимума числа 13 и 14.

Рассмотрим :

Проверяем : . Мы получим наибольшее целое , если . Тогда

Если :

Ответ: 161.

Рассмотрим другое решение.

Решим в целых числах уравнение .

Возможны варианты:

; ;

Найдем для каждой пары значения и :

Получили тот же ответ: 161.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 кв. м и номера "люкс" площадью 49 кв. м. Общая площадь, которую можно отвести под номера составляет 630 кв. м. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 руб в сутки, а номер "люкс" - 5000 руб в сутки. Какую наибольшую сумму денег может заработать на своем отеле предприниматель?

Сначала посчитаем, какую прибыль приносит 1 кв. м номера каждого типа.

Стандартный номер имеет площадь 21 кв. м и приносит отелю 2000 руб в сутки, следовательно, 1 кв. м этого номера приносит отелю руб. в сутки.

Стандартный номер имеет площадь 49 кв. м и приносит отелю 5000 руб в сутки, следовательно, 1 кв. м этого номера приносит отелю руб. в сутки.

Очевидно, что "удой" с каждого квадратного метра номера "люкс" выше, чем с квадратного метра стандартного номера. То есть для предпринимателя выгоднее отвести под номера "люкс" максимальную площадь. Однако, он не может распределить площадь под номера произвольным образом - площадь, отведенная под стандартные номера должна быть кратна площади одного номера, то есть числу 21, а площадь, отведенная под номера "люкс" должна быть кратна числу 49.

Подберем соответствующее количество номеров. Предприниматель не может отвести всю площадь под номера "люкс", так как 630 не делится на 49.

Пусть предприниматель запланировал 1 стандартный номер. Тогда под номера "люкс" останется 630-21=609. 609 не делится на 49.

Пусть предприниматель запланировал 2 стандартных номера. Тогда под номера "люкс" останется 630-42=588. 588 делится на 49. 588:49=12

Итак, предприниматель получит максимальную сумму денег, если запланирует 2 стандартных номера и 12 номеров люкс.

И эта сумма равна:

Ответ: 64 000.

Заметим, что в этой задаче все так прекрасно устроилось, так как оказалось возможным решить в целых числах уравнение , где - количество стандартных номеров, и - количество номеров "люкс".

Если мы вместо числа 630 возьмем, например, число 653 (как предлагается в сборнике ЕГЭ 2016, Математика, 30 вариантов типовых тестовых заданий и 800 заданий части 2, (Ященко И.В., Волчкевич М. А., Высоцкий И.Р.), то легко убедиться, что уравнение не имеет решений в целых числах. Тогда, видимо, предприниматель не может отвести всю площадь без остатка под номера. И у него должна остаться "кладовочка".

Найдем, какую наибольшую сумму получит предприниматель в этом случае.

Пусть предприниматель всю площадь отведет под номера "люкс". Тогда у него получится 13 номеров и останутся неиспользованными 16 кв. м. (653:49=13(16)) Доход в этом случае составит руб.

Пусть предприниматель запланировал 1 стандартный номер. Тогда под номера "люкс" останется 653-21=632 м. 632:49=12(2). То есть можно будет спроектировать 12 номеров "люкс", останутся неиспользованными кв. м. На этой площади можно разместить еще два стандартных номера, и останутся неиспользованными 2 кв. м. Доход в этом случае составит руб.

Ответ: 66 000.

Презентации.

Источник задания: Решение 3852. ЕГЭ 2016 Математика, И.В. Ященко. 30 вариантов. Ответ.

Задание 17. На каждом из двух комбинатов работает по 100 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t^2 человеко-смен.

Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Решение.

Для изготовления изделия нужна 1 деталь А и 3 детали В. На втором комбинате число рабочих должно распределяться так, чтобы из их числа извлекался квадратный корень (так как за смену должно изготавливаться целое число деталей). Из 100 человек квадратный корень можно извлечь при следующих распределениях рабочих на две группы:

То есть на втором комбинате будет изготавливаться за смену деталей А и деталей В.

На первом комбинате рабочие должны быть распределены так, чтобы они изготавливали деталей B в 3 раза больше, чем деталей А с учетом производства этих же деталей на втором комбинате. Пусть x рабочих изготавливают деталь А на первом комбинате, тогда 100-x рабочих будут изготавливать деталь В. Так как за смену один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В, то можно записать следующее отношение:

,

Окружной конкурс творческих работ учащихся

«Интеллект, творчество, фантазия»

Секция: математика

ТЕМА: «Особенности решения текстовых задач

с экономическим содержанием»

Выполнила: Давыдова Елена Петровна,

ученица 10 класса

ГБОУ лицея (экономического) с. Исаклы

Научный руководитель:

Кузаева Валентина Николаевна,

учитель математики высшей категории

Исаклы

2017

I . Введение;

II . Основная часть

Глава 1. Задачи по кредитованию;

Глава 2. «Банковские» задачи;

Глава 3. Задачи на оптимизацию;

III . Заключение;

IV . Список использованной литературы.

I . Введение

Появление в заданиях ЕГЭ по математике профильного уровня новой практико-ориентированной задачи №17 обуславливает актуальность выбранной темы . В данных задачах учащимся предлагается ознакомиться с разными банковскими операциями: кредитование, вклады. Также есть задачи, связанные с оптимальным выбором, которые требуют решения по определенным структурам.

Теоретическая значимость проведённого исследования состоит в том, что оно поможет выпускникам научиться решать экономические задачи.

Практическая значимость работы определяется тем, что результаты исследования могут быть использованы учащимися при решении задач профильного уровня на ЕГЭ.

Проблема: Ученики, сдающие ЕГЭ по профильной математике, при анализе задачи №17(экономические задачи) испытывают трудности или вовсе не могут ее решить.

по региону за 2016 год

Статистика решающих задачу № 17

по лицею за 2016 год

Гипотеза: приобретение практических навыков при решении экономических задач профильного уровня позволит мне успешно сдать ЕГЭ по математике, а также поможет в профессиональном становлении личности.

Задачи:

классифицировать экономические задачи по типам и видам;

изучить алгоритм решения экономических задач;

научиться решать экономические задачи, относящиеся к разным типам и видам;

создать сборник экономических задач с решениями.

Методы исследования:

сбор конкретной информации (изучение литературы);

анализ полученной информации;

систематизация полученной информации.

Результаты исследования:

проект;

слайдовая презентация;

сборник задач.

Объект исследования – экономические задачи.

Предмет исследования – особенности решения экономических задач.

II . Основная часть

Глава 1. Задачи по кредитованию

Кредит – это ссуда, предоставленная банком заемщику под определенные проценты за пользование деньгами. Как известно, существует два вида платежей по кредиту: дифференцированный и аннуитетный.

Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши, растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности, начисленный процент, дополнительные комиссии и сборы банка (при наличии). При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым.

Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате.

Такие виды платежей рассматриваются в КИМах по математике ЕГЭ 2015-2017 года. Но кроме этих известных схем осуществления платежей по кредиту существуют и индивидуальные схемы расчета платежей по кредиту. Эти схемы представлены в задании №17 по математике профильного уровня.

Решение задач о кредитах в настоящее время очень актуально, так как жизнь современного человека тесно связана с экономическими отношениями, в частности, с операциями в банке.

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?

Решение: Кредит А = 9 930 000 рублей;

срок – 3 года;

начисление 10% – увеличение в 1,1 раза(k =1,1) ;

выплаты – х рублей ежегодно.

долг

выплаты

остаток

Ответ: 3 993 000 рублей.

Иван хочет взять в кредит 1 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка 10% годовых. На какое минимальное количество лет Иван может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты не превышали 250 тысяч рублей?

Решение:

Год

Долг Ивана до начисления процентов

Долг Ивана банку после начисления процентов

Долг Ивана банку после внесения им суммы ежегодного платежа

1

1 000 000

1 100 000

850 000

2

850 000

935 000

685 000

3

685 000

753 500

503 500

4

503 500

533 850

303 850

5

303 850

334 235

84 235

6

Меньше 100 000

Меньше 110 000

В последней строчке применятся метод оценки, чтобы не считать 10% от 84 235. Мы строго показали, что 5 лет Ивану не хватит для возвращения кредита, а 6 лет-хватит.

Ответ: 6 лет.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Ответ: 2 296 350.

31 декабря 2014 года Ярослав взял в банке некоторую сумму в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Ярослав переводит в банк 2 132 325 рублей. Какую сумму взял Ярослав в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Ответ: 6 409 000.

Оля хочет взять в кредит 100 000 рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10 % годовых. На какое минимальное количество лет может Оля взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 24000 рублей? Ответ: 6.

1 января 2015 года Павел Витальевич взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Павел Витальевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Павел Витальевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 125 тыс. рублей? Ответ: 9.

Глава 2. «Банковские» задачи»

Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?

Решение: Пусть для определенноcти Миша и Маша 15.01.12 положили в банк x рублей. Подготовим выписки из лицевых счетов Маши и Миши.

Выписка из лицевого счета Маши.

операции

Наименование операции

15.01.12

Принято от клиента

15.01.13

Начислено на остаток

1,1x

15.01.13

Принято от клиента

5000

1,1x + 5000

15.01.14

Начислено на остаток

15.01.14

Выдано клиенту

5000

15.01.15

Начислено на остаток

15.01.15

Выдано клиенту

операции

Произведенная операция и на какую сумму

Остаток на счете клиента (руб.)

Наименование операции

На какую сумму (руб.)/ размер в %

15.01.12

Принято от клиента

15.01.13

Начислено на остаток

1,1x

15.01.13

Выдано клиенту

5000

1,1x - 5000

15.01.14

Начислено на остаток

15.01.14

Принято от клиента

5000

15.01.15

Начислено на остаток

15.01.15

Выдано клиенту

на 1 100 рублей

Итак, Маша по­лу­чи­ла на 1100 руб. боль­ше, чем Миша.

Ответ: Маша; на 1 100 рублей

Алексей приобрел ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Решение (на основе логического мышления):

Продать ценную бумагу нужно в том момент, когда 10% от стоимости станут составлять не менее 2 тыс. рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 20 тыс. рублей.

Это произойдет через семь лет после покупки ценной бумаги, когда ее стоимость будет равна 21 тыс. рублей (7 000 + 2000 * 7=21 000). И в этот момент 10% от стоимости этой бумаги будут равны 2100 рублей (21 000 * 0,10=2 100) то есть больше, чем 2000 р. Значит, надо продать бумагу, а вырученные деньги положить на счет в банке.

Таким образом, ценную бумагу нужно продать в течение восьмого года.

Ответ: 8.

Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу? Ответ: 251.

Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая сумма будет на счете у Василия через 4 года? Ответ: 1 948 353.

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после начисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу? Ответ: 1197.

Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей? Ответ: 6.

Глава 3. Задачи на оптимизацию

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию или экстремальные задачи. Эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. Как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Экстремальные задачи с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими. Решая задачи указанного типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, с другой – большую и эффективную их применимость к решению практических, жизненных задач. Такая постановка экстремальных задач способствует расширению сферы приложений учебного материала, повышает роль этих задач в осуществлении глубокой цели математического образования школьников – обучать приложению математики в различных областях человеческой деятельности. Экстремальные задачи помогают школьнику ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций.

Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние?

Решение: Обозначим буквой t время, прошедшее после так называемого начального времени. Поскольку каждый велосипедист движется по взаимно перпендикулярным дорогам, говоря иначе по катетам некоторого прямоугольного треугольника, то расстояние между ними будет меняться по гипотенузе этого же прямоугольного треугольника, длина которого вычисляется по теореме Пифагора. Если f(t) - квадрат длины гипотенузы в каждый момент времени, то будем иметь:

Итак, У данной квадратичной функции есть наименьшее значение, которое достигается при
.

Ответ : 6,96 ч; 0,6 км.

На каждом из двух комбинатов работают по 100 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t2 человеко-смен. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий может собрать комбинат при таких условиях?

Решение: Пусть на первом комбинате х человек изготавливают деталь А, по 3 штуки за смену. Значит, всего 3х деталей А. Тогда (100 –х) человек изготавливают деталь В, по 1 штуке за смену. Всего (100-х) деталей В.

Пусть на втором комбинате изготавливают a деталей А и b деталей В. Тогда на изготовление деталей А требуется человеко-смен, а для изготовления детали В человеко-смен. По условию
, так как в одну смену трудятся все 100 рабочих второго комбината. Сведем все данные в таблицу:

1 деталь А и 3 детали В. В противном случае лишние детали будут залеживаться, из них нельзя будет собрать изделие, пока не будет готова другая деталь. Значит, 3(3х +a ) = 100 – х +b ; 10х= 100 + b – 3a . (1)

В каждом изделии содержится 1 деталь А и 3 детали В. Значит, общее количество изделий равно числу изделий А.

Так как a и b – целые числа и , то возможны следующие случаи:

1) a =0, b =10. Тогда из равенства (1) х=11 и 3х +a =3∙11 +0=33.

2) a =10, b =0. Тогда из равенства (1) х=7 и 3х +a =3∙7 +10=31.

3) a =6, b =8. Тогда х=9 и 3х +a =33.

4) a =8, b =6. Тогда х=8,2 – не является целым числом.

Значит, наибольшее количество изделий равно 33.

Ответ: 33.

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? Ответ: 84 млн.

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель? Ответ: 125 000.

III . Заключение

Перед началом работы я выдвинула гипотезу , что приобретенные практические навыки при решении экономических задач профильного уровня позволят мне успешно сдать ЕГЭ по математике.

Я считаю, что поставленную перед собой цель достигла:

В ходе исследования я выделила 3 вида экономических задач:

По кредитованию;

На оптимизацию;

- «банковские задачи»;

Изучила данную тему более углубленно, чем в школьном курсе;

Создала сборник текстовых задач с экономическим содержанием.

Мой сборник может быть использован другими учащимися при подготовке

к экзаменам. Он издан в печатном и в электронном варианте.

IV . Список использованной литературы

1. «Математика. Профильный уровень. Типовые задания. ЕГЭ 2017», авт.

И.В. Ященко, Москва, изд. «Экзамен»;

2. Учебное пособие «Тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ по математике 2017», авт. А. А. Максютин, С. В. Богатырев, Самара, изд. СИПКРО;

3. «Практико-ориентированные задачи в заданиях ЕГЭ по математике: сборник экономических задач и задач на оптимизацию по математике», авт. Г. М. Конева, Улан-Удэ, изд. Бурятского гос. Университета, 2017.

4. Алгебра и начала математического анализа 10 класс (углубленный уровень), авт. Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С. И. Шварцбурд, Москва, изд. «Мнемозина», 2014;

5. Алгебра 9 класс (углубленный уровень), авт. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и др., Москва, «Мнемозина», 2013.

Интернет- ресурсы:

https://ege.sdamgia.ru

www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

www.fipi.ru

http://nic-snail.ru

http://easyen.ru – Современный учительский портал

http://www.uchportal.ru – Учительский портал

https://math-ege.sdamgia.ru /

http://base.mathege.ru/

Задачи на оптимальный выбор
1. В 1­е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум
классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом
пределения
посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно
быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
23. После рас
―
2. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно
распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их
суточная зарплата составляет 4t2 у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их
суточная зарплата составляет t2у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду
рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е.
в этом случае придется заплатить рабочим?
3. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к пе­
рекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от
перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. через сколь­
ко минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние.
4. Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома сле­
дом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка
догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при
котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?
5. В бассейн проведены три трубы. Первая труба наливает 30 м3 воды в час. Вторая труба наливает в час на
3V м3 меньше, чем первая (0 < V < 10), а третья труба наливает в час на 10V м3 больше первой. Сначала первая и
вторая трубы, работая вместе, наливают 30% бассейна, а затем все три трубы, работая вместе, наливают
оставшиеся 0,7 бассейна. При каком значении V бассейн быстрее всего наполнится указанным способом?
6. Садовод привез на рынок 91 кг яблок, которые после транспортировки разделил на три сорта. Яблоки
первого сорта он продавал по 40 руб., второго сорта – по 30 руб., третьего сорта – по 20 руб. за килограмм.
Выручка от продажи всех яблок составила 2170 руб. Известно, что масса яблок 2­го сорта меньше массы яблок
3­го сорта на столько же процентов, на сколько процентов масса яблок 1­го сорта меньше массы яблок 2­го
сорта. Сколько килограммов яблок второго сорта продал садовод?
7. Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на
баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и
стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн.
руб.соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров,
перевозимых баржей при данных условиях.
8. Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одина­
ковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t3часов в
неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе,
трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо,
чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу
заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
9. Саша положил некоторую сумму в банк на 4 года под 10% годовых. Одновременно с ним Паша такую же
сумму положил на два года в другой банк под 15% годовых. Через два года Паша решил продлить срок вклада
еще на 2 года. Однако к тому времени процентная ставка по вкладам в этом банке изменилась и составляла
уже p% годовых. В итоге через четыре года на счету у Паши оказалась большая сумма, чем у Саши, причем эта
разность составила менее 10% от суммы, вложенной каждым первоначально. Найдите наибольшее возможное
целое значение процентной ставки.
10. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать

картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом
поле составляет 300 ц/га, а на втором - 400 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 11 000

11. В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче


день требуется у2 человеко­часов труда.

заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
12. На каждом из двух заводов работает по 100 человек. На первом заводе один рабочий изготавливает за
смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором заводе для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t2 человеко­
смен. Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделие, причем для его изготовления нужна
1 деталь А и 3 детали В. При этом заводы договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно
было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за
смену?
13. В 1­е классы поступает 43 человека: 23 мальчика и 20 девочек. Их распределили по двум классам: в
одном должно получиться 22 человека, а в другом
пределения посчитали процент мальчиков в
каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная
сумма была наибольшей?
21. После рас
―
14. Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами
начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также про­
изводственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только
данным видом продукта.

Вид начинки
Себестоимость
(за 1 тонну)
Отпускная цена
(за 1 тонну)
Производственные
возможности
ягоды
творог
70 тыс. руб.
100 тыс. руб.
90 (тонн в мес.)
100 тыс. руб.
135 тыс. руб.
75 (тонн в мес.)

Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждо­
го вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос
(реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от про­
изводства блинчиков за 1 месяц.
15. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары - стеклянной и жестяной. Произ­
водственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80
центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми
сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены
себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары
стеклянная
жестяная
Себестоимость,
1 ц.
Отпускная цена,
1 ц.
1500 руб.
1100 руб.
2100 руб.
1750 руб.

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально воз­
можную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продук­
ции и её себестоимостью).
16. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при
объёме t2 Гбайт входящей в него информации выходит 20t Гбайт, а с сервера №2 при объёме t2 Гбайт входящей в
него информации выходит
Гбайт обработанной информации; 25 < t < 55. Каков наибольший общий объём вы­
ходящей информации при общем объёме входящей информации в 3364 Гбайт?
17. Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одина­
ковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммар­
но t2 часов в неделю, то за эту неделю они производт t единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на
заводе, расположенном во втором городе, - 200 рублей.

Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество
единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
18. Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно оди­
наковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то
за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, тру­
дятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.
Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количе­
ство единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
19. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x2 + x + 7 млн рублей в год. При цене p тыс.

наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей?
20. Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x2 + 2x + 5 млн рублей в год. При цене p тыс.
рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px − q. При каком
наименьшем значении p через четыре года суммарная прибыль составит не менее 52 млн рублей?
21. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на
таком заводе равны
млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за
единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит
. Когда завод будет
построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком
наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
22. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать
картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность
картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом
поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.
Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 8000 руб. за
центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
23. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть стандартные но­
мера площадью 27 квадратных метров и номера «люкс» площадью 45 квадратных метров. Общая площадь, кото­
рую можно отвести под номера, составляет 981 квадратный метр. Предприниматель может поделить эту пло­
щадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки,
а номер «люкс» - 4000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своём
отеле предприниматель?
24. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные но­
мера площадью 30 квадратных метров и номера «люкс» площадью 40 квадратных метров. Общая площадь, кото­
рую можно отвести под номера, составляет 940 квадратных метров. Предприниматель может определить эту
площадь между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 4000 рублей в
стуки, а номер «люкс» - 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на
своем отеле предприниматель?
25. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 20 рабочих, каждый из которых
готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во вто­
рой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за
час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.




26. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых
готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во вто­
рой шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за
час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алю­
миния и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между
собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

27. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,2 кг никеля. Во
человеко­часов труда, а для добычи y кг никеля в
день требуется
человеко­часов труда.


собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
28. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во
второй области для добычи х кг алюминия в день требуется
человеко­часов труда, а для добычи у кг никеля в
день требуется
человеко­часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алю­
миния и никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между
собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
29. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добы­
че алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во
второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко­часов труда, а для добычи у кг никеля в

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алю­
миния и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между
собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько кило­
граммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
30. В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на
добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля.
Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко­часов труда, а для добычи у кг никеля
в день требуется y2 человеко­часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно

промышленности?
31. Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 3 млн.руб. Вася может купить ее в кредит, при

платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 180% превышающую исходную. Вместо этого, Вася
может какое­то время снимать квартиру (стоимость аренды
кладывая каждый месяц
на покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после упла­
ты арендной платы за съемную квартиру. За какое время в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если

15 тыс. руб. в месяц), от
―
32. Вася мечтает о собственной квартире, которая стоит 2 млн руб. Вася может купить ее в кредит, при
этом банк готов выдать эту сумму сразу, а погашать кредит Васе придется 20 лет равными ежемесячными
платежами, при этом ему придется выплатить сумму, на 260% превышающую исходную. Вместо этого, Вася
может какое­то время снимать квартиру (стоимость аренды – 14 тыс. руб. в месяц), откладывая каждый месяц на
покупку квартиры сумму, которая останется от его возможного платежа банку (по первой схеме) после уплаты
арендной платы за съемную квартиру. За сколько месяцев в этом случае Вася сможет накопить на квартиру, если
считать, что стоимость ее не изменится?
33. Некто в 2016 году взял в банке кредит в 6,6 млн рублей под процент, который начисляется один раз в
год в середине года. В 2017, 2018 и 2019 году, в начале года, он вносил равные суммы так, что после начисления
процента на оставшуюся сумму в июле, долг на конец года был равен 6,6 млн. рублей. Затем, в 2020 и 2021 году,
остаток долга выплачивался равными суммами так, что кредит был закрыт в 2021 году. Каков был процент по
кредиту, если за весь период кредитования было выплачено 12,6 млн. рублей?
34. В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во

день требуется y2 человеко­часов труда.
Для нужд промышленности можно использоваться или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия
можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для
нужд промышленности?

35. В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче
алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во
второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко­часов труда, а для добычи y кг никеля в
день требуется y2 человеко­часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно
заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд
промышленности?
36. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать
картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность
картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом
поле составляет 200 ц/га, а на втором - 300 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 13 000
руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
37. Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к
концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго - 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого
года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25%
годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
38. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят
тыс. рублей в конце
В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги
года
раз.
на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в
Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма
на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце
двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?

39. Фермер в октябре продавал картофель в два раза дешевле, чем в марте. При этом выручка
от продажи картофеля в октябре оказалась на 53% ниже по сравнению с мартом. Определите, на
сколько процентов меньше картофеля продал фермер в октябре, чем в марте?
40. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет
погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще
через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину
полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
41. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно,
выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за
три дня?