Прочитав данную главу, вы будете знать:
- o декурсивный и антисипативный способы;
- o учет влияния инфляции.
Расчет стоимости предприятия (бизнеса), как и большинство экономических расчетов, основывается на вычислении процентов декурсивным или антисипативным (предварительным) способом и теории аннуитетов.
Проценты - это доход в различных формах от предоставления финансовых средств (капитала) в долг или инвестиций.
Процентная ставка - показатель, характеризующий величину дохода или интенсивность начисления процентов.
Коэффициент наращения - величина, показывающая соотношение наращенного первоначального капитала.
Период начисления - промежуток времени, по истечении которого начисляются проценты (получается доход). Период начисления может делиться на интервалы начисления.
Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление части процентов. Проценты могут начисляться в конце интервала начисления (декурсивный способ) или в начале (антисипативный или предварительный способ).
Декурсивный способ
Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) - это отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода.
Когда после начисления дохода за период этот доход выплачивается, а в следующий период процентный доход начисляется на первоначальную сумму, тогда используется формулы начисления простых ставок ссудных процентов.
Если ввести обозначения:
i (%) - годовая ставка ссудного процента (income); i - относительная величина годовой ставки процентов; I - сумма процентных денег, выплачиваемых за период (год);
P - общая сумма процентных денег за весь период начисления;
Р - величина первоначальной денежной суммы (present value);
F - наращенная сумма (future value);
k n - коэффициент наращения;
п - количество периодов начисления (лет);
d - продолжительность периода начисления в днях;
К - продолжительность года в днях К = 365 (366), то декурсивная процентная ставка (i):
Отсюда (6.1)
Тогда коэффициент наращения:
Если интервал наращения меньше одного периода (года) , то
Определение величины наращенной суммы F (future value) называется компаундингом (compounding).
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по простой ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму.
По формуле (6.1):
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 182 дня, год обыкновенный, по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.
По формуле (6.2):
Иногда возникает необходимость решить обратную задачу: определить величину первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value), зная, какой должна быть наращенная сумма F (future value):
Определение величины первоначальной (текущей, приведенной) суммы р (present value) называется дисконтированием (discounting).
Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо положить на депозит по простой ставке 12% годовых.
Преобразуя формулы 6.1-6.3, можно получить
Процентные ставки в разные периоды могут изменяться.
Если в течение различных периодов начисления п , п 2 ,..., n N , используются различные ставки процентов i 1 , i 2 ,..., i N , где N - общее количество периодов начисления, то сумма процентных денег в конце периодов начисления при ставке процентов i 1 :
где n 1 - количество периодов начисления при ставке процентов i 1 в конце периодов начисления при ставке процентов и т.д.
Тогда при JV-периодах начисления наращенная сумма (N - номер последнего периода) при любом :
где коэффициент наращения: (6.5)
Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 2,5 года по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.
По формуле (6.5): k n = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.
По формуле (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.
Обратная задача:
Если п к = 1, то , (6.7)
где коэффициент наращения:. (6.8)
Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i
По формуле (6.8): k n = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.
По формуле (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.
Когда после начисления дохода за период этот доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого периода (к сумме, создавшей этот доход), и в следующий период процентный доход начисляется на всю эту сумму, тогда используются формулы начисления сложных процентов.
Если к представленным обозначениям добавить:
i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов;
k nc - коэффициент наращения в случае сложных процентов;
j - номинальная ставка сложных ссудных процентов, по которой вычисляется поинтервальная ставка сложных ссудных процентов, то за период начисления, равный году, наращенная сумма - составит: . За второй период (через год): и т.д.
Через п лет наращенная сумма составит:
где коэффициент наращения k nc равен:
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.
По формуле (6.9)
Решая обратную задачу:
где - коэффициент дисконтирования.
Коэффициент дисконтирования - величина, обратная коэффициенту наращения:
Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо вложить на депозит по сложной ставке 12% годовых.
Сравнивая коэффициенты наращения, при начислении простых и сложных процентов видно, что при п > 1. Чем больше периодов начисления, тем больше различие в величине наращенной суммы при начислении сложных и простых процентов.
Можно определить другие параметры:
п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в двух видах:
где п - не кратное целому числу периодов начисления сложных процентов;
где п = п ц + d - общее количество периодов (лет) начисления, состоящее из целых и нецелого периодов начисления; п п d - количество дней нецелых (неполного) периода начисления; К = 365 (366) - количество дней в году; i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов.
Оба варианта правомочны, но дают разные значения из-за разной точности вычисления.
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года 6 месяцев по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.
- 1) F = 25 000 (1 + 0,12) 3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб.;
- 2) F = 25 000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180: 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.
Величина годовой ставки сложных процентов i 1 , i 2 ,..., i N может быть разной в течение различных периодов начисления n 1 , n 2 ,..., n N .
Тогда наращенная сумма в конце первого периода (года) начисления:
Во втором периоде (через год):
В n-периоде (за п периодов (лет)):
Тогда коэффициент наращения:
Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по сложной ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.
По формуле (6.14): k nc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.
По формуле (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.
Обратная задача:
Если начисление сложных процентов производится поинтервально, т.е. несколько раз за период, то формула начисления за интервал
где j = i - номинальная ставка сложных ссудных процентов; т - количество интервалов начисления в периоде (поквартально, ежемесячно и т.д.).
Доход за интервал присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.
Тогда наращенная сумма при поинтервальном начислении за каждый период через п периодов (лет) составит
Кроме того, можно определить другие параметры:
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на п = 3 года по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = 2. Определите наращенную сумму.
По формуле (6/16) 
.
Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде
где п п - количество целых (полных) периодов (лет) начисления; р - количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т.е. р < m;d - количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления.
Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на и =3 года 8 месяцев, 12 дней по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = = 2. Определите наращенную сумму.
Тема: Математические основы финансового менеджмента
Вопросы:
Способы начисления процентов
Сущность простых и сложных процентов
Методы оценки аннуитетов
Ответы:
1.Способы начисления процентов
Процента – это доход от предоставления капитала в долг в различных формах либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Наращение первоначальной суммы долга – это увеличение суммы долга за счёт присоединения начисленных процентов (дохода).
Коэффициент наращения – это величина, показывающая во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления – это промежуток времени, за который начисляются проценты.
Существует 2 способа определения и начисления процентов:
Дискурсивный способ начисления процентов – проценты начисляются в конце каждого интервала, хи величина определяется исходя из величины предоставляемого капитала, дискурсивная процентная ставка представляет собой выраженное в процентах отношение суммы начисленного, за определённый интервал, дохода к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипотивный способ начисления процентов – проценты начисляются в начале каждого интервала, сумма процентных денег определяется исходя из наращенной сумме. Процентной ставкой будет, выраженное в процентах отношение суммы дохода, выплачиваемого за определённый период к величине наращённое суммы, полученной по прошествии этого интервала.
В мировой практике дискурсивный способ наращения процентов получил наибольшее распространение, а антисипотивный способ наращения процентов рассматривается как банковское дисконтирования или банковский учёт векселей, и обычно применяется в периоды высоких темпов инфляции.
2.Сущность простых и сложных процентов
Известны 2 основные схемы дискретного начисления процентов:
Схема простых процентов предполагает неизменность базы с которой происходит исчисление. Процесс дисконтирования по схеме простых процентов определяется по формуле:
Схема сложных процентов предполагает изменность за счёт капитализации процентов начисленных но не выплаченных к основной сумме. Наращение сложных процентов:
Мультиплицирующий множитель в процессе наращения для определения бедующей стоимости, его значения табулированы.
Процесс в котором заданы исходная сумма и ставка называется процессом наращения, искомая величина – наращенной суммой, а используемая в операции ставка – ставкой наращения.
Процесс в котором заданы ожидаемая в будущем к получению сумма и ставка называется процессом дисконтирования , искомая величина – приведённой суммой , а используемая в операции ставка – ставкой дисконтирования.
Процесс дисконтирования по простым процента осуществляется по формуле:
Процесс дисконтирования по схеме сложных процентов осуществляется по формуле:
Дисконтирующий множитель ля определения настоящей суммы, его значения табулированы.
4.Методы оценки аннуитетов
Поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течении определённого количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).
Примеры аннуитетов: пенсионный фонд, погашение заёмщиком кредита.
Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения задач:
Прямой – т.е. производится оценка с позиции будущего и реализуется схема наращения (Схема наращения аннуитета постнумерандо.
А-сумма аннуитета
FM3(i;n) – мультиплицирующий множитель для аннуитета в процессе наращения, значения так же табулированы
Схема наращения для аннуитета пренумеранда реализуется по формуле
FV=A*FM3(i;n)*(1+i)
Обратной, т.е. проводится оценка с позиции настоящего, реализуется схема дисконтирования.
Процесс дисконтирования для аннуитета постнумеранда осуществляется по формуле
A*FM4(i;n) –дисконтирующий множитель для аннуитета, его значения так же табулированы.
Процент дисконтирования для пренумерендо: =A*FM4(i;n)*(1+i)
Коэффициент дисконтирования позволяет определить, сколько стоит что-то из прошлого в настоящем или будет стоить в будущем. Стоит рассмотреть простой пример: предположим, вы получаете какую-то сумму на свой расчетный счет, потому что когда-то сделали удачное вложение и теперь получаете заслуженные дивиденды. Означает ли, что подлинная стоимость вклада в прошлом - это прибыль, получаемая в настоящий момент? Во многом. Но не все так неоднозначно, ведь следует еще оценить риски, которыми сопровождалась эта инвестиция, а они есть всегда.
Однако случаются ситуации, когда на вопрос о будущей или настоящей стоимости какого-либо действия (ренты или актива) в прошлом требуется ответить сейчас. Четко, конкретно, в цифрах. Пример такой необходимости - обоснование заявки на кредитование в банке. Один доллар сегодня - это меньше, чем один доллар завтра. И когда финансовый институт будет одобрять ссуду, он хотел бы видеть, что заемщик понимает это. Поэтому при кредитовании какого-либо проекта непременно требуется осуществить расчет приведенных потоков денежных средств различной природы: как выручки, так и издержек.
Но применение процедуры дисконтирования осуществляется не только банками. Во многом это необходимо самим предпринимателям в процессе планирования для того, чтобы не допускать фатальных ошибок с рентабельностью бизнес-процессов. Отчасти поэтому коэффициент дисконтирования иногда называют подлинной стоимостью ренты. Разобраться в процессе расчета и экономическом смысле получаемых результатов предлагается на страницах этой статьи.
Природа ставки дисконтирования: стоимость времени
Время - деньги. Верно, хоть и не тождественно. У этого закона есть логически выверенное обоснование, лежащее в плоскости экономики. Речь идет о возможности создания благ, имеющих рыночную оценку. Допустим, человек, имеющий в кармане 10 долларов, приобретает на эти деньги какой-либо пользующийся спросом товар - например, яблоки. Далее следует их перепродажа с наценкой, предположим, в 10%. Вся операция у него занимает 1 день. Тогда на начало следующего дня у человека будет уже 11 долларов, а стоимость одного дня времени у него будет равна 1 доллару.
Именно сама возможность использовать деньги для создания добавленной стоимости и рождает природу процента за их использование. С наступлением времени, когда рынки (в т.ч. финансовые) стали работать по правилам, процент по кредитам, выдаваемым банками, стал отражать фактическую возможность и размер заработка в экономике.
И отсюда следует, что процент, как заработок, можно рассмотреть в двух проекциях:
- бухгалтерский (фактический) процент. Это та величина, которая прописывается в кредитном договоре.
- экономический процент (экономическая прибыль). Это превышение фактического процента над доходностью лучшей из альтернатив вложения этих же средств.
Это проще понять, если встать на позиции кредитного института (банка), ссужающего средства. По кредиту этот институт взимает фактический процент. Но если есть некий коммерческий проект, куда можно вложить те же деньги, вместо того, чтобы выдавать их по договору кредитования. Тогда экономический процент для банка будет рассчитываться, как разница между тем процентом, который идет по кредитному соглашению, и доходностью альтернативного проекта.
Если бухгалтерский процент всегда положительный, то экономический - далеко не всегда. Положительное значение экономического процента свидетельствует, что банк (или любое другое предприятие на его месте) наиболее рационально выбрал сферу предпринимательской активности. (Раз уж самая лучшая альтернатива менее доходна, чем профильная деятельность).
Конкретный пример: начиная с 1995 года внутренние государственные облигации РФ (ГКО) демонстрировали чудеса доходности. При 100% надежности (согласно теории) они выдавали 50%, 60% и даже 85% доходность по году (при инфляции, не превышавшей 24% годовых). Многие предприятия в стране фактически прекратили свою профильную деятельность, переведя свои оборотные средства на финансовый рынок, непрерывно прокручивая их с помощью ГКО. Особо догадливые одновременно с пулом облигаций приобретали фьючерс на валюту, чтобы захеджировать риски дефолта. Кризис 1998 года каждый переживал, как мог, но в предшествующие 3 года в стране наблюдался эффект замещения, когда сверхдоходность государственного долга, словно пылесосом вытягивала деньги из экономики. Экономический процент по любой деятельности в стране тогда был отрицательным.
Не случайно приводится пример, связанный с доходностью именно государственных облигаций. Кроме функций покрытия дефицита госбюджета они являются действенным инструментом, позволяющим властям регулировать норму прибыли в экономике. Доходность облигаций именуется ставкой процента. В здоровой ситуации, когда рынки максимально эффективны, фактическая прибыльность в различных отраслях равна ставке процента, т.е. экономический процент равен 0.
Таковой на конец 2016 года была признана ситуация на европейском рынке. Процентная ставка Европейского центрального банка с 10.03.2016г. равнялась 0%. Одновременно с этим многие крупные известные производители Германии, Италии и Франции заканчивали год также с нулевой экономической прибылью. Отсюда вывод - не всегда нулевой экономический результат говорит о низком качестве управления бизнесом. Иногда это свидетельство высокой эффективности рынков.
Обоснование теоретической и практической актуальности процентной ставки в экономике имеет здесь свои причины. Допустим, по каким-то причинам индивиду потребовалось узнать, какой бы капитал он имел бы сейчас, если бы 3 года назад продал свою квартиру. Если рассматривать вложения в гипотетический бизнес, или же вклады в различные банки и другие способы, то можно уйти весьма далеко от объективности. Все эти вложения имеют высокий риск (можно вообще все потерять). Именно поэтому принято брать в расчет процентную ставку по тем обязательствам, которые гарантированы финансовой мощью государства. Этот процент и будет стоимостью потраченного времени, и именно он является нормативом ставки дисконтирования.
Теперь немного математики. Во всех описанных выше примерах приводилось обоснование выбора той или иной нормы процента. А сейчас нам нужно произвести четкие расчеты. В этом нам поможет коэффициент дисконтирования.
Определение: коэффициент дисконтирования - это показатель, применяемый для приведения величины некой денежной величины к заданному моменту (называемому моментом приведения).
Этот показатель наглядно демонстрирует, какую сумму мы получим с учетом фактора времени (т.е. через определенный период), исходя из заданной ставки дисконтирования. Последний термин, согласно изложенному в предыдущем разделе, соответствует процентной ставке по обязательствам, гарантированным государством. Формула коэффициента дисконтирования такова:
n
Любопытен смысл показателя n. Здесь не ошибиться гораздо важнее, чем с определением корректной величины ставки дисконтирования. N говорит нам, сколько раз мы можем реинвестировать получаемые результаты деятельности (т.е. потенциально зарабатываемую прибыль).
Допустим, начинающий рантье 3 года назад приобрел загородный дом. Он помнит сумму сделки, а главное, отслеживает его текущую рыночную стоимость. И он бы хотел оценить эффективность своего вложения. Сделаем ряд допущений: предположим, дом был куплен за $1 000 000, сейчас стоит $1 200 000, ставка процента все три года оставалась на уровне 15% (по годовым депозитам в государственном банке). Тогда его расчеты будут выглядеть следующим образом:
- Рассчитываем коэффициент дисконтирования:
1 / (1 + 0,15) 3 = 0,572
- Умножаем текущую стоимость дома на коэффициент дисконтирования:
1 200 000 * 0,572 = 686 400
- Сравниваем эту дисконтированную стоимость с ценой покупки:
686 400 << 1 000 000
Это означает, что рантье прогадал. Если бы он не вложил 1 000 000 в недвижимость, а положил бы эти деньги на депозит, то на настоящим момент мог бы и дом купить, и осталось бы еще немало (т.к. для покупки дома за 1 200 000 сегодня нужно было 3 года назад положить на депозит только 686 400).
Коэффициент наращения
Но вышеприведенная формула годится не только для фиксации текущих результатов ошибок прошлого. Зачастую нам более интересен расчет, сколько нам может в будущем принести то или иное вложение, совершаемое сейчас. В этом случае принято говорить о коэффициенте наращения. Его формула:
(1 + Ставка наращения)n
n - количество инвестиционных периодов до момента приведения.
И здесь для понимания опять поможет наш пример с яблоками. Человек совершал полный цикл за 1 день. Для простоты допустим, что за тот же самый 1 день он сможет купить или продать любое количество яблок: хоть 10, хоть 1000, хоть 1000000. Тогда, регулярно совершая свои операции и имея прибыльность по ним в размере 10%, при стартовом капитале в 10 долларов человек через год зафиксирует капитал в размере:
$10 * (1+0,1) 365 = $12833055803133800
Чудовищная сумма! Однако она понимает осознать, насколько важен показатель реинвестиционных возможностей (в разах).
Ну какой должна быть норма процента годовых, чтобы обеспечить сходный доход. Не нужно считать, чтобы понять - процент будет фантастическим, запредельным. Конечно, в реальной жизни оборот займет гораздо более долгий срок. И чем больше будет яблок, тем сложнее станет их продавать. Да и 10% маржа неизбежно пойдет вниз (раз предложение станет увеличиваться). Однако этот пример приведен здесь для того, чтобы продемонстрировать превалирование важности сроков рекапитализации над значением статического процента. Уж если и торговаться, то за возможность уменьшения сроков реинвестирования.
Net Present Value
В мире финансов постоянно складываются ситуации, когда результат какого-то действия сильно разнесен по времени (и не важно, в прошлом ли, настоящем или даже в будущем). Тем не менее, этот результат нужно каким-то образом привести к единой цифре, чтобы, например, иметь возможность сравнения. А если речь идет о прибыли, которая фиксировалась на расчетном счету компании раз в месяц на протяжении пяти лет - как нам привести все к единой цифре? Просто для того, чтобы сравнить эту цифру с первоначальными вложениями и определить эффективность бизнеса.
В этом случае речь идет о высчитывании Net Present Value (NPV) или Чистый Дисконтированный Доход (ЧДД) (а также Чистая Приведённая Стоимость или даже Чистая Текущая Стоимость). Это сумма дисконтированных значений потока платежей, приведённых к какому-то дню в прошлом. Этот день в прошлом, как правило, и есть день, когда производилось вложение. Как очевидно следует из определения, NPV рассчитывается при осуществлении процедуры планирования. В частности, при составлении бизнес-планов.
Для получения этого значения мы должны дисконтировать все составляющие денежного потока (в нашем случае - ежемесячные показатели прибыли) и дисконтировать каждый из них по формуле:
1 / (1 + Ставка дисконтирования)n
Далее суммируем полученные результаты и из этой суммы вычитаем величину первоначальных вложений. Получившийся показатель NPV - это разность между всеми денежными поступлениями и тратами, приведёнными к моменту инвестирования. Фактически, это размер денежных средств, которые предприниматель ожидает получить от своего бизнеса, после истечения заданного промежутка времени.
В действительности мы получаем размер экономической прибыли (ЭП). Соотнеся ее с первоначальными инвестициями (ПИ), рассчитываем величину экономического процента (доходности) (ЭД):
ЭД = ЭП / ПИ *100%
Это реальная отдача от проекта - то, насколько доходность именно этого бизнеса превышает общий по экономике уровень.
Рента, состоящая из финансовых поступлений, оценивается единой суммой, в расчет которой входит временная стоимость всех ее составляющих. Таким образом, NPV допустимо интерпретировать как реальную добавочную стоимость, образующуюся в результате предпринимательской деятельности (какова бы ни была сфера деятельности).
Конечно же, здесь крайне важно правильно выбрать ставку дисконтирования. Выше обосновывался ее выбор на уровне процента по обязательствам, гарантированным государством. Но это не всегда бывает верно, и пример дефолта 1998 года это подтверждает. Не смотря на то, что это были государственные облигации, пирамида рухнула и очень многие потеряли все свои вложения. Корректно ли тогда при расчетах было бы использовать заоблачные 60% реальной доходности по ГКО? Конечно же, нет. Здесь нельзя успокаиваться, если в названии ценных бумаг присутствует слово «государственные». Ключ ко всему - правильная оценка рисков. Для индикатива нам нужна доходность, соответствующая минимальному риску (в идеале - нулевому). В случае с агрессивными заимствованиями с помощью ГКО риск дефолта был крайне высок и просматривался уже, начиная с 1996 года.
Внутренняя норма доходности
Внутренняя норма доходности (internal rate of return — IRR) — это процентная ставка, которая задействуется при расчете NPV.
IRR имеет непосредственное отношение к приведенному выше примеру. Теперь при обосновании чистой приведенной стоимости в бизнес-плане не нужно дотошно привязывать прибыльную ренту к ставке по гос. облигациям. Достаточно заявить некую норму IRR и обосновать ее выбор двумя аргументами:
- Приведя пример сферы деятельности, обладающей меньшей доходностью и меньшим же риском;
- Упомянув другую деятельность (но похожую по своей инвестиционной сути), но с большим риском и большей доходностью.
Однако IRR «подбирается» не только и не столько для возможных кредиторов. Прежде всего, внутренняя норма доходности - цель и ориентир для собственников бизнеса. Это ставка, относительно которой будут в дальнейшем меряться все процессы даже в окружающей бизнес-среде. И решение об инвестировании в некую другую отрасль будет приниматься после непременного сравнения доходности предполагаемого проекта с IRR существующего предприятия.
Это верно не только для предприятий, но и для частных лиц. Только в этом случае под инвестированием, как правило, понимается вклад в какую-либо обслуживающую финансовую организацию (будь то банк, брокерская компания или венчурный фонд). А в качестве внутренней нормы доходности используются ставка процента по существующему депозиту (например) в проверенном временем надежном банке.
Ставка IRR - это мерило многих процессов в жизни. На самом деле абсолютно все без исключения индивиды имеют свою IRR! В конце концов, это то, к чему хочется стремиться. Поэтому так важно выбрать корректный ее уровень. Ведь слишком большое значение показателя может привести к завышенным ожиданиям как в бизнесе, так и в жизни, а заниженное - к фатальной недооценке собственных возможностей.
Простой процент
:
,
где P
– первоначальный капитал, j –
t
– срок депозита (в годах), I –
называется наращенной суммой
(S). Итак, 
FV
. Коэффициент наращения
a
.) 
. -
S
, обозначают PV=
d
. Итак, 
.
Сложный процент: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.
Процент называется сложным,
когда после начисления процента начальный капитал вместе с наросшим процентом снова кладется на счет в банке, в следующем периоде времени процент нарастает не только с первоначального капитала, но также и с процента, наросшего в первом периоде. Наращенная сумма
, 
. Время между двумя последовательными капитализациями (начислениями) процента называется периодом капитализации процента 
,m- число капитализаций процента в течение года. Коэффициент наращения
a
(показывающий наращенную сумму в расчёте на одну денежную единицу первоначального капитала), находится по формуле: . Текущая стоимость
– это первоначальный капитал, обеспечивающий заданную наращенную сумму. 
. Коэффициент дисконтирования
d
(показывающий текущую стоимость в расчете на одну денежную единицу наращенной суммы). 
.
Смешанный метод начисления процентов при нецелом числе периодов капитализации: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.
В соответствии со смешанным методом, вначале нужно найти наращенную сумму для целого числа периодов капитализации в сроке депозита. (Здесь через обозначен срок депозита, выраженный в периодах капитализации. Заметим, что 
.) Эта сумма находится по формуле для сложного процента: 
. Затем, для оставшейся дробной части срока депозита начисляется простой процент с капитала (наросшего за целое число периодов капитализации ). Заметим, что периода капитализации – это года. Следовательно, к концу срока депозита наращенная сумма составит: 
. Учитывая, что , формулу можно также записать в виде: .
Общий метод начисления процентов при нецелом числе периодов капитализации: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.
В соответствии с общим методом, наращенная сумма ищется по формуле 
,где- S наращенная сумма, Р- первоначальный капитал, ,m- число капитализаций процента в течение года.
Эквивалентные процентные ставки: экономический смысл, критерий эквивалентности.
Две номинальные годовые процентные ставки и (с числом капитализаций процента в году и , соответственно) называются эквивалентными, если при одном и том же начальном капитале они обеспечивают одинаковый процент за равные промежутки времени. При конечных и условие эквивалентности номинальных годовых процентных ставок и запишется следующим образом: 
, в случае, если 
, условие эквивалентности имеет вид: 
.
Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени: экономический смысл и нахождение.
Стоимость последовательности платежей в произвольный момент времени
будем понимать количество денег, которое обеспечивается заданной последовательностью платежей в момент времени . 
,(10) где r – эффективная процентная ставка для периодов времени, в которых выражены сроки платежей 
.
Простой процент: наращенная сумма, текущая стоимость, коэффициенты наращения и дисконтирования.
Простой процент
определяется как произведение капитала, процентной ставки и времени:
,
где P
– первоначальный капитал, j –
номинальная годовая процентная ставка, t
– срок депозита (в годах), I –
простой процент (в денежном выражении). Сумма первоначального капитала и наросшего процента называется наращенной суммой
(S). Итак, . Наращенную сумму часто обозначают FV
. Коэффициент наращения
показывает наращенную сумму в расчете на одну денежную единицу первоначального капитала (a
.) .Приведенной (текущей) стоимость
-
первоначальный капитал, обеспечивающий наращенную сумму S
, обозначают PV=
Коэффициентом дисконтирования показывает текущую стоимость одной денежной единицы наращенной суммы, т.е. то количество денег, которое нужно положить на счет в настоящий момент времени для того, чтобы обеспечить одну денежную единицу наращенной суммы. Обозначаем буквой d
. Итак, .
