Сложные проценты. Начисление процентов

Прочитав данную главу, вы будете знать:

• o декурсивный и антисипативный способы;
• o учет влияния инфляции.

Расчет стоимости предприятия (бизнеса), как и большинство экономических расчетов, основывается на вычислении процентов декурсивным или антисипативным (предварительным) способом и теории аннуитетов.

Проценты - это доход в различных формах от предоставления финансовых средств (капитала) в долг или инвестиций.

Процентная ставка - показатель, характеризующий величину дохода или интенсивность начисления процентов.

Коэффициент наращения - величина, показывающая соотношение наращенного первоначального капитала.

Период начисления - промежуток времени, по истечении которого начисляются проценты (получается доход). Период начисления может делиться на интервалы начисления.

Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление части процентов. Проценты могут начисляться в конце интервала начисления (декурсивный способ) или в начале (антисипативный или предварительный способ).

Декурсивный способ

Декурсивная процентная ставка (ссудный процент) - это отношение суммы дохода, начисленного за определенный период, к сумме, имеющейся на начало данного периода.

Когда после начисления дохода за период этот доход выплачивается, а в следующий период процентный доход начисляется на первоначальную сумму, тогда используется формулы начисления простых ставок ссудных процентов.

Если ввести обозначения:

i (%) - годовая ставка ссудного процента (income); i - относительная величина годовой ставки процентов; I - сумма процентных денег, выплачиваемых за период (год);

P - общая сумма процентных денег за весь период начисления;

Р - величина первоначальной денежной суммы (present value);

F - наращенная сумма (future value);

k n - коэффициент наращения;

п - количество периодов начисления (лет);

d - продолжительность периода начисления в днях;

К - продолжительность года в днях К = 365 (366), то декурсивная процентная ставка (i):

Отсюда (6.1)

Тогда коэффициент наращения:

Если интервал наращения меньше одного периода (года) , то

Определение величины наращенной суммы F (future value) называется компаундингом (compounding).

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по простой ставке 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.1):

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 182 дня, год обыкновенный, по простой ставке процентов 12% годовых. Определить наращенную сумму.

По формуле (6.2):

Иногда возникает необходимость решить обратную задачу: определить величину первоначальной (текущей, приведенной) суммы Р (present value), зная, какой должна быть наращенная сумма F (future value):

Определение величины первоначальной (текущей, приведенной) суммы р (present value) называется дисконтированием (discounting).

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо положить на депозит по простой ставке 12% годовых.

Преобразуя формулы 6.1-6.3, можно получить

Процентные ставки в разные периоды могут изменяться.

Если в течение различных периодов начисления п , п 2 ,..., n N , используются различные ставки процентов i 1 , i 2 ,..., i N , где N - общее количество периодов начисления, то сумма процентных денег в конце периодов начисления при ставке процентов i 1 :

где n 1 - количество периодов начисления при ставке процентов i 1 в конце периодов начисления при ставке процентов и т.д.

Тогда при JV-периодах начисления наращенная сумма (N - номер последнего периода) при любом :

где коэффициент наращения: (6.5)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 2,5 года по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а за каждое последующее полугодие она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.5): k n = 1 + 0,18 + 0,5 (0,165 + 0,15 + 0.135) = 1,405.

По формуле (6.4): F = 250 000 х 1,405 = 351 250 руб.

Обратная задача:

Если п к = 1, то , (6.7)

где коэффициент наращения:. (6.8)

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по простой ставке процентов. Процентная ставка за первый год i

По формуле (6.8): k n = 1 + 0,18 + 0,165 + 0.15 + 0,135 + 0,12 = 1,75.

По формуле (6.7): F = 250 000 x 1,75 = 437 500 руб.

Когда после начисления дохода за период этот доход не выплачивается, а присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого периода (к сумме, создавшей этот доход), и в следующий период процентный доход начисляется на всю эту сумму, тогда используются формулы начисления сложных процентов.

Если к представленным обозначениям добавить:

i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов;

k nc - коэффициент наращения в случае сложных процентов;

j - номинальная ставка сложных ссудных процентов, по которой вычисляется поинтервальная ставка сложных ссудных процентов, то за период начисления, равный году, наращенная сумма - составит: . За второй период (через год): и т.д.

Через п лет наращенная сумма составит:

где коэффициент наращения k nc равен:

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

По формуле (6.9)

Решая обратную задачу:

где - коэффициент дисконтирования.

Коэффициент дисконтирования - величина, обратная коэффициенту наращения:

Пример. Через 3 года необходимо иметь сумму 16 500 руб. Какую сумму в этом случае необходимо вложить на депозит по сложной ставке 12% годовых.

Сравнивая коэффициенты наращения, при начислении простых и сложных процентов видно, что при п > 1. Чем больше периодов начисления, тем больше различие в величине наращенной суммы при начислении сложных и простых процентов.

Можно определить другие параметры:

п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в двух видах:

где п - не кратное целому числу периодов начисления сложных процентов;

где п = п ц + d - общее количество периодов (лет) начисления, состоящее из целых и нецелого периодов начисления; п п d - количество дней нецелых (неполного) периода начисления; К = 365 (366) - количество дней в году; i c - относительная величина годовой ставки сложных процентов.

Оба варианта правомочны, но дают разные значения из-за разной точности вычисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на 3 года 6 месяцев по сложной ставке 12% годовых. Определите наращенную сумму.

• 1) F = 25 000 (1 + 0,12) 3,5 = 25 000 x 1,4868 = 37 170 руб.;
• 2) F = 25 000 (1 + 0,12) 3 (1 + (180: 365) 0,12) = 25 000 x 1,4049 x 1,0592 = 37 201 руб.

Величина годовой ставки сложных процентов i 1 , i 2 ,..., i N может быть разной в течение различных периодов начисления n 1 , n 2 ,..., n N .

Тогда наращенная сумма в конце первого периода (года) начисления:

Во втором периоде (через год):

В n-периоде (за п периодов (лет)):

Тогда коэффициент наращения:

Пример. Кредит в размере 250 000 руб. выдается на 5 лет по сложной ставке процентов. Процентная ставка за первый год i = 18%, а последующий год она уменьшается на 1,5%. Определите коэффициент наращения и наращенную сумму.

По формуле (6.14): k nc = (1 + 0,18)(1 + 0,165)(1 + 0,15)(1 + 0,135)(1 + 0,12) = 2,0096.

По формуле (6.13): F = 250 000 x 1,75 = 502 400 руб.

Обратная задача:

Если начисление сложных процентов производится поинтервально, т.е. несколько раз за период, то формула начисления за интервал

где j = i - номинальная ставка сложных ссудных процентов; т - количество интервалов начисления в периоде (поквартально, ежемесячно и т.д.).

Доход за интервал присоединяется к денежной сумме, имеющейся на начало этого интервала.

Тогда наращенная сумма при поинтервальном начислении за каждый период через п периодов (лет) составит

Кроме того, можно определить другие параметры:

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на п = 3 года по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = 2. Определите наращенную сумму.

По формуле (6/16) .

Если количество периодов начисления сложных процентов п не является целым числом, то коэффициент наращения можно представить в виде

где п п - количество целых (полных) периодов (лет) начисления; р - количество целых (полных) интервалов начисления, но меньше общего количества интервалов в периоде, т.е. р < m;d - количество дней начисления, но меньше количества дней в интервале начисления.

Пример. Кредит 25 000 руб. выдан на и =3 года 8 месяцев, 12 дней по сложной ставке 12% годовых, выплата по полугодиям т = = 2. Определите наращенную сумму.

В случае когда требуется оценить интегральный эффект какой-либо операции по наращению со сложной внутренней структурой (изменение значения ставок, периодов начисления процентов и прочее) удобно использовать понятие эффективной ставки. Принято, что эффективная ставка j является сложной.

Так, например, определим эффективную ставку для операции представляющей собой случай неоднократного начисления процентов за период, на котором определена ставка начисления (3.5). Приравняв выражения для получения результатов наращения для рассматриваемой операции (3.5) и выражение для наращенной суммы для сложных процентов (3.1), полагая фигурирующую в (3.1) ставку эффективной j,

S = P ´ (1 + j ) n = P ´ (1 + i c /m ) m ´ n ,

т.е. приводящей к такому же результату наращения. Ее величина определяется для данного примера выражением

j = (1 + i c /m ) m ´ n – 1.

Следует отметить, что данное выражение для значения эффективной ставки наращения сложных процентов справедливо только для рассмотренного случая (m раз начисления сложных процентов на периоде), а в каждом ином случае, при определении эффективной ставки для другой финансовой операции выражение для ее определения будет другим.

В общем случае, для произвольной финансовой операции выражение для определения эффективной ставки начисления сложных процентов имеет вид

j = (S /P ) 1/n – 1, (3.9)

P – исходная сумма рассматриваемой операции наращения;

S – результирующая сумма рассматриваемой операции наращения, величина n ´ T определяет срок рассматриваемой операции наращения;

n – количество периодов T рассматриваемой операции наращения;

T – период на котором определена эффективная ставка j .

Выражением (3.9) удобно пользоваться для общей оценки эффективности различного рода финансовых операций, для которых подробности и детали их проведения остаются недоступны, то есть оценка в режиме «черного ящика». Формула (3.9) требует только входных данных (P ) и результирующих данных (S ) при этом определяется основной параметр оценки финансовых операций – эффективная ставка, характеризующая доходность данной операции.

ПРИМЕР 1. Определить эффективную ставку работы предприятия вложившего в бизнес 150 000 руб. и получившее отдачу от вложения в размере 250 000 руб. через два года.

Решение : Исходная сумма средств Р = 150 000 руб., наращенная сумма S = 250 000 руб. срок n = 2 года. Воспользуемся выражением (3.9) j = (250 000/150 000) 1/2 – 1 = 1,29 – 1 = 0,29 (j = 29%).

ПРИМЕР 2. Определить эффективную ставку для пятилетнего депозита, на втором году которого простая ставка 10% увеличивается в два раза.

Решение : Первоначальную сумму обозначим как P . Наращенная сумма за пять лет S = P + I 1 + I 2 = P (1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3). Тогда j = (P (1 + 0,1 ´ 2 + 0,2 ´ 3)/P ) 1/5 – 1 = 1,0985 – 1 = 0,0985 (j = 8,95%).

ПРИМЕР 3. Определить эффективную ставку операции покупки векселя за четыре года до погашения, с простой учетной ставкой 10%.

Решение: Цена покупки в данном случае является исходной сумме P = S (1 – 0,1 ´ 4), S – номинал векселя – наращенная сумма. Тогда, согласно (3.9), эффективная ставка будет равна j = (S /S ´ (1 – 0,1 ´ 4)) 1/4 – 1 = 0,1362 (j = 13,62%).

Упражнения

1. Найти величину депозита в 14 000 руб. при ставке сложных процентов i c = 10% за 6 лет? Овет:24 801,85 руб.

2. При какой ставке сложных процентов i c деньги удваиваются через 12 лет? Овет: 5,94%.

3. Чему равно значение сложной процентной ставки, если 10 млн руб. возросли до 25 млн руб. за 7 лет? Овет: 25,84%.

4. При заданной ставке сложных процентов 10 млн руб. прирастают до 15 млн руб. за 10 лет. Какой будет наращенная сумма в конце 6 года? Овет:12754245,01 руб.

5. Облигация стоит 1 875 руб. и по ней выплачивается 2 500 руб. через 8 лет. Какая ставка сложных процентов обеспечит этот рост? Овет: 3,66%.

6. Найти годовую эффективную процентную ставку (норму), соответствующую ставке1,5%, при ежемесячной капитализации процентов. Овет:1,51%.

7. Сумма денег инвестируется при ставке i c = 10%на один год с квартальной капитализацией. Какая ставка простых процентов накопила бы такую же сумму в конце первого года? Овет: 10,38%.

8. 10 млн руб. инвестируются на 5 лет при норме i c = 5% с ежегодным увеличением процентной ставки на 0,5%. Какая эффективная ставка j накопит равную сумму за то же самое время? Овет:5,99%.

9. Клиент поместил на депозитный счет 1 000 000 руб. на 3 года при ставке сложных процентов 1,7% годовых. Определить доход от капитализации процентов к концу срока. Овет:870 руб.

10. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 3 000 000 руб. на срок с 5.01.2003 г. до 20.03.2005 г. при ставке сложных процентов 15% годовых. Смешанным способом рассчитать проценты за пользование кредитом, используя схему 365/365. Ответ: 1059965,55 руб.

11. Предприятие оформляет кредитный договор с банком на сумму 6 700 000 руб. на срок с 15.06.2004 г. до 23.09.2005 г. при ставке сложных процентов 5% годовых с ежеквартальным начислением. Рассчитать проценты, начисленные за предоставление кредита, используя схему 365/360. Ответ: 444076 руб.

12. Выдан кредит на сумму 30 000 руб. сроком с 15.01.2005 г. до 20.03.2007 г. при ставке сложных процентов 12% годовых. Рассчитать коэффициент наращения, используя схему 360/360. Ответ: 1,27.

13. Банк выдал кредит 50 000 руб. В договоре в первые полгода указана сложная ставка 20% годовых, каждые полгода ставка увеличивается на 3%, срок договора 2 года. Определить наращенную сумму за весь срок кредита. Ответ: 77444,98 руб.

14. В кредитном договоре указана сложная ставка 20% годовых, каждые два года ставка увеличивается на 1,5%, срок договора 10 лет. Определить коэффициент наращения по операции. Ответ: 4,98.

15. По окончании договора, через 90 дней после его подписания должник уплатит 1 000 000 руб. Кредит был выдан под простую ставку 30% годовых. Какова величина кредита? Ответ: 931121,45 руб.

16. Что больше – доход от капитализации процентов или величина депозита при сложной ставке 19% за 8 лет? Ответ: больше доход от капитализации процентов.

1. Правило начисления процентных денег по сложной ставке наращения. Капитализация процентных денег.

2. Отличие в базе начисления простых и сложных процентов. Структура процентных денег при сложной ставке наращения.

3. Начисление процентных денег при изменении значения сложной ставки начисления. Коэффициент наращения.

4. Результаты наращения при начислении процентных денег m раз на периоде, где определена сложная ставка наращения.

5. Начисление по сложной ставке наращения за произвольный период времени.

6. Понятие эффективной ставки наращения. Сравнение темпов роста наращения по простой и сложной ставке наращения, в том числе, с m раз начислением на периоде.

Похожая информация.

1.5. Финансовая рента. Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.

Определение. Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой.

Основные параметры ренты:

член ренты - сумма отдельного платежа;

период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;

срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего;

процентная ставка ренты - сложная процентная ставка, используемая для наращения и дисконтирования членов ренты;

m - число начислений процентов в году на члены ренты;

p - число платежей в году.

Если члены ренты выплачиваются раз в год, то рента называется годовой .

Если члены ренты выплачиваются p раз в году (p > 1), то рента называется p - срочной .

Если платежи поступают столь часто, что можно считать , то ренту называютнепрерывной .

Рента называется постоянной , если члены ренты одинаковы и не изменяются во времени.

Рента называется переменной , если члены ренты изменяются во времени в соответствии с некоторым временным законом.

Если платежи производятся в конце каждого периода ренты, то рента называется обычной или постнумерандо .

Рента с платежами в начале каждого периода называется рентой пренумерандо .

Рассмотрим расчет современной стоимости и наращенной суммы постоянной обычной (постнумерандо) p - срочной ренты. Ежегодно сумма R вносится равными долями p раз в году на банковский счет в течение n лет. Тогда имеем поток из np платежей величиной каждый в моменты
. Примем за единицу измерения времени 1 год. Пустьi - годовая эффективная процентная ставка начисления сложных процентов на поступающие платежи. Согласно определению современной стоимости потока платежей (формула (4.2)), получаем

.

Вычисляя сумму np членов геометрической прогрессии, знаменатель которой
, получим:

(5.1)

Современная стоимость постоянной обычной p - n лет. Отсюда современная стоимость годовой обычной ренты (p = 1) при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году:

. (5.2)

Используя соотношения эквивалентности для эффективной процентной ставки
и
(параграф 1.1), получим современную стоимость обычнойp - срочной ренты при начислении на члены ренты сложных процентов m раз в году по номинальной процентной ставке i (m ) и непрерывном начислении процентов при постоянной интенсивности процентов δ в год:

(5.3)

. (5.4)

Формулы для наращенной суммы ренты можно получить непосредственно по определению согласно формуле (4.3). Например, для постоянной обычной p - срочной ренты при начислении процентов на члены ренты 1 раз в году в течение n лет получаем:

. (5.5)

S = A F (T ) = A (1 + i ) n =
(5.6)

Для других видов обычной ренты из (5.3) и (5.4), используя множители наращения
и
соответственно, получим:

(5.7)

(5.8)

В частности, при m = p (период начисления процентов равен периоду ренты) из (5.3) и (5.7) получаем

(5.9)

(5.10)

Если единицей измерения времени является 1 год, а R - это выплата за год (единицу времени), то множитель в формулах современной стоимости ренты, равный , называетсякоэффициентом дисконтирования ренты . Множитель в формулах наращенной суммы ренты, равный , называетсякоэффициентом наращения ренты . Из (5.1)-(5.10) можно получить коэффициенты наращения и дисконтирования всех рассмотренных видов обычной ренты. Рассмотрим некоторые соотношения между этими коэффициентами.

Согласно (5.1) и (5.5), коэффициенты дисконтирования и наращения обычной p – n лет равны соответственно

и
.

и
- это соответственно современная стоимость и наращенная сумма постоянной обычнойp – срочной ренты с ежегодной выплатой 1 д.е. равными долями p раз в году в размере в моменты времени
с начислением на члены ренты процентов 1 раз в году. Следовательно,
и
связаны соотношением (4.6):

= (1 + i ) n
.

Аналогичный смысл имеют коэффициенты дисконтирования и наращения других рассмотренных видов обычной ренты. Для этих рент имеем соотношения:

- годовая рента с начислением процентов 1 раз в год;

- p - m раз в год;

- p - срочная рента с непрерывным начислением процентов.

Коэффициенты дисконтирования и наращения годовой ренты при начислении процентов 1 раз в год

и

затабулированы и приводятся в приложениях финансовой литературы. Если применяется p – срочная рента с начислением процентов p раз в год (m = p ) по годовой номинальной ставке i (p ) , то за единицу измерения времени можно принять часть года. Тогда- выплата за единицу времени (постнумерандо),- процентная ставка за 1 единицу времени, срок ренты -np единиц времени. Коэффициенты дисконтирования и наращения такой ренты равны соответственно
и
. Из формул (5.9), (5.10) имеем

,
,

что позволяет для этой ренты использовать те же таблицы коэффициентов. Заметим, что если единицей измерения времени является 1 год, то коэффициенты дисконтирования и наращения этой ренты определяются как =
и=
и рассчитываются по формулам, полученным из (5.9), (5.10):

,
.

=
и
=
. (5.11)

Пример 5.1. В конце каждого месяца на сберегательный счет инвестируется 200 д.е. На поступающие платежи ежемесячно начисляют сложные проценты по годовой ставке 12 %. Какова величина вклада через 2 года? Какую сумму мог бы разместить инвестор на депозитный счет для получения такой же величины вклада через 2 года?

Взносы на сберегательный счет поступают в виде обычной p - срочной ренты с начислением процентов p раз в году в течение 2 лет. Здесь n = 2, p = 12,
= 0,12. Если за единицу измерения времени принять 1 месяц, то= 200 д.е. - выплата за единицу времени,== 0,01 - процентная ставка за 1 единицу времени, срок рентыnp = 24 единицы времени. По таблице коэффициентов наращения дискретных рент находим s 24, 0.01 = 26,97346485. Тогда наращенная сумма вклада через два года
= 200 s 24, 0.01 = 5394,69 (д.е.).

Сумма, которую мог бы разместить инвестор на депозитный счет для получения такой же величины вклада через 2 года - это современная стоимость ренты
= 200a 24,0.01 = 4248,68 (д.е.), где коэффициент дисконтирования a 24,0.01 = 21,2433873 определен по таблице коэффициентов. Так как
= 4248,68(1+0,01) 24 = 5394,69 (д.е.), то размещение суммы 4248,68 д.е. на депозитный счет для начисления на нее ежемесячно сложных процентов по годовой ставке 12 % позволит инвестору через два года получить ту же сумму вклада.

Замечание. Рассчитать коэффициенты дисконтирования
и наращения
, пользуясь приведенными формулами, и проверить соотношения (5.11). Объяснить, почему
и
можно найти в таблицах коэффициентов, а
и
- нет. На что может повлиять выбор единицы измерения времени?

Рассмотрим ренту пренумерандо . Связь между коэффициентами дисконтирования и наращения рент пренумерандо и постнумерандо следует из их определения. Срок дисконтирования каждого платежа ренты пренумерандо уменьшается, а срок наращения увеличивается на один период ренты по сравнению с обычной рентой. По - прежнему единицей измерения времени считаем 1 год. Если
и
- коэффициенты дисконтирования и наращенияp - срочной ренты пренумерандо (платежи поступают в начале каждого периода длиной ) при начислении на члены ренты процентов 1 раз в год, то справедливы соотношения:

=

=

= (1 + i ) n
.

Отсюда при p = 1 получаем соотношения для годовых рент:

=

=

= (1 + i ) n
.

При непрерывном начислении процентов для p - срочной ренты имеем соотношения:

=

.

Рассмотрим непрерывную ренту. Коэффициенты дисконтирования и наращения постоянной непрерывной ренты можно получить из формул для p - срочной ренты при
или по определению (формулы (4.9), (4.10)) для непрерывного равномерно выплачиваемого потока платежей с постоянной годовой интенсивностьюf (t ) = 1. Например, для постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов по постоянной силе роста получаем:

,

где
- коэффициент дисконтирования обычнойp - срочной ренты при непрерывном начислении процентов. Заметим, что так как
, где
- коэффициент дисконтированияp - срочной ренты пренумерандо при непрерывном начислении процентов, то

.

Действительно, при непрерывно поступающих платежах различие между рентами пренумерандо и постнумерандо исчезает.

Коэффициент дисконтирования постоянной непрерывной ренты при начислении процентов 1 раз в год получим по определению:

Коэффициенты наращения непрерывных рент можно найти из равенств вида (4.6):

=
,

=
.

Соотношения между коэффициентами дисконтирования рассмотренных трех видов рент - обычной, пренумерандо и непрерывной - можно установить из следующих соображений. Так как
, гдеi (p ) - эквивалентная годовая номинальная процентная ставка, то

С другой стороны,

.

Следовательно

, (5.12)

где
,
- коэффициенты дисконтирования обычной годовой ренты с начислением процентов 1 раз в год и постоянной непрерывной ренты при непрерывном начислении процентов. Равенства (5.12) можно продолжить для ренты пренумерандо, если учесть соотношения коэффициентов дисконтирования обеих рент:

и
.

=
=
. (5.13)

где
- эквивалентная учетная ставка. Из (5.12), (5.13) получаем

где
- эквивалентная номинальная учетная ставка. Каждое выражение в этом равенстве - современная стоимость процентов, выплачиваемых по займу 1 д.е. на протяженииn лет в соответствии с различными способами выплаты процентов.

Аналогичные соотношения можно получить и для коэффициентов наращения рент.

Если полагают, что срок ренты n = ∞, то ренту называют вечной . Наращенная сумма вечной ренты бесконечна. Однако современную величину такой ренты можно найти. Для обычной вечной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в год получаем при n → ∞:

Для такой же ренты пренумерандо

Кроме того,

Таким образом,

,
,
. (5.15)

Если вечная рента является годовой (p = 1), то имеем

,
,
. (5.16)

Если начало ренты, т.е. начало ее первого периода, переносится в будущее на t единиц времени относительно текущего момента t = 0, то такую ренту называют отсроченной . Современная стоимость отсроченной ренты A t определяется следующим образом. Согласно определению современной стоимости потока платежей,

где
,
,
- дисконтные множителиk - го платежа на временных отрезках , [t , t k ], соответственно. Так как
, тоA -стоимость ренты, рассчитанная на момент начала ее первого периода, т.е. на момент начала неотсроченной ренты. Следовательно, A - это современная стоимость неотсроченной ренты. Таким образом, современная стоимость отсроченной ренты определяется путем дисконтирования по процентной ставке ренты в течение времени t современной стоимости A неотсроченной ренты:

, (5.17)

Пример 5.2. По контракту произведенная продукция стоимостью 2 млн. д.е. оплачивается в рассрочку в конце каждого квартала в течение пяти лет с начислением сложных процентов раз в год по ставке 10% годовых. Найти величину отдельного взноса, если начало оплаты продукции перенесено на полгода после подписания контракта.

Если начало отсчета времени t = 0 – это момент подписания контракта, а единица измерения времени – 1 год, то здесь n = 5, p = 4, i = 0,1, t = 0,5. Согласно формуле (5.17), стоимость потока платежей по оплате продукции на момент подписания контракта равна
=
, гдеA t = 2 млн. д.е., A - современная стоимость неотсроченной обычной p - срочной ренты с начислением процентов 1 раз в году в течение n лет. Согласно (5.1),
. Из формул дляA t и A находим величину отдельного взноса = 133432,20 д.е. против
133432,20 = 127222,61 д.е., если бы начало оплаты продукции не откладывалось.

Замечание. Из определения срока ренты следует, что если
- период ренты, то срок рентыn (лет) является числом, кратным , т.е.
, гдеm – целое положительное число. Известно, что всякое положительное рациональное число можно представить в виде , гдеm , p – целые положительные числа, а всякое иррациональное число можно с любой степенью точности заменить рациональным числом . Это означает, что если срок рентыn не является целым, то всегда можно (точно или с любой степенью точности) представить n в виде целого числа периодов некоторой p – срочной ренты и использовать связь коэффициентов дисконтирования и наращения рент:
и
. Есливыбирается в качестве единицы измерения времени, то используются соотношения:
=
и
=
. Таким образом, все полученные формулы для коэффициентов дисконтирования и наращения рент справедливы для
, т.е. для всех неотрицательных значенийn , не только целых.

Свойства коэффициентов наращения и дисконтирования ренты.

Рассмотрим зависимость коэффициентов дисконтирования и наращения ренты от срока ренты и процентной ставки. Поскольку характер зависимости не должен зависеть от числа платежей в году, рассмотрим годовую обычную ренту с начислением процентов 1 раз в год.

1) i = 0.

Имеем
,
.

Ситуацию можно рассматривать как беспроцентный долг, выданный в сумме n и возвращаемый равными долями в течение n лет.

2) Установим зависимость от i коэффициента наращения ренты
.

Очевидно,
- возрастающая функцияi , что следует из свойств наращенной суммы разового платежа. Действительно, так как
и
, то
- возрастающая выпуклая функция аргументаi (рис. 1.5.1).

3) Установим зависимость от i коэффициента дисконтирования ренты
.

.

Очевидно,
- убывающая функцияi , что следует из свойств современной стоимости разового платежа. Действительно, так как
и
, то
- убывающая выпуклая функция аргументаi (рис. 1.5.2).

4) Установим зависимость от n коэффициента наращения ренты
.

, где
.

Т

s n,i

5) Установим зависимость от n коэффициента дисконтирования ренты
.

, где
.

Контрольное задание по финансовой математике

Вариант № 6

1. На сколько процентов возросла заработная плата, если в сентябре она составляла 16000 руб., а в октябре – 16480 руб.?

Заработная плата возросла на 3%.

2. 70000 руб. положили на месячный депозит под 6% годовых. Определить величину наращенной суммы.

FV = PV(1+n·i),

FV=70000(1 + 1/12· 0,06) = 70350 рублей.

Коэффициент наращения при начислении простых процентов за 2 года составил 1,5. Какова была годовая процентная ставка?

Тогда годовую процентную ставку можно найти по формуле:

i =

4. В течение какого срока депозитный вклад возрастет в 1,3 раза, если начисляются простые проценты с годовой ставкой i = 30% ?

По условию задачи коэффициент наращения простых процентов k н = 1,3. Формула для вычисления:

где k н – коэффициент наращения простых процентов; n – срок ссуды, год; i-ставка процентов за период.

Тогда срок депозитного вклада вычислим по формуле:

n =

5. Заемщик получил кредит на 6 месяцев под 16% годовых (простые проценты) с условием вернуть 27000руб. Какую сумму получил заемщик?

FV = PV(1+n·i),

где FV-наращенная сумма, руб.; PV- первоначальная сумма, руб.; n – срок ссуды, год; i-ставка процентов за период.

Тогда первоначальную сумму можно выразить формулой:

6. На какую сумму был выдан вексель, если за 2 месяца до срока платежа он был учтен в банке с годовой учетной ставкой d = 10% по цене 36000руб.?

7. Во сколько раз возрастет за 2 года сумма долга при начислении сложных процентов с годовой ставкой 14%?

k н = (1+i) n ,

где k н – коэффициент наращения сложных процентов; n – срок ссуды, год; i-ставка процентов за период.

k н = (1+0,14) 2 =1,3.

Сумма долга возрастет на 30%.

8. Сумма 40000 руб. инвестируется под 12% годовых. Определить наращенную за год сумму при поквартальном начислении сложных процентов.

Воспользуемся формулой сложных процентов:

где FV – наращенная сумма ссуды, PV – начальная сумма ссуды, j – годовая процентная ставка, m – число раз в году начисления процентов, n – число лет в периоде.

9. 01.02.99 был выдан вексель на 10 000 руб. с обязательством выплатить указанную сумму через 40 дней с процентами по ставке 18% в год. 25.02.99 вексель был продан банку с дисконтом по годовой учетной ставке 9%. По какой цене вексель был куплен банком?
(Обыкновенные проценты с точным числом дней).

Сумма по векселю за период 40 дней должна была составить

FV =10000(1+0,18*40/360) = 10200рублей.

Дисконт в пользу банка:

Д = 10200*0,09*24/365=60,4

PV=10200-60,4=10139,6 руб.

По цене 10139,6 руб. вексель был куплен банком

10. Кредит в сумме 5 млн руб. погашается 12 равными ежемесячными взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере 5% в месяц. Требуется найти сумму ежемесячного взноса при платеже постнумерандо.

Ренты, платежи по которым производятся в конце периода, называются обычными, или постнумерандо.

Кредит в сумме 5 млн. руб. погашается 12 равными ежемесячными взносами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере i = 5% в месяц. Найдем сумму ежемесячного взноса Y (i ) при платеже постнумерандо:

Здесь значения найдены из таблицы значений .