Аннуитеты
В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Такая последовательность называется потоком платежей.
Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют аннуитетом, или финансовой рентой.
Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) – пожалуй, самый распространенный случай. Такой аннуитет предполагает получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т.д.).
Введем следующие обозначения:
Р –величина каждого отдельного платежа;
i с – сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;
S k – наращенная сумма для k-го
S – наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);
A k – современная величина к-го платежа аннуитета постнумерандо;
А –современная величина всего аннуитета постнумерандо.
п – число платежей.
Аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c .
Основные количественные характеристики аннуитета постнумерандо:
1. Общая наращенная сумма определяется по формуле:
где k i , n
– коэффициент наращения в удобном для вычислений виде равен: 
Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических вычислениях. Нужно иметь в виду, что n в данном случае – не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее п как число таких интервалов.
Таблица 3. Коэффициенты наращения аннуитета
Таблица 4. Коэффициенты приведения аннуитета
_____________________________________________________________
2. Современная величина всего аннуитета определяется по формуле
3. Современные значения каждого платежа (А к
) определяются по формуле: 
Пример 13. Для погашения пакета облигаций, выпущенных ОАО «Интерком» на 5 лет, создаётся выкупной фонд. Ежегодные платежи предприятия в него составляют 150 000 руб., на них в конце каждого года начисляются проценты по ставке 7 %. Определите итоговую наращенную сумму денежных средств, современную величину всего аннуитета и современное значение каждого платежа.
Решение.
Для расчёта будущей стоимости выкупного фонда используем формулу 
Коэффициент наращения определим по формуле 
Аналогичный результат получим по таблице. Итоговая наращенная сумма будет равна S = P ∙150 000 ∙ 5,7507 = 862605 руб.
Современную величину всего аннуитета определим по формуле
Размер очередного платежа может быть определён по формулам:
Современные значения каждого платежа (А к ) определим по формуле:
Если на денежные поступления начисляются только сложные проценты, то соответствующие расчетные формулы для наращенных сумм аннуитета пренумерандо легко можно вывести из ранее рассмотренных формул для аннуитета постнумерандо.
Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо только количеством периодов начисления процентов.
Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регулярными денежными поступлениями А и процентной ставкой r , наращенный денежный поток имеет вид:
Следовательно, будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть определена по формуле:
Т.е. наращенная стоимость аннуитета пренумерандо больше в раз наращенной суммы аннуитета постнумерандо.
Аналогичным образом можно получить формулы для определения будущей стоимости аннуитета пренумерандо с начислением процентов m раз в течение базового периода и для р-срочных аннуитетов:
Несколько иной будет ситуация в р-срочном аннуитете пренумерандо, когда на взносы, поступающие в течение базового периода, начисляются простые проценты.
В отличие от аннуитета постнумерандо в этом аннуитете в каждом периоде любой взнос «действует» еще 1/р –ю часть периода, тем самым доставляя к концу периода дополнительную величину .
Следовательно, к концу каждого периода взносы, число которых равно р, доставят величину 
Таким образом, на последнее р-е поступление начисляются простые проценты за часть периода, равную 1/р, и оно будет равно предпоследнее (р – 1)-е поступление станет равным и т.д. вплоть до первого поступления, которое станет равным . Следовательно, сумма этих величин, образующих арифметическую прогрессию, равна:
Таким образом, будущая стоимость аннуитета пренумерандо будет равняться:
В случае начисления только сложных процентов формулы для расчетов приведенных стоимостей пренумерандо имеют вид, аналогичный ранее полученным для аннуитета постнумерандо:
Из приведенных формул понятно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается в финансовой сделке – постнумерандо или пренумерандо. Содержание таблиц инвариантно к этому фактору. Однако, при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой поступления денежных платежей.
Пример.
Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. грн. Банк платит 20% годовых.
Какая сумма будет на счете по истечении трех лет?
Тыс. грн.
Многие практические задачи могут быть решены различными способами в зависимости от того, какой денежный поток выделен аналитиком. Рассмотрим это на следующем примере.
Пример.
Вам предложено инвестировать 100 тыс. грн. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями ежегодно по 20 тыс. грн. По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. грн.
Следует ли принимать это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?
Наращенная сумма депонирования:
Тыс. грн.
В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. грн. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. В этом случае денежный поток можно представить двояко:
а) как срочный аннуитет постнумерандо с параметрами: А= 20,
n = 5, r = 20% и единовременное получение 30 тыс. грн. в конце периода:
Тыс. грн.
б) как срочный аннуитет пренумерандо с параметрами: А = 20,
n = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 30 и 20 тыс. грн. в конце финансовой операции:
Тыс. грн.
Таким образом, предложение экономически нецелесообразно.
Бессрочный аннуитет.
Аннуитет считается бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Математически это означает, что . Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли – выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым производят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет также называют вечной рентой.
Определение будущей стоимости бессрочного аннуитета, естественно, не имеет смысла. Что же касается обратной задачи (определение приведенной стоимости), то она имеет вполне определенное решение.
Поток платежей в постоянном бессрочном аннитете при одном денежном поступлении А за период, являющися базовым для начисления процентов по ставке r, представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . Для бессрочного аннуитета постнумерандо формула для определения приведенной стоимости имеет вид:
где 
Приведенная формула показывает, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость. С финансовой точки зрения это вполне понятно, поскольку деньги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят, а при высокой инфляции и ничего не стоят. Эта же ситуация проявляется и при сравнении коэффициентов дисконтирования бессрочного аннуитета и аннуитетов с большим сроком Для сравнения приведем в таблице значения FM4(r,n) при r = 10%.
| Cрок аннуитета | ∞ | |||||
| FM4(r = 10%,n) | 9,7791 | 9,9148 | 9,9672 | 9,9873 | 9,9981 |
Из приведенной таблицы видно, что при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличаются друг от друга.
Кроме того, с ростом процентной ставки величина срока, начиная с которого величина факторного множителя FM4(r,n) перестают сильно отличаться друг от друга, уменьшается. Например, при r = 15% такой срок равняется 40 годам. Таким образом, при больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета, при этом полученный приблизительный результат будет не слишком отличаться от точного значения.
Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета, если известен размер денежного поступления за период. В качестве r обычно принимается гарантированная процентная ставка, например, предлагаемая государственным банком.
Пример.
Необходимо определить текущую стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс. грн., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 14% годовых.
тыс. грн.
Следовательно, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 30 тыс. грн., то инвестирование в него будет представлять выгодную для инвестора операцию.
С помощью вышеприведенной формулы можно определить истинную стоимость обыкновенной акции в том случае, когда выплачиваются одинаковые дивиденды (равные А) в течение всего времени финансовой операции. При этом предположении темп ростов дивидендов равен нулю и соответствующая модель называется моделью нулевого роста.
Такая ситуация в определенном смысле свойственна привилегированным акциям высокого качества, выплаты дивидендов по которым одинаковы, регулярны и не зависят от величины прибыли на одну акцию, а время обращения привилегированных акций не ограничено.
Пример.
Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 6 тыс. грн. на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого времени.
Имеет ли смысл покупать акции этой компании в течение неопределенно долгого времени по цене 35 тыс. грн., если можно поместить деньги на депозит под 15% годовых?
Из формулы 
тыс. грн. следует, что истинная стоимость акции составляет 40 тыс. грн. Следовательно, это предложение может быть принято и акции компании можно приобретать.
Приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями р раз за базовый период и начислением сложных процентов m - раз за период может быть получена из следующей формулы:
Пример.
Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты пособий своим работникам.
Необходимо определить сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого года 8 тыс. грн., если банк начисляет:
а) ежегодно сложные проценты по ставке 16%;
б) ежеквартально сложные проценты по ставке 14%;
в) непрерывные проценты с силой роста 13,5%.
Во всех трех случаях денежный поток является бессрочным аннуитетом постнумерандо. Необходимо найти приведенную стоимость такого аннуитета.
а) 
тыс. грн.
б) 
тыс. грн.
в) 
тыс. грн.
Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо в общем виде определяется с помощью приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо по следующей формуле:
Следовательно, приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой для аннуитета постнумерандо на величину первого платежа.
Непрерывный аннуитет.
Предположим, что в течение каждого периода времени денежные поступления происходят очень часто, так что промежутки между последовательными поступлениями представляют собой бесконечно малые величины.
В этом случае аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью: одно и то же количество денежных единиц в единицу времени.
Соотношения, характеризующие непрерывный аннуитет, можно вывести из формул для р-срочного аннуитета, переходя в них к пределу при и несколько модифицируя величину члена аннуитета.
Ясно, что непрерывно не может поступать величина А, так как через любой малый промежуток времени накопится бесконечно большая сумма денег.
Считая, что платежи поступают непрерывным образом, рассчитаем будущую стоимость непрерывного аннуитета:
тыс. грн.
Эта же задача может быть решена иначе, если примем р = 360, а А = 40/360:
тыс. грн.
Выполнив расчет видим, что результаты вычислений по двум формулам привели практически к одинаковому результату.
Если проценты начисляются раз за период, то пользуются формулой:
Если же деньги вкладываются в начале каждого года, то имеем дело с постоянным аннуитетом пренумерандо, который схематично выглядит таким образом
Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119) или соответственно формулами (126) и (127) при m = р = 1
Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо а) класть на депозит сумму в размере 15 тыс. руб. каждый квартал при условии, что банк начисляет 20% годовых с ежеквартальным начислением сложных процентов б) делать ежегодный вклад в размере 52 тыс. руб. на условиях 22% годовых при ежегодном начислении сложных процентов . Какая сумма будет на счете через 8 лет при реализации каждого плана Какой план более предпочтителен Изменится ли Ваш выбор, если процентная ставка во втором плане будет увеличена до 23%
Видим, что полученные величины отличаются незначительно (всего на 11 руб.). Кстати, считая, что имеем дело с аннуитетом пренумерандо, по формуле (126) находим
Для определения будущей и приведенной стоимости этого аннуитета пренумерандо можно воспользоваться полученными результатами и формулами (118) и (119)
Формулы для оценки будущей и приведенной стоимости аннуитета, период которого больше базового периода начисления процентов , аналогичны формулам для оценки будущей и приведенной стоимости обычного аннуитета . Формулы для оценок аннуитета пренумерандо получаются из соответствующих формул для оценок аннуитета постнумерандо с использованием, как правило, того факта, что денежные поступления пренумерандо начинаются на период (аннуитета) раньше, чем постнумерандо.
Каково соотношение между приведенными стоимостями аналогичного вида аннуитетов пренумерандо и постнумерандо, периоды которых больше базового периода начисления процентов
Решение. Согласно условию имеем аннуитет пренумерандо с членом. 4 = 14 тыс. руб., периодом и = 2 года и сроком п = 10 лет. Сложная процентная ставка г = 22% годовых и число начислений процентов т -1.
Аннуитет пренумерандо - аннуитет, каждый элемент которого имеет место в начале соответствующего периода.
| Рис. 7. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо |
Можно также заметить, что для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке i проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренумерандо. Поэтому каждая современная величина Ak будет больше в (1 + О раз. Таким образом,
Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренумерандо можно по формулам (7. 1 1) и (7. 1 3) найти для заданных значений 5П и Лп соответствующие значения 5 и А и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.
Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем
Анализируются два варианта накопления средств по схеме аннуитета пренумерандо, т.е. поступление денежных средств осуществляется в начале соответствующего временного интервала
Приведенная (текущая) стоимость срочного аннуитета пренумерандо
Аннуитет пренумерандо Аннуитет постнумерандо
Аналогично, приведенная стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формулам
В данном случае мы имеем дело с аннуитетом пренумерандо, будущую стоимость которого и предлагается оценить. В соответствии с формулой (4.24) найдем искомую сумму S
Различие между потоками пост и пренумерандо заключается в том что финансовые расчеты сдвинуты на один цикл и это приводит к дополнительному однократному начислению процентов (1+r) иными словами схема потока пренумерандо более выгодно для накопления денежных средств, логика оценки денежного потока пренумерандо аналогично логике оценки потока постнумерандо, прямая задача формула расчета будущей стоимости пред потока пренумерандо будет иметь вид FV = PV pre *(1+r)
Обратная задача формула расчета приведенной стоимость пренумерандо будет иметь вид PV pre = FV pst *(1+r) так если в предыдущем примере предположить исходный поток представляет собой поток пренумерандо т.е. регулярные доходы по ц.б. будут выплачиваться не в конце а в начале периода то его дисконтированная стоимость будет равна PV pre = 44,97* 1,12=50,37
=6= оценка аннуитетов
Аннуитет это частный случай денежного потока в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине (А). аннуитеты могут быть срочными и бессрочными если число равных временных интервалов ограничено то такой аннуитет называется срочным, если не ограничено то бессрочным. Согласно видам денежных потоков выделяют два типа аннуитетов и постнумерандо и пренумерандо. Примеров срочного аннуитета постнумерандо может служить регулярное поступления арендой платы в одинаковом размере если договором аренды предусмотрена оплата по истечении каждого периода. Примером срочного аннуитета пренумерандо могут быть периодические денежные вклады на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления средств для крупной покупки
Т.к. в формулах оценки денежных потоков рассмотренных ранее одинаковые денежные поступления А могут быть вынесены за знак суммы формулы оценки аннуитетов значительно упрощаются
формула 1 FV apst = k (A)*(1+r) t-k =A* t-k
т.к. аннуитет как вид денежного потока характеризуется одинаковыми временными интервалами и одинаковой величиной элементов денежного потока целесообразно математически преобразовать второй множитель данной формулы без выделения периодов (К)
будущая стоимость аннуитета постнумерандо определяется по
формуле 2 FA apst =
второй множитель можно определить расчетным путем, а можно воспользоваться финансовыми таблицами. В таблицах данный множитель носит название мультиплицирующего множителя для аннуитета FM3(r:t) формула 3 FA apst = A*FM3 (r;t)
будущая стоимость аннуитета пренумерандо определяется по
формуле 4 FV apre = A*FM3 (r;t)*(1+r)
пример организации предложили сдать в аренду оборудование на 5 лет и выбрать один из вариантов оплаты
а) 12 т.р. ежегодно
б) 85 т.р. в конце 5го срока
какой вариант выгоднее если банк предлагает 20% годовых по вкладам
условие А=12 t =5 r=0,2
А)решение FV apst =F*FV apst (0,2;5)
FV apst = 12*7,442=89,3
2. Обратная задача (с позиции дисконтирования)
Путем аналогичного преобразования формула оценки дисконтированного денежного потока упрощается в формулы оценки дисконтированного аннуитета в постнумерандо и пренумерандо.
формула 5 PV apst = A* или PV apst =A*FM4 (r:t)
Второй множитель данной формулы можно определить расчетным путем а можно воспользоваться финансовыми таблицами. В таблицах данный множитель носит название дисконтированного множителя аннуитета FM4(r;t)
Дисконтированная стоимость аннуитета пренумерандо определяется по формуле 6 PV apre = PV apst *(1+r) на практическом примере дать оценку дисконтированной стоимости аннуитета можно с помощью метода депозитной книжки
=7= метод депозитной книжки
Расчет текущей стоимости аннуитета с помощью метода депозитной книжки заключается в том что сумма положенная на депозит приносит доход в виде процента и при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина с которой начисляются проценты уменьшается. Текущая стоимость аннуитета это величина депозита с общей суммой причитающихся процентов ежегодно уменьшающаяся на равные суммы величина годового платежа остается неизменной (а аннуитет) его структура постоянно меняется. Если в начальные в нем преобладают начисленные за очередной период проценты, то с точением времени доля процентных платежей уменьшается и повышается доля части погашаемого основного долга. Логику и счетные процедуры метода рассмотрим на примере.
Пример: Предприятие получена ссуда сроком на 5лет в сумме 450 т.р. под 14% годовых которая начисляется по схеме сложных процентов на не погашенный остаток возвращать долг необходимо равными суммами в конце каждого года. Определить величину годового платежа А.
Решение: для лучшего понимания метода целесообразно рассуждать с позиции кредитора для банка данная сумма представляет собой отток денежных средств. В дальнейшем в течении 5лет банк ежегодно будет получать в конце года сумму годового платежа (А) в данной постановке задачи мы имеем дело с оценкой дисконтированной стоимости аннуитета постнумерандо о котором известны его текущая стоимость (PV apst), процентная ставка (r) и продолжительность действия (t) подставляем данные в формулу дисконтированной стоимости аннуитета постнумерандо
PV apst =A*FM4(0,14;5) 450т.р.=А*3,433 отсюда сумма годового платежа равна А=450/3,433=131,08
Для наглядности динамику платежей предоставим в таблице
Аннуитет пренумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке ic .
Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т. е. каждая наращенная сумма S k увеличивается в (1 + i c) раз. Следовательно, для всей суммы S n имеем S n =S(1 + i c).
Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо получаем следующее соотношение: 
Для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке i c
проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета постнумерандо. Поэтому каждая современная величина А к
будет больше в (1+i
) раз. Таким образом, А п = А(1 + i c
). А для коэффициента приведения a i , n
п получаем 
Пример 14. Найти наращенную сумму аннуитета и современную величину потока платежей, если в течение трёх лет доход, получаемый в начале года, будет составлять по 500 тыс.руб. Ставка дисконтирования – 6% годовых.
Решение.
В данном примерепоток платежей в течение трёх лет представляет собой постоянный аннуитет пренумерандо. Наращенная сумма такого аннуитета определится по формуле:
Коэффициент наращения может быть определён по таблице 3 наращенного значения аннуитета: k 0,06; 3 = 3,1836∙(1+0,06)=3,3746.
Наращенная сумма аннуитета составит:
S п =500∙3,3746=1687,3 тыс.руб.
Для проверки определим сумму наращенных сумм по годам.
Доход, полученный в первом году, через три года составит:
S 1 =500∙(1+0,06) 3 =500∙1,1910=595,5 тыс.руб.; доход, полученный во втором году, S 2 = 500∙(1+0,06) 2 = 500∙1,1236 = 561,8 тыс.руб. и доход, полученный в третьем году, S 3 = 500∙(1+0,06) 1 =500∙1,06 = 530 тыс.руб.
Общая наращенная сумма S п =S 1 п +S 2 п +S 3 п =595,5+561,8+530=1687,3 тыс.руб.
По формуле 
(1+ можем рассчитать современную величину аннуитета. Коэффициент приведения аннуитета определим по таблице 4. Для n
=3 и i c
=0,06 k 0,06; 3
=2,6730. Тогда k n
=2,6730∙1,06=2,8334.
Современная величина аннуитета А п =500∙2,8334=1416,7 тыс.руб.
Можем проверить вычисления определив сумму современных величин всех платежей и начисленных процентов. Формула современных значений каждого платежа (А к
) примет вид: 
Современные величины всех платежей будут равны:
тыс.руб.;
Тыс.руб.;
Сумма современных величин всех платежей будет равна.
