Лекция 6

Основные понятия:

Временной ряд; непериодические колебания; тенденция; сезонная компонента; аддитивная модель; мультипликативная модель; скользящая средняя; длинна периода; межинтервальная скользящая средняя; центрированная скользящая средняя; сезонные отклонения; индекс сезонности; стационарный временной ряд; остатки; концевые скользящие средние; экспоненциально взвешенная средняя; параметр сглаживания.

Временным рядом называется упорядоченные во времени значения прогнозируемой величины. На практике прогнозирование по временным рядам используется наиболее часто в силу доступности исходных данных и очевидности пути получения решения. Для прогнозирования с использованием регрессионных или иных моделей необходимо вначале на основании теоретических представлений очертить круг независимых переменных - кандидатов для включения в модель, оценить трудоемкость получения их исходных значений, затем на основании оценки степени влияния на прогнозируемую величину отобрать наиболее информативные и только потом построить модель для последующего прогнозирования. В случае прогнозирования по временному ряду все достаточно очевидно – имеются данные о значении прогнозируемой величины в прошлом и их необходимо лишь продлить в будущее.

В большинстве случаев для целей прогнозирования используются равномерные временные ряды, т.е. временные ряды, в которых исследуемая величина измерена через одинаковые промежутки времени – ежедневные, недельные, декадные, месячные и т.д. временные ряды. Для удобства последующего анализа временные ряды обычно перенумеруются, т.е. самой ранней дате присваивается номер 1 и далее по возрастающей. Такие временные ряды будем обозначать , где – номер точки временного ряда.

В самом общем виде временной ряд может быть представлен как комбинация тенденции, сезонных (периодических) колебаний, непериодических колебаний и случайной составляющей. Непериодические колебания , если они имеются, обычно имеют сложную природу, представляют собой комбинацию нескольких колебаний различной или даже переменной периодичности и переменного размаха. Для установления самого факта наличия непериодических колебаний, а тем более надежного определения их параметров требуются временные ряды большой длительности, редко встречающиеся на практике, по этому методы их определения в настоящем пособии не рассматриваются. Элементы непериодических колебаний, если они имеются, мы будем рассматривать как один из возможных компонентов случайной составляющей. В такой постановке задача прогнозирования по временному ряду сводится к определению параметров сезонных колебаний и тенденции и их последующему использованию для целей предсказания будущих значений временного ряда.

Тенденция или тренд это долговременная закономерность изменения исследуемой величины во времени. Сезонная компонента представляет собой периодические колебания, имеющие относительно стабильный период колебаний на протяжении достаточно длительного периода времени. Более точные результаты определения тенденции достигаются в случае если из исходного временного ряда уже удалены сезонные колебания, поэтому рассмотрим вначале методы выявления и последующего выделения сезонных колебаний.

Привет.
Я хочу рассказать об одной задаче, которая очень заинтересовала меня в свое время, а именно, о задаче прогнозирования временных рядов и решении этой задачи методом муравьиного алгоритма.

Для начала вкратце о задаче и о самом алгоритме:

Прогнозирование временных рядов подразумевает, что известно значение некой функции в первых n точках временного ряда. Используя эту информацию необходимо спрогнозировать значение в n+1 точке временного ряда. Существует множество различных методов прогнозирования, но на сегодняшний день одними из самых распространенных являются метод Винтерса и ARIMA модель. Подробнее о них можно почитать .

О том что такое муравьиный алгоритм говорилось уже довольно много. Для тех кому лень лезть, например, сюда , перескажу. Вкратце, муравьиный алгоритм это моделирование поведения муравьиной колонии в их стремлении найти кратчайший путь к источнику еды. Муравьи, при движении оставляют за собой след феромона, который влияет на вероятность выбора муравьем данного пути. Учитывая то, что муравьи будут за один и тот же промежуток времени пройти короткий путь бОльшее количество раз, на нем будет оставаться больше феромона. Таким образом, с течением времени, все больше муравьев будут выбирать кратчайший путь к источнику пищи.
Для наглядности, вставлю картинку:

Теперь, перейдем непосредственно к решению задачи прогнозирования методом муравьиных колоний.
Первая проблема с которой мы сталкиваемся - необходимо представить временной ряд в виде графа, на котором будем запускать муравьиный алгоритм.
Было найдено два возможных решения:
1. Представить временной ряд в виде мультиграфа где из каждой точки временного ряда можно перейти в каждую набором определенных приростов. (Для облегчения задачи будем брать нормализованные значения на промежутке от -1 до 1). Это был первый подход, который мы попробовали. Он показал неплохой результат на временных рядах малой размерности, но с увеличением размерности стала резко падать как точность прогноза, так и производительность, поэтому от этого варианта отказались.
2. Представить временной ряд в виде набора сцепленых графов, где каждый граф отвечает за свою величину прироста значения временного ряда. иначе говоря, имеем граф который отвечает за прирост -1, -0,9… и так до 1. Шаг, естественно, можно уменьшить, или увеличить, что скажется на точности прогноза и ресурсоемкости задачи.(в конечном итоге этот вариант оказался наиболее удачным.)

На этом наборе сцепленных графов, запускался муравьиный алгоритм(на каждом графе свой), который откладывал феромон на ребрах, соответствующих известным значениям временного ряда. Причем, при откладывании феромона на графе i, феромон также откладывался на графах i-1и i+1, но в гораздо меньшем количестве(в нашем случае 1/10 от базового количества феромона) таким образом, муравьи выделяли наиболее часто встречающиеся последовательности прироста значения временного ряда, а за счет откладывания феромона на смежные графы, нивелировалась возможная погрешность и изначальная зашумленность временного ряда.

Данный алгоритм мы тестировали на искусственно подготовленных временных рядах с разным уровнем периодичности и шума. Результат получился двояким. С одной стороны, при уровнях шума до 0,3 алгоритм показывает высокие результаты прогноза, сравнимые с результатами ARIMA модели. На более высоких уровнях шума возникает большой разброс результатов: прогноз то очень точный, то совершенно неправильный.

В настоящий момент мы работаем над подбором оптимального значения параметров алгоритма и некоторыми методами его улучшения, о которых я напишу как только они будут в достаточной степени проверены.

Спасибо всем за внимание.

Upd: Постараюсь ответить на возникшие вопросы.
Мультиграф - это граф, каждая вершина которого соединена с каждой.

Хаотические ряды, как уже писали ниже, не случайны. Вы можете посмотреть на изображения ряда Лоренца в 3-х мерном пространстве и увидите цикличность движения. Просто определить эту цикличность сложно, и на первый взгляд ряд выглядит случайным.

Значения временного ряда нормализуются на промежутке -1...1 и записываются в граф. Граф - в данном случае таблица переходов из вершины в вершину. Феромон откладывается на ребра(в ячейки таблицы).

В случае со сцепленными графами используется несколько таблиц, каждая из которых отвечает только за свою величину перехода.

В зависимости от количества феромона в той, или иной ячейке, выбирается то, или иное значение временного ряда, как результат прогноза.

Алгоритм тестировали, преимущественно, на ряде Лоренца.

На данный момент рано говорить о том насколько он лучше или хуже. Похоже, что алгоритм подвержен нахождению псевдопериодов и с ростом уровня шума количество ложных периодов возрастает.
С другой стороны, при удачно подборе параметров точность прогноза достаточно высокая(отклонение до 7-10 процентов, что для хаотического ряда неплохо.)

К тестированию на реальных данным перейдем позже. Картинки постараюсь подготовить и добавить в ближайшее время.

Спасибо за внимание.

Методы прогнозирования временных рядов

Для математических методов прогнозирования характерен подбор и обоснование математической модели исследуемого процесса, а также способ определения ее неизвестных параметров. Среди математических методов выделяют методы экстраполяции ввиду их простоты. Методологическая предпосылка экстраполяции состоит в признании преимущественной связи между прошлым, настоящим и будущим.

В настоящее время разработана большая группа экстраполяционных методов прогнозирования временных рядов:

1) Методы, основанные на построении корреляционно-регрессионных моделей. При этом строится модель, включающая набор переменных, от которых зависит поведение функции. Прогноз отличается невысокой точностью, используется при прогнозировании показателей конкретных объектов.

y t = a 0 + a 1 y t -1 + …..+ a n y t-n .

3) Методы, основанные на разложении временного ряда на компоненты – главная тенденция, сезонные колебания, случайная составляющая.

4) Методы, позволяющие учесть неравнозначность исходных данных: метод авторегрессии с последующей адаптацией коэффициентов уравнения, метод взвешенных отклонений.

5) Метод прямой экстраполяции, при котором используются различные трендовые модели. Такие модели используются для краткосрочного прогнозирования временных рядов, например, на небольшое число шагов и т.д.

Построение и анализ коррелограммы позволяет оценить характер и тенденцию изменения во времени прогнозируемого процесса. Если анализируемый ряд имеет тренд и колебания вокруг него или существует явная зависимость между прошлым и будущим ряда (рис.1), коррелограмма при тенденции анализируемого ряда к росту будет отражать убывание положительных коэффициентов корреляции с увеличением временного сдвига

Рисунок 2 - Автокорреляционная функция процесса

Если убывание автокорреляционной функции быстрое, носит экспоненциальный характер, то такие ряды имеют «кратковременную память» и могут быть описаны более сложными моделями автокорреляции – скользящего среднего (модели Бокса- Дженкинса). Более сложным случаем является колебательный затухающий характер корреляционной функции (рис. 2).

Наиболее часто используются простейшие алгоритмы прогнозирования:

По среднему абсолютному приросту при линейной тенденции развития показателя во времени;

По среднему темпу роста, когда тенденция ряда характеризуется показательной кривой;

Аналитическим описанием линии тренда, когда на показатель оказывают влияние множество факторов, и ее рассматривают в виде временной функции;

По корреляционным связям между показателями ряда на ограниченном по времени интервале наблюдения;

По среднему уровню ряда динамики в случае стационарного характера изменения во времени анализируемого показателя и др.

Алгоритм выбирается по характеру линии тренда:

Прогнозирование по среднему абсолютному приросту проводится по формуле:

у пр = у + (Dу)t ;

Прогнозирование по среднему темпу роста Т р:

у пр = уТ р t ,

Прогнозирование средним значением уровня ряда у ср:

у пр = у ср,

Транскрипт

1 Лабораторная работа 10. Прогнозирование временных рядов. Цель работы: Построение прогноза временного ряда несколькими способами и выбор лучшей модели прогнозирования. Нужно сделать Взять 2 временных ряда -- один в виде отдельного файла, другой из документа Excel Провести корреляционный анализ каждого временного ряда построить его график, рассчитать АКФ, построить график АКФ, определить свойства ряда Построить прогнозы заданных временных рядов несколькими различными способами. Модели временных рядов выбирать из текста лекции. Оценить ошибки прогнозирования и на основании рассчитанных ошибок выбрать наилучшую модель прогнозирования. К отчету Документ Mathematica с отчетами. Анализ и прогнозирование временных рядов Введение Прогнозирование одна из самых востребованных задач бизнес-аналитики. Продажи, поставки, заказы это процессы, распределенные во времени, следовательно, прогнозирование в области продаж, сбыта и спроса, управления материальными запасами и потоками обычно связано именно с анализом временных рядов. Временной ряд последовательность наблюдений за изменениями во времени значений параметров некоторого объекта или процесса. Временные отсчеты значения, зафиксированные в некоторые, обычно равноотстоящие моменты времени. В задачах анализа временных рядов мы имеем дело с дискретным временем, когда каждое наблюдение за параметром образует временной отсчет. Все временные отсчеты нумеруются в порядке возрастания. Тогда временной ряд будет представлен в виде X={x 1,x 2,x n }. Одномерные временные ряды содержат наблюдения за изменением только одного параметра исследуемого процесса или объекта, а многомерные за двумя параметрами или более. Например, трехмерный временной ряд, содержащий наблюдения за тремя параметрами X,Y,Z процесса F можно записать в следующем виде Цели и задачи анализа временных рядов F={(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2),(x n,y n,z n)} Описание характеристик и закономерностей ряда Моделирование построение модели исследуемого процесса Прогнозирование предсказание будущих значений временного ряда

2 Управление. Зная свойства временных рядов, можно выработать воздействия на соответствующие бизнес-процессы для управления ими методы Детерминированная и случайная составляющая временного ряда Закономерная (детерминированная) составляющая временного ряда последовательность значений, элементы которой могут быть вычислены в соответствии с определенной функцией. Закономерная составляющая временного ряда отражает действие известных факторов и величин. Зная функцию, описывающую закономерность, в соответствии с которой развивается исследуемый процесс, мы можем вычислить значение детерминированной составляющей в любой момент времени. Случайная (стохастическая) составляющая временного ряда последовательность значений, которая является результатом воздействия на исследуемый процесс случайных факторов. Случайная составляющая и ее влияние на временной ряд могут быть оценены только с помощью статистических методов. Случайная составляющая проявляется как результат воздействия набора случайных факторов на исследуемый процесс и обычно выражается в повышенной изменчивости временного ряда, а также в отклонении значений детерминированной составляющей. Результирующее значение временного ряда это результат взаимодействия детерминированной и случайной составляющих. Простейший вид такого взаимодействия случай, когда, каждое значение временного ряда можно рассматривать как сумму (разность) двух значений, одно из которых обусловлено детерминированной составляющей, а другое случайной, т.е. x i =d i +p i. Модели временных рядов Наблюдаемые значения временного ряда представляют собой результат взаимодействия детерминированной и случайной составляющих. Различают два вида такого взаимодействия: Аддитивное значения временного ряда получаются как результат сложения детерминированной и случайной составляющих Мультипликативное значения временного ряда получаются как результат умножения детерминированной и случайной составляющих Соответственно, аддитивная модель имеет вид x i =d i +p i, мультипликативная модель имеет вид x i =d i p i. Компоненты временного ряда Типовые структуры, которые можно выделить во временном ряду тренд, сезонная компонента, циклическая компонента. Тогда детерминированная составляющая может быть записана в виде: d i =t i +s i +c i, где t i тренд, s i сезонная компонента, c i циклическая компонента.

3 Тренд Тренд медленно меняющаяся компонента временного ряд, которая описывает влияние на временной ряд долговременно действующих факторов, вызывающих плавные и длительные изменения ряда. Чтобы представить характер тренда, обычно достаточно взглянуть на график временного ряда. Наиболее популярные модели для описания тренда: Простая линейная модель: t i =a+b i Полиномиальная модель: t i =a+b 1 i+ b 2 i b n i n. В большинстве реальных задач степень полинома не превышает 5 Экспоненциальная модель: t i =exp(a+b i). Используется в случаях, когда процесс характеризуется равномерным увеличением темпов роста Логистическая модель t i =a./(1+b e - k i), где k константа, управляющая крутизной логистической функции. Такого типа кривые, имеющие S-образную форму, часто называют сигмоидами. Они хорошо описывают процессы с непостоянными темпами роста. Сезонная компонента Многим процессам свойственна повторяемость во времени, причем периодичность таких повторений может изменяться в очень широком диапазоне. Очевидно, что для описания таких периодических изменений, присутствующих во временных рядах, тренд непригоден. Сезонная компонента составляющая временного ряда, описывающая регулярные изменения его значений в пределах некоторого периода и представляющая сосбой последовательность почти повторяющихся циклов. Сезонная компонента может быть привязана к определенному календарному временному интервалу: дню, неделе, месяцу либо к какому-либо событию, которое пямо не соотносится с конкретными календарными интервалами. Сезонную компоненту с изменяющимся периодом иногда называют плавающей. Циклическая компонента Часто временные ряды содержат изменения, слишком плавные и заметные для случайной составляющей. В то же время такие изменения нельзя отнести ни к тренду, поскольку они не являются достаточно протяженными, ни к сезонной компоненте, поскольку они не являются регулярными. Подобные изменения называются циклической компонентой временного ряда. Циклическая компонента временного ряда интервалы подъема или спада, которые имеют различную протяженность, а также различную амплитуду расположенных в них значений. Изучение циклической компоненты часто оказывается полезным для прогнозирования, особенно краткосрочного.

4 Т.о., временной ряд можно представить как композицию, состоящую из двух составляющих случайной и детерминированной. Детерминированная составляющая, в свою очередь, содержит три компоненты тренд, сезонную и циклическую. Исследование временных рядов и автокорреляция Цель анализа временного ряда построение его математической модели, с помощью которой можно обнаружить закономерности поведения ряда, а также построить прогноз его дальнейшего развития. Временной ряд называется стационарным, если его статистические свойства (мат.ожидание и дисперсия) одинаковы на всем протяжении ряда. В противном случае ряд называется нестационарным. Прежде чем приступить к построению модели ряда, его стараются привести к стационарному. При исследовании временного ряда ищут ответы на несколько вопросов. Является ли ряд случайным? Содержит ля временной ряд тренд и сезонную компоненту? Является ли временной ряд стационарным? Для ответа используется аппарат корреляционного анализа. Корреляция характеризует степень статистической взаимосвязи между элементами данных. Если взаимосвязь между элементами присутствует, то данные называются коррелированными. Когда определяется степень статистической взаимосвязи между значениями одного временного ряда, имеет место автокорреляция. В этом случае вычисляется корреляция между временным рядом и его копией, сдвинутой на один или несколько временных отсчетов. Смысл корреляционного анализа заключается в следующем. Детерминированная составляющая характеризуется плавными изменениями значений ряда, т.е. соседние значения ряда не должны сильно отличаться, и, следовательно, между ними присутствует сильная зависимость. Если значения ряда в большей степени обусловлены случайной составляющей и соседние значения могут существенно отличаться друг от друга, то корреляция будет меньше. Пример. Пусть дан ряд, который содержит последовательность ежемесячных наблюдений за продажами. Месяц Продажи Январь 125 Февраль 130 Март 140 Апрель 132 Май 145 Июнь 150 Июль 148 Август 155 Сентябрь 157 Октябрь 160 Ноябрь 158 Декабрь 165

5 Для того, чтобы вычислить автокорреляцию ряда, будем использовать его копию, сдвинутую в сторону запаздывания на определенное количество отсчетов. X X i X i X i-n 125 Для определения степени взаимной зависимости элементов ряда используется коэффициент автокорреляции r k, где k количество отсчетов, на которое был сдвинут временной ряд при вычислении данного коэффициента. r k = n i= k+ 1 (x i x)(x (n k) σ i k 2 x x) где x i значение i-го отсчета, x i-k наблюдение x i со сдвигом на k временных отсчетов, x - - среднее значение ряда, σ -- дисперсия ряда. 2 x Коэффициент корреляции изменяется в диапазоне [-1,1], где r k =1 указывает на полную корреляцию Если рассчитать коэффициенты корреляции для каждого сдвига, получим последовательность коэффициентов, называемую автокорреляционной функцией (АКФ). Результаты расчета АКФ для ряда X. k r k Автокорреляционная функция временного ряда Значение коэффициента автокорреляции при нулевом сдвиге равно 1, поскольку ряд полностью коррелирован с самим собой. Также наблюдается высокая степень корреляции r k >0.8 при сдвиге менее чем на 4 временных отсчета и умеренная при r k для 5-7 отсчетов. Затем корреляция быстро падает. Т.о., можно сделать вывод о высокой степени зависимости между соседними значениями данного временного ряда. Данный вывод подтверждается визуальным исследованием ряда: в нем присутствует небольшой линейный положительный тренд, отсутствует сезонная компонента, а достаточно высокая гладкость позволяет выдвинуть предположение о малой величине случайной

6 составляющей. Все это хорошо согласуется с выводами, сделанными на основе корреляционного анализа. Для произвольного временного ряда, корреляционный анализ позволяет придти к следующим заключениям: Если ряд содержит тренд, то коэффициент автокорреляции значителен для первых нескольких сдвигов ряда, а в дальнейшем убывает до нуля Если действие случайной компоненты велико, то коэффициенты автокорреляции для любого значения сдвига будут близки к нулю. Случайный ряд и его АКФ Если ряд содержит сезонную компоненту, то коэффициент автокорреляции будет большим для значений сдвига, равных периоду сезонной составляющей или кратных ему. Ряд с сезонной компонентой и его АКФ

7 Таким образом, корреляционный анализ позволяет выявить в ряду тренд и сезонную компоненту, а также определять, насколько поведение ряда обусловлено его случайной компонентой. Знание данных свойств временного ряда помогает строить более адекватные модели и выбирать методы прогнозирования Модели прогнозирования Главный инструмент прогнозирования в современной бизнес-аналитике прогностические модели. Обобщенная модель прогноза Набор входных переменных x i (i=1,n) исходные данные для прогноза. Набор выходных переменных y j (j=1,m) набор прогнозируемых величин, n>m. Когда решается задача прогнозирования временного ряда, описывающего динамику изменения некоторого бизнес-процесса, входные значения наблюдения за развитием процесса в прошлом, а выходные прогнозируемые значения процесса в будущем. При этом временные интервала прошлых наблюдений и временные интервалы, по которым требуется получить прогноз, должны соответствовать друг другу. «Наивная» модель прогнозирования Предполагает, что последний период прогнозируемого временного ряда лучше всего описывает будущее этого ряда. Простейшая модель y(t+1)=x(t), где x(t) последнее наблюдаемое значение, y(t+1) прогноз. Чтобы модель учитывала наличие возможных трендов, ее можно несколько усложнить, например преобразовав к виду y(t+1)=x(t)+ или y(t+1)=x(t). При необходимости учета сезонных колебаний модель модифицируется следующим образом: y(t+1)=x(t-s), где s показатель, учитывающий сезонные изменения прогнозируемого временного ряда. Экстраполяция Если значения функции f(x) известны в некотором интервале , то целью экстраполяции является определение наиболее вероятного значения в точке x n+1. Экстраполяция применима только в тех случаях, когда функция f(x), а соответственно и описываемый ей временной ряд, достаточно стабильна и не подвержена резким изменениям.

8 Наиболее популярный метод экстраполяции в настоящее время экспоненциальное сглаживание. Основной его принцип заключается в том, чтобы учесть в прогнозе все наблюдения, но с экспоненциально убывающими весами. Метод позволяет принять во внимание сезонные колебания ряда и предсказать поведение трендовой составляющей. Например, в случае ряда с «нулевым» трендом, можно выбрать следующую модель экспоненциального сглаживания y(t+1)= λ y(t)+(1-λ) x(t), \где x(t) последнее наблюдаемое значение, y(t) прогноз на момент времени t, y(t+1) прогноз на момент времени t+1. 0< λ<1 параметр сглаживания или параметр адаптации, характеризующий меру обесценивания наблюдения за единицу времени. Инструментом прогноза является модель, первоначальная оценка параметра λ производится по нескольким первым наблюдениям. На ее основе делается прогноз, который сравнивается с фактическими наблюдениями. Далее модель корректируется в соответствии с величиной ошибки прогноза и вновь используется для прогнозирования следующего уровня, вплоть до исчерпания всех наблюдений. Таким образом, она постоянно «впитывает» новую информацию, приспосабливается к ней, и к концу периода наблюдения отображает тенденцию, сложившуюся на текущий момент. Прогноз получается как экстраполяция последней тенденции. Прогнозирование методом среднего и скользящего среднего Наиболее простая модель этой группы обычное усреднение набора наблюдений прогнозируемого ряда y(t+1)=(x(t)+x(t-1)+x(t-2)+ +x(1))/t. При усреднении сглаживаются резкие изменения и выбросы данных, что делает результаты прогноза более устойчивыми к изменчивости ряда, но в целом эта модель прогноза так же примитивна как «наивная». В формуле прогноза на основе среднего предполагается, что ряд усредняется по всем наблюдениям, но старые значения временного ряда могли формироваться на основе иных закономерностей и утратить актуальность. Чтобы повысить точность прогноза, можно использовать «скользящее среднее» y(t+1)=(x(t)+x(t-1)+x(t-2)+ +x(t-t))/(t+1), т.е. модель «видит» прошлое на Т отсчетов времени и прогноз строится только на этих наблюдениях. Иногда метод скользящего среднего оказывается даже эффективнее чем методы, основанные на долговременных наблюдениях. Регрессионные модели Один из методов прогнозирования временных рядов определение факторов, которые влияют на каждое значение временного ряда. Для этого выделяется каждая компонента временного ряда, вычисляется ее вклад в общую

9 составляющую, а затем на его основе прогнозируются будущие значения временного ряда. Данный метод получил название декомпозиции временного ряда. Исходный временной ряд представляется как композиция тренда, сезонной и циклической компоненты. Для построения прогноза выполняется выделение этих компонент из ряда, т.е. разложение ряда по компонентам. Рассмотрим прогнозирование методом декомпозиции с помощью тренда. Если тренд линейный, что типично для многих реальных временных рядов, то он представляет собой прямую линию, описываемую уравнением y=a+b t, где y значение ряда, a и b коэффициенты, определяющие расположение и наклон линии тренда, t время. Если уравнение линии тренда известно, то с его помощью можно рассчитать значение тренда в любой момент времени y t+k =a+b(t +k), где t начало прогноза, k горизонт прогноза. При использовании сезонности для прогнозирования методом декомпозиции сначала из временного ряда убирается тренд и сглаживается возможная циклическая компонента. Тогда можно считать, что оставшиеся данные будут обусловлены в основном сезонными колебаниями. На основе этих данных вычисляются так называемые сезонные индексы, которые характеризуют изменения временного ряда во времени. Например, временной ряд содержит наблюдения по месяцам в течение года. Сезонный индекс, равный 1, будет установлен для месяца, ожидаемое значение в котором составляет 1/12 от общей суммы по месяцам. Если для некоторого месяца устанавливается индекс 1.2, то ожидаемое значение для этого месяца составляет 1/12+20%, а если 0.8 то 1/12-20% и т.д. Ясно, что сумма сезонных индексов за год должны равняться 12. Использовать сезонность для прогнозирования можно тогда, когда сезонные колебания имеют хорошую повторяемость.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2 ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДА СКОЛЬЗЯЩЕЙ СРЕДНЕЙ В ПРОГНОЗИРОВАНИИ Цель работы: научиться строить тренд временного ряда на основе метода скользящей средней. Содержание работы: 1. Суть метода

ЛЕКЦИЯ 7 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОЦЕНИВАНИЕ МОДЕЛЕЙ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ЛАГАМИ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ (ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ) Эконометрические модели, которые в качестве регрессоров включают лаговые переменные, относятся

Лекция 12. Введение в анализ временных рядов Виды временных рядов. Требования, предъявляемые к исходной информации Статистическое описание развития экономических процессов во времени осуществляется с помощью

РАЗДЕЛ. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ. АНАЛИЗ И ПРОГНОЗ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПО ИХ ВРЕМЕННЫМ РЯДАМ... ВРЕМЕННОЙ РЯД (ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПРИМЕРЫ, ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ... СТАЦИОНАРНЫЕ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ И ИХ ОСНОВНЫЕ

ТЕМА 4. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ УРОВНЕЙ ВРЕМЕННОГО РЯДА И ВЫЯВЛЕНИЕ ЕГО СТРУКТУРЫ При наличии во временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих.

1. Общий анализ временного ряда. 1.1. Проверка гипотезы о случайности временного ряда. График временного ряда изучаемого показателя «Среднедушевые денежные доходы» изображен на рис. «Доходы населения».

Методология Box Jenkins (BJ) или модели AR(I)MA. Модель авторегрессии AR(p). Модель скользящего среднего MA(q). Модель авторегрессии AR(p) Целью эконометрического моделирования часто является так называемое

Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 8 Анализ временных рядов Оглавление Понятие и виды временных рядов... 3 Прогнозирование экономических показателей на основе экстраполяции тренда... 3

Методология Box Jenkins (BJ) или модели AR(I)MA. Модель авторегрессии AR(p). Модель авторегрессии MA(q). Целью эконометрического моделирования часто является так называемое ou-of-sample предсказание, т.е.

Тема 10. Ряды динамики и их применение в анализе социально-экономических явлений. Изменение социально-экономических явлений во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических рядов.

МВДубатовская Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 4 Регрессионный анализ Функциональная статистическая и корреляционная зависимости Во многих прикладных (в том числе экономических) задачах

УДК 338.4 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ПРОДАЖ В МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 8 Ю.С. Чуйкова, Б.А. Горлач Ключевые слова: товарные запасы, управление запасами, прогноз продаж, сезонность, тренд, сезонная волна,

АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РФ Институт Бизнеса и Делового Администрирования Примеры использования дополнительных надстроек MS Excel Анализ модельных временных рядов с помощью надстройки

Абдиев Б.А. «Эконометрика» Предназначено для студентов специальности: Финансы, вечернее отделение (2 курс 4г.о.) Учебный год: 2015-2016 Текст вопроса 1 Парная регрессия у=а+вх+е представляет собой регрессию

55 3 РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 3 Постановка задачи регрессионного анализа Экономические показатели функционирования предприятия (отрасли хозяйства) как правило представляются таблицами статистических данных:

ОСНОВЫ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ПОНЯТИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Для решения задач экономического анализа и прогнозирования очень часто используются статистические, отчетные или наблюдаемые

1. Тема: Предпосылки МНК, методы их проверки Предпосылками метода наименьших квадратов (МНК) являются следующие функциональная связь между зависимой и независимой переменными присутствие в эконометрической

ПЛАН-КОНСПЕКТ. ТЕМА 5. МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ СВЯЗЕЙ Вопросы: 1. Сущность математико-статистических методов изучения связей 2. Корреляционный анализ 3. Регрессионный анализ 4. Кластерный

46 Глава 9. Регрессионный анализ 9.. Задачи регрессионного анализа Во время статистических наблюдений как правило получают значения нескольких признаков. Для простоты будем рассматривать в дальнейшем двумерные

Порядок выполнения работы. На основе имеющихся данных о производстве продукции за N лет рассчитать следующие величины: темпы прироста производства, производительность труда, производительность капитала.

Динамика рождаемости по Чувашской республике Содержание Введение 1. Общая тенденция рождаемости населения Чувашской республики 2. Основная тенденция рождаемости 3. Динамика рождаемости городского и сельского

3, 01 Г. В. Жукова Ìàòåìàòè åñêèå ìåòîäû èíâåñòèöèîííîãî ïëàíèðîâàíèÿ Аннотация: в данной статье рассмотрены основные математические методы, позволяющие получить прогнозные оценки развития тех или иных

Литература 1. Ханк Д.Э., Уичерн Д.У., Райтс А.Дж. Бизнес-прогнозирование, 7-е издание М.: Изд. Дом «Вильямс», 2003 2. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования/м. : ЮНИТИ- ДАНА, 2003 3. Вуколов

План лекций 1 семестр 1. Введение. 1.1. Предмет, метод и задачи статистики; источники статистической информации. 1.2. Кратка история развития статистики. Структура статистических органов на современном

Ср. температура 0 0,97789784683 Ср. осадки 0 0,893300077 Ср.температура/Осадки- 0,005975564 Данные, приведенные в табл. 4 показывают, что наиболее сильные корреляционные связи наблюдаются для среднегодовых

1 (64), 2012/ 33 The offered and realized additive model of calculation of specific norm of consumption of scrap metal at arc electric steel-smelting furnaces has allowed to reduce considerably the error

РЯДЫ ДИНАМИКИ КЛАССИФИКАЦИЯ Ряд динамики (РД), хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития

Прогнозирование в Excel методом скользящего среднего доктор физ. мат. наук, профессор Гавриленко В.В. ассистент Парохненко Л.М. (Национальный транспортный университет) Теоретическая справка. При моделировании

Контрольные тесты по дисциплине «Эконометрика» Первая главная компонента A. Содержит максимальную долю изменчивости всей матрицы факторов. B. Отражает степень влияния первого фактора на результат. C. Отражает

Алеткин П.А., Кожемякова В.В., Шайдуллина Л.И. Прогнозирование доходов и расходов предприятия на основе мультипликативной модели временных рядов В данной практической статье авторами рассмотрено применение

6 целей инвестирования в ИТ (опрос) Повышение эффективности операционной деятельности Новые товары, услуги, бизнес-модели Тесные контакты с покупателями и поставщиками Поддержка принятия решений Конкурентные

Лекция 5. Элементы теории корреляции.. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Две случайные величины могут быть связаны функциональной зависимостью, т.е. изменение одной из них по

АВТОМАТИЗАЦИЯ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Т. А. Заяц УО «Белорусский торгово-экономический университет потребительской кооперации», г. Гомель В современных экономических условиях планирование и управление

УДК 519.862. Физико-математические науки Летова Марина Сергеевна, студентка Факультет прикладной математики и механики, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального

Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона. Бондар Е. В. Филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Южный федеральный университет» в г. Новошахтинске

ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ГОРНОМ ДЕЛЕ Прогнозирование событий, и в частности, последствий разработки полезных ископаемых, чрезвычайно сложное дело из-за взаимосвязанности процессов в биосфере.

Лекция 8 Тема Сравнение случайных величин или признаков. Содержание темы Аналогия дискретных СВ и выборок Виды зависимостей двух случайных величин (выборок) Функциональная зависимость. Линии регрессии.

11. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ ПО ОСВОЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ. Приступая к изучению дисциплины, студенту необходимо внимательно ознакомиться с тематическим планом занятий, списком рекомендованной литературы.

Алеткин П.А., Кожемякова В.В., Шайдуллина Л.И. Прогнозный анализ доходов и расходов от обычных видов деятельности с помощью построения аддитивной модели временного ряда В данной практической статье авторами

Линейная корреляционная зависимость Часто на практике требуется установить вид и оценить силу зависимости изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин (случайных или неслучайных).

Кафедра экономики и управления Статистика Учебно-методический комплекс для студентов ФСПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 6 Ряды динамики Составитель: Ст. преподаватель Е.Н.

Иткин В.Ю. Модели ARMAX Семинар 4. Временные ряды. Автокорреляционная функция 4.1. Пример временного ряда Рассмотрим пример: серия измерений давления газа на выходе из абсорбера на УКПГ. На первый взгляд,

Лекция 5 ЭКОНОМЕТРИКА 5 Проверка качества уравнения регрессии Предпосылки метода наименьших квадратов Рассмотрим модель парной линейной регрессии X 5 Пусть на основе выборки из n наблюдений оценивается

Регрессионный анализ регрессионный анализ -введение коэффициент корреляции степень связи в вариации двух переменных величин (мера тесноты этой связи) метод регрессии позволяет судить как количественно

Тема 2.3. Построение линейно-регрессионной модели экономического процесса Пусть имеются две измеренные случайные величины (СВ) X и Y. В результате проведения n измерений получено n независимых пар. Перед

7 (35) 008 Рынок ценных бумаг Применение анализа временных рядов в стратегии инвестора и торговой системе трейдера Е.Е. Лещенко Кафедра менеджмента инвестиций и инноваций Российской экономической академии

Задачи для текущего контроля Задача 1 Администрация банка изучает динамику депозитов физических лиц за ряд лет (млн долл. в сопоставимых ценах). Исходные данные представлены ниже: Сумма Время, лет 1 2

3.4. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБОРОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПРОГНОЗНЫХ МОДЕЛЕЙ До сих пор мы рассматривали способы построения прогнозных моделей стационарных процессов, не учитывая одной весьма важной особенности.

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК ИЭП им Гайдарару 5 ПРОГНОЗИРОВАНИЕ В ПЕРИОДЫ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ: СУЩЕСТВУЮТ ЛИ ПРОСТЫЕ СПОСОБЫ УЛУЧШЕНИЯ КАЧЕСТВА ПРОГНОЗОВ МТурунцева зав лабораторией ИЭП им ЕТ Гайдара и РАНХиГС

Управление производством УДК 631.15:338.27 ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В УПРАВЛЕНИИ ПРОИЗВОДСТВОМ ЗЕРНОВЫХ КУЛЬТУР Е. Г. НИКИТЕНКО, аспирант кафедры менеджмента Е-mail: [email protected] Ставропольский государственный

Новые возможности программы ФемтоСкан Советы и рекомендации Выпуск 003 Волшебство корреляционного анализа. Часть 1. В сканирующей зондовой микроскопии, и в первую очередь в сканирующей туннельной микроскопии,

36 УДК 68.3.068 А.Ю. СОКОЛОВ, О.С. РАДИВОНЕНКО, Т.В. КОРЧАК Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского ХАИ, Украина МЕТОДЫ АНАЛИЗА ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В ЗАДАЧАХ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ВСПЫШЕК ЭПИДЕМИЙ

Эконометрическое моделирование Лабораторная работа 7 Анализ остатков. Автокорреляция Оглавление Свойства остатков... 3 1-е условие Гаусса-Маркова: Е(ε i) = 0 для всех наблюдений... 3 2-е условие Гаусса-Маркова:

Трансформация упорядоченных данных Многие аналитические задачи, например прогнозирование, анализ продаж, динамики спроса, состояния бизнес-объектов и других протяженных во времени процессов, связаны

Эконометрическое моделирование Лабораторная работа Корреляционный анализ Оглавление Понятие корреляционного и регрессионного анализа... 3 Парный корреляционный анализ. Коэффициент корреляции... 4 Задание

ЛЕКЦИЯ Сообщения, сигналы, помехи как случайные явления Случайные величины, вектора и процессы 4 СИГНАЛЫ И ПОМЕХИ В РТС КАК СЛУЧАЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ Как уже отмечалось выше основная проблематика теории РТС это

УДК 674.093 ЭВОЛЮЦИЯ ТРЕНДА И ВНУТРИГОДОВОЙ ДИНАМИКИ КИСЛОТНОСТИ ОСАДКОВ, ВЫПАДАЮЩИХ В ТВЕРИ Ф. В. Качановский В предыдущих публикациях автора рассмотрены различные аспекты проблемы кислотности атмосферных

"УТВЕРЖДАЮ" Заместитель Председателя Правления ОАО "СО ЦДУ ЕЭС" Н.Г. Шульгинов 4 декабря 2007 г. Методика прогнозирования графиков электропотребления для технологий краткосрочного планирования 2007 Содержание.

Корреляционный анализ. Корреляционно-регрессионный анализ выполняется на основе анализа эмпирических данных. Методы такого анализа являются составной частью эконометрики, которая устанавливает и исследует

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N o.1 СЛОЖЕНИЕ ОДНОНАПРАВЛЕННЫХ И ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ Цель работы Целью работы является практическое ознакомление с физикой гармонических колебаний, исследование процесса

Лекция. Основные показатели динамики экономических явлений На практике для количественной оценки динамики явлений широко применяются следующие основные аналитические показатели: абсолютные приросты; темпы

УДК 330.42 Экономические науки Харитонова Дарья Евгеньевна, студентка кафедры прикладной математики, специальность «Математическое и информационное обеспечение экономической деятельности», ФГБОУ ВО «Пермский

В этой статье попытаемся дать общее представление о статистических методах прогнозирования временных рядов .

Прогноз – возможное состояние объекта в будущем, а также суждение об альтернативных путях достижения этого состояния в будущем.

Классификация прогнозов :
По масштабности выделяют следующие прогнозы:

• Прогнозы микроуровня
• Прогнозы макроуровня
• Глобальные прогнозы

По времени прогнозы делят на:

• Краткосрочные
• Среднесрочные
• Долгосрочные

Это довольно условное деление, так как деление производит эксперт, изучающий временные ряды.

Прогнозирование можно рассматривать на двух уровнях:

• Прогнозирование как предсказание
• Прогнозирование как предуказание

Предсказание – отвечает на вопрос «что нам ожидать в будущем?», описывает перспективы изменения объекта исследования в будущем. (Такие прогнозы называют поисковыми )
Предуказание – отвечает на вопрос «что нам нужно изменить в будущем, что бы получить заданное состояние объекта?», возможное решение проблем, возникающих при предсказании. (Такие прогнозы называют нормативными ).

Этапы прогнозирования включают в себя следующие уровни:

• Сбор необходимой задачи для прогноза
• Предобработка данных
• Определение моделей прогнозирования
• Оценка параметров выбранных моделей
• Проверка на адекватность выбранной модели
• Выбор лучшей модели для прогнозирования
• Построение прогноза по выбранной модели
• Анализ результатов

Изменение экономико-финансовых показателей чаще всего отражается временными и динамическими рядами.
Динамические ряды – совокупность последовательных наблюдений показателя х в зависимости от изменения показателя y.
Временные ряды – называют совокупность последовательных наблюдений, упорядоченных во временной последовательности.

Рисунок 1. Пример временного ряда

Временные ряды можно разделить на моментные и интервальные ряды . Моментные временные ряды – наблюдения характеризуют объект на определенный момент времени. Интервальные временные ряды – ряд наблюдений характеризует объект за определенный период времени.
Процесс прогнозирования финансово-экономических рядов состоит в определении и выделении закономерностей, которые объясняли динамику изменения процесса в прошлом, для того чтобы потом использовать ее для описания ее развития в будущем. Для успешного осуществления процесса прогнозирования необходимо, что бы анализируемый временной ряд был достаточной длины (свойство полноты информации ), во временном ряде не должно быть пропусков (свойство непрерывности ). Соответствие изучаемого временного ряда этим требованиям проверяется на этапе «Предварительная обработка данных».

Давайте рассмотрим компоненты временного ряда.

• Трендовая - T
• Сезонная - S
• Циклическая -C
• Нерегулярная - e

Тренд – направленное изменение значений наблюдаемого временного ряда. Наряду с трендовыми движениями, в экономических процессах часто присутствует сезонная составляющая, которая представляет период колебания показателей, не превышающих 1 год. Если период более 1 года, то говорят, что во временном ряду присутствует циклическая составляющая. Если из изучаемого ряда убрать трендовую составляющую и периодическую (циклическая и сезонная), то останется нерегулярная, случайная компонента.
Если временной ряд равен сумме своих компонент
Y=T+S+C+e,
то полученная модель ряда называется аддитивной , если в виде произведения
Y=T*S*C*e,
то это мультипликативная модель.
Смешанный тип модели временного ряда соответственно представлен формулой
Y=T*S*C+e, где Y-значение временного ряда.
Если все компоненты во временном ряду правильно выделены, то случайная недетерминированная, некоррелированная компонента е обладает следующими свойствами:

• е – является случайными величинами
• случайные величины распределены по нормальному закону распределения
• имеет математическое ожидание равно 0

Предобработка временных рядов


Аномальные наблюдения могут возникнуть из-за ошибок в измерении и передачи информации (ошибки первого рода – подлежат устранению) или воздействия на изучаемый процесс редко появляющихся объективных факторов (ошибки второго рода – не подлежат устранению).
Устранение аномальных наблюдений производится в 2 этапа: поиск аномальных наблюдений по методу Ирвинга и замена их на среднее арифметическое соседних значений.

Одним из самых распространённых методов сглаживания временных рядов является метод скользящей средней. Суть использования метода заключается в замене значений временного ряда на более сглаженные значения, подверженные колебаниям в меньшей степени. Скользящие средние позволяют выявить тенденцию в развитии процесса и отфильтровать компоненты временного ряда, а также подготовить данные для построения модели прогнозирования.
Сглаживание может производиться следующими методами:

• Простой скользящей средней (SMA)
• Взвешенной скользящей средней (WMA)
• Экспоненциальной скользящей средней (EMA)

• Критерий восходящих/нисходящих серий Кокса-Стюарта
• Критерий серий (основанный на медиане выборки)
• Метод Фостера-Стюарта
• Метод автокорреляционных функций

Расчет количественных характеристик развития экономических процессов включает в себя определение: расчета абсолютных приростов , расчета темпов роста , выявления автокорреляции временного ряда. В основе вычисления этих показателей лежит сравнение значений временного ряда. Такой подход к анализу и прогнозированию процесса применим, если изучаемый временной ряд имеет линейную тенденцию. К недостаткам такого анализа следует отнести то, что в нем учитывается только конечные и начальные значения временного ряда и исключается влияние промежуточных данных.

Построение моделей временных рядов
Формирование значений временного ряда определяется тремя закономерностями:

• Инерцией тенденции
• Инерцией взаимосвязи между последовательными значениями временного ряда
• Инерцией взаимосвязи между исследуемым показателем и показателями – факторами, оказывающие на него воздействие

В соответствии с этими закономерностями выделяют задачи анализа и моделирования тенденций (решается с помощью моделей кривых роста ), анализа взаимосвязи между значениями временного ряда (решается с помощью адаптивных моделей ), анализа причинных взаимодействий между исследуемым показателем и показателями – факторами (решается регрессионными методами ).
Кривая роста – плавная кривая, аппроксимирующая временной ряд. Аналитические методы выделения неслучайной составляющей временного ряда с помощью кривых роста реализуется в рамкам модели регрессии.
Процедура разработки прогноза по кривым роста:

• Выбор кривой роста
• Оценка параметров выбранной кривой
• Расчет точного и интервального прогноза
• Оценка полученного прогноза

Кривые роста делятся на три класса. К первому классу относят кривые для описания монотонных процессов развития объекта. Ко второму классу относят кривые, которые описывают процессы с пределом роста в исследуемом периоде (их называют кривые насыщения ). Если кривые насыщения имеют точку перегиба, то они относятся к 3му классу S – образных кривых.

1 класс кривых роста включает – полином первого порядка, второго, третьего, экспоненту, экспоненциальные кривые.
2 класс кривых роста включает – модифицированную экспоненту.
3 класс кривых – Кривая Гомперца, логистическая кривая.

Наиболее простой способ выбрать кривую роста – визуальный метод. Подбирают кривую, наиболее точно описывающую исследуемый процесс.
Оценка качества полученной модели для прогнозирования по кривым роста производится при проверке адекватности и оценки точности модели .
В проверку адекватности входит: проверка независимости (отсутствие автокорреляции по критерию Дарбина-Уотсона), проверка случайности, соответствие остатков временного ряда случайному распределению(R/S критерий), равенство 0 средней ошибки.
Точность модели оценивается по методу МНК , т.е. кривая подбирается таким образом, чтобы график функции кривой роста располагался на минимальном удалении от точек процесса.