Сложный процент. Формула сложного процента для вклада

Сложные проценты

2.2.1. Формула сложых процентов

2.2.2. Эффективная ставка процентов

2.2.3. Переменная ставка процентов

2.2.4. Непрерывное начисление процентов

2.2.5. Определение срока ссуды и величины процентной ставки

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;
срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

FV = PV + I = PV + PV i = PV (1 + i )

– за один период начисления;

FV = (PV + I ) (1 + i ) = PV (1 + i ) (1 + i ) = PV (1 + i ) 2

– за два периода начисления;

отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

FV = PV (1 + i ) n = PV k н ,

где FV – наращенная сумма долга;

PV – первоначальная сумма долга;

i – ставка процентов в периоде начисления;

n – количество периодов начисления;

k н – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Эта формула называется формулой сложных процентов.

Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

(1 + i ).

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

(1 + i ) n .

Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и представлены в Приложении 2. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i . 5>>>

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

Формула наращения по сложным процентам

Пусть первоначальная сумма долга равна P , тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P (1+ i ) , через 2 года P (1+ i )(1+ i )= P (1+ i ) 2 , через n лет - P (1+ i ) n . Таким образом, получаем формулу наращения для сложных процентов

S=P(1+i) n , (19)

где S - наращенная сумма, i - годовая ставка сложных процентов, n - срок ссуды, (1+ i ) n - множитель наращения.

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P , а знаменатель (1+ i ).

Отметим, что при сроке n <1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n >1 - наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.

Формула наращения по сложным процентам,
когда ставка меняется во времени

В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид

(20)

где i 1 , i 2 ,..., i k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n 1, n 2,..., nk соответственно.

Пример 6.

В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение.

(1+0,3) 2 (1+0,28)(1+0,25)=2,704

Формула удвоения суммы

В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем. Ответ получим, приравняв множитель наращения величине N :

А) для простых процентов

(1+ ni прост. ) = N , откуда

. (21)

Б) для сложных процентов

(1+ i сложн. ) n = N , откуда

. (22)

Особенно часто используется N =2. Тогда формулы (21) и (22) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

А) для простых процентов

, (23)

Б) для сложных процентов

. (24)

Если формулу (23) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (24) требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках процентов (скажем, менее 10%) вместо нее можно использовать более простую приближенную. Ее легко получить, если учесть, что ln 2  0,7, а ln (1+ i )  i . Тогда

n » 0,7/ i . (25)

Пример 7.

Решение.

а) При простых процентах:

лет.

б) При сложных процентах и точной формуле:

Года.

в) При сложных процентах и приближенной формуле:

n » 0,7/i = 0,7/0,1 =7 лет .

Выводы:

1) Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.

2) При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.

Начисление годовых процентов при дробном числе лет

При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:

1) По формуле сложных процентов

S=P(1+i) n , (26)

2) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые

S=P(1+i) a (1+bi) , (27)

где n = a + b , a -целое число лет, b -дробная часть года.

3) В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

S=P(1+i) a . (28)

Номинальная и эффективная ставки процентов

Номинальная ставка . Пусть годовая ставка сложных процентов равна j , а число периодов начисления в году m . Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j / m . Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:

S=P(1+j/m) N , (29)

где N - число периодов начисления.

Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:

1) По формуле сложных процентов

S=P(1+j/m) N/ t , (30)

где N / t - число (возможно дробное) периодов начисления процентов, t - период начисления процентов,

2) По смешанной формуле

, (31)

где a - целое число периодов начисления (т.е. a = [ N / t ] - целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления t ),

b - оставшаяся дробная часть периода начисления ( b = N / t - a ).

Пример 8.

Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить.

Решение.

Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется кварталов.

1) = 73,713 млн. руб.

2) = 73,875 млн. руб.

3) S=20(1+0,6/4) 9 = 70,358 млн . руб .

Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов.

Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j / m .

Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j / m , то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:

(1+i э ) n =(1+j/m) mn , (32)

где i э - эффективная ставка, а j - номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением

(33)

Обратная зависимость имеет вид

j=m[(1+i э ) 1/m -1]. (34)

Пример 9.

Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Решение

i э =(1+0,1/4) 4 -1=0,1038, т.е. 10,38%.

Пример 10.

Определить какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.

Решение.

j =4[(1+0,12) 1/4 -1]=0,11495, т.е. 11,495%.

Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов

Здесь, также как и в случае простых процентов, будут рассмотрены два вида учета - математический и банковский.

Математический учет . В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам. Запишем исходную формулу для наращения

S=P(1+i) n

и решим ее относительно P

, (35)

где

(36)

учетный или дисконтный множитель.

Если проценты начисляются m раз в году, то получим

, (37)

где

(38)

дисконтный множитель.

Величину P , полученную дисконтированием S , называют современной или текущей стоимостью или приведенной величиной S . Суммы P и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме P , выплачиваемой в настоящий момент.

Разность D = S - P называют дисконтом .

Банковский учет . В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле

P=S(1-d сл ) n , (39)

где d сл - сложная годовая учетная ставка.

Дисконт в этом случае равен

D=S-P=S-S(1-d сл ) n =S. (40)

При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.

Номинальная и эффективная учетные ставки процентов

Номинальная учетная ставка . В тех случаях, когда дисконтирование применяют m раз в году, используют номинальную учетную ставку f . Тогда в каждом периоде, равном 1/ m части года, дисконтирование осуществляется по сложной учетной ставке f / m . Процесс дисконтирования по этой сложной учетной m раз в году описывается формулой

P=S(1-f/m) N , (41)

где N - общее число периодов дисконтирования (N = mn ).

Дисконтирование не один, а m раз в году быстрее снижает величину дисконта.

Эффективная учетная ставка . Под эффективной учетной ставкой понимают сложную годовую учетную ставку, эквивалентную (по финансовым результатам) номинальной, применяемой при заданном числе дисконтирований в году m .

В соответствии с определением эффективной учетной ставки найдем ее связь с номинальной из равенства дисконтных множителей

(1-f/m) mn =(1-d сл ) n ,

из которого следует, что

d сл =1-(1-f/m) m . (42)

Отметим, что эффективная учетная ставка всегда меньше номинальной.

Наращение по сложной учетной ставке. Наращение является обратной задачей для учетных ставок. Формулы наращения по сложным учетным ставкам можно получить, разрешая соответствующие формулы для дисконтирования (39 и 41) относительно S . Получаем

из P=S(1-d сл) n

, (43)

а из P = S (1- f / m ) N

. (44)

Пример 11.

Какую сумму следует проставить в векселе, если реально выданная сумма равна 20 млн. руб., срок погашения 2 года. Вексель рассчитывается, исходя из сложной годовой учетной ставки 10%.

Решение.

млн. руб.

Пример 12.

Решить предыдущую задачу при условии, что наращение по сложной учетной ставке осуществляется не один, а 4 раза в год.

Решение.

млн. руб.

Наращение и дисконтирование

Наращенная сумма при дискретных процентах определяется по формуле

S = P (1+ j / m ) mn ,

где j - номинальная ставка процентов, а m - число периодов начисления процентов в году.

Чем больше m , тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ® ¥ имеем

S= lim P(1+j/m) mn =P lim [(1+j/m) m ] n . (45)

m ® ¥ m ® ¥

Известно, что

lim (1+j/m) m =lim [(1+j/m) m/j ] j =e j ,

m ® ¥ m ® ¥

где e - основание натуральных логарифмов.

Используя этот предел в выражении (45), окончательно получаем, что наращенная сумма в случае непрерывного начисления процентов по ставке j равна

S = Pe jn . (46)

Для того, чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста и обозначают символом d . Тогда

S=Pe d n . (47)

Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m ® ¥ .

Дисконтирование на основе непрерывных процентных ставок осуществляется по формуле

P=Se - d n . (48)

Связь дискретных и непрерывных процентных ставок

Дискретные и непрерывные процентные ставки находятся в функциональной зависимости, благодаря которой можно осуществлять переход от расчета непрерывных процентов к дискретным и наоборот. Формулу эквивалентного перехода от одних ставок к другим можно получить путем приравнивания соответствующих множителей наращения

(1+i) n =e d n . (49)

Из записанного равенства следует, что

d = ln (1+ i ) , (50)

i = e d -1 . (51)

Пример 13.

Годовая ставка сложных процентов равна 15%, чему равна эквивалентная сила роста,

Решение.

Воспользуемся формулой (50)

d = ln (1+ i )= ln (1+0,15)=0,13976,

т.е. эквивалентная сила роста равна 13,976%.

Расчет срока ссуды и процентных ставок

В ряде практических задач начальная (P ) и конечная (S ) суммы заданы контрактом, и требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, которая в данном случае может служить мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Указанные величины нетрудно найти из исходных формул наращения или дисконтирования. По сути дела, в обоих случаях решается в известном смысле обратная задача.

Срок ссуды

При разработке параметров соглашения и оценивании сроков достижения желательного результата требуется определить продолжительность операции (срока ссуды) через остальные параметры сделки. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

i .

S=P(1+i) n

следует, что

(52)

где логарифм можно взять по любому основанию, поскольку он имеется как в числителе, так и в знаменателе.

m раз в году из формулы

S=P(1+j/m) mn

получаем

(53)

d . Из формулы

P=S(1-d) n

имеем (54)

m раз в году. Из

P=S(1-f/m) mn

приходим к формуле

(55)

При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из

S = Pe d n

получаем

ln ( S / P )= d n . (56)

Расчет процентных ставок

Из тех же исходных формул, что и выше, получим выражения для процентных ставок.

А) При наращивании по сложной годовой ставке i . Из исходной формулы наращения

S=P(1+i) n

следует, что

(57)

Б) При наращивании по номинальной ставке процентов m раз в году из формулы

S=P(1+j/m) mn

получаем (58)

В) При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d . Из формулы

P=S(1-d) n

имеем (59)

Г) При дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в году. Из

P=S(1-f/m) mn

приходим к формуле

(60)

Д) При наращивании по постоянной силе роста. Исходя из

S = Pe d n

получаем

(61)

Начисление процентов и инфляция

Следствием инфляции является падение покупательной способности денег, которое за период n характеризуется индексом J n . Индекс покупательной способности равен обратной величине индекса цен J p , т.е.

J n =1/ J p . (62)

Индекс цен показывает во сколько раз выросли цены за указанный промежуток времени.

Наращение по простым процентам

Если наращенная за n лет сумма денег составляет S , а индекс цен равен J p , то реально наращенная сумма денег, с учетом их покупательной способности, равна

C=S/J p . (63)

Пусть ожидаемый средний годовой темп инфляции (характеризующий прирост цен за год) равен h . Тогда годовой индекс цен составит (1+ h ).

Если наращение производится по простой ставке в течение n лет, то реальное наращение при темпе инфляции h составит

(64)

где в общем случае

(65)

и, в частности, при неизменном темпе роста цен h ,

J p =(1+h) n . (66)

Процентная ставка, которая при начислении простых процентов компенсирует инфляцию, равна

(67)

Один из способов компенсации обесценения денег заключается в увеличении ставки процентов на величину так называемой инфляционной премии. Скорректированная таким образом ставка называется брутто-ставкой . Брутто-ставка, которую мы будем обозначать символом r , находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто-ставке множителю наращения по реальной ставке процента

(68)

откуда

(69)

Наращение по сложным процентам

Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учетом падения покупательной способности денег (т.е. в неизменных рублях) составит

(70)

где индекс цен определяется выражением (65) или (66), в зависимости от непостоянства или постоянства темпа инфляции.

В этом случае падение покупательной способности денег компенсируется при ставке i = h , обеспечивающей равенство C = P .

Применяются два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности денег при начислении сложных процентов.

А) Корректировка ставки процентов , по которой производится наращение, на величину инфляционной премии. Ставка процентов, увеличенная на величину инфляционной премии, называется брутто-ставкой. Будем обозначать ее символом r . Считая, что годовой темп инфляции равен h , можем написать равенство соответствующих множителей наращения

(71)

где i - реальная ставка.

Отсюда получаем формулу Фишера

r=i+h+ih . (72)

То есть инфляционная премия равна h + ih .

Б) Индексация первоначальной суммы P . В этом случае сумма P корректируется согласно движению заранее оговоренного индекса. Тогда

S=PJ p (1+i) n . (73)

Нетрудно заметить, что и в случае А) и в случае Б) в итоге мы приходим к одной и той же формуле наращения (73). В ней первые два сомножителя в правой части отражают индексацию первоначальной суммы, а последние два - корректировку ставки процента.

Измерение реальной ставки процента

На практике приходится решать и обратную задачу - находить реальную ставку процента в условиях инфляции. Из тех же соотношений между множителями наращения нетрудно вывести формулы, определяющие реальную ставку i по заданной (или объявленной) брутто-ставке r .

При начислении простых процентов годовая реальная ставка процентов равна

(74)

При начислении сложных процентов реальная ставка процентов определяется следующим выражением

(75)

Практические приложения теории

Рассмотрим некоторые практические приложения рассмотренной нами теории. Покажем как полученные выше формулы применяются при решении реальных задач по расчету эффективности некоторых финансовых операций, сравним различные методы расчетов.

Конвертация валюты и начисление процентов

Рассмотрим совмещение конвертации (обмена) валюты и наращение простых процентов , сравним результаты от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту. Всего возможно 4 варианта наращения процентов:

1. Без конвертации. Валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение первоначальной суммы производится по валютной ставке путем прямого применения формулы простых процентов.

2. С конвертацией. Исходные валютные средства конвертируются в рубли, наращение идет по рублевой ставке, в конце операции рублевая сумма конвертируется обратно в исходную валюту.

3. Без конвертации. Рублевая сумма размещается в виде рублевого депозита, на который начисляются проценты по рублевой ставке по формуле простых процентов.

4. С конвертацией. Рублевая сумма конвертируется в какую-либо конкретную валюту, которая инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции обратно конвертируется в рубли.

Операции без конвертации не представляют сложности. В операции наращения с двойной конвертацией имеются два источника дохода: начисление процента и изменение курса. Причем начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована, инфляцию пока не рассматриваем). Изменение же обменного курса может быть как в ту, так и в другую сторону, и оно может быть как источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям. Далее мы конкретно остановимся на двух вариантах (2 и 4), предусматривающих двойную конвертацию.

Предварительно введем следующие ОБОЗНАЧЕНИЯ:

P v - сумма депозита в валюте,

P r - сумма депозита в рублях,

S v - наращенная сумма в валюте,

S r - наращенная сумма в рублях,

K 0 - курс обмена в начале операции (курс валюты в руб.)

K 1 - курс обмена в конце операции,

n - срок депозита,

i - ставка наращения для рублевых сумм (в виде десятичной дроби),

j - ставка наращения для конкретной валюты.

ВАРИАНТ:ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА

Операция состоит из трех этапов: обмена валюты на рубли, наращения рублевой суммы, обратное конвертирование рублевой суммы в исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит

Как видим, три этапа операции нашли свое отражение в этой формуле в виде трех сомножителей.

Множитель наращения с учетом двойной конвертации равен

где k = K 1 / K 0 - темп роста обменного курса за срок операции.

Мы видим, что множитель наращения m связан линейной зависимостью со ставкой i и обратной с обменным курсом в конце операции K 1 (или с темпом роста обменного курса k ).

Исследуем теоретически зависимость общей доходности операции с двойной конвертацией по схеме ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА от соотношения конечного и начального курсов обмена k .

Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции в целом, равна

Подставим в эту формулу записанное ранее выражение для S v

Таким образом с увеличением k доходность i эфф падает по гиперболе с асимптотой -1/ n . См. рис. 2.

Рис. 2.

Исследуем особые точки этой кривой. Отметим, что при k =1 доходность операции равна рублевой ставке, т.е. i эфф = i . При k >1 i эфф < i , а при k <1 i эфф > i . На рис. 1 видно, при некотором критическом значении k , которое мы обозначим как k * , доходность (эффективность) операции оказывается равной нулю. Из равенства i эфф =0 находим, что k * =1+ ni , что в свою очередь означает K * 1 = K 0 (1+ ni ).

ВЫВОД 1: Если ожидаемые величины k или K 1 превышают свои критические значения, то операция явно убыточна (i эфф <0 ).

Теперь определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции K 1 , при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в валюте, и применение двойной конвертации не дает никакой дополнительной выгоды. Для этого приравняем множители наращения для двух альтернативных операций

Из записанного равенства следует, что

или

ВЫВОД 2: Депозит валюты через конвертацию в рубли выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K 1 .

ВАРИАНТ:РУБЛИ ® ВАЛЮТА ® ВАЛЮТА ® РУБЛИ

Рассмотрим теперь вариант с двойной конвертацией, когда имеется исходная сумма в рублях. В этом случае трем этапам операции соответствуют три сомножителя следующего выражения для наращенной суммы

Здесь также множитель наращения линейно зависит от ставки, но теперь от валютной ставки процентов. От конечного курса обмена он также зависит линейно.

Проведем теоретический анализ эффективности этой операции с двойной конвертацией и определим критические точки.

Отсюда, подставив выражение для S r , получаем

Зависимость показателя эффективности i эфф от k линейная, она представлена на рис. 3

Рис . 3.

При k=1 i эфф =j , при k>1 i эфф >j , при k<1 i эфф .

Найдем теперь критическое значение k * , при котором i эфф =0 . Оно оказывается равным

или .

ВЫВОД 3: Если ожидаемые величины k или K 1 меньше своих критических значений, то операция явно убыточна (i эфф <0 ).

Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в рублях, определяется путем приравнивания множителей наращения для альтернативных операций (или из равенства i эфф = i )

откуда min или min .

ВЫВОД 4: Депозит рублевых сумм через конвертацию в валюту выгоднее рублевого депозита, если обменный курс в конце операции ожидается больше min K 1 .

Теперь рассмотрим совмещение конвертации валюты и наращение сложных процентов. Ограничимся одним вариантом.

ВАРИАНТ:ВАЛЮТА ® РУБЛИ ® РУБЛИ ® ВАЛЮТА k =1 i э = i , при k >1 i э < i , а при k <1 i э > i .

Критическое значение k , при котором эффективность операции равна нулю, т.е. i э =0 ,

определяется как k * =(1+ i ) n , что означает равенство среднегодового темпа роста курса валюты годовому темпу наращения по рублевой ставке: .

ВЫВОД 5: Если ожидаемые величины k или K 1 больше своих критических значений, то рассматриваемая операция с двойной конвертацией явно убыточна (i э <0 ).

Максимально допустимое значение k , при котором доходность операции будет равна доходности при прямом инвестировании валютных средств по ставке

Контур финансовой операции

Финансовая или кредитная операции предполагают сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности можно пояснить на графике.

Рис. 5.

Пусть ссуда в размере D 0 выдана на срок T . На протяжении этого срока в счет погашения задолженности производятся, допустим, два промежуточных платежа R 1 и R 2 , а в конце срока выплачивается остаток задолженности R 3 , подводящий баланс операции.

На интервале времени t 1 задолженность возрастает до величины D 1 . В момент t 1 долг уменьшается до величины K 1 = D 1 - R 1 и т.д. Заканчивается операция получением кредитором остатка задолженности R 3 . В этот момент задолженность полностью погашается.

Назовем график типа б) контуром финансовой операции . Сбалансированная операция обязательно имеет замкнутый контур, т.е. последняя выплата полностью покрывает остаток задолженности. Контур операции обычно применяется при погашении задолженности частичными промежуточными платежами.

С помощью последовательных частичных платежей иногда погашаются краткосрочные обязательства. В этом случае существуют два метода расчета процентов и определения остатка задолженности. Первый называется актуарным и применяется в основном в операциях со сроком более года . Второй метод назван правилом торговца . Он обычно применяется коммерческими фирмами в сделках со сроком не более года .

Замечание: При начислении процентов, как правило, используются обыкновенные проценты с приближенным числом дней временных периодов.

Актуарный метод

Актуарный метод предполагает последовательное начисление процентов на фактические суммы долга. Частичный платеж идет в первую очередь на погашение процентов, начисленных на дату платежа. Если величина платежа превышает сумму начисленных процентов, то разница идет на погашение основной суммы долга. Непогашенный остаток долга служит базой для начисления процентов за следующий период и т.д. Если же частичный платеж меньше начисленных процентов, то никакие зачеты в сумме долга не делаются. Такое поступление приплюсовывается к следующему платежу.

Для случая, показанного на рис. 5 б), получим следующие расчетные формулы для определения остатка задолженности:

K 1 =D 0 (1+t 1 i)-R 1 ; K 2 =K 1 (1+t 2 i)-R 2 ; K 2 (1+t 3 i)-R 3 =0,

где периоды времени t 1 , t 2 , t 3 - заданы в годах, а процентная ставка i - годовая.

Правило торговца

Правило торговца является другим подходом к расчету частичных платежей. Здесь возможны две ситуации.

1) Если срок ссуды не превышает, сумма долга с начисленными за весь срок процентами остается неизменной до полного погашения. Одновременно идет накопление частичных платежей с начисленными на них до конца срока процентами.

2) В случае, когда срок превышает год, указанные выше расчеты, делаются для годового периодазадолженности. В конце года из суммы задолженности вычитается наращенная сумма накопленных частичных платежей. Остаток погашается в следующем году.

При общем сроке ссуды T £ 1 алгоритм можно записать следующим образом

где S - остаток долга на конец срока,

D - наращенная сумма долга,

K - наращенная сумма платежей,

R j - сумма частичного платежа,

t j - интервал времени от момента платежа до конца срока,

m - число частичных (промежуточных) платежей.

Переменная сумма счета и расчет процентов

Рассмотрим ситуацию, когда в банке открыт сберегательный счет, и сумма счета в течение срока хранения изменяется: денежные средства снимаются, делаются дополнительные взносы. Тогда в банковской практике при расчете процентов часто используют методику расчета с вычислением так называемых процентных чисел . Каждый раз, когда сумма на счете изменяется, вычисляется процентное число C j за прошедший период j , в течение которого сумма на счете оставалась неизменной, по формуле

где t j - длительность j -го периода в днях.

Для определения суммы процентов, начисленной за весь срок, все процентные числа складываются и их сумма делится на постоянный делитель D :

где K - временная база (число дней в году, т.е. 360 либо 365 или 366), i - годовая ставка простых процентов (в %).

При закрытии счета владелец получит сумму равную последнему значению суммы на счете плюс сумму процентов.

Пример 14.

Пусть 20 февраля был открыт счет до востребования в размере P 1 =3000 руб., процентная ставка по вкладу равнялась i =20% годовых. Дополнительный взнос на счет составил R 1 =2000 руб. и был сделан 15 августа. Снятие со счета в размере R 2 =-4000 руб. зафиксировано 1 октября, а 21 ноября счет был закрыт. Требуется определить сумму процентов и общую сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета.

Решение.

Расчет будем вести по схеме (360/360). Здесь имеются три периода, в течение которых сумма на счете оставалась неизменной: с 20 февраля по 15 августа (P 1 =3000, t 1 =10+5*30+15=175), с 15 августа по 1 октября (P 2 = P 1 + R 1 =3000+2000=5000 руб., t 2

Сумма, выплачиваемая при закрытии счета, равна

P 3 +I=1000+447.22=1447 руб . 22 коп .

Теперь покажем связь этой методики с формулой простых процентов. Рассмотрим в алгебраическом виде представленный выше пример.

C умму, выплачиваемую при закрытии счета, найдем следующим образом

Таким образом, мы получили выражение, из которого следует, что на каждую сумму, добавляемую или снимаемую со счета, начисляются проценты с момента совершения соответствующей операции до закрытия счета. Эта схема соответствует правилу торговца, рассмотренному в разделе 6.2.

Изменение условий контракта

В практике часто возникает необходимость в изменении условий контракта: например, должник может попросить об отсрочке срока погашения долга или, напротив, изъявить желание погасить его досрочно, в ряде случаев может возникнуть потребность объединить (консолидировать) несколько долговых обязательств в одно и т.д. Во всех этих случаях применяется принцип финансовой эквивалентности старых (заменяемых) и новых (заменяющих) обязательств. Для решения задач по изменению условий контракта разрабатывается так называемое уравнение эквивалентности , в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных контрактов применяются простые процентные ставки, а для средне- и долгосрочных - сложные ставки.

Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.

Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. В данной статье речь пойдет о долгосрочных вложениях, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.

Для правильного расчета прибыли необходимо выполнить несложные арифметические действия на основе нижеизложенных формул.

Формула сложного процента (расчет в годах)

Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.

Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.

Для расчета сложного процента применяем простую формулу:

S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
Р – первоначальная величина вклада;
n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);
I – годовая процентная ставка.

Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:

через 5 лет сумма будет равняться руб.,

а через 10 лет она составит руб.

Если бы мы рассчитывали за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле

К – количество дней в текущем году,
J – количество дней в периоде, по итогам которого банком производится капитализация начисленных процентов (остальные обозначения – как и в предыдущей формуле).

Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.

На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%

Формула сложного процента (расчет в месяцах)

Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:

где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.

Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.

Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:

через 5 лет (60 месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; руб.

а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.

руб.

Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.

Формула сложного процента для банковских вкладов

Вышеописанные формулы сложного процента – это, скорее всего, наглядные примеры для клиентов, чтобы они могли понять порядок начисления сложных процентов. Эти расчеты несколько проще, чем формула, применяемая банками к реальным банковским вкладам.

Здесь используется такая единица, как коэффициент процентной ставки для вклада (p). Его рассчитывают так:

Сложный процент («наращенная» сумма) для банковских вкладов рассчитывается по следующей формуле:

На ее основе и взяв в качестве примера те же данные, мы рассчитаем сложный процент по банковскому методу.

Для начала определяем коэффициент процентной ставки для вклада:

Теперь подставляем данные в основную формулу:

руб. – это сумма вклада, «выросшая» за 5 лет*;

руб. – за 10 лет*.

*Приведенные в примерах расчеты являются приблизительными, поскольку в них не учтены високосные года и разное количество дней в месяце.

Если сравнивать суммы из этих двух примеров с предыдущими, то они несколько меньше, но все же выгода от капитализации процентов очевидна. Поэтому, если вы твердо решили положить деньги в банк на длительный срок, то предварительный подсчет прибыли лучше делать с помощью «банковской» формулы – это поможет вам избежать разочарований.

Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является один год. При краткосрочных операциях срок инвестирования, как мы уже убедились, удобно измерять в днях. Поэтому продолжительность года принимают равной либо 360 дням (360 - 12 х 30 дней), либо фактическому числу дней в году. В первом случае проценты называют обычными, во втором - точными.

При подсчете числа дней срока инвестирования т возможны два варианта. Первый вариант: наиболее часто подсчитывают точное число дней с помощью специальной таблицы, в которой приведены порядковые номера каждого дня в году. При этом день выдачи и возврата ссуды считают за один день. Во втором варианте подсчитывают точное число месяцев в сроке и добавляют число оставшихся дней. При этом длительность каждого полного месяца полагают равной 30 дням. Второй вариант дает обычно меньшее значение т. Таким образом, всего имеются четыре схемы расчета процентов, из которых применяются следующие три.

1. Точные проценты с точным числом дней ссуды. В этой схеме при начислении процентов за 6 месяцев срок ссуды полагается равным 182 дням. Эта наиболее точная схема широко применяется в банках Великобритании.
2. Обычные проценты с точным числом дней ссуды. Эта схема дает несколько больший результат, чем предыдущая, и используется в банках Франции.
3. Обычные проценты с приближенным числом дней ссуды. Это - менее точная схема, она применяется в банках Германии.

Четвертая схема- точные проценты и приближенное число дней ссуды - не применяется.

Наращение капитала может осуществляться либо в виде простых процентов, либо в виде сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление.

Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р , а установленная норма доходности - г (в долях единицы). Тогда говорят, что инвестирование осуществлено на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Рх г. Таким образом, размер инвестированного капитала через п периодов (Р п) будет равен:

Выражение (7.6) часто называют формулой наращения по простым процентам, а множитель

коэффициентом наращения простых процентов.

При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления, использования в других инвестиционных проектах или в текущей деятельности. Простые проценты применяют в следующих случаях:

ф при выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года;

ф когда проценты не присоединяются к сумме долга, а периодически выплачиваются кредитору заемщиком в конце каждого конверсионного периода (конверсионный период - это временной интервал, в конце которого начисляется процент за этот интервал);

ф при сберегательных вкладах с ежемесячной выплатой процентов и т. п.

При выдаче краткосрочных ссуд на срок менее года в качестве показателя п берется величина, характеризующая длину периода (дни, месяц, квартал, полугодие) в долях года. При этом длина различных временных интервалов в расчетах, как правило, округляется: месяц - 30 дней, квартал - 90 дней, полугодие - 180 дней, год - 360 дней.

Пример 7. 3 млн руб. выдано в кредит на 6 месяцев под простые проценты по ставке 10% в месяц. Найдем наращенное значение долга в конце каждого месяца.

Обозначим через Р п наращенное значение долга в конце каждого месяца. Так как Р - 3 млн руб. и г - 0,1, то в силу формулы (7.6):

Полученные результаты сведем в табл. 7.1.

Из табл. 7.1 видно, что последовательность Р, Р 2 ,... Р б представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 3 млн руб. и знаменателем 300 тыс. руб.

Таблица 7.1 Наращенное значение долга

Пример 8. Ссуда в размере 5 млн руб. выдана на один месяц под 130% годовых. Тогда размер платежа к погашению будет равен:

Схема сложных процентов предполагает их капитализацию, т. е. база начисления процентов постоянно возрастает. Это означает, что инвестиция осуществлена на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. Присоединение начисленных процентов к базовой сумме называется капитализацией процентов.

При начислении сложного процента размер капитала будет равен: к концу первого года

к концу второго года

к концу л-го года

Использование в расчетах сложного процента более логично со стороны инвестора, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает.

Пример 9. Определить, какой величины через пять лет достигнет долг, равный 1 млн руб. при сложной ставке 15,5% годовых.

В соответствии с формулой (7.7) имеем:

Формула (7.7) является одной из базовых в финансовых вычислениях. Множитель М(г, л) - (1 + г)", обеспечивающий наращение стоимости, называют факторным множителем. Значения факторного множителя Л/(г, п) табулированы для различных значений г и л. С его помощью формула (7.7) переписывается в виде:

С экономической точки зрения факторный множитель показывает, чему будет равна одна денежная единица через л периодов при заданной процентной ставке г.

Неустойчивость кредитно-денежного рынка заставляет модернизировать «классическую» схему с помощью применения плавающих ставок. Расчет на перспективу по таким ставкам достаточно условен. Вместе с тем справедлива следующая важная теорема (принцип стабильности рынка): «Если не учитывать налоги и другие накладные расходы, то коэффициент наращения на некотором интервале равен произведению коэффициентов наращения на каждом из составляющих его подинтервалов». Следовательно,

где г |Р г 2 ,.... г к - последовательные во времени значения ставок;

л, л 2 .....п к - периоды, в течение которых «работают» соответствующие ставки.

Пример 10. Заключен договор о ссуде на 5 лет. Договорная процентная ставка составляет 12% годовых с маржой (доплата за накладные расходы, комиссионные) в размере 0,5% в первые два года и 0,75% - в оставшиеся 3 года.

Используя формулу (7.8), найдем, что коэффициент наращения М в этом случае составит:

Для того чтобы сопоставить результаты наращения при простых и сложных процентах, достаточно сравнить соответствующие коэффициенты наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношение коэффициентов существенно зависит от срока инвестиции.

Действительно, при сроке инвестиции меньше года простые проценты дают наращение больше, чем сложные:

Для срока больше года сложные проценты дают наращение больше, чем простые:

Для срока, равного году, коэффициенты наращения равны друг другу при условии, что ставка начисления процентов одна и та же.

Заметим также, что с увеличением срока (при п > 1) различия в последствиях применения простых и сложных процентов усиливаются.

Графическая иллюстрация этого утверждения приведена на рис. 7.1. В табл. 7.2 в качестве примера приведены значения коэффициентов наращения для г - 8% годовых и временной базы в один год.

Рис. 7.1.

Коэффициент наращения	Срок ссуды
Коэффициент наращения

При начислении процентов за нецелое число лет более эффективна смешанная схема, предусматривающая начисление сложных процентов за целое число лет и простых процентов за дробную часть года:

где а + р = п ;

а - целое число периодов;

(3 - дробная часть периода.

Различия в последствиях применения простых и сложных процентов наиболее наглядно проявляются при определении времени, необходимого для увеличения суммы в Л^раз. В этом случае коэффициент наращения, очевидно, равен N, и, следовательно, для простых процентов (1 + п х г) - N, откуда

для сложных процентов (1 + г)" - N, откуда

Пример 11. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в пять раз соответственно при начислении сложных и простых процентов по ставке 15% годовых.

Найдем теперь период инвестиции, необходимый для удвоения первоначальной суммы. В этом случае, положив в (7.9) и (7.10) N = 2, получим следующие формулы удвоения:

удвоение по простым процентам

удвоение по сложным процентам

Результаты применения формул удвоения для ряда значений процентных ставок приведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Сроки удвоения для различных значений процентных ставок

Для небольших значений процентной ставки г частное от деления числа 72 на г показывает число периодов, за которое исходная сумма удвоится при наращивании ее по этой ставке с использованием формулы сложных процентов («правило 72»).

Лекция. Конструирование гражданских зданий из крупных блоков.

Лекция 02.10.2013. Основные технические документы, предъявляемые на государственные и контрольные испытания

Вопросы для рассмотрения:

1. Начисление сложных годовых процентов.

2. Сравнение роста по сложным и простым процентам.

3. Наращение процентов несколько раз в году.

4. Дисконтирование по сложной процентной ставке.

5. Определение срока финансовой операции и величины процентной ставки.

6. Непрерывное наращение и дисконтирование.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

− проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

− срок ссуды более года.

– за один период начисления;

– за два периода начисления;

отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

где – наращенная сумма долга; – первоначальная сумма долга; i – ставка процентов в периоде начисления; n – количество периодов начисления. Эта формула называется формулой сложных процентов.

Различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

(1 + i ).

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

(1 + i) n .

Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i .

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке.

Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i ,

если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i) n

если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i) n

если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i) n

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

− более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

− более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

− обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

− общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

где n – период сделки; a – целое число лет; b – дробная часть года.

− смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

Поскольку b < 1 , то (1 + bi) > (1 + i) a , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Cмешанная схема более выгодна кредитору.

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (i ).

Номинальная ставка (nominal rate ) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка:

− во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;

− во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

где i – номинальная годовая ставка процентов.

Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate ), измеряющая тот реальный относительный доход , который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j/m :

Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.

Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

где i k – последовательные во времени значения процентных ставок; n k – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e i , где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ , в отличие от ставки дискретных процентов (i ).

Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

При дискретном начислении каждая «ступенька» характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обратите внимание, что высота «ступенек» все время возрастает.

В рамках одного года одной «ступеньке» на левом графике соответствует две «ступеньки» на среднем графике меньшего размера, но в сумме они превышают высоту «ступеньки» однократного начисления. Еще более быстрыми темпами идет наращение при непрерывном начислении процентов, что и показывает график справа.

Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Также как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

− срок ссуды,

− ставка сложных процентов.

| | 3 | | | | |