Вариант 1-19.
Максим хочет взять в кредит 1,5 млн. рублей. Погашение кредита происходит два раза в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей? Ответ: 6.
Решение. 10% годовых начисляют на оставшуюся сумму долга.
Чтобы найти проценты от числа проценты обратим в десятичную дробь и умножим число на полученную дробь. Находим 110% от 1500000 рублей:
1) 110%=1,1; 2) 1500000·1,1=1650000. Итак:
Вариант 1-20.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение f(x)=|2a+5|x имеет 6 решений, где f – четная периодическая функция с периодом Т=2, определённая на всей числовой прямой, причём f(x)=ax 2 , если 0≤x≤1.
Графиком функции f(x)=|2a+5|x является прямая, образующая острый угол с положительным направлением оси Ох, так как угловой коэффициент этой прямой k=|2a+5|>0 при любом значении а. А график функции f(x)=ax 2 представляет собой параболу, ветви которой могут быть направлены вверх при a>0 или вниз при a<0. Так как функция периодическая, то у нас получится совокупность парабол. Эти параболы надо пересечь прямой так, чтобы в пересечении получилось 6 точек. Для того, чтобы найти все значения параметра а
мы возьмем очевидные координаты точки пересечения графиков и подставим их в уравнение прямой. В 1
случае это будет точка (5; а), во 2
случае точка (-5; а).
Вариант 1-21.
Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел a n . В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение а 3 . Ответ: 3.
У нас должна получиться дробь: 0,а 1 а 2 а 3 а 4 … Самое меньшее значение а 3 равно 3, т.е. получается дробь 0,123… Что же это за рациональное число? Рациональными называют числа, которые можно записать в виде дроби m / n (m , деленное на n ), где m – целое, n – натуральное.
Это рациональное число представим в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого разделим числитель на знаменатель в столбик (на калькуляторе вы не получите бесконечную периодическую дробь, да не разрешают пользоваться калькуляторами на экзаменах!)
Решение «банковских» задач
1.Задача №1. Нахождение количества лет выплаты кредита.
Максим хочет взять в банке кредит 1,5 миллиона рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка- 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Максим взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 350 тысяч рублей?
Решение.
1500000 ∙ 1,1 – 350000 =1300000 (руб)
1300000 ∙ 1,1 – 350000 = 1080000 (руб)
3)В конце третьего года долг составит:
1080000 ∙ 1,1 – 350000 = 838000 (руб)
4)В конце четвертого года долг составит:
838000 ∙ 1,1 – 350000 = 571800 (руб)
5)В конце пятого года долг составит:
571800 ∙ 1,1 – 350000 = 278980 (руб)
6) В конце шестого года долг составит:
278900 ∙ 1,1 =306878 (руб)
Эта сумма менее 350000 руб. Значит, кредит будет погашен за 6 лет.
Ответ: 6 лет
2.Задача №2 . Вычисление процентной ставки по кредиту.
31 декабря 2014 года Валерий взял в банке 1000000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая. 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Валерий переводит в банк очередной транш. Валерий выплатил кредит за два транша, то есть за два года. В первый раз Валерий перевел в банк 660000 рублей, во второй раз – 484000 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Валерию?
Решение. Пусть а - процентная ставка по кредиту.
1)В конце первого года долг составит:
1000000 ∙ (1 + 0,01∙ а) – 660000 = 340000 + 10000∙а
2) В конце второго года долг составит:
(340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000.
По условию задачи кредит будет погашен за два года. Составляем уравнение: (340000 + 10000∙а) ∙ (1 + 0,01∙а) – 484000 = 0;
134∙а – 1440 = 0
Решая уравнение, получаем, что а = 10.
Ответ: 10%
3.Задача №3 Нахождение суммы кредита.
31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму денег в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами, то есть за 4 года?
Решение. Пусть S – сумма кредита.
1)В конце первого года долг составит: (1,1х – 2928200) рублей
2) В конце второго года долг (в рублях) составит:
(1,1х – 2928200)∙1,1 – 2928200 = 1,21х – 3221020 – 2928200 = 1,21х – 6149220
3)
(1,21х – 6149220)∙1,1 – 2928200 = 1,331х – 6764142 – 2928200 =
1,331х – 9692342
4) В конце четвертого года долг (в рублях) составит 2928200 рублей:
(1,331х – 9692342)∙1,1 = 2928200;
1,4641х – 10661576 = 2928200;
1,4641х = 13589776;
х = 9281999,8.
Значит, сумма кредита равна 9282000 рублей.
Ответ: 9282000 руб
4.Задача №4. Нахождение ежегодного транша.
31 декабря 2014 года Роман взял в банке 8599000 рублей в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга(то есть увеличивает долг на 14%), затем Роман переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Роман выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
Решение.
1)В конце первого года долг составит:
8599000∙1,14 – Х = 9802860 – Х
2) В конце второго года долг составит:
(9802860 - Х)∙1,14 – Х=11175260 – 2,14∙Х
3) В конце третьего года долг (в рублях) составит:
(11175260 – 2,14∙Х) ∙1,14 – Х=12739796 – 3,4396∙Х.
Составим уравнение:
12739796 – 3,4396∙Х= 0
Х=3703860 рублей
Ответ: ежегодный транш составит 3703860 рублей.
Для справки В некоторых задачах можно использовать формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии: где b 1 = 1, q = 1 + a
№ 1 Степан хочет взять в кредит 1, 2 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Степан взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 290 тысяч рублей? Решение. Рубли % Сумма кредита: 1, 2 млн. руб. 100% Сумма кредита после 1 года: х1 млн. руб. 110% х1 = 1, 2 ∙ 110: 100 = 1, 2 ∙ 1, 1 = 1, 32 млн. руб. После первого платежа в 0, 29 млн. руб. остаток составит: 1, 32 – 0, 29 = 1, 03 млн. руб. Остаток кредита: 1, 03 млн. руб. 100% Сумма кредита после 2 года: х2 млн. руб. 110% х2 = 1, 03 ∙ 1, 1 = 1, 133 млн. руб. После второго платежа в 0, 29 млн. руб. остаток составит: 1, 133 – 0, 29 = 0, 843 млн. руб.
№ 1 Степан хочет взять в кредит 1, 2 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Степан взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 290 тысяч рублей? Решение. Рубли % Остаток кредита: 0, 843 млн. руб. 100% Сумма кредита после 3 года: х3 млн. руб. 110% х3 = 0, 843 ∙ 1, 1 = 0, 9273 млн. руб. После третьего платежа в 0, 29 млн. руб. остаток составит: 0, 9273 – 0, 29 = 0, 6373 млн. руб. Остаток кредита: 0, 6373 млн. руб. 100% Сумма кредита после 4 года: х4 млн. руб. 110% х4 = 0, 6373 ∙ 1, 1 = 0, 70103 млн. руб. После четвертого платежа в 0, 29 млн. руб. остаток составит: 0, 70103 – 0, 29 = 0, 41103 млн. руб.
№ 1 Степан хочет взять в кредит 1, 2 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Степан взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 290 тысяч рублей? Решение. Рубли % Остаток кредита: 0, 41103 млн. руб. 100% Сумма кредита после 5 года: х5 млн. руб. 110% х5 = 0, 41103 ∙ 1, 1 = 0, 452133 млн. руб. После пятого платежа в 0, 29 млн. руб. остаток составит: 0, 452133 – 0, 29 = 0, 162133 млн. руб. Остаток кредита: 0, 162133 млн. руб. Сумма кредита после 6 года: х6 млн. руб. х6 = 0, 162133 ∙ 1, 1 = 0, 1783463 млн. руб. 100% 110% Шестого платежа достаточно для погашения кредита полностью. Ответ: 6.
№ 2 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14, 5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14, 5%), за тем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными плате жами (то есть за два года)? Решение. Рубли % Сумма кредита: 4, 29 млн. руб. 100% Сумма кредита после 1 года: ? млн. руб. 114, 5% ? = 4, 29 ∙ 1, 145 млн. руб. После первого платежа в Х млн. руб. остаток составит: (4, 29 ∙ 1, 145 – Х) млн. руб. Остаток кредита: (4, 29 ∙ 1, 145 – Х) млн. руб. Сумма кредита после 2 года: ? млн. руб. ? = (4, 29 ∙ 1, 145 – Х) ∙ 1, 145 млн. руб. 100% 114, 5% Это и есть второй платеж в Х млн. руб. Получим уравнение: (4, 29 ∙ 1, 145 – Х) ∙ 1, 145 = Х млн. руб.
№ 2 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14, 5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14, 5%), за тем Дмитрий переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными плате жами (то есть за два года)? Решение. (4, 29 ∙ 1, 145 – Х) ∙ 1, 145 = Х 4, 29 ∙ 1, 1452 – 1, 145 Х = Х 4, 29 ∙ 1, 1452 = (1, 145 + 1) Х Х = 4, 29 ∙ 1, 1452: (1, 145 + 1) Х = 4, 29: (1, 145 + 1) ∙ 1, 1452 Х = 2, 62205 Ответ: 2 622 050 руб.
№ 3 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12, 5% годовых. Схема выплаты кредита следующая 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12, 5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? Решение. Рубли Сумма кредита: 6 944 000 руб. Сумма кредита после 1 года: ? руб. ? = 6 944 000 ∙ 1, 125 руб. После первого платежа в Х руб. остаток составит: (6 944 000 ∙ 1, 125 – Х) руб. % 100% 112, 5% Остаток кредита: (6 944 000 ∙ 1, 125 – Х) руб. Сумма кредита после 2 года: ? руб. ? = (6 944 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 руб. 100% 112, 5%
№ 3 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12, 5% годовых. Схема выплаты кредита следующая 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12, 5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? Решение. Рубли % Остаток кредита: (6 944 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 руб. 100% Сумма кредита после 3 года: ? руб. 112, 5% ? = 6 944 000 ∙ 1, 125 руб. После третьего платежа в Х руб. остаток составит: ((6 944 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 руб. Это и есть третий платеж в Х млн. руб. Получим уравнение: ((6 944 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 = Х
№ 3 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 6 944 000 рублей в кредит под 12, 5% годовых. Схема выплаты кредита следующая 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12, 5%), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)? Решение. ((6 944 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 = Х (6 944 000 ∙ 1, 1252 – 1, 125 Х – Х) ∙ 1, 125 = Х 6 944 000 ∙ 1, 1253 – 1, 1252 Х – 1, 125 Х = Х 6 944 000 ∙ 1, 1253 = 1, 1252 Х + 1, 125 Х + Х 6 944 000 ∙ 1, 1253 = (1, 1252 + 1, 125 + 1) Х Х = 6 944 000 ∙ 1, 1253: (1, 1252 + 1, 125 + 1) 6 944 000 ∙ 1, 1253 Х= 1, 1252 + 1, 125 + 1 Х = 2 916 000 Ответ: 2 916 000 руб.
№ 4 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12, 5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12, 5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Решение. Рубли Сумма кредита: 6 902 000 руб. Сумма кредита после 1 года: ? руб. ? = 6 902 000 ∙ 1, 125 руб. После первого платежа в Х руб. остаток составит: (6 902 000 ∙ 1, 125 – Х) руб. % 100% 112, 5% Остаток кредита: (6 902 000 ∙ 1, 125 – Х) руб. Сумма кредита после 2 года: ? руб. ? = (6 902 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 руб. 100% 112, 5%
№ 4 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12, 5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12, 5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Решение. Рубли % Остаток кредита: (6 902 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 руб. 100% Сумма кредита после 3 года: ? руб. 112, 5% ? = 6 902 000 ∙ 1, 125 руб. После третьего платежа в Х руб. остаток составит: ((6 902 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 руб. Остаток кредита: ((6 902 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 руб. 100% Сумма кредита после 4 года: ? руб. 112, 5% ? = (((6 902 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 руб.
№ 4 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12, 5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12, 5%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)? Решение. Это и есть четвертый платеж в Х млн. руб. Получим уравнение: (((6 902 000 ∙ 1, 125 – Х) ∙ 1, 125 = Х ((6 902 000 ∙ 1, 1252 – 1, 125 Х – Х) ∙ 1, 125 = Х (6 902 000 ∙ 1, 1253 – 1, 1252 Х – 1, 125 Х – Х) ∙ 1, 125 = Х 6 902 000 ∙ 1, 1254 – 1, 1253 Х – 1, 1252 Х – 1, 125 Х = Х Х = 6 902 000 ∙ 1, 1254: (1, 1253 + 1, 1252 + 1, 125 + 1) Х= 6 902 000 ∙ 1, 1254 1, 1253 + 1, 1252 + 1, 125 + 1 Х = 2 296 350 Ответ: 2 296 350 руб.
№ 5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисля ет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу дет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 674 100 рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение. Рассмотрим кредит на два года: года Рубли Сумма кредита: x руб. Сумма кредита после 1 года: ? руб. ? = х ∙ (100 + а) : 100 = х ∙ (1 + 0, 01 а) руб. После первого платежа в 2 674 100 руб. остаток составит: (х ∙ (1 + 0, 01 а) – 2 674 100) руб. % 100+a% Остаток кредита: (х ∙ (1 + 0, 01 а) – 2 674 100) руб. 100% Сумма кредита после 2 года: ? руб. 100+а% ? = (х ∙ (1 + 0, 01 а) – 2 674 100) ∙ (1 + 0, 01 а) руб. Это и есть второй платеж в 2 674 100 руб. Получим первое уравнение: 2 674 100 = (х ∙ (1 + 0, 01 а) – 2 674 100) ∙ (1 + 0, 01 а)
№ 5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисля ет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу дет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 674 100 рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение. Рассмотрим кредит на четыре года: года Рубли Сумма кредита: x руб. Сумма кредита после 1 года: ? руб. ? = х ∙ (100 + а) : 100 = х ∙ (1 + 0, 01 а) руб. После первого платежа в 1 464 100 руб. остаток составит: (х ∙ (1 + 0, 01 а) – 1 464 100) руб. % 100+a% Остаток кредита: (х ∙ (1 + 0, 01 а) – 1 464 100) руб. 100% Сумма кредита после 2 года: ? руб. 100+а% ? = (х ∙ (1 + 0, 01 а) – 1 464 100) ∙ (1 + 0, 01 а) руб. После второго платежа в 1 464 100 руб. остаток составит: ((х ∙ (1 + 0, 01 а) – 1 464 100) руб.
№ 5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисля ет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу дет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 674 100 рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение. Рассмотрим кредит на четыре года: года Рубли % Остаток кредита: ((х ∙ (1 + 0, 01 а) – 1 464 100) руб. 100% Сумма кредита после 3 года: ? руб. 100+a% ? = ((х ∙ (1 + 0, 01 а) – 1 464 100) ∙ (1 + 0, 01 а) руб. После третьего платежа в 1 464 100 руб. остаток составит: (((х ∙ (1 + 0, 01 а) – 1 464 100) руб. Остаток кредита: ((х∙(1+0, 01 а)– 1464100)∙(1+0, 01 а)– 1464100 руб. 100% Сумма кредита после 4 года: ? руб. 100+а% ? = (((х∙(1+0, 01 а)– 1464100)∙(1+0, 01 а) руб. Это и есть четвертый платеж в 1 464 100 руб. Получим второе уравнение: 1464100=(((х∙(1+0, 01 а)– 1464100)∙(1+0, 01 а)
№ 5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисля ет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу дет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 674 100 рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение. Пусть (1 + 0, 01 а) = у, тогда система примет вид:
№ 5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисля ет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу дет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 674 100 рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение.
№ 5 31 декабря 2014 года Родион взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисля ет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Родион переводит очередной транш. Если он бу дет платить каждый год по 1 464 100 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 2 674 100 рублей, то за 2 года. Под какой процент Родион взял деньги в банке? Решение. Ответ: 10%.
№ 6 В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 7000 руб лей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наиболь шей? Решение. До продажи ценной бумаги ее стоимость увеличивается ровно на 2000 руб. в год. Продавать надо тогда, когда 10% от текущей стоимости акции окажутся больше, чем 2000 руб. После 1 года процент от продажи равен: (7000 + 2000) : 100% · 10% = 900 руб. После 2 года – (7000 + 2000) : 100% · 10% = 1100 руб. После 3 года – (7000 + 2000 · 3) : 100% · 10% = 1300 руб. После 4 года – (7000 + 2000 · 4) : 100% · 10% = 1500 руб. После 5 года – (7000 + 2000 · 5) : 100% · 10% = 1700 руб. После 6 года – (7000 + 2000 · 6) : 100% · 10% = 1900 руб. После 7 года – (7000 + 2000 · 4) : 100% · 10% = 2100 руб. Т. е. в течении 7 лет Алексей должен хранить ценную бумагу, а в начале 2008 -го года продать. Ответ: 2008.
№ 7 15 го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы: ‒ 1 го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; ‒ со 2 го по 14 е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; ‒ 15 го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 е число предыдущего месяца. Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597, 5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит? Решение. Пусть взяли в кредит 15 января х рублей, тогда 1 -го февраля долг вырос на 1% и составил 1, 01 х руб. Со 2 -го по 14 -е февраля нужно выплатить долг “на одну и ту же величину меньше долга на 15 -е число предыдущего месяца” х/24 + 0, 01 х руб. После чего сумма долга на конец февраля составит 1, 01 х – х/24 – 0, 01 х = 23 х/24 руб. В марте с учетом процентной ставки долг равен 23 х/24 · 1, 01 руб. К оплате со 2 -го по 14 -е марта сумма долга такова х/24 + 23 х/24 · 1, 01 руб. После чего сумма долга после 15 марта составит 23 х/24 – (х/24 + 23 х/24 · 1, 01) = 22 х/24 руб. И так далее …
№ 7 15 го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Ус ловия его возврата таковы: ‒ 1 го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; ‒ со 2 го по 14 е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; ‒ 15 го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 е число предыдущего месяца. Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597, 5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит? Решение. Общая сумма выплат за 24 месяца составляет: (х/24+0, 01 х)+(х/24+23 х/24· 1, 01)+(х/24+22/24 х· 1, 01)+…+(х/24+13/24 х· 1, 01)+ (за первый год обслуживания кредита) +(х/24+12 х/24· 1, 01)+(х/24+11 х/24· 1, 01)+(х/24+10/24 х· 1, 01)+…+(х/24+1/24 х· 1, 01) = (за второй год обслуживания кредита) = х + 0, 01 х/24 · (24 + 23 + 22 + … + 12 + 11 + 10 + … + 2 + 1) За последние 12 месяцев сумма всех выплат равна 1597, 5 рублей, а с другой стороны 0, 5 х + 0, 01 х/24 · (12 + 11 + 10 + … + 2 + 1) = 0, 5 х + 0, 01 х/24 · 78 = 0, 5325 х Приравнивая, получим уравнение 0, 5325 х = 1597, 5 х = 3000
Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0, 5 x 2 + x + 7 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px − q. При каком наименьшем значении p через три года суммарная прибыль составит не менее 75 млн рублей? Прибыль (в млн рублей) за один год выражается как Это выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения при x = p − 1. Наибольшее значение равно Через 3 года прибыль составит не менее 75 млн рублей при то есть при p ≥ 9, поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Таким образом, наименьшее значение p = 9. Ответ: p = 9.
По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» - увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б» , при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А» .
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: - каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; - в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
