Индикатор Фрактал, это алгоритм, который используют при проведении тех. анализа рыночного состояния в терминалах МТ4 и 5, для обнаружения на графике впадин и вершин. Изначально фрактал представляет собой некую форму, которая делясь на части образует уменьшенные копии всего целого, то есть имеет свойство само подобности.
Эти процессы, очень подробно описаны в трудах Бенуа Мандельброта. Именно он ввел термин «фрактал». Сегодня мы расскажем, что же собой представляет индикатор Фрактал и как пользоваться данным инструментом.
Множество Мандельброта — что это такое и как оно связано с фракталом?
Перед тем, как начать описание индикатора Фрактал, необходимо несколько слов сказать о том, как он собственно появился. Впервые, фракталы были описаны в книге Мандельброта «Фрактальные объекты: это форма, случайность и размерность», написанной автором в 1975 году. Именно в данной книге, впервые был использован термин « », обозначающий математический феномен, демонстрирующий удивительное и непредсказуемое поведение делящейся формы.
Множество Мандельброта, является множеством точек «с» на плоскости с рекуррентным соотношением (zn + 1 = zn 2 + c) задающим ограниченную последовательность. Другими словами, это множество таких точек «с», для которых также существует действительное «R», при котором неравенство (zn Именно Множество Мандельброта, по сути один из наиболее известных в мире фракталов, которое известно не только в математике, а используется и во многих других областях науки. Внутри множества Мандельброта, визуально можно увидеть бесконечное количество простейших фигур, при этом в центре находится самая большая, представляющая собой кардиоиду. Все эти фигуры, касаются кардиоиды и постепенно уменьшаются в размере стремясь к «0». От этих фигур исходят такие же, но еще меньших размеров, так же стремящиеся к «0». Данный процесс, имеет бесконечное продолжение, что и приводит к образованию фрактала. Мандельброт был не только ученым-исследователем, он еще и работал в сфере экономики, увлекаясь биржевой деятельностью. Именно в данной области он обнаружил интересные и осознал, что произвольное внешнее ценовое колебание может иметь математический порядок, скрытый во времени и не описывающийся стандартными распределительными кривыми. Проводя исследования данных, касающихся хлопка за период более 100 лет, Мандельброт приходит к удивительному выводу – движение цены в разные временные промежутки циклично, и она движется симметрично, как на коротких графических участках, так и на продолжительных интервалах.
Таким образом, свои фрактальные исследования он начинает применять к цене, и сегодня его методика широко используется для проведения и валютных рынков. На основе фрактала (множества) Мандельброта, создан замечательный инструмент – индикатор Фрактал, автором которого является всем известный Билл Вильямс. Сегодня индикатор Фрактал входит в базовую комплектацию торговых терминалов МТ4 и 5 и используется в технике торговли, называемой ценовым прорывом. Начать описание рассматриваемого алгоритма хотим с того, что создатель индикатора Фрактал Билл Вильямс немного упростил теорию Мандельброта так как для понимания простых людей она чрезмерно сложна и понять ее способны не все, даже весьма неглупые. Поэтому, расписывать досконально все математические алгоритмы мы не будем. В итоге у создателя получился индикатор Фрактал, позволяющий обнаруживать на графиках цен в терминалах МТ4 впадины и вершины. На сегодняшний день, имеется описание двух видов фракталов применяемых на рынке валют:
Фрактальная теория: как все устроено на ее основе?
Как пользоваться в торгах на Форекс индикаторами на основе фракталов?
Техническое описание фрактала вверх, рассматривается как серия из последовательно идущих минимум пяти баров, где наивысший максимум находится посередине (3-я позиция), а перед ним и за ним расположены бары с более низким максимумом. Нисходящий или фрактал вниз, имеет противоположное описание, то есть это серия из 5-ти баров, где средний из них имеет наиболее низкий минимум, а предыдущие два и последующие два бара обладают более высоко расположенными минимумами. На графиках в МТ4, индикатор Фрактал отмечен стрелками (вверх/вниз). В целом индикатор Фрактал, это универсальный инструмент тех. анализа, поэтому одинаково хорошо используется как в качестве основного алгоритма , так и в качестве вспомогательного. К примеру, в терминалах МТ4 и 5 его можно использовать как определитель горизонтальных уровней. Так фракталы применяются при использовании метода торговли на пробой. Наличие на графиках фракталов, значительно упрощает обнаружение минимумов и максимумов, через которые . Фракталы используют для подтверждения тенденции. Так, когда тренд восходящий наблюдается частое обновление всех бычьих фракталов, а при нисходящей тенденции чаще обновятся медвежьи фракталы. О наличии консолидации (флета), говорит невозможность ценой в очередной раз пробития предыдущего фрактала. Для подтверждения такого сигнала следует дождаться пока не сформируется противоположный фрактал. Как пользоваться в терминале MT4 индикатором Вильямса – Fractals, разработанным на основе Фрактала Мандельброта?
Итак, описание индикатора мы рассмотрели, для чего его применяют, тоже знаем, теперь давайте узнаем, как пользоваться данным алгоритмом при торговле. Сразу отметим, что настройки индикатора в базовой комплектации МТ4, необходимо оставлять по умолчанию. Индикатор Фрактал для МТ4 и 5 позволяет торговать любыми валютами даже со средней волатильностью, но при устойчивом тренде. Рассмотрим, как пользоваться Фракталом который, как правило, всегда применяется трейдерами при использовании рассматриваемого нами алгоритма на примере – на графике D1, выполним анализ по открытию текущего дня. При наличии фрактала вверх:
Так для покупок, ставим Buy Stop выше (от 2 до 4 пунктов) максимума второй по отношению к фрактальной свечи. Для продаж выставляем Sell Stop ниже (от 2 до 4 пунктов) минимума второй от фрактальной свечи. Как правило, стоп приказы при использовании данного варианта торговли не используются – сделки в конце дня закрывают вручную. Если же Вы практикуете использование стоп приказов, то ставить их рекомендовано за уровнем фрактальной свечи. Конечно, на истории все просто и легко, но что же делать с запаздываниями, ведь для идентификации, а также подтверждения формации индикатор Фрактал требует, чтобы произошло закрытие двух свечей. Решение здесь простое – «дробление» временных промежутков. Здесь трейдеру на помощь приходит нестандартный индикатор Фрактал – «MTF_Fractal
». В процессе настройки данного алгоритма следует задать единственный параметр – таймфрейм. Сразу необходимо обратить внимание, что временной формат указывается в минутах, то есть для отображения фракталов, к примеру, с Н4 на часовом графике, значение функции следует задать, как «240». Помимо этого, для более эффективной торговли с фрактальным индикатором рекомендовано использовать алгоритм «m-Candles», выводящий на графики МТ4 и 5 свечи со старших таймфреймов: Так используя MTF_Fractal, Вы одновременно сокращаете потери от запаздывания и не распыляете свое внимание, так как вся необходимая информация находится в одном окне. Индикатор Фрактал в МТ4, разработанный по Фракталу Мандельброта. Описание и настройки
Для объяснения рыночных движений используются самые различные математические и геометрические теории. Одной из них является фрактал Мальденброта
– понятие, выражающее состояние одновременной упорядоченности и бессистемности. Применение этого явления к ценовым движениям позволяет понять их сущность и вывести некоторые закономерности. Несмотря на то, что рынок форекс с большой степенью точности можно считать линейной системой, состояние которой зависит от комплекса внешних факторов, которые стремятся быть уравновешенными, часто его поведение не вписывается ни в какие существующие теории. Исправить данную ситуацию попытался математик Б. Мандельброт, который при исследовании экономической информации обнаружил, что изменения цен подчиняются определенному математическому порядку, не описываемому известными геометрическими формулами. Тщательный анализ подробной реальной ценовой выборки за несколько десятков лет показал, что в краткосрочных периодах движения цен выглядят бессвязно. Но сопоставив их с долгосрочными периодами, он обнаружил между ними высокую степень эквивалентности. Результаты этих исследований и привели к разработке Бенуа Мандельбротом его фракталов. В широком математическом смысле фракталом называется множество, которое обладает уникальным свойством самоподобия. Это свойство указывает, что объект, описываемый таким множеством, с высокой степенью точности эквивалентен части самого себя. Поэтому небольшой фрагмент, рассмотренный в укрупненном масштабировании, не выглядит как упрощенная структура, а имеет такое же сложное строение, как более крупные фрагменты и объект в целом. В отношении к ценовым движениям рынка такие самоподобные структуры в простейшем случае представляют собой прямолинейные отрезки, соединяющие смежные локальные минимумы и максимумы. Эти отрезки характеризуют рост (если правый конец отрезка максимум, а левый – минимум) или падение (если правый конец отрезка минимум, а левый – максимум) цены (рис. 1а). Из простейших графических элементов, которыми являются отрезки прямых, формируются сложные фигуры (рис. 1б), называющиеся «импульс-коррекция-импульс». При этом такие фигуры, построенные на определенном временном интервале, могут быть разложены на такие же фигуры в другом временном масштабе (рис. 1в). Разнообразие всех сложных графических форм, которые могут образовываться из более простых формаций очень велико и с трудом поддается классификации, что и служит основной трудностью развития теории фрактального анализа. На ценовых графиках закономерности самоподобия распространяются до самого нижнего уровня ценообразования – тиков. При этом в определенной степени сохраняется полное подобие между графическими фигурами – углами наклона отрезков, соотношениями их длин и т. д. Важное заключение, которое можно сделать из открытия Мандельброта, заключается в зависимости последующих событий на рынке от предыдущих. При этом возникновение даже сильных импульсных движений может быть предсказано с определенной вероятностью Тщательно изучив теоретические основы, изложенные в трудах Б. Мандельброта, трейдер Б. Вильямс сумел создать на их основе систему, способную систематизировать ценовые графики, выявляя на них точки, участвующие в формировании простейших фрактальных фигур. Созданный индикатор он назвал «Фрактал», а скачать его можно по этой ссылке
. Функционирование этого технического инструмента заключается в анализе High- и Low-цен в комбинации из последовательных пяти свечей. Если High-, то она определяется как максимум. Соответственно, минимум присваивается свече, у которой Low-цена третьей свечи меньше, чем у остальных четырех свечей. После установки на ценовой график индикатора «Фрактал» формируется изображение, похожее на рис. 2. Зелеными стрелками, направленными вверх, обозначаются максимумы, а красными стрелками, ориентированными вниз – минимумы. Такие сигналы могут использоваться для построения уровней поддержки и сопротивления, трендовых линий, идентификации флетов и других аналитических задач, ориентированных на прогнозирование ценовых движений в будущем. Самый очевидный способ использования фрактальных сигналов в торговле следующий: Проблема заключается в запаздывании этого сигнала – он появляется лишь через две свечи. Поэтому часто он уже неактуален и вход по нему в рынок приносит убыток. Лучше всего использовать индикатор «Фракталы Мандельброта» в паре с трендовыми индикаторами (наиболее простой вариант – скользящая средняя) и использовать отложенные ордера: Тейк-профит располагается на расстоянии от уровня входа в 2 раза превышающем расстояние от него до стоп-лосса (синяя линия на рис. 3). Существует
бесконечное множество различных
фракталов. Один из них носит имя
Мандельброта. Фрактал
Мандельброта
– это множество точек на комплексной
плоскости, для которых итеративная
последовательность при начальном
условии
Рис. 3.6. Фрактал
Мандельброта Впервые множество
Мандельброта было описано в 1905 году
Пьером Фату
(Pierre Fatou
),
французским математиком, работавшим в
области аналитической динамики
комплексных чисел. Фату изучал рекурсивные
процессы вида (3.2). Начав с точки
Фату нашел, что
орбита
Фату никогда не
видел изображений, которые мы сейчас
знаем как изображения множества
Мандельброта, потому что необходимое
количество вычислений невозможно
провести вручную. Профессор Бенуа
Мандельброт был первым, кто использовал
для этого компьютер. Фракталы были
описаны Мандельбротом в 1975 году в его
книге «Les
Objets
Fractals:
Forme,
Hasard
et
Dimension»
(«Фрактальные объекты: форма, случайность
и размерность»). В этой книге Мандельброт
впервые использовал термин «фрактал»
для обозначения математического
феномена, демонстрирующего столь
непредсказуемое и удивительное поведение.
Эти феномены рождались при использовании
рекурсивного алгоритма для получения
какой-либо кривой или множества. Множество
Мандельброта – один из таких феноменов,
названный по имени своего исследователя. Если использовать
обозначения
На рис 3.6.показан
графический образ фрактала Мандельброта
(на комплексной плоскости). Как обычно,
действительная ось расположена
горизонтально, а мнимая – вертикально.
Закрашенная черным область – это и есть
множество Мандельброта. Оттенки белого
и голубого соответствуют его дополнению
к множеству комплексных чисел. Белым
цветом обозначены точки с координатами
p
и q
,
которые достаточно «медленно» уходят
в бесконечность, синим цветом – точки,
которые «быстро» уходят в бесконечность. Визуально, внутри
множества Мандельброта можно выделить
бесконечное количество элементарных
фигур, причём, самая большая в центре
представляет собой кардиоиду
.
Также есть набор овалов, касающихся
кардиоиды, размер которых постепенно
уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из
этих овалов имеет свой набор меньших
овалов, диаметр которых также стремится
к нулю и т. д. Этот процесс продолжается
бесконечно, образуя фрактал. Также
важно, что эти процессы ветвления фигур
не исчерпывают полностью множество
Мандельброта: если рассмотреть с
увеличением дополнительные «ветки»,
то в них можно увидеть свои кардиоиды
и круги, не связанные с главной фигурой. Чтобы построить
изображение фрактала Мандельброта,
подобное тому, что показано на рис. 3.6,
необходимо использовать алгоритм (3.3)
и теорему Фату. Сравнение
Изображение,
полученное таким способом, является
лишь приближением к реальному множеству
Мандельброта. Более качественные
результаты можно получать, увеличивая
максимальное количество итераций,
однако при этом пропорционально
возрастает и время расчётов. Строго математически,
изображение множества Мандельброта
должно быть чёрно-белым. Точка либо
попадает внутрь множества, либо нет.
Несмотря на это, с помощью компьютера
мы можем построить и цветные изображения.
Самым распространённым способом является
раскрашивание точек снаружи множества
в цвет, равный количеству итераций, за
которое точка уходит в «бесконечность»
или, с точки зрения программы, на
определённое расстояние от нуля. Все мы живем в реальности своих идей. Рынок – это зеркало, отражающее наши собственные представления. Каждый человек, связанный с рынком, никогда не имеет дело с реальностью, а всегда лишь со своими представлениями. Иногда представления обретают массовый характер, и мы говорим о трендах, линиях поддержки или графических фигурах. Аналитики часто замечают, что «рост прибыли привел к покупке акций», а «нефть снизилась на продажах инвесторов».
Но в действительности никто из нас не знает, что происходит. Все мы пользуемся лишь моделью, упрощенной версией, копией рынка. Наш успех зависит исключительно от того, насколько наша копия похожа на оригинал.
Начало 21 века серьезно пошатнуло все современные финансовые теории. Банкротство крупных инвестиционных корпораций, финансовый кризис — все это поставило под сомнение те модели, которыми пользовались аналитики и всего мира. Инвестиционные консультанты либо разводят руками, либо упорно держатся за устаревшие теории, но реальность уже нельзя игнорировать – рынки не описываются теорией случайных блужданий, кривой Гаусса, моделью Марковица и формулой Блэка-Шольца.
Копия оказалась грубой подделкой.
Именно поэтому интерес к альтернативным теориям, описывающим поведение финансового рынка, стал стремительно нарастать. Термин «фракталы» у российских трейдеров традиционно связан с именем Билла Вильямса. «Фракталы Вильямса»
знают все и они даже включены в список индикаторов известной платформы MetaTrader 4. Но мало кто знает имя настоящего автора этого понятия — Бенуа Мандельброта, известного математика, создателя фрактальной геометрии. Возможно, этой статьи никогда бы не было, если бы Бенуа Мандельброт не занялся всерьез применением фракталов на финансовых рынках. Итак, что же такое фрактал?
Фрактал
– это форма или «структура», которая обладает свойством к самоповторению в разных масштабах
. Самый лучший способ объяснить этот термин – показать на примере. Посмотрите на рисунок 1. Что вы видите? Ваше внимание, очевидно, отметило общую треугольную форму фигуры. Если присмотреться ближе, мы увидим, что треугольник в свою очередь состоит из еще трех вписанных в него треугольников, в каждый из которых вписано еще по три меньших треугольника, и так далее. Приведенный пример – популярная фигура, известная также как «салфетка Серпинского»
. На любом уровне фигуры каждый ее элемент подобен элементу на более низком или более высоком масштабе. Строительный материал для фрактала или форма, лежащая в его основе, называется «инициатором»
, структура же или самоповторяющийся рисунок – «генератором»
. Инициатором для «салфетки Серпинского» может быть точка, а генератором – треугольник. Наблюдение 1. Описание рынка с помощью фракталов
Как оказалось, поведение рынка может быть описано с помощью . Самый базовый графический элемент рынка – это прямая линия, направленная сверху вниз или снизу вверх. Каждому трейдеру это хорошо понятно – цена либо растет, либо падает, этот процесс происходит во времени. Даже если мы возьмем движение цены в рамках одной минуты, мы все равно получим линию, которая соединяет цену открытия и цену закрытия. Генератором же для движения цены является другая распространенная структура, хорошо известная трейдеру, – «импульс-коррекция-импульс»
, которая выглядит, как представлено ниже (см. рис. 4, 5). Генераторов на рынке может быть бесконечное множество, и точек перелома может быть вовсе не две. Какую же информацию
могут дать трейдеру эти фигуры? Если посмотреть на движение цены отдельного инструмента, можно увидеть, что структура генератора повторяется на всех временных масштабах инструмента. Примем за данность, что внутригодовое движение цены представляет собой простую структуру из двух импульсов и одной как на рисунке 2 или 3. Если оба импульса и коррекцию заменить соответствующими фракталами (генераторами), мы получим следующую структуру (см. рис. 6): Переходя все глубже и глубже, мы дойдем до минутных, а затем и тиковых графиков, на которых вновь и вновь будет проявляться базовый фрактал
. Что характерно, соотношения между линиями генератора будут оставаться фиксированными на любой временной структуре. Углы между линиями генератора на минутном и месячном графике будет соответствовать друг другу, соотношение их длинны также. Это удивительное открытие дает нам совершенно новый взгляд на привычное движение цены. Конечно, это понимание является упрощенным, и, по мнению самого Мандельброта, «карикатурным». Оно служит нам для описания общего принципа структуры ценового движения. Реальный рыночный генератор может быть гораздо сложнее. В моделировании поведения рынка Мандельброт использует более сложную «мультифрактальную» модель, которая использует три измерения и так называемый «фрактальный куб»
. На нем мы не будем подробно останавливаться. Вместо этого рассмотрим два других наблюдения фрактальной геометрии, которые более просты для понимания и дают трейдеру пищу для размышлений. Наблюдение 2. Рынок имеет память
Обширные исследования рынка хлопка привели Бенуа Мандельброта к следующему выводу: периоды высокой волатильности или «турбулентности» имеют тенденцию собираться в «кластеры».
Что же представляет собой «ценовой кластер»
? Я уверен, вы догадались, что это «тренд». Для нас с вами, как трейдеров, это, безусловно, хорошая новость. Пока существуют тренды, работа трейдера будет неплохо оплачиваться. Наблюдение 3. Эффект «Ноя»
И, наконец, третье наблюдение Мандельброта состоит в так называемом эффекте «Ноя»
. Из ветхого завета мы знаем, что всемирный потоп начался неожиданно, и разрушительная сила его оказалась очень велика. Эффект «Ноя» — метафора, характеризующая рыночные развороты – биржевые панические обвалы и взлеты
. Они никогда не происходят плавно, почти всегда рынок взмывает вверх или обваливается с такой силой, которую никто из инвесторов не ожидал. Это всегда вызывает панику среди биржевой публики, которая шокирована такими движениями цены. Так, в 1987 году индекс Доу-Джонса упал на 22.6% за один день. После краха во всем обвиняли компьютерные программы, но у Бенуа Мандельброта совсем другое мнение – дело вовсе не в программах, дело в самой природе рынка
. Именно внутренне присущий рынку характер обуславливает такую динамику. Эта гипотеза также является новой и не согласуется с гипотезой эффективного рынка, согласно которой рынок должен меняться плавно и последовательно. Выводы
Резюме, которое делает Мандельброт, состоит в следующем: рынок
– очень рискованное место, гораздо более рискованное, чем принято считать. Для трейдеров риск
– не источник опасности, а потенциальный источник прибыли. Если правильно использовать знания о движении цен и оказываться на «правильной» стороне риска, он будет благом, а не проклятием.
Множество Мандельброта Вышеуказанная последовательность может быть раскрыта для каждой точки
c
{\displaystyle c}
на комплексной плоскости следующим образом: Если переформулировать эти выражения в виде итеративной последовательности значений координат комплексной плоскости , то есть заменив
z
n
{\displaystyle z_{n}}
на
x
n
+
i
⋅
y
n
{\displaystyle x_{n}+i\cdot y_{n}}
, а
c
{\displaystyle c}
на
p
+
i
⋅
q
{\displaystyle p+i\cdot q}
, мы получим: Визуально, внутри множества Мандельброта можно выделить бесконечное количество элементарных фигур, причём самая большая в центре представляет собой кардиоиду . Также есть набор овалов, касающихся кардиоиды, размер которых постепенно уменьшается, стремясь к нулю. Каждый из этих овалов имеет свой набор меньших овалов, диаметр которых также стремится к нулю и т. д. Этот процесс продолжается бесконечно, образуя фрактал. Также важно, что эти процессы ветвления фигур не исчерпывают полностью множество Мандельброта: если рассмотреть с увеличением дополнительные «ветки», то в них можно увидеть свои кардиоиды и круги, не связанные с главной фигурой. Самая большая фигура (видимая при рассматривании основного множества) из них находится в области от −1,78 до −1,75 на отрицательной оси действительных значений. Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (фр. Pierre Fatou
), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел . Фату изучал рекурсивные процессы вида Начав с точки на комплексной плоскости, можно получить новые точки, последовательно применяя к ним эту формулу. Такая последовательность точек называется орбитой
z
0
{\displaystyle z_{0}}
при преобразовании
z
→
z
2
+
c
{\displaystyle z\to z^{2}+c}
. Фату нашел, что орбита
z
0
=
0
{\displaystyle z_{0}=0}
при этом преобразовании показывает достаточно сложное и интересное поведение. Существует бесконечное множество таких преобразований - своё для каждого значения
c
{\displaystyle c}
. В те времена компьютеров ещё не было, и Фату, конечно, не мог построить орбиты всех точек плоскости, ему приходилось всё делать вручную. Основываясь на своих расчётах, он доказал, что орбита точки, лежащей на расстоянии больше 2 от начала координат, всегда уходит в бесконечность. Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер . Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension
» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение. Эти феномены рождались при использовании рекурсивного алгоритма для получения какой-либо кривой или множества. Множество Мандельброта - один из таких феноменов, названный по имени своего исследователя. Несложно доказать, что как только модуль z
n
окажется больше 2 (или, в терминах действительной и мнимой частей, x
n
2 + y
n
2 > 4), последовательность станет стремиться к бесконечности. В случае |c
| ⩽ 2 это можно доказать с помощью метода математической индукции . При |c
| > 2 точка c
заведомо не принадлежит множеству Мандельброта, что также можно вывести методом индукции, используя равенство z
0 = 0. (Хотя в этом случае может существовать другое z
0 , для которого соответствующая последовательность ограничена по модулю, но для некоторого n
выполняется неравенство |z
n
| > 2.) Сравнение |z
n
| с этим числом (в англоязычной литературе его называют «bail-out
») позволяет выделять точки, не попадающие внутрь множества. Для точек, лежащих внутри множества, последовательность не будет иметь тенденции к бесконечности и никогда не достигнет этого числа, поэтому после определённого числа итераций расчёт необходимо принудительно завершить. Максимальное число итераций, после которых число считается попавшим внутрь множества, задается в программе. Изображение, полученное таким способом, является лишь приближением к реальному множеству Мандельброта. Более качественные результаты можно получать, увеличивая максимальное количество итераций, однако при этом пропорционально вырастает и время расчётов. Строго математически, изображения множеств Мандельброта и Жюлиа должны быть чёрно-белыми. Точка либо попадает внутрь множества, либо нет. Несмотря на это, с помощью компьютера мы можем построить и цветные изображения. Самым распространённым способом является раскрашивание точек снаружи множества в цвет, соответствующий количеству итераций, за которое точка уходит в «бесконечность» или, с точки зрения программы, на определённое расстояние от нуля. Порядок определения, попадает ли точка z
0 внутрь множества (традиционно закрашиваемого чёрным цветом) или нет (закрашивается цветом, зависящим от скорости движения к бесконечности) следующий: на каждой итерации для z
n
= x
n
+ y
n
·i
вычисляется значение модуля
|
z
n
|
=
x
n
2
+
y
n
2
{\displaystyle |z_{n}|={\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}}
, которое затем сравнивается с «границей бесконечности» (обычно берётся значение, равное 2). Здесь важно обратить внимание, что уже на данном этапе можно ввести определённую оптимизацию вычислений, если проверять не
x
n
2
+
y
n
2
>
2
{\displaystyle {\sqrt {x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}>2}
, а
x
n
2
+
y
n
2
>
4
{\displaystyle x_{n}^{2}+y_{n}^{2}>4}
, что значительно снизит время расчётов. Таким образом, если |z
n
| 2 ⩽ 4 при любом числе итераций (на практике - при всех вычисленных итерациях), то цвет точки чёрный, в противном случае он зависит от последнего значения n
, при котором |z
n
| 2 ⩽ 4. Значение n
, фактически, обозначает скорость движения z
n
в бесконечность и может быть просто индексом в таблице цветов или использоваться как параметр в более сложном алгоритме. Данный алгоритм определяет, что если точка удаляется больше чем на 2 от начала координат, то она лежит снаружи множества Мандельброта. Для того, чтобы определить, что точка лежит внутри множества, есть много способов. Самое простое решение - ограничить количество итераций неким максимумом. Если точка не вышла за указанную границу, можно считать, что она находится внутри множества. Точкам около границы множества нужно больше итераций для ухода в бесконечность. Поэтому такие области прорисовываются заметно дольше. Чем дальше от границ множества, тем выше скорость ухода в бесконечность. Для таких точек требуется меньше итераций. Одним из способов уменьшения объёма вычислений при вычислении общей картины множества может служить проверка, попадает ли точка в область главной кардиоиды . Формула кардиоиды в полярных координатах выглядит следующим образом: Таким образом, для точки
(x
,
y)
{\displaystyle (x,y)}
необходимо вычислить Если
ρ
⩽
ρ
c
{\displaystyle \rho \leqslant \rho _{c}}
, то точка
(x
,
y)
{\displaystyle (x,y)}
попадает внутрь множества и закрашивается чёрным цветом, а итеративные вычисления можно пропустить. На практике наибольшее уменьшение объёма вычислений даёт трассировка границы: если есть некоторая замкнутая кривая, не пересекающая ось абсцисс, каждая точка которой уходит за предел bail-out
за одинаковое число итераций или, наоборот, принадлежит множеству Мандельброта, то любая точка внутри этой кривой будет обладать тем же свойством, и следовательно вся область внутри границы закрашивается одинаковым цветом. Множество Мандельброта изначально было построено как каталог множеств Жюлиа : каждой точке на комплексной плоскости соответствует своё множество Жюлиа. Точки, принадлежащие множеству Мандельброта, соответствуют связным множествам Жюлиа, а точки не принадлежащие - несвязным . Отсюда понятно, что интересные варианты множества Жюлиа соответствуют точкам, лежащим на границе множества Мандельброта. Точки глубоко внутри образуют простые геометрические фигуры, а внешние выглядят как пыль, окружающая цветные пятна. Некоторые программы, например, Fractint, позволяют пользователю прямо на экране указать точку, для которой необходимо построить соответствующее множество Жюлиа, упрощая поиск красивых изображений. Множество Мандельброта и само содержит структуры, напоминающие множество Жюлиа: для любого
c
{\displaystyle c}
область множества Мандельброта около
c
{\displaystyle c}
напоминает центр множества Жюлиа с параметром
c
{\displaystyle c}
. Если сильно увеличить множество Мандельброта в граничной точке c
и то же самое проделать с множеством Жюлиа для этого же значения c
и в этой же точке, то картины будут асимптотически стремиться друг к другу при всё больших увеличениях. Зачастую под названием «Множество Мандельброта» понимается только множество, описанное выше. Однако любая функция комплексной переменной имеет соответствующее множество Мандельброта, которое также характеризуется наличием или отсутствием связного множества Жюлиа. Например, можно положить f
c
(z
) = z
3 + c
. Тогда для каждого значения c
проверяется связность множества Жюлиа функции f
c
и при наличии связности считается, что c
принадлежит множеству Мандельброта. В описанном случае связность можно проверить тем же способом, что и для f
c
(z
) = z
2 + c
. Эти утверждения можно обобщить и на множества Жюлиа, определяемые больше, чем двумя числами. Например, множество Жюлиа, определяемое тремя действительными числами, имеет соответствующее трёхмерное множество Мандельброта. Рассматриваются и многомерные вариации множества Мандельброта. Так, трёхмерный аналог получил название лампочка Мандельброта , хотя классические аналоги на комплексных числах существуют только в размерности, равной степени 2. Множество Мандельброта находит применение для анализа возникновения турбулентности в физике плазмы и термодинамике, развития бифуркаций и т. д. [
] Поиск красивых изображений множества Мандельброта - интересное хобби для очень многих людей. Они собирают коллекции таких изображений, причём каждое из них может быть описано небольшим количеством параметров, например, просто координатами центра. Есть большое количество программ для рисования фракталов, но, несмотря на это, многие люди пишут свои программы для большей гибкости при экспериментах. Например, эти анимированные изображения были созданы таким способом.авторитетные источники . Douady и Hubbard доказали, что множество Мандельброта является связным , хотя в это и трудно поверить, глядя на хитрые системы мостов, соединяющие различные его части. Связность множества Мандельброта следует из того, что оно является пересечением вложенных связных компактных множеств. Однако неизвестно, является ли оно локально связным . Эта известная гипотеза в комплексной динамике получила название MLC (англ. Mandelbrot locally connected
). Многие математики прилагают усилия к её доказательству. Jean-Christophe Yoccoz доказал, что гипотеза верна во всех точках с конечной ренормализацией , затем многие другие математики доказывали справедливость гипотезы во многих отдельных точках множества Мандельброта, но общая гипотеза остается недоказанной. Mitsuhiro Shishikura доказал, что размерность Хаусдорфа границы множества Мандельброта равна 2. Но остается неизвестным ответ на вопрос, имеет ли граница множества Мандельброта положительную меру Лебега на плоскости. Число итераций для любой точки в построении множества очень близко к логарифму электрического потенциала, который возникает, если зарядить множество Мандельброта. Точнее, предел
ln
(ln
(|
z
n
|)
/
2
n)
+
const
{\displaystyle \ln {\big (}\ln(|z_{n}|)/2^{n}{\big)}+{\text{const}}}
Рассчитывается Множество Мандельброта по формуле:
Где и как применять данную фрактальную теорию?
Помощник «m-Candles», для индикатора Вильямса — Фрактал (Fractals)
Фрактал – это что?
Индикатор на основе теории фракталов Мандельброта
Смотри видео обзор фрактолов Мандельброта
,
не уходит в бесконечность.
на комплексной плоскости, можно получить
новые точки, последовательно применяя
к ним эту формулу. Такая последовательность
точек называетсяорбитой
при преобразовании (3.2).
при этом преобразовании показывает
достаточно сложное и интересное
поведение. Существует бесконечное
множество таких преобразований – своё
для каждого значенияc
.
В те времена компьютеров ещё не было, и
Фату, конечно, не мог построить орбиты
всех точек плоскости, ему приходилось
всё делать вручную. Основываясь на своих
расчётах, он доказал, что орбита
точки, лежащей на расстоянии больше 2
от начала координат, всегда уходит в
бесконечность
.
и
,
где
– мнимая единица, то итеративная
последовательность (3.2) преобразуется
в:
(3.3)
с числом 2 (в англоязычной литературе
его называют «bail-out
»)
позволяет выделять точки, не попадающие
внутрь множества. Для точек, лежащих
внутри множества, последовательность
не будет иметь тенденции к бесконечности
и никогда не достигнет этого числа,
поэтому после определённого числа
итераций расчёт необходимо принудительно
завершить. Максимальное число итераций,
после которых число считается попавшим
внутрь множества, задается в программе.
Одной из таких теорий, о которой мы поговорим сегодня, является фрактальная геометрия
. Теория эта уже не нова и активно применяется в разных областях деятельности.Фрактальная геометрия
Но что это нам дает для понимания финансовых рынков?
Таким образом, у нас появляется инициатор, который выглядит следующим образом (см. рис. 2, 3).
Об этом свойстве рынка следует помнить трейдерам, которые работают без «стопов», уповая на то, что рынок рано или поздно вернется к уровню открытия сделки.Расширенное определение
История множества Мандельброта
Построение множества
Добавление цвета
Оптимизация
Связь с множеством Жюлиа
Вариации множества Мандельброта
Применение множества Мандельброта
Применение множества Мандельброта в искусстве
Эта отметка установлена 29 декабря 2012 года
.
