Аннуитеты представляют собой наиболее сложные алгоритмы начисления процента - предварительным (пренумерандо) или последующим (постнумерандо).
1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следующая формула:
где SA pre - будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);
R
i
п
Пример: Необходимо рассчитать будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), при следующих данных: период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет; интервал платежей по аннуитету составляет один год (платежи вносятся в начале года);сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 усл. ден. eд.; используемая для наращения стоимости процентная ставка составляет 10% в год (0,1).
будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), равна:
2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо),
где SA post - будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);
R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
i - используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
п - количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.
будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), равна:
Сопоставление результатов расчета по двум примерам показывает, что будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей, существенно превышает будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае плательщику обеспечена гораздо большая сумма дохода.
3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо),
где РА pre - настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);
R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
i
п
период платежей по аннуитету предусмотрен в количестве 5 лет;
интервал платежей по аннуитету составляет один год (при внесении платежей в начале года);
сумма каждого отдельного платежа (члена аннуитета) составляет 1000 усл. ден. eд.;
используемая для дисконтирования стоимости ставка процента (дисконтная ставка) составляет 10% в год (0,1).
Подставляя эти значения в приведенную формулу, получим:
настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), равна:
4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:
где PA post - настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);
R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
i - используемая процентная (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;
п - количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.
Подставляя эти данные в приведенную формулу, получим:
настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), равна:
Сопоставление результатов расчета по двум последним примерам показывает, что настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей, существенно превышает настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей, т.е. в первом случае в процессе дисконтирования плательщику гарантирована гораздо большая сумма дохода в настоящей стоимости,
5. При расчете размера отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета используется следующая формула:
где R - размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределенной будущей его стоимости);
SA post - будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
i - используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
п
6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используется такая формула:
где R - размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при известной текущей его стоимости);
PA post
i - используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
п - количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.
В процессе расчета аннуитета возможно использование упрощенных формул, основу которых составляет только член аннуитета (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффициент) его наращения или дисконтирования.
В этом случае формула для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей), имеет вид:
SA post = R × l A ,
где SA post - будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
l A - множитель наращения стоимости аннуитета, определяемый по специальным таблицам, о учетом принятой процентной ставки и количества интервалов в периоде платежей.
Соответственно, формула для определения настоящей стоимости аннуитета имеет вид:
PA post = R × D A ,
где PA post - настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
R - член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
D A - дисконтный множитель аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной (дисконтной) ставки и количества интервалов в периоде платежей.
Использование стандартных множителей (коэффициентов) наращения и дисконтирования стоимости существенно ускоряет и облегчает процесс оценки стоимости денег во времени.
Финансовое прогнозирование и планирование деятельности предприятий
Прогнозирование финансов служит основой последующей разработки долгосрочных и краткосрочных финансовых планов, а так же основой составления общего и финансового бюджетов.
Основные этапы финансового прогнозирования:
1. Разработка прогноза, спроса и выручки от реализации.
2. Прогноз инвестиций, достаточных для получения прогнозной выручки от реализации продукции.
3. Разработка прогноза переменных и постоянных затрат.
4. Прогнозирование объема и источников внешнего финансирования.
Целью финансового прогнозирования является определение ожидаемых финансовых результатов от деятельности компании в предстоящий период и потребности в финансировании. В литературе наряду с термином "финансовое прогнозирование" используется также термин "финансовое планирование".
Финансирование компании может осуществляться за счет как внутренних (прибыль, амортизация), так и внешних источников. Внутреннее финансирование производится в результате нормальной производственной деятельности компании, внешнее обусловлено капиталом, поступающим от инвесторов и банков.
При составлении финансового плана (прогноза) оцениваются результаты будущих коммерческих операций, приносящих доход, и связанные с ним расходы, что дает возможность заранее оценить потребность во внешнем финансировании.
Одним из методов планирования финансовых потребностей является метод процента от продаж , когда будущие расходы, активы и обязательства оцениваются на основе процента от предполагаемых продаж предстоящего периода. Получаемые таким образом данные используются для составления прогнозного балансового отчета. Превышение величины актива над пассивом (обязательствами и собственным капиталом) означает необходимость дополнительного внешнего финансирования
Метод процента от продаж является простым, но недостаточно точным, поскольку не учитывает возможного несовпадения будущих входящих и исходящих денежных потоков, что потребует дополнительного финансирования. Более точным будет метод составления сметы ожидаемых доходов и расходов (бюджета) компании.
Составление бюджета предприятия включает составление операционного, финансового и общего бюджетов, контроль и регулирование исполнения.
Бюджет содержит плановые значения доходов, расходов за определенный временной интервал и сумму капитала, необходимого для осуществления плановых целей.
Бюджеты различаются по своему назначению: бюджет производства, бюджет закупок и использования сырья, материалов – характеризует промежуточные операции; бюджет продаж, бюджет коммерческой себестоимости – содержит сведения о доходах или расходах; укрупненные бюджеты (бюджетный отчет о прибылях (убытках), бюджет денежных средств) – характеризуют доходы и расходы.
Основные функции бюджетов: планирование; коммуникация и координация (согласование целей и интересов подразделений); ориентация (определение целей производства); контроль.
Этапы разработки бюджета:
1. Разработка прогноза и бюджета продаж.
2. Расчет планового объема производства.
3. Планирование условно-переменных и условно-постоянных затрат на производство и реализацию продукции.
4. Анализ и планирование денежных потоков.
5. Составление финансовых отчетов.
Бюджеты всех видов составляются по формам, самостоятельно определенным предприятиями. Как правило, составляется общий бюджет с выделением операционного и финансового бюджетов.
Общий (основной) бюджет – план работы, координирующий деятельность подразделений и содержащий информацию для принятия решений в области финансового планирования.
Общий бюджет состоит из двух взаимосвязанных бюджетов: операционного и финансового . В свою очередь, операционный бюджет содержит:
Бюджет продаж . Содержит информацию о натуральных объемах реализации, ценах, выручке от реализации. Он служит источником информации для многих других бюджетов. Расчеты объема реализации осуществляются с помощью статистических методов, оптимизационных экономико-математических моделей и экспертных методов.
На основе бюджета продаж составляются: бюджеты производства; закупок и использования сырья и материалов; по труду; общецеховых расходов; бюджетный отчет о прибылях и убытках (с использованием бюджета коммерческой себестоимости) .
Названные бюджеты служат информационной базой составления бюджетов: общепроизводственных расходов, цеховой себестоимости, производственной себестоимости, коммерческих и административно-управленческих расходов.
По данным этого блока разрабатывается бюджет коммерческой себестоимости , служащий информационной базой для бюджетного отчета о прибылях и убытках. Последний служит информационной базой для бюджета движения денежных средств в составе финансового бюджета.
Для составления бюджетов в составе операционного бюджета необходимо: рассчитать объем затрат, составить калькуляции себестоимости по видам продукции и объемов реализации, определить нормативы общепроизводственных, коммерческих, административных расходов на планируемый период времени. Эта работа выполняется на крупных предприятиях при тесном взаимодействии работников планового отдела, производственно-технического отдела, отдела организации труда и заработной платы. В ней участвуют также специалисты цехов. Разработке плановых показателей должна предшествовать работа по комплексному анализу этих показателей в предшествующем периоде, а также их изменения во времени. Анализ проводится для выявления путей и резервов улучшения анализируемых показателей. На этой основе разрабатывается план мероприятий по повышению эффективности деятельности предприятия, служащий также информационной основой для разработки бюджета капитальных вложений.
Финансовый бюджет – определяет плановые объемы требующихся финансовых ресурсов, источники их получения и направление использования. В его составе разрабатывается бюджет движения денежных средств, бюджет капитальных вложений и в завершении составляется бюджетный бухгалтерский баланс.
В бюджете движения денежных средств определяются плановые объемы поступлений денежных средств и расходов их. При планировании важно синхронизировать поток поступлений и поток платежей так, чтобы недостаток денежных средств в какие-либо моменты времени не вызвал сбоев в производстве. В то же время временный избыток средств вызывает снижение эффективности их использования.
В широком смысле аннуитет представляет собой серию одинаковых по размеру платежей, которые осуществляются в течение определенного периода времени через равные интервалы. При этом понятие «настоящая стоимость аннуитета » происходит из концепции стоимости денег во времени (англ. Time Value of Money ), которая предполагает, что стоимость 1 у.е. в будущем будет ниже, чем ее стоимость сегодня. Хотя данное утверждение может показаться странным на первый взгляд, оно имеет под собой определенные основания. Действительно, деньги могут терять свою покупательную способность под воздействием инфляции . Другим аспектом является упущенная выгода. Например, инвестор может вложить 1000 у.е. на 1 год под 7% годовых и получить через год 1070 у.е., однако, отказавшись вкладывать эти средства инвестор «недополучит» прибыль в размере 70 у.е.
Определение настоящей стоимости аннуитета является широко распространенной практикой в финансовых расчетах, которые осуществляются как институциональными , так и частными инвесторами. Эта методика чрезвычайно полезна при оценке различных инвестиционных возможностей и при выборе формы кредитования. Чтобы лучше разобраться в проблеме, рассмотрим ее на примере.
Пример 1
Страховая компания предложила инвестору ежегодно выплачивать по 100 у.е. в течение 5-ти лет в обмен на единоразовый платеж в 400 у.е. При этом инвестору необходимо принять решение о целесообразности такой инвестиции, если для него требуемая норма доходности (англ. Required Rate of Return ) составляет 7% годовых.
Для того чтобы ответить на этот вопрос нам необходимо привести все денежные потоки к настоящему времени, то есть определить их настоящую стоимость (англ. Present Value ). Схематически этот процесс представлен на графике.
Инвестор последовательно получит 5 платежей по 100 у.е. с интервалом в один год. Чтобы определить их настоящую стоимость необходимо воспользоваться следующей формулой.
где FV – будущая стоимость денежного потока;
i
N – количество периодов.
Таким образом, настоящая стоимость каждого денежного потока составит.
PV 1 = 100/(1+0,07) 1 = 93,46 у.е.
PV 2 = 100/(1+0,07) 2 = 87,34 у.е.
PV 3 = 100/(1+0,07) 3 = 81,63 у.е.
PV 4 = 100/(1+0,07) 4 = 76,29 у.е.
PV 5 = 100/(1+0,07) 5 = 71,30 у.е.
Как мы можем видеть, настоящая стоимость первого денежного потока самая высокая, а последнего – самая низкая. При этом, каждая из них ниже, чем их номинальная стоимость в размере 100 у.е.
Для того чтобы определить настоящую стоимость аннуитета, нам необходимо сложить настоящую стоимость каждого денежного потока.
PVA = 93,46+87,34+81,63+76,29+71,30 = 410,09 у.е.
Учитывая, что настоящая стоимость аннуитета, предложенного страховой компанией инвестору, выше, чем сумма единоразового платежа в размере 400 у.е., то данная инвестиционная возможность является приемлемой. В противном случае (настоящая стоимость ниже, чем единоразовый платеж) она должна быть отвергнута.
где A – размер платежа;
i – процентная ставка за период (ставка дисконтирования или требуемая норма доходности);
N – количество периодов.
Подставив данные из предыдущего примера мы получим следующую сумму, которая совпадает с приведенными выше расчетами.
* - незначительное расхождение с предыдущей суммой возникло в результате округлений настоящей стоимость каждого денежного потока в приведенном выше примере.
Проблемы при применении данной методики на практике возникают при определении ставки дисконтирования или требуемой нормы доходности, от которых будут зависеть правильность принятого решения. Для их определения не существует никакой общепринятой методики или формулы, поэтому процесс ее оценки носит достаточно субъективный характер. Следует отметить, что на ее величину влияют такие факторы, как, например, сумма инвестиций, инвестиционный горизонт , склонность к риску , его финансовое положение и цели. Поэтому для одного инвестора требуемая норма доходности может составлять 5%, а для более склонного к риску, например, 13%.
В случае, когда аннуитетный платеж осуществляется в начале каждого периода, так называемый аннуитет пренумерандо, формула для расчета его настоящей стоимости имеет следующий вид.
Чтобы лучше разобраться в этой проблеме рассмотрим ее на простом примере.
Пример 2
Арендодателю поступило предложение о заключении договора аренды сроком на пять лет на следующих условиях:
Срок действия договора 5 лет;
- арендатор ежегодно осуществляет авансовые платежи в размере 500 у.е.
При этом арендодатель может продать объект аренды за 2000 у.е. и вложить эти средства под 8% годовых. Необходимо определить какое из этих предложений будет для него более выгодным. Чтобы ответить на этот вопрос надо найти настоящую стоимость аннуитета, что схематически будет выглядеть следующим образом.
Настоящая стоимость каждого денежного потока составит.
PV 1 = 500/(1+0,08) 0 = 500 у.е.
PV 2 = 500/(1+0,08) 1 = 462,96 у.е.
PV 3 = 500/(1+0,08) 2 = 428,67 у.е.
PV 4 = 500/(1+0,08) 3 = 396,92 у.е.
PV 5 = 500/(1+0,08) 4 = 367,51 у.е.
Следует отметить, что настоящая стоимость первого денежного потока совпадает с его номинальной стоимостью 500 у.е., поскольку арендный платеж носил авансовый характер, то есть был выплачен в 0 точке. Соответственно, все остальные полученные платежи также сдвинулись влево по временной шкале. Таким образом, настоящая стоимость аннуитета на таких условиях составит.
PVA = 500+462,96+428,67+396,92+367,51 = 2156,06 у.е.
Определим Приведенную (текущую) стоимость будущих доходов (или расходов) в случае аннуитета. Для этого будем использовать функцию ПС() . Также выведем альтернативную формулу для расчета Текущей стоимости.
Примечание . Английский вариант функции: PV(rate, nper, pmt, , ), т.е. Present Value – будущая стоимость.
Расчеты в ПС() производятся по этой формуле:
Использование функции ПС() в случае выплаты кредита
Определим сумму кредита, на которую можно рассчитывать, зная сумму ежемесячного платежа, срок кредита и процентную ставку (см. файл примера Лист Кредит ).
Пусть ежемесячный взнос =10000р. (плт), ставка по кредиту 10% (ставка). Кредит планируется вернуть в течение года (кпер=12). Взнос в конце месяца (тип=0).
Записав формулу =ПС(10%/12; 12; -10000; 0; 0)
получим ответ 113 745,08р., т.е. взяв эту сумму в кредит и выплачивая по 10000р. ежемесячно, мы погасим полностью кредит через 12 месяцев.
Пример вычисления остатка суммы основного долга (при БС=0, тип=0)
Пусть был взят кредит в размере 100 000руб. на 10 лет под ставку 9%. Кредит должен гаситься ежемесячными равными платежами (в конце периода). Требуется вычислить сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат.
Решение простое – используйте функцию ОСПЛТ(): =ОСПЛТ(9%/12;25;10*12;100000)
Ставка за период (ставка): 9%/12
Номер периода (первый месяц третьего года выплат): 25=2*12+1
Всего периодов (кпер): 10*12
Кредит: 100000
Сумма основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат: -618,26руб.
Теперь выполним те же вычисления, только осмысленно, т.е. понимая, суть расчета.
- Вычислим ежемесячный платеж, используя формулу приведенной стоимости. Обозначим сумму кредита как ПС, ежемесячный платеж как ПЛТ: ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Отсюда, ПМТ=ПС* ставка /(1-(1+ставка)^-кпер)=1266,76 (правильность расчета можно проверить с помощью ПЛТ() – см. статью ). ПЛТ() вернет -1266,76. Знак минус указывает на различные направления денежных потоков + (из банка сумма кредита), - (в банк ежемесячные платежи). Формула приведенной стоимости является следствием того, что сумма долей ежемесячных платежей, идущих на погашение основной суммы долга, должна быть равна сумме кредита. Поясним:
- Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 1-й период =ПМТ-ПС*ставка, а с учетом знаков =-ПМТ-ПС*ставка (чтобы сумма долей была того же знака, что и ПС). Обозначим эту долю как ПС1. Кстати, ПС*ставка – это сумма процентов, уплаченная за пользование кредитом в первый период.
- Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 2-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка=-ПМТ-(ПС +ПМТ+ПС*ставка) *ставка=(-ПМТ-ПС*ставка)*(1+ставка)=ПС1*(1+ставка). Обозначим эту долю как ПС2. Кстати, ПС-ПС1 – это остаток суммы долга в конце второго периода.
- Доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в 3-й период =-ПМТ-(ПС-ПС1-ПС2)*ставка=-ПМТ-(ПС-ПС1)*ставка+ПС2*ставка =ПС2+ПС2*ставка= ПС2*(1+ставка) =ПС1*(1+ставка)^2
- Очевидно, что доля платежа, которая идет на погашение основной суммы долга в последний период (кпер)= ПС1*(1+ставка)^ кпер =-(ПМТ+ПС*ставка) *(1+ставка)^ кпер
- Чтобы погасить кредит полностью, необходимо, чтобы сумма долей, идущих на погашение кредита, была равна сумме кредита, т.е. =-(ПМТ+ПС*ставка)*(1-(1+ставка)^ кпер)/ставка=ПС. Эта формула получена как сумма членов геометрической прогрессии: первый член =-(ПМТ+ПС*ставка), знаменатель =(1+ставка).
- Решая нехитрое уравнение, полученное на предыдущем шаге, получим, что ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Это и есть формула приведенной стоимости (при БС=0 и платежах, осуществляемых в конце периода (тип=0)).
- Вычислим сумму основного долга, которую нужно будет выплатить начиная с 25-го месяца (т.е. в начиная с 25 и заканчивая 120 периодом). Сделаем это так же используя формулу приведенной стоимости ПС=ПМТ*(1-(1+ставка)^-кпер)/ставка. Теперь ПМТ нам известно, ПС – это искомая сумма основного долга, которую нужно будет выплатить, начиная с 25-го месяца, т.е. за 96 периодов (120-24=кпер). ПС=86466,91 Правильность расчета можно проверить с помощью ОБЩДОХОД() .
- Вычислим сумму процентов, которые будут выплачены в 25-й месяц: 86466,91*ставка=648,50 Правильность расчета можно проверить с помощью ПРПЛТ() .
- Наконец, т.к. каждый платеж содержит сумму, идущую в оплату основной суммы долга и начисленные за период проценты, то Сумму основного долга, которая будет выплачена в первом месяце третьего года выплат получим как: ПМТ-648,50=618,26
Как видим, сумма совпадает результатом ОСПЛТ() , вычисленную ранее (с точностью до знака).
Примечание : в файле примера приведено решение нескольких простых задач по определению .
Инвестирование денежных средств в различные программы, создание денежных фондов целевого назначения, погашение банковской задолженности и т. п предусматривают выплаты будут осуществляться через определенные промежутки времени. При этом возникает ряд последовательных платежей, которые называют потоком платежей.
Ряд последовательных фиксированных платежей , которые осуществляются через равные промежутки времени, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).
Теория аннуитетов является важной частью финансовой математики. Различают два основных типы рент:
- безусловные ренты - ренты с фиксированным сроком, то есть даты первой и последней выплаты определены до начала ренты;
- условные ренты - ренты, в которых дата первой и последней выплат зависит от определенного события.
Они могут осуществляться или в конце, или в начале каждого периода. В соответствии с этим различают два виды аннуитетов (рент): - обычный (отложенный, постнумерандо) - платежи осуществляются в конце каждого периода;
предварительный (авансовый, вексельный, пренумерандо) - платежи или выписка счетов осуществляются в начале каждого периода. Аннуитет может быть выходным денежным потоком предпринимателя (осуществление периодических равновеликих взносов на счет банковского учреждения) или входным денежным
потоком (поступление арендной платы, которая обычно устанавливается одинаковой фиксированной суммой).
Обобщающими показателями аннуитета является его будущая и настоящая стоимость.
Пусть инвестор в течение определенного периода времени в конце каждого года получает платежи, которые не являются одинаковыми. Если он будут инвестировать сумму каждого платежа на время до окончания данного периода, то после его завершения получит некоторую сумму денег, которую называют будущей стоимостью потока платежей.
Будущая стоимость аннуитета - это сумма всех членов потоков платежей с начисленными на них процентами на конец периода, т. е. на дату последней выплаты. Она показывает, какую величину будет представлять капитал, который вкладывается через равные промежутки времени в течение всего срока аннуитета вместе с начисленными процентами.
Формула определение будущей стоимости обычного аннуитета (на конец года) такова:
где РУ4 - общая будущая стоимость аннуитета на конец определенного периода; А - аннуитетные платежи;
Определение будущей стоимости аннуитетов с помощью таблиц (Приложение В) предполагает использование фактора процента будущей стоимости аннуитетов (РУІГЛ) за п периодов с г процентной ставке:
где РУ№А - аннуитетный фактор, или процентный фактор будущей стоимости аннуитета (Приложение В).
В того, чтобы вычислить будущую стоимость аннуитетов с помощью таблиц, используется формула 4. 25:
Следует обратить внимание, что формула (4.25) касается обычного (отсроченного) аннуитета (ренты).
Пример . Определите общую будущую стоимость платежей аннуитета на сумму $100, который платится раз в год в течение четырех лет. Возьмите сложный процент 10%.
Определить общую будущую стоимость этих последовательных платежей не трудно. Достаточно суммировать факторы будущей стоимости за каждый год, в котором выплачивается аннуитет.
За таблицей будущей стоимости, фактор аннуитета за 4 года по 10% сложного процента являются: 1,000 + 1,100 + 1,210 + 1,33, или 4,641. Через 4 года ежегодный платеж $100 будет стоить $ 100*4,641, или $464,10.
Используя данные из нашего примера, определим фактор 4-летнего аннуитета. Он составляет 4,641.
Однако, если имеет место авансовый аннуитет (рента), порядок количественной оценки будущей стоимости денежного потока несколько изменяется.
Необходимость корректировки финансово-математической модели оценки отсроченной ренты обусловлена различиями в порядке движения денежных средств, что наглядно можно увидеть в таблице. Так, для обычного аннуитета денежные потоки возникают по окончании первого интервала периода, который анализируется (именно поэтому обычный аннуитет часто называют отсроченным).
Для авансового аннуитета характерным является движение денежных средств уже начиная с первого интервала планового периода. Упомянутые различия обусловливают разницу между отсроченным и авансовым аннуитетом на один интервал, что и заложено в финансово-математическая модель оценки будущей стоимости авансового аннуитета.
Для расчета будущей стоимости авансового аннуитета (на начало года) применяется формула 4.26:
Пример . Определить будущую стоимость аннуитета, если ежегодный взнос составляет 6000 игры. в течение пяти лет, а процентная ставка -16%. Сравнить аннуитеты по условиям осуществления взносов на начало и в конце года.
Когда финансовые менеджеры стоят перед тем, что в будущем постоянно, регулярно будут поступать деньги и им надо определить настоящую стоимость тех поступлений, они могут сделать две вещи:
1) вычислить приведенную стоимость поступлений за каждый год, используя соответствующие факторы. Но это долгое и хлопотное дело;
2) вычислить приведенную стоимость аннуитета, используя факторы текущей стоимости аннуитета. Это более короткий и простой путь.
Вспомните, как мы рассматривали будущую стоимость аннуитетов и отмечали, что факторы стоимости аннуитетов - это сумма факторов будущей стоимости. Тот же принцип применяется, когда определяется приведенная стоимость аннуитетов для серии одинаковых поступлений будущих денежных потоков. Все, что нужно сделать, это сложить факторы текущей стоимости за определенный период умножить полученный общий аннуитетный фактор на денежный поток за любой год.
Математическое уравнение для определение настоящей стоимости аннуитета такое:
где РУКІ"А - настоящая стоимость аннуитета; А - сумма аннуитета;
г ставка дисконта (выраженная десятичной дробью); п количество лет или периодов;
РУІРА- процентный фактор настоящей стоимости аннуитета (показатель аннуитетов за п - ну количество периодов, дисконтова ный на г процента)(Приложение Г).
В финансовых таблицах суммируются факторы текущей стоимости (Приложение Г). В таблице приведены процентные факторы текущей стоимости аннуитетов - (PVIF.) Present Value Interest Factor Annuities, в результате чего таблица достаточно легко читается.
Пример . Скажем, вы хотите купить акцию А, что в течение 5 лет будет приносить доход в $1,000, а также акцию Б, которая ежегодно в течение 5 лет будет давать дохіду $1,025. Вас интересует, в какие акции лучше вложить деньги. Эксперт, который производит оценку ценных бумаг, говорит, что акции имеют дисконтуватись под 10%. а акции Б под 12%.
Чтобы сравнить нынешнюю стоимость аннуитетов этих акций, достаточно найти в таблице соответствующие значения процентных факторов текущей стоимости аннуитетов. По 10% на 5 лет фактор имеет значение 3,7908, по 12% соответственно 3,6048. Имея значения этих факторов, можно подсчитать приведенную стоимость обеих акций:
PV акции А = $1,000x3,791 * $3,791
PV Бы акции - $ 1,025x3,605 = $3,695
После дисконтирования аннуитетов, или денежных доходов, от этих акций становится очевидным, что акция Бы, доход которой ниже, чем от акции А, менее привлекательна, учитывая соотношение риска и дохода.
Финансово-математическая модель определения настоящей стоимости аннуитетов применяется для вычисления постоянных равных выплат по погашению кредита, арендных платежей за пользование активами предприятия, для сравнения настоящей стоимости ценных бумаг, которые дисконтируются под разные процентные ставки и приносят владельцу определенный ежегодный доход, для определения суммы, которую необходимо положить на депозит при условии изъятия со счета каждого года одинаковой суммы денег.
Итак, формула (4.24) касается обычного (отсроченного) аннуитета (ренты). Однако, если имеет место авансовая рента, порядок расчета приведенной стоимости денежного потока несколько изменяется.
Необходимость корректировки отсроченной ренты обусловлена различиями в порядке движения денежных средств. Для обычного аннуитета денежные потоки, стоимость которых оценивается, возникают по окончании первого интервала анализируемого периода (поэтому обычный аннуитет называют также отсроченным). Для авансового аннуитета характерным является движение денежных средств уже в начале первого интервала планового периода. Перечисленные особенности обусловливают различие между отсроченным и авансовым аннуитетом на один интервал, что и отражает формула оценки приведенной стоимости авансового аннуитета (на начало года):
Пример . Определить приведенную стоимость аннуитета, если периодические поступления в течение четырех лет составляют 8000 грн., а процентная ставка - 16%. Сравнить стоимость аннуитетов при условии поступления средств в начале и в конце года.
авансового аннуитета каждый период дисконтируется одной выплатой. Поскольку выплаты выполняются быстрее, такая рента имеет большую стоимость, чем обычная. Значение авансовой ренты может быть рассчитано умножением показателя РУ обычной ренты на (И + г).
Таким образом в данной теме рассмотрены основные финансово-математические модели, которые могут быть применены для оценки стоимости денег во времени и определение на этой основе доходности различных инвестиционных проектов и выбора из них оптимального.
Однако, применяя математический аппарат для вбору того или иного варианта вложения денежных средств, финансовый менеджер должен также учитывать обстоятельства субъективного характера, которые невозможно формализовать в ту или иную финансово-математическую модель: источники возникновения первоначального капитала; репутация фирмы, в которой инвестируются средства; экономическая и политическая стабильность в стране и др.
ГЛОССАРИЙ
Стоимость денег - количество товаров и услуг, которые можно обменять на единицу денег; покупательная способность единицы денег; величина, обратная уровню цен.
Текущая стоимость будущих денежных потоков (РV) -сумма будущих денежных поступлений, возведенных с учетом определенной процентной ставки (так называемой "скидки") до настоящего периода с поправкой на риск;
Будущая стоимость денег (FV) - сумма инвестированных в настоящий момент средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом определенной ставки процента.
Процентная ставка - это отношение суммы дохода, выплаченного за фиксированный интервал времени, к величине займа.
Ставка дисконтирования - это процентная ставка, используемая для приведения будущих поступлений (денежных потоков и прибыли) к настоящей стоимости.
Дисконтирование - это нахождение начальной или текущей суммы долга (РУ) по известной конечной сумме.(РУ), которую нужно отдать через некоторое время (п).
Простое компаундирования (наращивание) (single compounding) - финансово-математическая модель расчета стоимости имеющихся денежных ресурсов, или теперешних денежных потоков, использование которых в течение четко определенного периода, как ожидается, даст возможность получить соответствующий экономический эффект в будущем.
Простой процент - начисления по текущей стоимости вклада в конце одного периода платежа, обусловленного условиями инвестирования (месяц, квартал и тому подобное).
Сложный процент - сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход.
Аннуитет - это серия вкладов или выплат равных сумм, которые осуществляются через определенные интервалы или определенное количество периодов.
Текущая стоимость единицы
Текущая стоимость единицы - это величина, обратная накопленной сумме единицы. Это сегодняшняя стоимость единицы, которая должна быть получена в будущем.
Процесс определения текущей стоимости единицы (его также называют дисконтированием; не путать с дисконтом - скидкой!) аналогичен процессу накопления дохода от процентов, но имеет обратную направленность во времени: от будущего к настоящему. То есть мы определяем, сколько нужно сегодня вложить в приносящий периодический доход от процентов актив, чтобы в конкретный момент времени в будущем получить заранее заданную сумму. При определении текущей стоимости ставку процента, по которой начисляется периодический доход, чаще называют ставкой дисконтирования.
Функция текущей стоимости единицы дает возможность определить стоимость суммы в данный момент, если известна ее величина в будущем, число периодов и ставка процента.
PV - текущая стоимость;
FV - будущая стоимость;
i - ставка процента (ставка дисконтирования)
n - число периодов начисления процентов
Фактор текущей стоимости единицы в таблице показан в колонке 4.
При FV =1, формула имеет вид
Данный рисунок иллюстрирует известную будущую стоимость FV=1 в момент времени n. Требуется определить неизвестную текущую стоимость PV в нулевой момент времени, то есть на сегодняшний день.
При 10%-ой ставке процента текущая стоимость 100.000 долл., ожидаемых к получению через год, равна?
100.000 *0,909091=90909,1
Проверка:
Если сегодня инвестор вкладывает 90909,1 долл. и в течение следующего года может получить чистый доход в 10%, т. е. 9090,91, то через год его капитал будет составлять 100.000 долл. (90909,1+9090,91)
Вопросы для контроля
3. Какую сумму следует сегодня депонировать в банке, начисляющем 12% годовых при ежемесячном накоплении, для того, чтобы через 4 года получить 10.000 долл.?
10.000 *0,62026=6202,6
4. Сколько надо положить на счет в банке под 20% годовых, чтобы через десять лет купить квартиру за 120.000 долл.?
120.000 *0,161506=19380,72
Текущая стоимость аннуитета
Аннуитет - это денежный поток, в котором равные суммы выплачиваются через одинаковые промежутки времени. Различают аннуитет обычный и авансовый. Обычный - возникает в конце периода начисления процентов, а авансовый - в начале.
Текущая стоимость обычного аннуитета при заданной ставке дисконтирования может быть рассчитана путем оценки каждого платежа в отдельности. При этом сумма каждого платежа умножается на соответствующий фактор текущей стоимости единицы. Текущая стоимость аннуитета обозначается а(n,i).
На рисунке показано как несколько аннуитетных платежей, по отдельности равных 1, преобразуются в неизвестную величину текущей стоимости аннуитета на нулевой момент времени.
Ежегодный платеж по аренде составляет 300.000 долл. Ставка дисконтирования равна 10%. Какова текущая стоимость платежей за пять лет?
Текущая стоимость аннуитета равна
300000*3,7908=1137240 долл.
Авансовый аннуитет
Для того, чтобы фактор обычного аннуитета превратить в фактор авансового аннуитета, необходимо взять фактор обычного аннуитета для потока доходов, укороченного на один период, и добавить к нему единицу. При добавлении единицы учитывается первое поступление, которое не следует дисконтировать. При сокращении потока на один период во внимание принимается текущая стоимость остальных платежей.
Пример: На протяжении четырех лет уплачивается арендная плата в сумме 3.000 долл. Платеж осуществляется в начале каждого года. Ставка дисконта равна 15%. Определить текущую стоимость арендных платежей.
Решение: 3000*(2,28323+1) = 9849,69 долл.
Вопросы для контроля
5. Какова текущая стоимость ипотечного кредита, предусматривающего выплату 1000 долл. в конце каждого года на протяжении 5 лет? Ставка дисконта равна 10%
Ответ: 1000*3,79079=3790,79
6. Ежемесячные платежи по аренде поступают в начале каждого месяца в размере 5000 долл. Приемлемая годовая ставка дисконта - 15%. Какова текущая стоимость платежей за 8 месяцев?
Ответ: 5000*(6,66273+1) = 38313,65
Использование двух факторов
Доход, ожидаемый от собственности, часто состоит из двух частей:
1. поток доходов от текущей деятельности;
2. единовременная сумма от перепродажи актива.
Оценка инвестиционной привлекательности требует в ряде случаев дифференциации ставок дисконта в зависимости от уровня риска тех или иных операций. Учет различий в уровне риска требует от оценщика использования соответствующих ставок дисконта.
Пример: Владелец бензоколонки предполагает в течение пяти лет получать ежегодный доход в сумме 30.000 долл. В конце пятого года он планирует продать бензоколонку за 100.000 долл.
Прогнозирование доходов от эксплуатации собственности имеет большую степень точности, чем прогнозирование цены продажи, поэтому ставки дисконта равны соответственно 10% и 15%.
Определить текущую стоимость совокупного дохода от бензоколонки.
1. Текущая стоимость потока дохода от эксплуатации
30.000 *3,79079=113.723,7 долл.
2. Текущая стоимость дохода от продажи
100.000 *0,49718 = 49.718 долл.
3. Текущая стоимость совокупного дохода
113.723 ,7 + 49.718 = 162.441,7 долл.
Потоки доходов от собственности могут увеличиваться или уменьшаться. Оценка повышающихся или снижающихся потоков доходов с использованием сложного процента может быть проведена различными путями.
Пример: Аренда магазина принесет его владельцу в течение первых трех лет ежегодный доход в 750.000 долл. В последующие пять лет доход составит 950.000 долл. в год. Определить текущую стоимость совокупного дохода, если ставка дисконта равна 10%.
Вариант №1
В данном случае текущая стоимость совокупного дохода равна текущей стоимости потока доходов в 750.000 долл. за первые три года и потока доходов в 950.000 долл. за последующие пять лет.
1. Рассчитаем текущую стоимость арендных платежей за первые три года.
750.000 *2,48685 = 1.865.137 долл.
2. Определим текущую стоимость арендной платы за последующие пять лет. Фактор текущей стоимости аннуитета в этом случае будет равен разности факторов, соответствующих рыночному и начальному периоду возникновения измененной суммы арендной платы по отношению к текущему, т. е. нулевому периоду. Повышенная аренда поступала с конца третьего по конец восьмого периода, следовательно в расчетах должны быть использованы факторы - 2,48685 и 5,33493.
950.000 *(5,33493-2,48685)=2.705.676 долл.
3. Суммарная текущая стоимость арендной платы
1.865.137 + 2.705.676 = 4.570.813 долл.
Вариант №2
арендная плата
Текущая стоимость суммарного потока доходов равна разности потока доходов в 950.000 долл., полученного за все восемь лет, и несуществующего потока доходов в 200.000 долл. (950-750) за первые три года.
1. Рассчитаем текущую стоимость дохода от аренды, исходя из предположения, что все 8 лет она составляла ежегодно 950 тыс. долл.
950.000 *5,33493 = 5.068.184 долл.
2. Рассчитаем текущую стоимость завышенной суммы аренды, которая существовала три года.
200.000 *2,48685 = 497.370 долл.
Текущая стоимость арендной платы за 8 лет составляет
5.068.184 - 497.370 = 4.570.814 долл.
Вариант №3
арендная плата
Этот вариант решения предполагает, что текущая стоимость совокупного дохода равна сумме дохода в 750.000 долл. за восемь лет и превышения в 200.000 долл., достигнутого в последние пять лет аренды.
1. Рассчитаем текущую стоимость доходов от аренды в 750.000 долл. за восемь лет.
750.000 *5,33485 = 4.001.137 долл.
2. Рассчитаем текущую стоимость дополнительного дохода от аренды, полученного за последние пять лет.
200.000 *(5,33485-2,48685) = 569.600 долл.
3. Текущая стоимость полученной арендной платы
4.001.137 + 569.600 = 4.570.737 долл.
Если полученные результаты имеют некоторые расхождения, то это является следствием округлений, допускаемых при расчетах.
