Фэу — факультет экономики и управления. Исследование операций в экономике: Учеб

Биткойн задумывался разработчиками как «электронный кэш», однако криптовалюта не оправдала надежд. В качестве средства накопления она не состоялась, а расплачиваться BTC за товары и услуги слишком неудобно. К таким заключениям пришел управляющий Банка Англии Марк Карни во время встречи со студентами Лондонского университета Риджентс.

Глава Банка Англии Марк Карни пополнил список скептиков, которые выступают против криптовалют. На встрече со студентами Лондонского университета Риджентс управляющий банка признал биткойн провальным проектом. «С точки зрения традиционных денег биткойн провалился. Его нельзя использовать как средство накопления из-за постоянных колебаний. И никто не пользуется им как средством обмена», - цитирует Reuters Карни.

Говоря об искусственном интеллекте и автоматизации, Маск отметил, что в течение нескольких десятилетий отрасль логистики станет практически автоматизированной. Однако, внедрение автоматизации не ограничится только этой сферой: она будет охватывать все больше и больше отраслей промышленности.

Что мешает нам развиваться и жить. Почему мы бедные

1. Регистрация предприятия

Почти все нынешние регистрационные документы и процедуры -- липа, туфта, никому не нужная бюрократия и очковтирательство.

Устав. В теории, устав -- это конституция будущего предприятия, он закрепляет права и обязанности учредителей и директора. На практике, уставы пишутся "юридическими компаниями". Они просто копируются. Устав не нужен никому, кроме учредителей и директора. А раз они уставы копируют, значит они не нужны и им. Устав должен быть делом добровольным. Нужен для бизнеса -- пусть будет, не нужен, нечего и требовать.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯРОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права

И.Н. Мастяева Г.Я. Горбовцов О.Н. Семенихина

ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ

Москва, 2001

УДК 519.6 ББК 22.18 М - 327

И.Н. Мастяева, Г.Я. Горбовцов, О.Н. Семенихина. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ В ЭКОНОМИКЕ: Учебное пособие / Московский Государственный Университет Экономики, Статистики и Информатики. М.: МЭСИ, 2001. с.116

© И.Н. Мастяева, 2001

© Г.Я. Горбовцов, 2001

© О.Н. Семенихина, 2001.

© Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2001.

© Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права, 2001

Программа курса «Исследование операций в экономике»

Тема 1. Моделирование в экономике. Определение экономикоматематической модели, ее свойства. Классификация моделей по различным признакам.

Тема 2. Теория двойственности в линейном программировании. Двойственный симплекс-метод. Определение и правила постро-

ения двойственных задач, их экономический смысл. Теоремы двойственности. Различные способы отыскания решения двойственной задачи по решению прямой. Экономический анализ линейных моделей на основе теории двойственности. Двойственный симплекс-метод. Р- матрица, псевдоплан, условия перехода от одного псевдоплана к другому. Алгоритм двойственного симплекс-метода.

Тема 3. Целочисленные модели исследования операций.

Примеры задач целочисленного линейного программирования. Метод ветвей и границ решения задачи целочисленного линейного программирования: идея и алгоритм. Постановка задачи коммивояжера. Применение метода ветвей и границ для решения задачи коммивояжера.

Тема 4. Экономические задачи, сводящиеся к транспортным моделям. Транспортная задача (ТЗ) линейного программирования. Математическая модель. Закрытая и открытая модели ТЗ. Опорный план ТЗ. Методы построения первоначальных опорных планов. Метод потенциалов решения ТЗ, его обоснование и алгоритм. ТЗ с запрещенными перевозками. Задача оптимального распределения оборудования. Формирование оптимального штата фирмы. Задача календарного планирования. Задача о назначениях, венгерский метод ее решения. Оптимальное исследование рынка. Оптимальное использование рабочих агентов.

Тема 5. Нелинейные модели исследования операций.

Постановка задачи нелинейного программирования (ЗНП). Одномерная оптимизация. Алгоритм Свенна поиска отрезка, содержащего точку максимума. Метод золотого сечения решения задачи одномерной оптимизации. Безусловная оптимизация. Метод скорейшего подъема (спуска). Условная оптимизация. Метод Зойтендейка.

1. Моделирование в экономике

В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели.

Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей также не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации.

По степени агрегирования объектов моделирования различают модели:

Микроэкономические; - одно-, двухсекторные (одно-, двухпродуктовые);

Многосекторные (многопродуктовые); - макроэкономические; - глобальные.

По учету фактора времени различают модели: - статические; - динамические.

В статических моделях экономическая система описана в статике, применительно к одному определенному моменту времени. Это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени. Динамические модели описывают экономическую систему в развитии.

По цели создания и применения различают модели: - балансовые; - эконометрические;

Оптимизационные; - сетевые;

Систем массового обслуживания; - имитационные (экспертные).

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования.

Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость эндогенных (зависимых) переменных от экзогенных (независимых) переменных. Данная зависимость в основном выражается

через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой экономической системы. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации.

Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наиболее эффективным образом для достижения поставленной цели.

Сетевые модели наиболее широко применяются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ.

Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания.

Имитационная модель наряду с машинными решениями содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае ЭВМ, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области.

По учету фактора неопределенности различают модели:

- детерминированные (с однозначно определенными резуль-

- стохастические (с различными вероятностными результатами). По типу математического аппарата различают модели:

- линейного и нелинейного программирования;

- корреляционно-регрессионные;

Матричные;

Сетевые;

Теории игр;

- теории массового обслуживания и т.д .

Домашнее задание 1.

1.Рассматривается пять проектов, которые могут быть осуществлены в течение последующих трех лет. Ожидаемые величины прибыли от реализации каждого из проектов и распределение необходимых капиталовложений по годам (в тыс. руб.) приводятся в таблице.

Требуется выбрать совокупность проектов, которой соответствует максимум суммарной прибыли.

2. Совет директоров фирмы изучает предложения по наращиванию производственных мощностей на трех принадлежащих фирме предприятиях. Для расширения всех трех предприятий фирма выделяет средства в объеме 5 млн. руб. Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами суммарных затрат (C) и доходов (R), связанных с реализацией каждого из проектов. Соответствующие данные приведены в таблице, в которую включены также проекты с нулевыми затратами. Это позволяет учесть возможность отказаться от расширения какого-либо предприятия.

Цель фирмы состоит в получении максимального дохода от инвестиций.

3. В задаче выбора вариантов примем, что для получения результата в виде максимально возможной прибыли необходимо два

вида ресурсов: материальные и трудовые Возможны четыре варианта расхода ресурсов и получения прибыли (табл.).

Требуется выбрать, какие варианты принять для реализации при условии, чтобы общее число принятых вариантов не превышало трех.

4. Некоторая фирма переводит свой главный завод на производство определенного вида изделий, которые будут выпускаться в течение четырех месяцев. Величины спроса в течение этих четырех месяцев составляют 100, 200, 180 и 300 изделий соответственно. В каждый месяц спрос можно удовлетворить за счет

1) избытка произведенных в прошлом месяце изделий, сохраняющихся для реализации в будущем;

2) производства изделий в течение текущего месяца; 3) избытка производства изделий в более поздние месяцы в счет

невыполненных заказов.

Затраты на одно изделие в каждый месяц составляют 4 долл. Изделие, произведенное для более поздней реализации, влечет за собой дополнительные издержки на хранение в 0,5 долл. в месяц. С другой стороны, каждое изделие, выпускаемое в счет невыполненных заказов, облагается штрафом 2 долл. в месяц. Объем производства изделий меняется от месяца к месяцу в зависимости от выпуска других изделий.

В рассматриваемые четыре месяца предполагается выпуск 50, 180, 280 и 270 изделий соответственно. Требуется составить план, имеющий минимальную стоимость производства и хранения изделий.

5. Известен рыночный спрос на определенное изделие в количестве 180 штук. Это изделие может быть изготовлено двумя

предприятиями по различным технологиям. При производстве x1 изделий первым предприятием его затраты составят (4x1 + x1 2 ) руб., а

при изготовлении x2 изделий вторым предприятием они составят (8x2 + x2 2 ) руб. Определить, сколько изделий, изготовленных по каждой технологии, может предложить концерн, чтобы общие издержки его производства были минимальными.

6. На двух предприятиях холдинга необходимо изготовить 200

изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством x1 изделий на первом предприятии, равны 4x1 2 руб., а затраты,

обусловленные изготовлением x2 изделий на втором предприятии, составляют (20x2 + 6x2 2 ) руб.

Определить, сколько изделий следует произвести на каждом из предприятий, чтобы общие затраты на производство необходимой продукции были минимальными.

7. Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. Известны затраты времени и других ресурсов на производство ед. изделия каждого вида (см. табл.)

Требуется определить, сколько изделий каждого вида необходимо изготовить, чтобы себестоимость одного изделия была минимальной.

8.Имеется в наличии b = 5 единиц одного ресурса, который в начале планового периода необходимо распределить между тремя предприятиями. Известны аk – количество единиц ресурса, идущего на изготовление единицы продукции k-м предприятием (k = 1,2,3), а2 =а3 =1, а1 =2 и gk (yk ) – доход от выпуска yk единиц продукции k-м предприятием.

g1 (y1 )=1,4y1 – 0,2y1 2 g2 (y2 )=2y2 g3 (y3 )=2y3 – 0,3y3 2

Требуется распределить имеющийся ресурс между предприятиями так, чтобы в конце планового периода получить максимальный доход.

9.Требуется разместить n производственных агрегатов на n различных производственных участках. Количество материалов, транспортируемых между агрегатами i и j, равно dij ; удельные затраты на транспортировку материалов с участка p на участок q составляют cqp . Построить модель целочисленного программирования, минимизирующую суммарные затраты на транспортировку.

10. Рассматривается задача производственного планирования, связанная с изготовлением 2000 единиц некоторой продукции на трех станках. Величины накладных расходов, затрат на производство единицы продукции и максимальной производительности для каждого из станков приведены в таблице.

Сформулировать задачу целочисленного программирования.

2. Теория двойственности в линейном программировании. Двойственный симплексметод.

В данном разделе вводится важное понятие теории линейного программирования - понятие двойственности. Двойственная задача - это вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной, или прямой задачи, которая применима к любой форме представления прямой задачи. В основу такого подхода положен тот факт, что использование симплекс-метода требует приведения любой ЗЛП к каноническому виду.

В учебном пособии представлены модели линейного и целочисленно­го программирования, классические методы оптимизации, задачи выпук­лого и динамического программирования, модели управления запа­сами и сетевого планирования и управления, элементы теории игр и массового обслуживания. Рассмотрены некоторые вопросы применения ЭВМ для решения задач математического программирования. Приводит­ся большое количество экономических задач с решениями и для само­стоятельной работы. Для студентов экономических вузов, экономистов и лиц, занимаю­щихся самообразованием

Раздел I Модели линейного ПРОГРАММИРОВАНИЯ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

Глава 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ГЕОМЕТРИИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 2.1.

Глава 3. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДОВ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 8. МОДЕЛИ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Раздел II Модели нелинейного ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Глава 10. КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Глава 11. МОДЕЛИ ВЫПУКЛОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 11.1.

Глава 12. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Раздел III Специальные модели ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ

Глава 14. МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ 14.1.

Глава 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Глава 16. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 16.1.

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Исследование операций в экономике

Введение

Графическое решение задач линейного программирования

Решение задач линейного программирования симплекс-методом

Транспортная задача

Задача о назначениях

Задача о ранце

Заключение

Литература

Введение

Успешная реализация достижений научно-технического прогресса в нашей стране тесным образом связана с использованием экономико-математических методов и средств вычислительной техники при решении задач из различных областей человеческой деятельности. Исключительно важное значение приобретает использование указанных методов и средств при решении экономических задач.

Управление и планирование являются наиболее сложными функциями администрации предприятий, менеджеров, руководителей хозяйственных органов и штабов различного уровня. Характер управления и планирования определяет путь достижения цели и оказывает существенное влияние на качество решения поставленной задачи. В современных условиях повышается ответственность за качество принимаемых управленческих решений. Несколько неудачных управленческих решений и предприятие вступает в стадию банкротства.

В настоящее время существует две группы методов принятия управленческих решений:

) логический (когда решение принимается на основании опыта, интуиции и других личностных качеств лица, принимающего решение);

) формально-логический или формализованный (когда решение принимается на основе изучения предварительно-построенной модели). При этом появляется возможность оценить последствия каждого из вариантов и выбрать наилучший по некоторому критерию. В этой группе методов важную роль играют экономико-математические модели.

Образ реальной действительности, в котором отражены характерные для изучаемого явления признаки или черты реального объекта (оригинала), именуют моделью, а сам процесс построения моделей называют моделированием.

Использование цифровых и знаковых символов позволяет создать категорию моделей, которая включает формально-логические и математические модели.

Любое управление в экономике связано с выработкой и принятием управленческих решений, воплощающихся в управленческие воздействия. Субъекты управления стремятся определить последствия определённого решения. Прежде чем осуществлять управляющее воздействие, принимать окончательное решение, желательно проверить его действенность, послед-ствия, результат. При этом фактически используются логические модели процессов управления, мысленные сценарии их протекания. Но возможности даже квалифицированного, опытного специалиста воспроизвести в своём мозгу картину поведения объекта управления под влиянием управляющих воздействий довольно ограничены. Приходится прибегать к помощи математических расчётов, дополняющих мысленные представления, иллюстрирующих ожидаемую картину управляемого процесса в виде цифр, кривых, графиков, таблиц. Использование математических методов при формировании представлений об экономических объектах и процессах в ходе экономического анализа, прогнозирования, планирования называют применением экономико-математических методов.

Наиболее распространённая форма, основной инструмент воплощения экономико-математических методов - это экономико-математическое моделирование. Математическое моделирование опирается на математическое описание моделируемого объекта (процесса) в виде формул, зависимостей с помощью математических символов, знаков.

Экономико-математическая модель представляет собой формализованное описание управляемого экономического объекта (процесса), включающее заранее заданные параметры, показатели и искомые неизвестные величины, характеризующие состояние объекта, его функционирование, объединённые между собой связями в виде математических зависимостей, соотношений, формул. Модель способна быть только аналогом моделируемой системы, отражающим основные, существенные свойства изучаемой управляемой системы, которые наиболее важны с позиций управления.

Благодаря моделированию субъект управления способен в ходе анализа иметь дело не с реальным объектом управления, а с его аналогом в виде модели. Это значительно расширяет возможности поиска лучших способов управления, не нарушая функционирования реального объекта управления в период выработки управленческих решений. Появляется возможность применить вычислительную технику, использовать компьютеры, для которых математический язык моделей является самым удобным. Благодаря компьютерам можно производить многовариантные модельные расчёты, что повышает шансы на отыскание лучших вариантов.

Для того чтобы принять обоснованное решение необходимо получить и обработать огромное количество информации. Ответственные управленческие решения зачастую связаны с судьбами людей, принимающих их, и с большими материальными ценностями. Но сейчас недостаточно указать путь, ведущий к достижению цели. Необходимо из всех возможных путей выбрать наиболее экономный, учитывающий особенности течения и развития управляемого процесса и наилучшим образом соответствующий поставленной задаче.

Процесс управления производственной системой представляет собой процесс принятия решений, что всегда связано с выбором из множества возможных решений, допускаемых обстоятельствами решаемой задачи, то есть имеется множественность имеющихся вариантов. Выбранное решение должно соответствовать некоторому критерию целесообразности. Этим объясняется связь задач принятия управленческих решений с методами теории оптимизации.

В процессе выработки решений приходится формализовать зависимость между отдельными элементами системы, применять математический аппарат, общие кибернетические принципы и закономерности, то есть использовать экономико-математические методы.

Известно, что экономический эффект от рациональных методов управления и планирования, применяемых в широких масштабах и на высоком уровне, способен в ряде случаев повысить эффект от существенного увеличения мощностей. Возникает потребность в новых математических методах, позволяющих анализировать ритм производства, взаимоотношения между людьми и между коллективами.

Математические машины, внедряемые в производство и управление и используемые в научно-исследовательской работе, создают огромные возможности для развития различных отраслей науки, для совершенствования методов планирования и автоматизации производства. Однако без строгих формулировок задач, без формально-математического описания процессов не может быть достигнут необходимый уровень использования техники. Возникают вопросы, связанные с формализацией физических, экономических, технических и других процессов. Формализация задачи - необходимый этап для перевода каждой прикладной экономической задачи на язык математических машин.

Для постановки задачи математического программирования необходимо сформулировать цель управления и указать ограничения на выбор параметров управления, обусловленные особенностями управляемого процесса. Задача математического программирования сводится к выбору системы параметров, обеспечивающей оптимальное (в заданном смысле) качество процесса управления в рамках сформулированных ограничений.

Всё вышесказанное доказывает необходимость применения экономико-математических методов и моделей в управлении для принятия обоснованных управленческих решений.

В данной курсовой работе даётся представление о возможностях практического использования математического программирования и экономико-математических методов при решении конкретных экономических задач.

.Графическое решение задач линейного программирования.

Решить графически задачу

4x1+x2 → max,

при следующих ограничениях:

x1+7x2≤140

x1+10x2≤150

x1+20x2≤100

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x1+x2 → max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x1+x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Область допустимых решений представляет собой многоугольник

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

x1+7x2=140

x1+20x2=100

Решив систему уравнений, получим: x1 = 5.7534, x2 = 3.5616

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

(X) = 4*5.7534 + 1*3.5616 = 26.5753

2. Решение задач линейного программирования симплекс - методом.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 5x1 + 5x2 + 11x3+9 при следующих условиях-ограничений.

При вычислениях значение Fc = 9 временно не учитываем.

линейный программирование математический экономический

x1 + x2 + x3 + x4≤0

x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4≤0

x1 + 5x2 + 10x3 + 15x4≤0

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7.

x1 + 1x2 + 1x3 + 1x4 + 1x5 + 0x6 + 0x7 = 0

x1 + 5x2 + 3x3 + 2x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 = 0

x1 + 5x2 + 10x3 + 15x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 = 0

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

11111007532010351015001

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x5, x6, x7

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,0,0,0,0)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

БазисBx1x2x3x4x5x6x7x501111100x607532010x70351015001F(X0)0-5-5-110000

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Проверка критерия оптимальности.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

Определение новой базисной переменной.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Определение новой свободной переменной.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3

и из них выберем наименьшее:(0: 1, 0: 3, 0: 10) = 0

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

БазисBx1x2x3x4x5x6x7minx5011111000x6075320100x703510150010F(X1)0-5-5-1100000

Пересчет симплекс-таблицы.

Формируем следующую часть симплексной таблицы.

Вместо переменной x5 в план 1 войдет переменная x3.

Строка, соответствующая переменной x3 в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x5 плана 0 на разрешающий элемент РЭ=1

На месте разрешающего элемента в плане 1 получаем 1.

В остальных клетках столбца x3 плана 1 записываем нули.

Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x3 и столбец x3.

Все остальные элементы нового плана 1, включая элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем из старого плана четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Bx 1x 2x 3x 4x 5x 6x 70: 11: 11: 11: 11: 11: 10: 10: 10-(0 3):17-(1 3):15-(1 3):13-(1 3):12-(1 3):10-(1 3):11-(0 3):10-(0 3):10-(0 10):13-(1 10):15-(1 10):110-(1 10):115-(1 10):10-(1 10):10-(0 10):11-(0 10):10-(0 -11):1-5-(1 -11):1-5-(1 -11):1-11-(1 -11):10-(1 -11):10-(1 -11):10-(0 -11):10-(0 -11):1

Получаем новую симплекс-таблицу:

БазисBx1

1. Предмет и задачи исследования операций в экономике. Основные понятия теории исследования операций.

Предмет исследования операций - системы организационного управления или организации, которые состоят из большого числа взаимодействующих между собой подразделений не всегда согласующихся между собой и могут быть противоположны.

Цель исследования операций - количественное обоснование принимаемых решений по управлению организациями

Решение, которое оказывается наиболее выгодным для всей организации называется оптимальным, а решение наиболее выгодное одному или нескольким подразделениям будет субоптимальным.

Исследование операций - наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее оптимального управления организационными системами.

Операцией называется всякое мероприятие (система действий), объединенное единым замыслом и направленное к достижению какой-то цели.

Цель исследования операций - предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Оптимальным называются решения, по тем или другим признакам предпочтительные перед другими.

Параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения.

Множеством допустимых решений называются заданные условия, которые фиксированы и не могут быть нарушены.

Показатель эффективности - количественная мера, позволяющая сравнивать разные решения по эффективности.

2. Понятие о сетевом планировании и управлении. Сетевая модель процесса и ее элементы.

Метод работы с сетевыми графиками – сетевое планирование – базируется на теории графов. В переводе с греческого граф (grafpho – пишу) представляет систему точек, некоторые из них соединены линиями – дугами (или ребрами). Это топологическая (математическая) модель взаимодействующих систем. С помощью графов можно решать не только задачи сетевого планирования, но и другие задачи. Метод сетевого планирования применяется при планировании проведения комплекса взаимосвязанных работ. Он позволяет наглядно представить организационно-технологическую последовательность выполнения работ и установить взаимосвязь между ними. Кроме этого, он позволяет обеспечить координацию операций различной степени сложности и выявить операции, от которых зависит продолжительность всей работы (т.е. организационного мероприятия), а также сосредоточить внимание на своевременном выполнении каждой операции.

Основой сетевого планирования и управления является сетевая модель (СМ), в которой моделируется совокупность взаимосвязанных работ и событий, отображающих процесс достижения определенной цели. Она может быть представлена в виде графика или таблицы.

Основные понятия сетевой модели:

Событие, работа, путь.

Событиями называются результаты выполнения одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени.

Путь - это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальную и конечную вершины.

Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ.

3. Построение и упорядочивание сетевого графика.

В качестве модели, отражающей технологические и организационные взаимосвязи процесса производства строительно-монтажных работ в системах сетевого планирования и управления (СПУ), используется сетевая модель.

Сетевой моделью называется графическое изображение процессов, выполнение которых приводит к достижению одной или нескольких поставленных целей, с указанием установленных взаимосвязей между этими процессами. Сетевой график представляет собой сетевую модель с расчетными временными параметрами.

Структура сетевого графика, определяющая взаимную зависимость работ и событий, называется его топологией.

Работа - это производственный процесс, требующий затрат времени, труда и материальных ресурсов, который при его выполнении приводит к достижению определенных результатов.

Зависимость (фиктивная работа), не требующая затрат времени изображается пунктирной стрелкой. Фиктивная работа используется в сетевом графике для отражения связей между событиями и работами.

В сетевом графике применяются временные, стоимостные и другие характеристики работ.

Продолжительной работы – время выполнения данной работы в рабочих днях или других единицах времени, одинаковых для всех работ сетевого графика. Продолжительность работ может быть как определенной (детерминированной), так и случайной величиной, задаваемой законом ее распределения.

Стоимость работы – это прямые затраты, необходимые для ее выполнения, зависящие от длительности и условий выполнения этой работы.

Ресурсы характеризуются потребностью в физических единицах, необходимых для выполнения данной работы.

Качество, надежность и другие показатели работ служат дополнительными характеристиками работ.

Событие - это факт окончания одной или нескольких работ, необходимый и достаточный для начала одной или нескольких последующих работ. Каждому событию присваивается номер, называемый кодом. Каждая работа определяется двумя событиями: кодом начального события, обозначаемого i и кодом конечного события, обозначаемого буквой j.

События, не имеющие предшествующих работ, называются начальными; события, не имеющие последующих – конечными.

1 Направление построения сети может иметь различный характер. Сетевой график может строиться от начального события к завершающему и от завершающего к исходному (начальному), а также от любого из событий к исходному или конечному.

2 При построении сети решаются вопросы:

Какие работы (работу) необходимо выполнить, чтобы начать данную работу;

Какие работы целесообразно выполнять параллельно с данной работой;

3 Первоначальный сетевой график строится без учета продолжительности работ, составляющих сеть.

4 Форма графика должна быть простой и зрительно легко воспринимаемой.

5 Между двумя событиями может заключаться только одна работа. При строительстве зданий и сооружений работы могут выполняться последовательно, параллельно или одновременно, часть последовательно, а часть параллельно, в результате чего между отдельными работами складываются различные зависимости.

Нумерация (кодирование) событий производится после окончания построения сети, начиная от исходного события до конечного.

4. Критический путь сетевого графика. Резервы времени. Ранние и поздние сроки событий и работ в сетевом графике.

В сетевом графике между начальным и конечным событиями может быть несколько путей. Путь, имеющий наибольшую продолжительность, называется критическим. Критический путь определяет общую продолжительность работ. Все остальные пути имеют меньшую продолжительность, и поэтому в них выполняемое работы имеют резервы времени.

Критический путь обозначается на сетевом графике утолщенными или двойными линиями (стрелками).

Особое значение при составлении сетевого графика имеют два понятия:

Раннее начало работы - срок, раньше которого нельзя начать данную работу, не нарушив принятой технологической последовательности. Он определяется наиболее долгим путем от исходного события до начала данной работы

Позднее окончание работы - самый поздний срок окончания работы, при котором не увеличивается общая продолжительность работ. Он определяется самым коротким путем от данного события до завершения всех работ.

Раннее окончание - срок, раньше которого нельзя закончить данную работу. Он равен раннему началу плюс продолжительность данной работы

Позднее начало - срок, позже которого нельзя начинать данную работу, не увеличив общую продолжительность строительства. Он равен позднему окончанию минус продолжительность данной работы.

Если событие является окончанием лишь одной работы (т.е. в него направлена только одна стрелка), то раннее окончание этой работы совпадает с ранним началом последующей.

Общий (полный) резерв - это наибольшее время, на которое можно задержать выполнение данной работы, не увеличивая общую продолжительность работ. Он определяется разностью между поздним и ранним началом (или поздним и ранним окончанием - что то же самое).

Частный (свободный) резерв - это наибольшее время, на которое можно задержать выполнение данной работы, не меняя раннего начала последующей. Этот резерв возможен только тогда, когда в событие входят две или более работы (зависимости), т.е. на него направлены две или более стрелки (сплошные или пунктирные). Тогда лишь у одной из этих работ раннее окончание будет совпадать с ранним началом последующей работы, для остальных же это будут разные значения. Эта разница у каждой работы и будет ее частным резервом.

5. Динамическое программирование. Принцип оптимальности и управления Беллмана.

Динамическое программирование – один из наиболее мощных методов оптимизации. С задачами принятия рациональных решений, выбора наилучших вариантов, оптимального управления имеют дело специалисты разного профиля. Среди методов оптимизации динамическое программирование занимает особое положение. Этот метод исключительно привлекателен благодаря простоте и ясности своего основного принципа – принципа оптимальности. Сфера приложения принципа оптимальности чрезвычайно широка, круг задач, к которым он может быть применен, до настоящего времени еще полностью не очерчен. Динамическое программирование с самого начала выступает как средство практического решения задач оптимизации.

Кроме принципа оптимальности, основного приема исследования, большую роль в аппарате динамического программирования играет идея погружения конкретной задачи оптимизации в семейство аналогичных задач. Третьей его особенностью, выделяющей его среди других методов оптимизации, является форма конечного результата. Применение принципа оптимальности и принципа погружения в многошаговых, дискретных процессах приводят к рекуррентно-функцио-нальным уравнениям относительно оптимального значения критерия качества. Полученные уравнения позволяют последовательно выписать оптимальные управления для исходной задачи. Выигрыш здесь состоит в том, что задача вычисления управления для всего процесса разбивается на ряд более простых задач вычисления управления для отдельных этапов процесса.

Главным недостатком метода является, говоря словами Беллмана, «проклятие размерности» – его сложность катастрофически возрастает с увеличением размерности задачи.

6. Задача о распределении средств между предприятиями.

Можно сказать, что процедура построения оптимального управления методом динамического программирования распадается на две стадии: предварительную и окончательную. На предварительной стадии для каждого шага определяется УОУ зависящее от состояния системы (достигнутого в результате предыдущих шагов), и условно оптимальный выигрыш на всех оставшихся шагах, начиная с данного, также зависящий от состояния. На окончательной стадии определяется (безусловное) оптимальное управление для каждого шага. Предварительная (условная) оптимизация производится по шагам в обратном порядке: от последнего шага к первому; окончательная (безусловная) оптимизация - также по шагам, но в естественном порядке: от первого шага к последнему. Из двух стадий оптимизации несравненно более важной и трудоемкой является первая. После окончания первой стадии выполнение второй трудности не представляет: остается только "прочесть" рекомендации, уже заготовленные на первой стадии.

7. Постановка задачи линейного программирования.

Линейное программирование -- популярный инструмент решения экономических задач, которые характиризуются наличием одного критерия (например, максимизировать доход от производства продукции за счет оптимального выбора производственной программы, или, например, минимизировать транспортные расходы и пр.). Для экономических задач характерны ресурсные ограничения (материальные и / или финансовые). Они записываются в виде системы неравенств, иногда в виде равенств.

С точки зрения прогнозирования допустимых интервалов цен (или объемов продаж) в рамках обобщенного непараметрического метода, применение линейного программирования означает:

Критерием является MAX цена очередного продукта из интересуемой группы f.

Управляемыми переменными величинами являются цены всех продуктов из группы f.

Ограничениями в нашей задаче прогнозирования с использованием обобщенного непараметрического метода, являются:

a) система неравенств (ограничения рациональности поведения потребителя) (см. 4.2. Прогнозирование в рамках обобщенного непараметрического метода);

б) требование неотрицательности управляемых переменных (в нашей задаче прогнозирования мы потребуем, чтобы цены на продукты из группы f не опустились ниже 80% от значений цен в последней временной точке) ;

в) бюджетное ограничение в виде равенства - требование постоянства суммы затрат на покупку продуктов из группы f (с учетом 15% инфляции, например).

8. Графический метод решения задач линейного программирования.

Графический метод основан на геометрической интерпретации задачи линейного программирования и применяется в основном при решении задач двумерного пространства и только некоторых задач трехмерного простран6тва, так как довольно трудно построить многогранник решений, который образуется в результате пересечения полупространств. Задачу пространства размерности больше трех изобразить графически вообще невозможно.

Пусть задача линейного программирования задана в двумерном пространстве, т. е. ограничения содержат две переменные.

Найти минимальное значение функции

(2.1) Z = С1х1+С2х2

a11x1 + a22x2 b1

(2.2)a21x1 + a22x2 b2

aM1x1 + aM2x2 bM

(2.3) х1 0, х2 0

Допустим, что система (2.2) при условии (2.3) совместна и ее многоугольник решений ограничен. Каждое из неравенств (2.2) и (2.3), как отмечалось выше, определяет полуплоскость с граничными прямыми: ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 = bi,(i = 1, 2, ..., n), х1=0, х2=0. Линейная функция (2.1) при фиксированных значениях Z является уравнением прямой линии: С1х1 + С2х2 = const. Построим многоугольник решений системы ограничений (2.2) и график линейной функции (2.1) при Z = 0 (рис. 2.1). Тогда поставленной задаче линейного прграммирования можно дать следующую интерпретацию. Найти точку многоугольника решений, в которой прямая С1х1 + С2х2 = const опорная и функция Z при этом достигает минимума.

Значения Z = С1х1 + С2х2 возрастают в направлении вектора N =(С1, С2), поэтому прямую Z = 0 передвигаем параллельно самой себе в направлении вектора Х. Из рис. 2.1 следует, что прямая дважды становится опорной по отношению к многоугольнику решений (в точках А и С), причем минимальное значение принимает в точке А. Координаты точки А (х1, х2) находим, решая систему уравнений прямых АВ и АЕ.

Если многоугольник решений представляет собой неограниченную многоугольную область, то возможны два случая.

Случай 1. Прямая С1х1 + С2х2 = const, передвигаясь в направлении вектора N или противоположно ему, постоянно пересекает многоугольник решений и ни в какой точке не является опорной к нему. В этом случае линейная функция не ограничена на многоугольнике решений как сверху, так и снизу (рис. 2.2).

Случай 2. Прямая, пере-двигаясь, все же становится опорной относительно многоу-гольника решений (рис. 2.2, а – 2.2, в). Тогда в зави-симости от вида области ли-нейная функция может быть ограниченной сверху и неограниченной снизу (рис. 2.2, а), ограниченной снизу и неограниченной сверху (рис. 2.2, б), либо ограниченной как снизу, так и сверху (рис. 2.2, в).

9. Симплекс- метод.

Симплекс-метод является основным в линейном программировании. Решение задачи начинается с рассмотрений одной из вершин многогранника условий. Если исследуемая вершина не соответствует максимуму (минимуму), то переходят к соседней, увеличивая значение функции цели при решении задачи на максимум и уменьшая при решении задачи на минимум. Таким образом, переход от одной вершины к другой улучшает значение функции цели. Так как число вершин многогранника ограничено, то за конечное число шагов гарантируется нахождение оптимального значения или установление того факта, что задача неразрешима.

Этот метод является универсальным, применимым к любой задаче линейного программирования в канонической форме. Система ограничений здесь - система линейных уравнений, в которой количество неизвестных больше количества уравнений. Если ранг системы равен r, то мы можем выбрать r неизвестных, которые выразим через остальные неизвестные. Для определенности предположим, что выбраны первые, идущие подряд, неизвестные X1, X2, ..., Xr. Тогда наша система уравнений может быть записана как

Симплекс-метод основан на теореме, которая называется фундаментальной теоремой симплекс-метода. Среди оптимальных планов задачи линейного программирования в канонической форме обязательно есть опорное решение ее системы ограничений. Если оптимальный план задачи единственен, то он совпадает с некоторым опорным решением. Различных опорных решений системы ограничений конечное число. Поэтому решение задачи в канонической форме можно было бы искать перебором опорных решений и выбором среди них того, для которого значение F самое большое. Но, во-первых, все опорные решения неизвестны и их нужно находить, a, во-вторых, в реальных задачах этих решений очень много и прямой перебор вряд ли возможен. Симплекс-метод представляет собой некоторую процедуру направленного перебора опорных решений. Исходя из некоторого, найденного заранее опорного решения по определенному алгоритму симплекс-метода мы подсчитываем новое опорное решение, на котором значение целевой функции F не меньше, чем на старом. После ряда шагов мы приходим к опорному решению, которое является оптимальным планом.

10. Постановка транспортной задачи. Методы определения опорных планов.

Имеется m пунктов отправления («поставщиков») и n пунктов потребления («потребителей») некоторого одинакового товара. Для каждого пункта определены:

ai – объемы производства i -го поставщика, i = 1, …, m;

вj – спрос j-го потребителя, j= 1,…,n;

сij – стоимость перевозки одной единицы продукции из пункта Ai– i-го поставщика, в пункт Вj – j-го потребителя.

Для наглядности данные удобно представлять в виде таблицы, которую называют таблицей стоимостей перевозок.

Требуется найти план перевозок, при котором бы полностью удовлетворялся спрос всех потребителей, при этом хватало бы запасов поставщиков и суммарные транспортные расходы были бы минимальными.

Под планом перевозок понимают объем перевозок, т.е. количество товара, которое необходимо перевезти от i-го поставщика к j-му потребителю. Для построения математической модели задачи необходимо ввести m·n штук переменных хij, i= 1,…, n, j= 1, …, m, каждая переменная хij обозначает объем перевозок из пункта Ai в пункт Вj. Набор переменных X = {xij} и будет планом, который необходимо найти, исходя из постановки задачи.

Это условие для решения закрытых и открытых транспортных задач (ЗТЗ).

Очевидно, что для разрешимости задачи 1 необходимо, чтобы суммарный спрос не превышал объема производства у поставщиков:

Если это неравенство выполняется строго, то задача называется «открытой» или «несбалансированной», если же , то задача называется «закрытой» транспортной задачей, и будет иметь вид (2):

– условие сбалансированности.

Это условие для решения закрытых транспортных задач (ЗТЗ).

11. Алгоритм решения транспортной задачи.

Применение алгоритма требует соблюдения ряда предпосылок:

1. Должна быть известна стоимость перевозки единицы продукта из каждого пункта производства в каждый пункт назначения.

2. Запас продуктов в каждом пункте производства должен быть известен.

3. Потребности в продуктах в каждом пункте потребления должны быть известны.

4. Общее предложение должно быть равно общему спросу.

Алгоритм решения транспортной задачи состоит из четырех этапов:

Этап I. Представление данных в форме стандартной таблицы и поиск любого допустимого распределения ресурсов. Допустимым называется такое распределение ресурсов, которое позволяет удовлетворить весь спрос в пунктах назначения и вывезти весь запас продуктов из пунктов производства.

Этап 2. Проверка полученного распределения ресурсов на оптимальность

Этап 3. Если полученное распределение ресурсов не является оптимальным, то ресурсы перераспределяются, снижая стоимость транспортировки.

Этап 4. Повторная проверка оптимальности полученного распределения ресурсов.

Данный итеративный процесс повторяется до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение.

12. Модели управления запасами.

Несмотря на то, что любая модель управления запасами призвана отвечать на два основных вопроса (когда и сколько), имеется значительное число моделей, для построения которых используется разнообразный математический аппарат.

Такая ситуация объясняется различием исходных условий. Главным основанием для классификации моделей управления запасами является характер спроса на хранимую продукцию (напомним, что с точки зрения более общей градации сейчас мы рассматриваем лишь случаи с независимым спросом).

Итак, в зависимости от характера спроса модели управления запасами могут быть

детерминированными;

вероятностными.

В свою очередь детерминированный спрос может быть статическим, когда интенсивность потребления не изменяется во времени, или динамическим, когда достоверный спрос с течением времени может изменяться.

Вероятностный спрос может быть стационарным, когда плотность вероятности спроса не изменяется во времени, и нестационарным, где функция плотности вероятности меняется в зависимости от времени. Приведенную классификацию поясняет рисунок.

Наиболее простым является случай детерминированного статического спроса на продукцию. Однако такой вид потребления на практике встречается достаточно редко. Наиболее сложные модели - модели нестационарного типа.

Кроме характера спроса на продукцию при построении моделей управления запасами приходится учитывать множество других факторов, например:

сроки выполнения заказов. Продолжительность заготовительного периода может быть постоянной либо являться случайной величиной;

процесс пополнения запаса. Может быть мгновенным либо распределенным во времени;

наличие ограничений по оборотным средствам, складской площади т.п.

13. Системы массового обслуживания (СМО) и показатели их эффективности.

Системы массового обслуживания (СМО) представляют собой системы специального вида, реализующие многократное выполнение однотипных задач. Подобные системы играют важную роль во многих областях экономики, финансов, производства и быта. В качестве примеров СМО в финансово-экономической; сфере можно привести банки различных типов (коммерческие, инвестиционные, ипотечные, инновационные, сберегательные), страховые организации, государственные акционерные общества, компании, фирмы, ассоциации, кооперативы, налоговые инспекции, аудиторские службы, различные системы связи (в том числе телефонные станции), погрузочно-разгрузочные комплексы (порты, товарные станции), автозаправочные станции, различные предприятия и организации сферы обслуживания (магазины, справочные бюро, парикмахерские, билетные кассы, пункты по обмену валюты, ремонтные мастерские, больницы). Такие системы, как компьютерные сети, системы сбора, хранения и обработки информации, транспортные системы, автоматизированные производственные участки, поточные линии, различные военные системы, в частности системы противовоздушной или противоракетной обороны, также могут рассматриваться как своеобразные СМО

Каждая СМО включает в свою структуру некоторое число обслуживающих устройств, которые называют каналами (приборами, линиями) обслуживания. Роль каналов могут играть различные приборы, лица, выполняющие те или иные операции (кассиры, операторы, парикмахеры, продавцы), линии связи, автомашины, краны, ремонтные бригады, железнодорожные пути, бензоколонки и т.д.

Системы массового обслуживания могут быть одноканальными или многоканальными.

Каждая СМО предназначена для обслуживания (выполнения) некоторого потока заявок (требований), поступающих на вход системы большей частью не регулярно, а случайные моменты времени. Обслуживание заявок, в этом случае, также длится не постоянное, заранее известное время, а случайное время, которое зависит от многиx случайных, порой неизвестных нам, причин. После обслуживания заявки канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени их обслуживания приводит к неравномерной загруженности СМО: в иное время на входе СМО могут скапливаться необслуженные заявки, что приводит к перегрузке СМО, а иногда при свободных каналах на входе СМО заявки не будет, что приводит к недогрузке СМО, т.е. к простаиванию ее каналов. Заявки, скапливающиеся на входе СМО, либо «становятся» в очередь, либо по причине невозможности дальнейшего пребывания в очереди покидают СМО необслуженными.

Показатели эффективности функционирования пары «СМО - потребитель», где под потребителем понимают всю совокупность заявок или некий их источник (например, средний доход, приносимый СМО в единицу времени, и т.п.). Эта группа показателей оказывается полезной в тех случаях, когда некоторый доход, получаемый от обслуживания заявок, и затраты на обслуживание измеряются в одних и тех же единицах. Эти показатели обычно носят вполне конкретный характер и определяются спецификой СМО, обслуживаемых заявок и дисциплиной обслуживания.

14. Уравнения динамики для вероятностных состояний (уравнения Колмогорова). Предельные вероятности состояний.

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова-Чепмена по s при s = 0 получаем прямое уравнение Колмогорова:

Формально дифференцируя уравнение Колмогорова - Чепмена по t при t = 0 получаем обратное уравнение Колмогорова

Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.

В том случае, если число состояний системы S является конечным и из каждого состояния представляется возможным перейти (за то или иное количество шагов) в каждое другое состояние, то предельные вероятности состояний существуют, а также не зависят от начального состояния системы.

На рис. показаны граф состояния и переходов, удовлетворяющие поставленному условию: из любого состояния система рано или поздно может перейти в любое другое состояние. Условие не будет выполняться при изменении направления стрелки 4-3 на графе рис, а на противоположное.

Допустим, что поставленное условие выполнено, и, следовательно, предельные вероятности существуют:

Предельные вероятности будут обозначаться теми же буквами что и вероятности состояний, при этом под ними подразумеваются числа, а не переменные величины (функции времени).

Ясно, что предельные вероятности состояний должны давать в сумме единицу: Следовательно, в системе при устанавливается некоторый предельный стационарный режим: пусть система и меняет собственные состояния случайным образом, однако вероятность каждого из этих состояний не зависит от времени и каждое из них осуществляется с некоторой постоянной вероятностью, представляющей собой среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии.

15. Процесс гибели и размножения.

Марковским процессом гибели и размножения с непрерывным временем назовем такой с.п., который может принимать только целые неотрицательные значения; изменения этого процесса могут происходить в любой момент времени t, при этом в любой момент времени он может либо увеличиваться на единицу, либо остаться неизменным.

Потоками размножения λi(t) будем называть пуассоновские потоки, ведущие к увеличению функции X(t). Соответственно μi(t) – потоки гибели, ведущие к уменьшению функции X(t).

Составим по графу уравнения Колмогорова:

Если поток с конечным числом состояний:

Система уравнений Колмогорова для процесса гибели и размножения с ограниченным числом состояний имеет вид:

Процессом чистого размножения называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков гибели равны нулю.

Процессом чистой гибели называется такой процесс гибели и размножения, у которого интенсивности всех потоков размножения равны нулю.

16. Системы массового обслуживания с отказами .

Наиболее простой из рассматриваемых задач в рамках теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО с отказами или потерями.

Следует отметить, что в данном случае количество каналов равно 1 (). Этот канал принимает пуассоновский поток заявок, интенсивность которого равняется . Время оказывает влияние на интенсивность:

Если заявка прибыла в канал, который в данный момент не является свободным, она получает отказ и больше не числится в системе. Обслуживание заявок осуществляется в течение случайного времени , распределение которого реализуется в соответствии с показательным законом с параметром :

17. Системы массового обслуживания с ожиданием .

Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Система с ограниченной длиной очереди. Предположим сначала, что количество мест в очереди ограничено числом m, т. е. если заявка пришла в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, она покидает систему необслуженной. В дальнейшем, устремив m к бесконечности, мы получим характеристики одноканальной СМО без ограничений длины очереди.

Будем нумеровать состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе (как обслуживаемых, так и ожидающих обслуживания):

Канал свободен;

Канал занят, очереди нет;

Канал занят, одна заявка стоит в очереди;

Канал занят, k - 1 заявок стоят в очереди;

Канал занят, т заявок стоят в очереди.

18. Методы принятия решений в условиях конфликта. Матричные игры. Чистые и смешанные стратегии игр.

Матричная игра – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задаётся выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 2, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям).

Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение и оно может быть легко найдено путём сведения игры к задаче линейного программирования.

Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков.

Первый игрок имеет m стратегий i = 1,2,...,m, второй имеет n стратегий j = 1,2,...,n. Каждой паре стратегий (i,j) поставлено в соответствие число аij, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою i-ю стратегию, а 2 – свою j-ю стратегию.

Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою i-ю стратегию (i=), 2 – свою j-ю стратегию (j=), после чего игрок 1 получает выигрыш аij за счёт игрока 2 (если аij<0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму | аij|). На этом игра заканчивается.

Каждая стратегия игрока i=; j = часто называется чистой стратегией.

Определение. Смешанной стратегией игрока называется полный набор вероятностей применения его чистых стратегий.

Таким образом, если игрок 1 имеет m чистых стратегий 1,2,...,m, то его смешанная стратегия x– это набор чисел x = (x1,..., xm) удовлетворяющих соотношениям

xi³ 0 (i= 1,m), =1.

Аналогично для игрока 2, который имеет n чистых стратегий, смешанная стратегия y– это набор чисел

y = (y1, ..., yn), yj ³ 0, (j = 1,n), = 1.

Так как каждый раз применение игроком одной чистой стратегии исключает применение другой, то чистые стратегии являются несовместными событиями. Кроме того, они являются единственными возможными событиями.

Чистая стратегия есть частный случай смешанной стратегии. Действительно, если в смешанной стратегии какая-либо i-я чистая стратегия применяется с вероятностью 1, то все остальные чистые стратегии не применяются. И эта i-я чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии. Для соблюдения секретности каждый игрок применяет свои стратегии независимо от выбора другого игрока.

19. Геометрический метод решения матричной игры.

Решение игр размера 2xn или nx2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию. Такие игры можно решать графически.

На плоскости XY по оси абсцисс отложим единичный отрезок A1A2 (рисунок 5.1). Каждой точке отрезка поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию U = (u1, u2). Причем расстояние от некоторой промежуточной точки U до правого конца этого отрезка – это вероятность u1 выбора стратегии A1, расстояние до левого конца - вероятность u2 выбора стратегии A2. Точка А1 соответствует чистой стратегии А1, точка А2 – чистой стратегии А2.

В точках А1 и А2 восстановим перпендикуляры и будем откладывать на них выигрыши игроков. На первом перпендикуляре (совпадающем с осью OY) покажем выигрыш игрока А при использовании стратегии А1, на втором – при использовании стратегии A2. Если игрок А применяет стратегию A1, то его выигрыш при стратегии B1 игрока B равен 2, а при стратегии B2 он равен 5. Числам 2 и 5 на оси OY соответствуют точки B1 и B2. Аналогично на втором перпендикуляре найдем точки B"1 и B"2 (выигрыши 6 и 4).

Соединяя между собой точки B1 и B"1, B2 и B"2, получим две прямые, расстояние от которых до оси OX определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий.

Например, расстояние от любой точки отрезка B1B"1 до оси OX определяет средний выигрыш игрока A при любом сочетании стратегий A1 и A2 (с вероятностями u1 и u2) и стратегии B1 игрока B.

Ординаты точек, принадлежащих ломаной B1MB"2 определяют минимальный выигрыш игрока A при использовании им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является наибольшей в точке М, следовательно, этой точке соответствует оптимальная стратегия U* = (,), а ее ордината равна цене игры v.

Координаты точки M найдем, как координаты точки пересечения прямых B1B"1 и B2B"2.

Для этого необходимо знать уравнения прямых. Составить такие уравнения можно, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две точки:

Составим уравнения прямых для нашей задачи.

Прямая B1B"1: = или y = 4x + 2.

Прямая B2B"2: = или y = -x + 5.

Получим систему: y = 4x + 2,

Решим ее: 4x + 2 = -x + 5,

x = 3/5, y = -3/5 + 5 = 22/5.

Таким образом, U = (2/5, 3/5), v = 22/5.

20. Биматричные игры.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2.)

Для биматричных игр также разработана теория оптимального поведения игроков, однако решать такие игры сложнее, чем обычные матричные.

21. Статистические игры. Принципы и критерии принятия решений в условиях полной и частичной неопределенности.

В исследовании операций принято различать три типа неопределенностей:

неопределенность целей;

неопределенность наших знаний об окружающей обстановке и действующих в данном явлении факторах (неопределенность природы);

неопределенность действий активного или пассивного партнера или противника.

В приведенной выше классификации тип неопределенностей рассматривается с позиций того или иного элемента математической модели. Так, например, неопределенность целей отражается при постановке задачи на выборе либо отдельных критериев, либо всего вектора полезного эффекта.

С другой стороны, два другие типа неопределенностей влияют, в основном, на составление целевой функции уравнений ограничений и метода принятия решения. Конечно, приведенное выше утверждение является достаточно условным, как, впрочем, и любая классификация. Мы приводим его лишь с целью выделить еще некоторые особенности неопределенностей, которые надо иметь в виду в процессе принятия решений.

Дело в том, что кроме рассмотренной выше классификации неопределенностей надо учитывать их тип (или "род") с точки зрения отношения к случайности.

о этому признаку можно различать стохастическую (вероятностную) неопределенность, когда неизвестные факторы статистически устойчивы и поэтому представляют собой обычные объекты теории вероятностей - случайные величины (или случайные функции, события и т.д.). При этом должны быть известны или определены при постановке задачи все необходимые статистический характеристики (законы распределения и их параметры).

Примером таких задач могут быть, в частности, система технического обслуживания и ремонта любого вида техники, система организации рубок ухода и т.д.

Другим крайним случаем может быть неопределенность нестохастического вида (по выражению Е.С.Вентцель - "дурная неопределенность"), при которой никаких предположений о стохастической устойчивости не существует. Наконец, можно говорить о промежуточном типе неопределенности, когда решение принимается на основании каких-либо гипотез о законах распределения случайных величин. При этом ЛПР должен иметь в виду опасность несовпадения его результатов с реальными условиями. Эта опасность несовпадения формализуется с помощью коэффициентов риска.

Принятие решений в условиях риска может быть основано на одном из следующих критериев:

критерий ожидаемого значения;

комбинации ожидаемого значения и дисперсии;

известного предельного уровня;

наиболее вероятного события в будущем.